电场的高斯定理

§ 1．4 电场的高斯定理 GAUSS， LAW (教材p45)

1.电场线（Electric Field Lines）

大家已经知道，电场强度E 是空间坐标的矢量函数.

为了形象地描述电场，我们设想电场中分布着一族曲线，并规定这些曲线每一点上的切线方向，与该点电场强度E 的方向一致. 我们把这些曲线称为电场线，简称E 线.

下图示出几种情形下静电场的E 线分布.

从上述例子我们看到，静电场的E 线有如下性质

(1)静电场的E 线始发于正电荷而终止于负电荷，所以静电场的E 线不形成闭合曲线；在没有电荷存在的点上，E 线连续

通过，也有可能 E=0 （试从上图找出这样的点）.

(2)在任何客观存在的电场中，每一点上的试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定的作用力，因此每一点上的E只能有一

个确定的值，因而E 必定是空间坐标的单值函数，故任何两条E 线都不可能相交.

2.电通量 ( Electric Flux )

按上述图象，通过某处单位截面的 E 线条数，即“E 线密度”，决定于该处的场强E。也就是说，E值大处，“E 线密度”大,反之, “E 线密度”小（见上图）.现在,我们引入“电通量”概念.

设想电场中有一非闭合曲面S，dS 是S上某点P附近一个无限小面积元矢量，并规定dS 的方向沿曲面在该点的法向，即

我们称

dΦ = E · dS = EdScosθ（1.4-1）

为通过该面元的电通量，单位为伏特·米（Vm）.

显然，当

0≤θ< π/2 , dΦ > 0 (正值)

π/2 <θ≤π , dΦ < 0 (负值)

θ= π/2， dΦ = 0 （E 线仅从该面元掠过）

通过整个S面的总电通量为

（1.4-2）

这是一个面积分（二重积分）

对于闭合曲面，规定面元矢量dS 沿曲面各点的外法线方向.于是，通过任意闭合曲面的总电通量：

3.电场的高斯定理

高斯定理：通过任意闭合曲面 S 的电通量，正比于S包含的总电量(净电量)，与S外的电荷分布无关.即

（1.4-4a）

右方求和因子表示S的总电量.

[证明]

（1）一个点电荷q 处于S 的情形

以q为中心作任意半径r 的球面，此球面任

一点的电场强度为

而球面面元矢量

于是，q 产生的电场通过该球面的总通量

显然，当q为正电荷，F为正值；当q为负电荷，F为负值.

对于包围点电荷q 的任意曲面S，由于其上任一个无限小的面积元dS，，与该处相应的球面元对q所在点开的立体角元相等，因此S对q所在点开的立体角也是4 , 故上式仍成立.

(2)当点电荷q 处于闭合曲面S外，由于E 线

必定连续通过S包围的区域，即穿入S 的

通量 = 穿出S 的通量，于是有

（当S q = 0）

(3)S 有n个点电荷，S 外有点电荷q n+1时，

据电场叠加原理，曲面上任一点的场强为

E = E1 +E2 +….+ E n + E n+1

于是，通过S 的总电通量

（4）上述结果可推广至电荷连续分布的情况

设某区域V电荷体密度函数为 ρ，则通过包围V的任意曲

面S 的总电通量是

（1.4-4b）

其中

是V的总电量，右方的体积分遍及曲面S 包围的体积V 。

高斯定理的意义

(1)高斯定理一个很重要的意义，在于它表示电场是有源场，电荷分布点就是电场的“源点”（Source Points）.

设想某点P处于无限小体积dV中，闭合曲面S是dV的边界面。

若P点有+q , 则从P点向外发出的电通量Ф> 0,或者说从P点向外发出 E 线（P点是电场的“正源”）

若P点有-q , 则Ф < 0,或者说E 线收敛于P点（P点是电场的“负源”，或“汇”）

若P点上没有电荷，即q =0 ，则Ф= 0 ，E 线将连续通过该点；也有可能该点上E = 0. (2)库仑定律仅在静电情况下成立；但至今为止人们所观测到的全部电磁现象——小至分子、原子、质子和电子等微观带电粒子，大至来自遥远星体的电磁现象，都表明高斯定理在静电与非静电情形下都成立.

(3)距离平方反比律是高斯定理成立的基础

问题：虽然迄今为止所观测到的电磁现象，都表明高斯定理具有（1.4-4）的形式.但这不等于在任何可能的时空尺度下，它必定也有同样形式，如果在某种情况下，距离平方反比律并非精确成立，高斯定理会有什么形式？

若库仑定律在某一尺度下偏离距离平方反比律，即 F∝1/r2+δ, δ≠0, 则电场强度 E ∝1/r2+δ ,高斯定理将变成

（1.4-5）

这表示，通过一个闭合曲面的电通量，不仅与其部的净电量q有关，也与所选择的曲面尺寸和形状（例如不同半径 r 的球面）有关，这将是一个非常有趣的问题.因此，在所有可能达到的尺度围，通过实验检验高斯定理的精确度，可验证库仑定律是否在任何尺度围都是一个精确的距离平方反比定律.

应用高斯定理求电场分布

电荷是电场的源，电荷分布决定着电场的分布.

当电荷分布存在某种对称性( symmetry)，使我们由此可以判断出存在着这样的高斯面（gaussian surface）———每个高斯面上所有点的场强E 都相等，而且E 的方向与高斯面法向的夹角处处一致，那么高斯定理

中左方的面积分（surface integral）将会变得很简单,这情性下比起由库仑定律得到的矢量积分式

求电场就要方便得多.

下面讨论三种重要的对称性——球对称性、无限长直线对称性、无限大平面对称性的情形.

球对称性（Spherical Symmetry）

一个点电荷q 的电场，就是球对称电场最简单的例子, q 所在点就是对称中心（the center of symmetry）.

事实上，如果电荷分布函数 r 仅与离开坐标原点的距离r 有关，而与q 和f 无关,即r =r（r），则 r 就具有

球对称性，它的电场必定有着同样的对称性.