高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
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人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程
1 教学目标
(1)知识与技能
在平面直角坐标系中探索圆的方程,掌握圆的标准方程,会判断点与圆的位置关系,能根据条件求圆的标准方程。
(2)过程与方法
通过设置问题情境,让学生经历从几何到代数,从代数到几何解决问题的过程,强调图形在解决问题中的辅助作用,提高学生分析问题,解决问题的能力。
(3)情感态度价值观
通过对问题的探索,培养学生良好的学习习惯,增强学生主动探究知识、合作交流的意识,使学生获得成功的体验,增强数学学习的兴趣和信心。
2 教学重点
推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程
3 教学难点
圆的标准方程的应用,根据不同的条件求圆的标准方程。
4 教材分析
本章在前一章的基础之上,在直角坐标系中建立圆的方程,其本质是用代数的方法研究图形,体现数形结合的重要思想方法,为日后进一步学习圆锥曲线,导数等奠定基础。因此,本章第一节的内容设计紧扣数与形的结合,强调图形在分析问题中的辅助作用,同时也要学会将几何问题代数化,用代数处理几何问题。
5 学情分析
学生已经学习了直线与方程,知道了在平面直角坐标系中直线可以用方程表示,并通过方程研究直线,为本节课做了准备,提供了基础,本节内容仅仅是这个过程的一个延续。本教学设计适合中等水平的学生学习。
6 教学方法与辅助手段
(1)以问题为载体,以任务为驱动式教学,突出类比学习,数形结合思想解决问题的思维过程
(2)多媒体课件和几何画板软件辅助教学
7 教学过程
7.1 问题情境引入
我们知道,在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素-----直线上的一点和直线的倾斜角,其代数含义是这个点的坐标以及这条直线的斜率,进而建立了直线的代数方程,通过方程研究直线,用代数的知识和方法去解决直线的问题。
类似地,我们可不可以用同样的方法建立圆的方程呢?回顾圆的定义,提出具体探究任务。
【运用几何画板,让学生形象感知圆的轨迹的形成过程,再次强化圆的几何特征,为建立圆的代数方程指明方向】
7.2 学习任务一:探索圆的标准方程
问题情境1 在平面直角坐标系中,已知圆心C(a,b),半径等于r,试写出圆的方程
学生活动:给予充分时间让学生尝试建立圆的方程,先独立思考完成,然后小组内交流
结果,预设解法是利用两点间距离公式,有可能直接带着根号,有可能会两边平方进行整理,最后教师将学生解决问题的情况在展示台上展示反馈。
知识建构:几何 代数 几何
得到圆的方程
222(x-a )(y-b )r +=,若点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M 的坐标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就说明点 M 与圆心的距离是 r ,即点M 在圆心为C (a, b),半径为r 的圆上。我们把这个方程称为圆心为C(a, b),半径长为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程。
7.3 评测练习一
练习1.说出下列圆的圆心及半径,并画出它们的图形
(1) 22x y
4+= (2) 22(x+1)y 1+=
练习2.写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在(-3,4),;
(3)圆心在(-1,2),与x 轴相切.
学生活动:
(1)练习1个别提问交流,几何画板作图,突出方程所反映的图形特征
(2)练习2先由学生独立完成,预设第(3)小问学生会问难,由小组内交流讨论,最后教师在展示台展示学生的解决方案,突出学生从几何特征发现代数特点的思维过程的展示和交流,如与x 轴相切的圆,半径长有什么特点等。
【运用几何画板画出每一方程所对应的圆,充分经历从几何到代数,从代数到几何的研究思路】
建立圆的方程是最基本的代数化,随着学习的深入,我们还要将圆的各种特征进行代数化,比如点与圆的位置关系等。
7.4 学习任务二:判断点与圆的位置关系,
问题情境3:得到圆的标准方程之后,我们会利用圆的方程解决更多关于圆的问题,我们先以点与圆的位置关系为出发点,继续思考:
比如:如何判断下列各点和圆
22
(x-2)(y+3)25+=的位置关系. 123(4,5),(6,1),(2,2)M M M -
学生活动:独立完成然后个别提问交流
预设解法一:根据方程得出圆心坐标,由两点间距离公式求出各点与圆心的距离再和半径做比较
预设解法二:直接将点的坐标代入方程,与半径的平方25做比较
【运用几何画板演示动态的变化过程,重在利用代数结果解释几何关系,这也是学生思维比较薄弱的地方,强化从代数结果中分析几何的特征和性质的意识和能力】
知识建构:代数 几何
222(x-a )(y-b )r += 点在圆上 222(x-a )(y-b )r +> 点在圆外
222(x-a )(y-b )r +< 点在圆内
7.5 学习任务三:圆的标准方程的应用—求三角形ABC 的外接圆的方程
问题情境4:△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5, 1),B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
我们刚建立了圆的标准方程,回过头来看,我们要求解△ABC 的外接圆方程,需要解决什么问题?
学生活动:充分发现学生在解决问题中的闪光点,进行交流,必要时要利用几何画板作图,展示台展示等。
预设解法一:代数方法确定a,b,r ,难点在于解方程组,如何优化解法顺利求解
预设解法二:我们解决几何问题,要分析几何对象的几何特征,分析三角形的外接圆圆心具有什么特征,进而确定圆心位置,然后利用距离公式求出半径大小。
代数 几何
【运用几何画板作图,一方面强调图形在分析问题中的辅助作用,另一方面加强数形结合,充分挖掘几何图形的特征,使其代数化顺利进行】
7.6 评测练习二
练习3.已知两点12(4,9),(6,3)P P ,以线段12P P 为直径的圆的方程是 ,
并判断点(6,9),(3,3),(5,3)M N Q 中,点 在圆上,点 圆内,点 在圆外;
练习4.已知AOB ∆的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0),则AOB ∆外接圆的方程是 .
学生活动:课堂内独立完成测评,预设到各种层次的学生的学习,在既定时间内估计大多数能完成练习3,小部分能完成练习4。
7.7 小结
(1)牢记: 圆的标准方程
222
(x-a )(y-b )r += 点与圆的位置关系
(2)明确:代数角度------三个条件a 、b 、r 确定一个圆