高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
〖2021年整理〗《圆的标准方程》优秀教案
圆的方程圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标 （一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程 （二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程 （三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程 （四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程 二、教学设计 （一）课前设计 1预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空： 确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=2预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ） A 22(1)(2)5x y +++= B 22(1)(2)25x y +++= C 22(1)(2)5x y -+-= D 22(1)(2)25x y -+-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-= 【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义 【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A 1B 1±C 2 D【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =± 【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=； （2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<； （3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A 221x y +=B 22x y +=C 222x y +=D 224x y += 【知识点】圆的标准方程【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r ，所以圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径 【答案】C （二）课堂设计 1知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等 （2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间的距离2问题探究 探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径【设计意图】通过和直线的类比，引导学生分析出圆的基本要素，为后面圆的定义打基础•活动② 当圆心位置C 和半径r 的大小确定后，如何定义一个圆？平面上到定点C 的距离等于半径r 的点M 的集合，叫做以C 为圆心，为半r 径的圆 【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义 探究二 圆的标准方程•活动① 如果圆心C 的坐标为a,b ，半径大小为r ，那么圆的方程是什么？设圆上任意一点M,，则M 到圆心C 的距离等于半径r ，圆心为C 的集合就是{}P M MC r ==， 由两点间的距离公式，点M 适合的条件可以表示为 22()()x a y b r -+-=两边平方，得：222()()x a y b r -+-=……………………⑴若点M,在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程1；反之，若点M,的坐标适合方程1，这说明点M 到圆心C 的距离等于半径r ，即点M 在圆心为C 的圆上我们就把方程1称为圆心为Ca,b ，半径为r 的圆的标准方程【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化 探究三 点和圆的位置关系•活动① 由探究二我们知道，如果点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则满足22200()()x a y b r -+-=那么点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=内又要满足什么条件呢？在圆222()()x a y b r -+-=外呢？点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=； （2）点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<； （3）点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->；【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法 巩固基础，检查反馈例1 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A (2,3),- B (2,3),2- C (2,3),- D (2,3),2-【知识点】圆的圆心坐标和半径【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为(2,3)-，半径r =【思路点拨】比较该方程与圆的标准方程即可 【答案】A同类训练 圆22(1)(2)5x y -++=的圆心到直线y x =的距离为（ ）A BCD 5 【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为(1,2)-，由点到直线的距离公式得所求距离为【思路点拨】比较方程和圆的标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解 【答案】C0,-1，B 2,1，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A 22(1)1x y -+=B 221)1x y ++=（C 221)2x y -+=（D 22(1)2x y ++= 【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程【解题过程】因为线段AB 为直径，所以圆心坐标为1,0，半径r221)2x y -+=（【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键 【答案】C同类训练 圆心在直线:230l x y --=上，且过点(5,2)(3,2)A B -和的圆的标准方程为（ ）A 22(2)(1)10x y -+-=B 22(2)(1)x y -+-=C 22(2)(1)10x y +++=D 22(2)(1)x y +++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程【解题过程】∵圆过点(5,2)(3,2)A B -和，所以圆心必在线段AB 的垂直平分线上，即在直线:24l x y '+=上 由条件圆心必为l 与l '的交点，所以由23022401x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以圆心为(2,1)C ，半径r ，所以所求圆的方程为22(2)(1)10x y -+-=【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上 【答案】A强化提升、灵活应用例3、已知圆与轴相切，圆心在直线=2上，且被直线-3=0平分周长，求该圆的标准方程 【知识点】由条件确定圆心坐标和半径大小，进而确定圆的方程【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线-3=0上，所以由条件可知圆心为直线=2和-3=0的交点，即圆心C 1,2；又圆与轴相切，所以半径即为圆心纵坐标，即r =2，故圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上 【答案】22(1)(2)4x y -+-=例4 已知点1)A +在圆22()(1)15x m y m ++-=-的外部，则实数m 的取值范围是A 32m -<<-B 23m <<C 32m m <->-或D 1325m m <--<<或 【知识点】圆的标准方程以及点与圆的位置关系【解题过程】条件等价于2150715m m m->⎧⎨+>-⎩，解得：1325m m <--<<或【思路点拨】要注意圆的标准方程中等号后面是半径的平方（容易遗漏） 【答案】D同类练习 已知过点(1,2)A 的直线始终与圆222()()2C x a y a a -++=：相交，则实数a 的取值范围是___________【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】条件等价于点A 在圆C 的内部，所以有222(1)(2)2a a a -++<，解得52a -≤ 【思路点拨】过定点的直线始终与圆相交等价于定点必在圆内部【答案】52a -≤3课堂总结 知识梳理（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；（2）圆心为Ca,b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= （3）点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=； 点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<； 点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->重难点归纳（1）圆的标准方程的推导思想和过程；（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程 （三）课后作业 基础性 自主突破1经过点(5,1)P ，圆心为(8,3)C -的圆的方程为（ ）A 22(8)(3)25x y +++=B 22(8)(3)25x y -++=C 22(8)(3)25x y -+-=D 22(8)(3)25x y ++-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】有条件知，圆的半径为5r PC ==，所以圆的方程为22(8)(3)25x y -++= 【思路点拨】圆上一点到圆心的距离即为半径 【答案】B2已知圆22(1)(2)5x y -++=，则点(1,0)M 与该圆的位置关系是（ ） A M 在圆内 B M 在圆上 C M 在圆外 D 以上都不对 【知识点】点和圆的位置关系【解题过程】由于22(11)(02)45-++=<，所以M 在圆内【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定 【答案】A3圆22(3)(2)5x y -+-=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ） A 22(3)(2)5x y -+-= B 22(3)(2)5x y ++-= C 22(3)(2)5x y +++= D 22(3)(2)5x y -++= 【知识点】圆关于点的对称圆【解题过程】圆22(3)(2)5x y -+-=的圆心(3,2)关于原点(0,0)的对称点(3,2)--即为所求圆的圆22(3)(2)5x y +++= 【思路点拨】圆关于点的对称圆只是圆心对称，半径不变 【答案】C4已知点(51,12)A a a +在圆22(1)1x y -+=的内部，则（ ） A 1a < B 113a <C 15a <D 113a < 【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由点与圆的位置关系可知221(5)(12)113a a a +<⇒<【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定 【答案】D5已知圆C 的圆心在直线270x y --=上，且圆C 与y 轴交于两点(04)(02)A B --，、，，则圆C 的标准方程为（ ）A 22(2)(3)5x y -++=B 22(2)(3)25x y -++=C 22(3)(2)5x y ++-=D 22(3)(2)25x y ++-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】∵线段AB 为圆的弦，∴圆心C 在线段AB 的中垂线3y =-上，又圆心C 在直线270x y --=上，∴圆心为(2,3)C -，半径，∴圆C 的标准方程为22(2)(3)5x y -++= 【思路点拨】求圆的方程就是想办法确定圆心坐标和半径大小 【答案】A6已知ABC ∆的三个顶点分别为(05),(12),(34)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的方程为（ ） A 22(3)(1)25x y -++= B 22(3)(1)5x y -++= C 22(3)(1)25x y ++-= D 22(3)(1)5x y ++-= 【知识点】线段的垂直平分线和圆的标准方程【解题过程】∵线段AB BC 、为所求圆的两条弦，∴圆心在AB BC 、的垂直平分线的交点，即在直线7100x y -+=和250x y ++=的交点(3,1)M -，半径5r AM ==，所以所求圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=【思路点拨】圆的圆心必在弦的垂直平分线上 【答案】C 能力型 师生共研7与圆22(2)(3)16x y -++=有相同的圆心，且过点(11)P -，的圆的标准方程为（ ） A 22(2)(3)25x y ++-= B 22(2)(3)25x y -++= C 22(2)(3)16x y ++-= D 22(2)(3)16x y -++= 【知识点】同心圆问题【解题过程】由条件知所求圆的圆心为(2,3)C -，半径为5r PC ==另解：由条件设圆的方程为222(2)(3)x y r -++=，将点(11)P -，代入可求得225r = 【思路点拨】同心圆问题可以直接找圆心和半径求解，也可以用同心圆系方程222(2)(3)x y r -++=解决 【答案】B8圆22:(3)(1)10M x y -++=关于直线20x y -=的对称圆的方程为（ ） A 22(1)(3)10x y -+-=B 22(1)(3)x y -+-=C 22(1)(3)10x y -++=D 22(1)(3)x y -++= 【知识点】圆关于直线的对称圆问题【解题过程】设对称圆的圆心为(,)a b ，则由条件有31201221323a b a b b a +-⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪-⎩【思路点拨】圆关于直线的对称圆，只需将圆心对称，半径不变 【答案】A 探究型 多维突破9已知圆C 过点(12)P ，和(23)Q -，，且圆C 在两坐标轴上的截得的弦长相等，则圆C 的方程为（ ） A 22(1)(1)5x y ++-= B 22(2)(2)25x y +++=C 22(1)(1)5x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=D 22(1)(1)25x y ++-=或22(2)(2)25x y +++= 【知识点】圆的标准方程和弦长问题【解题过程】如图，由于截得的弦长相等，即AD EG =，所以它们的一半也相等，即AB GF =，又AC GC =，所以直角ABC GFC ∆∆≌，BC FC =∴，设圆心(,)C a b ，则a b =……①，又圆心(,)C a b 在线段PQ 的垂直平分线34y x =+上，所以34b a =+……②，联立①②解得：11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩，半径r =或5【思路点拨】根据几何关系，用待定系数法求圆心坐标是关键【答案】C10已知四点(20),(100),(113),(61)M N P Q ，，，，，那么这四点共圆吗？如果共圆，求出圆的方程；如果不共圆，说明理由【知识点】圆的方程和点共圆问题【解题过程】设MNP ∆的外接圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，把点,,M N P 的坐标代入得到：222222222(2)()6(10)()3(11)(3)5a b r a a b r b a b r r ⎧-+-==⎧⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+-==⎩⎩，即外接圆为22(6)(3)25x y -+-=，将(6,1)Q 代入圆的方程得22(66)(13)425-+-=≠，即点Q 不在圆上，故,,,M N P Q 四点不共圆【思路点拨】多点共圆问题可以先求三点所共的圆的方程，在用点与圆的位置关系判断其他的点在不在圆上 【答案】不共圆 自助餐1已知点(32),(54)A B --，，，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A 22(1)(1)25x y -++= B 22(1)(1)25x y ++-= C 22(1)(1)100x y -++= D 22(1)(1)100x y ++-= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】由于线段AB 为直径，所以圆心为(32),(54)A B --，，的中点即(1,1)-，半径152r AB ==，所以圆的方程为22(1)(1)25x y ++-= 【思路点拨】 【答案】B2过点(11),(11)A B --，，，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A 22(3)(1)4x y -++= B 22(3)(1)4x y ++-= C 22(1)(1)4x y -+-= D 22(1)(1)4x y +++= 【知识点】圆的标准方程【解题过程】线段AB 的垂直平分线y x =与直线20x y +-=的交点(1,1)M 即为所求圆的圆心，半径2r AM ==，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=【思路点拨】圆的弦的垂直平分线必过圆心【答案】C3若点(2,2)在圆22()()16x a y a ++-=的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A 22a -<<B 02a <<C 2a <-或2a >D 2a =±【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由条件有22(2)(2)1622a a a ++-<⇒-<<【思路点拨】点在圆内即点到圆心的距离小于半径【答案】A4已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A 22(2)(2)1x y ++-= B 22(2)(2)1x y -++= C 22(2)(2)1x y +++= D 22(2)(2)1x y -+-=【知识点】圆关于直线的对称圆【解题过程】设圆2C 的圆心为(,)a b ，则依题意有11102221211a b a b b a -+⎧--=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪+⎩，对称圆的半径保持不变任为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=【思路点拨】圆关于直线的对称圆，即为圆心的对称，半径不变【答案】B5设点(00),(11),(42)A B C ，，，，若线段AD 为ABC ∆外接圆的直径，则点D 的坐标为（ ） A (8,6)- B (8,6)- C (4,6)- D (4,3)-【知识点】圆的标准方程和点与圆的位置关系【数学思想】【解题过程】线段AB 的垂直平分线10x y +-=与线段AC 的垂直平分线250x y +-=的交点即为圆心(4,3)-，直径为10，易得点D 的坐标为(8,6)-【思路点拨】圆的弦的垂直平分线一定过圆心【答案】B6若圆22()()8x a y a -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）A (3,1)(1,3)--B (3,3)-C [1,1]-D (3,1][1,3)--【知识点】圆的定义【解题过程】若0a ≥，由条件可知圆上距原点最近点d <，最远点d <<，∴最近点(2,2)a a --，最远点(2,2)a a ++，<，<<得13a <<；同理当0a <时有31a -<<-【思路点拨】根据圆的定义把存在为题转化为距离问题【答案】A。
人教A版高中数学必修二《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以 的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为 的圆经过点 ，且圆心 在直线 上，求圆心为 的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径 的大小等于圆上任意一点 到圆心 的距离,
圆心为 的圆就是集合
由两点间距离公式,点 的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点 在圆上,则由上述讨论知,点 的坐标适合方程(1);反之,若点 的坐标适合方程(1),这说明点 与圆心 的距离为 ,即点 在圆心为 的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.
“圆的标准方程”教学设计——第十届高中青年数学教师课例展示与培训活动展示课
２０２３年７月上半月㊀生态数学㊀㊀㊀㊀圆的标准方程 教学设计第十届高中青年数学教师课例展示与培训活动展示课◉上海市七宝中学㊀王奎彩㊀㊀摘要:本文中呈现了 圆的标准方程 的教学设计,并对教学实践中的具体过程和问题进行总结和反思,针对教学环节的目标和设计方法进行详细阐述,同时在多次设计学生提出问题的环节,初步尝试学生提出问题的教学方式．关键词:教学设计;圆的标准方程;问题提出１单元整体分析解析几何的本质是利用代数的方法研究几何图形的性质,体现数形结合的思想．基于 平面直角坐标系中的直线 的学习,体会了平面直角坐标系中直线方程的意义和求法,进一步通过直线方程研究了直线有关性质以及直线与直线的位置关系,初步了解了平面直角坐标系中曲线方程的意义．圆作为本单元的第二课时,起着承上启下的作用．而本节课立足于学生的 最近发展区 ,通过探究圆的标准方程,实现研究曲线与方程方法的延伸,并初步体验用代数方法研究曲线的相关内容,构建研究方法,形成解析几何的基本研究框架并用于解决相关问题,进而为后续椭圆㊁双曲线和抛物线等的研究方法奠定基础．２教学内容分析圆作为平面内相对比较简单的曲线,能充分体现解析几何研究的两大问题．在本节课中进一步体会求曲线方程的本质是寻求曲线上动点的横㊁纵坐标所满足的关系式;用代数的方法研究圆的性质时,形成用代数方法研究几何性质的思维模式,提高发现问题㊁提出问题㊁分析问题和解决问题的能力,为后续研究直线与圆及其他二次曲线的位置关系和性质提供方法和思路．因此,本节课有着承上启下㊁展示研究思路㊁渗透研究方法的作用,能够提升学生的数学抽象㊁数学运算及数学建模等核心素养．３教学目标(１)通过回顾圆的定义,探求并掌握圆的标准方程,进一步巩固求曲线方程的方法,并会用代数方程刻画圆的圆心和半径;(２)通过探究过圆上一点的圆的切线方程,体会解析几何的研究思路和方法,形成用代数方法研究几何问题的基本思想,渗透转化的观念;(３)通过用圆的标准方程解决实际问题,增强数学的应用意识,渗透数形结合思想,认识到数学从实际生活中来,到实际生活中去,增强数学研究和应用意识,提高数学学习兴趣．教学重点:圆的标准方程及其推导过程．教学难点:圆的标准方程的应用．４教学过程４．１导入新课我们先来回顾一下圆的定义．(１)圆的定义定义:平面内到一个定点的距离等于定长(大于零)的点的轨迹就是圆,这个定点就是圆心,定长就是半径．(２)圆的几何要素问题１㊀确定一个圆的条件有哪些?学生思考:圆心定位置,半径定大小．得到圆的两个几何要素:圆心㊁半径．设计意图:通过初中圆的定义回顾及问题１,强化对圆的几何要素的认识,为研究圆的标准方程作铺垫．欣赏四张形状各异㊁大小不同的圆拱形吊桥图片,拱桥造型优美,曲线圆润,富有动态感．通过图片发现拱形桥需要立柱支撑,请同学们思考:在已知圆拱桥的一些条件下,如何知道每根立柱的高度?图１提出问题㊀圆拱桥的圆拱如图１所示,该圆拱的跨度A B＝２０m,拱高C P＝４m,在建造时每隔４m需用一个支柱支撑,求出支柱A２B２的长度(精确到０．０１m)．设计意图:通过情境引导学生体会数学来源于实际生活,是具体事物的抽象与概括;利用图片展示提出问题,进而抽象出数学问题,引发学生思考如何借助代数方法研究圆的问题,激发学习兴趣,引出本节课的基本内容,提升学生的数学抽象和逻辑思维素养．３Copyright©博看网. All Rights Reserved.生态数学２０２３年７月上半月㊀㊀㊀４．２自主探究推导４．２．１圆的标准方程在上一节 曲线与方程 的学习中,我们知道解析几何就是在直角坐标系中将曲线用方程表示出来,再利用曲线的方程来研究曲线的性质．探究１㊀已知以C (a ,b )为圆心,半径为r (r ＞０)的圆,求圆C 的方程．解:设圆上任意一点M 的坐标为(x ,y ),由两点间的距离公式,得|M C |＝(x －a )２＋(y －b )２＝r (r ＞０)．两边同时平方,得㊀㊀㊀㊀(x －a )２＋(y －b )２＝r ２．①所以,点M 的坐标(x ,y )是方程①的解．设计意图:通过启发诱导激发学生的求知欲,在学生的最近发展区让学生尝试自我探究．已知平面直角坐标系,让学生体会建立曲线方程的基本方法．体现数学素材和学生已有的知识经验相结合,提升学生数学抽象核心素养．问题２㊀以方程①的解为坐标的点都在圆上吗?证明:设点P 的坐标(x １,y １)是方程①的解,则有(x １－a )２＋(y １－b )２＝r ２(r ＞０)．即|P C |２＝r ２,则|P C |＝r ．所以,点P 在以点C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆上．设计意图:通过问题２激发学生对方程的曲线和曲线的方程概念的深化理解,提高逻辑的严谨性,提升逻辑推理核心素养．综上,得到圆C 的方程为(x －a )２＋(y －b )２＝r ２(r ＞０)．方程①叫做圆的标准方程,它充分刻画了圆的两个几何要素:圆心和半径．特别地,当a ＝b ＝０,即以原点为圆心时,圆的标准方程为x ２＋y ２＝r ２(r ＞０)．点M (x ０,y ０)在以C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆上⇔(x ０－a )２＋(y ０－b )２＝r ２;点M (x ０,y ０)在以C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆内⇔(x ０－a )２＋(y ０－b )２＜r ２;点M (x ０,y ０)在以C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆外⇔(x ０－a )２＋(y ０－b )２＞r ２．设计意图:引导学生分析和归纳,从问题出发,在已有认知结构的基础上建构新知识,培养学生分析问题的能力,强化数形结合思想．４．２．２练一练(１)指出下列各圆的圆心坐标和半径．①(x －５)２＋(y －２)２＝９;②x ２＋(y ＋３)２＝m ２(m ʂ０)．(２)写出下列圆的标准方程．①以原点为圆心,半径为３;②以点C (２,－３)为圆心,半径为５．设计意图:通过上述练习,强化学生由圆的标准方程可以得到圆的两个几何要素,反之,在给定圆心坐标和半径大小后可以写出圆的标准方程,体会数与形的转化,提升数形结合意识．４．３应用巩固例１㊀求以C (－１,２)为圆心,且和直线l :２x －３y －５＝０相切的圆的方程．解:由圆心到切线的距离为半径,可得r ＝|２ˑ(－１)－３ˑ２－５|２２＋(－３)２＝１３．所以圆的标准方程为(x ＋１)２＋(y －２)２＝１３．设计意图:通过例１,强化对圆的标准方程的认知,落实教材,强化对圆的标准方程几何意义的理解,体会数形结合的重要性．问题解决:解决导入新课环节提出的问题．图２解法１:以A B 所在直线为x 轴,以弦A B 的中垂线为y 轴,建立如图２所示的平面直角坐标系,则P (０,４),A (－１０,０),A ２(－２,０)．设圆的半径为r ,圆心为点M ．连接AM ,由勾股定理,得１０２＋(r －４)２＝r２,解得r ＝２９２．故圆弧A B ︵的方程为x ２＋(y ＋２１２)２＝(２９２)２(y ȡ０)．由点B ２(－２,y ０)在圆上,可得y ０ʈ３．８６(m )．答:支柱A ２B ２的长度约为３．８６m ．图３解法２:设圆弧A B ︵的半径为r ,以弦A B 的中垂线为y 轴,在y 轴上取点O ,使得|O P |＝r ,建立如图３所示的平面直角坐标系．连接A O ,由勾股定理,得１０２＋(r －４)２＝r ２．解得r ＝２９２,则|O C |＝２１２,即A ２(－２,２１２)．所以,圆弧A B ︵的方程为x ２＋y ２＝(２９２)２(２１２ɤy ɤ２９２)．由点B ２(－２,y ０)在圆上,可得|A ２B ２|＝y ０－２１２ʈ３．８６(m )．设计意图:问题的解决,既能与引入相呼应,又能充分体现利用圆的标准方程解决该问题的简洁性,使学生体会到学习圆的标准方程的必要性,强化对圆的标准方程的认知,同时又能体会数形结合的重要性．４．４思考与延伸问题３㊀请同学们根据表１设计适当的条件,使４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀生态数学㊀㊀㊀㊀之可以求出圆的标准方程．表１条件圆心坐标及圆的一条切线方程圆心及圆上一点的坐标直径两端点坐标圆心坐标和圆的面积不共线的三个点的坐标㊀㊀设计意图:通过练习发现,知道圆心和半径可以确定圆,而学生通过独立思考或者小组讨论的方式,将问题发散,充分发挥想象力,深化对圆的两个要素的理解,体会只要条件能够转化为圆心和半径都可以作为确定圆的方程的条件,同时提高转化与化归能力．通过前面的研究我们发现,利用方程可以刻画圆的位置和大小．在上一章中,学习直线的方程以后,利用直线方程研究了直线与直线的位置关系㊁点到直线的距离等问题．这里我们对过圆上一点作圆的切线问题进行探究．探究２㊀已知M (x ０,y ０)为圆C :x ２＋y ２＝r ２上一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．图４解法１:如图４,因为M 是圆C 与l 的切点,所以O M ʅl ,即O M ң是切线l 的法向量,于是可得,切线l 的点法向式方程为x ０(x －x ０)＋y ０(y －y ０)＝０．整理,得㊀㊀x ０x ＋y ０y ＝x ２０＋y ２０．又因为点M (x ０,y ０)在圆上,所以x ２０＋y ２０＝r ２．故过点M (x ０,y ０)的圆C 的切线l 的方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．解法２:当切线斜率k 存在,且y ０ʂ０时,由O M ʅl ,得k O M k ＝－１,即k ＝－x ０y ０(y ０ʂ０)．所以,切线l 的点斜式方程为y －y ０＝－x ０y ０(x －x ０)．整理,得x ０x ＋y ０y ＝x ２０＋y ２０．又因为点M (x ０,y ０)在圆上,所以x ２０＋y ２０＝r ２,可得x ０x ＋y ０y ＝r ２．当切线斜率k 不存在时,则l :x ＝x ０．当y ０＝０时,直线l 方程为x ＝x ０．综上可得,过点M (x ０,y ０)的圆C 的切线l 的方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．结论:过圆C :x ２＋y ２＝r ２上点M (x ０,y ０)的圆的切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．设计意图:通过过圆上一点作圆的切线,研究求圆的切线方程的一般方法．由于切线垂直于过切点的半径,因此求切线方程的思路多样化,而各种方法都是平面几何中有关结论的代数化表述,从而优化学生的知识结构,培养灵活的数学思维．对比圆的标准方程,总结切线方程的特点,既能快速记忆,同时也为问题４作铺垫．问题４㊀我们在探究２中,研究了过圆上一点求圆的切线方程问题,其中圆心在原点,并且切线过圆上的定点,你能提出一般性的问题吗?(１)已知M (x ０,y ０)为圆C :(x －a )２＋(y －b )２＝r ２上一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．(２)已知点M (x ０,y ０)为圆C :x ２＋y ２＝r ２外一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．(３)已知点M (x ０,y ０)为圆C :(x －a )２＋(y －b )２＝r ２外一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．设计意图:由探究２到问题４引发学生由特殊到一般的思考,发散学生思维,引导学生提出一般性的问题,培养由特殊到一般的思想方法和提出问题的意识．４．５小结与作业(１)小结①体会圆的两个几何要素,并探求圆的标准方程,体会圆的代数形式与几何要素的关系;②利用由圆的标准方程求过圆上的点的切线方程;③体会类比㊁从特殊到一般㊁数形结合及转化与化归的思想方法,提升数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算等学科核心素养．(２)课后作业布置(略)５教学体会本节课通过具体的实例引出学习圆的方程的必要性,在学生已有曲线和方程的知识和方法储备的条件下,引导学生自主探究圆的标准方程,并自然过渡到利用方程判断点与圆的位置关系,通过具体的实例进一步体会用代数的手段研究曲线性质的方法．由于教材中本节内容相对简单,教学方法又比较单一,因此在设计过程中思考怎样才能使这节课简单而又不平凡,所以突出了学生在课堂中的主体作用,让问题提出贯穿于整节课堂．课堂中,通过特殊问题的解决,多次引导学生提出一般性问题并对问题进行归纳㊁猜测及证明,将教师提出的问题与学生的问题提出进行融合,既能丰富课堂形式,又能调动学生积极性,引导学生深入思考不同的问题,了解和发现学生对概念的理解深度,在交流㊁讨论及教师引导和辨析过程中完善所提问题,共同提高．由于问题提出的发散性,因此本节课对教师和学生都带来了极大的挑战．同时,本节课知识容量大,同时利用标准方程研究了点与圆㊁直线与圆,对于多数学生来讲,在一节内充分理解和吸收这些内容确实存在困难．这也为不同的学生提供了课后拓展和延伸的问题,使学生的学习不仅仅停留在课堂上,课后也能够延续．Z５Copyright ©博看网. 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人教版高中必修2圆的标准方程教学设计
人教版高中必修2圆的标准方程教学设计《人教版高中必修2圆的标准方程教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。
2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。
3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。
过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。
2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。
3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。
情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。
2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。
二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。
难点：圆的标准方程的求法。
三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。
在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。
对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。
由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。
还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。
点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。
以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教学设计
教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。
高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。
内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。
其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。
圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。
学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。
也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。
从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。
2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
高中数学《圆的标准方程》精品公开课教案教学设计
圆的标准方程教学设计一、教学背景教学背景分为四个方面，即：设计理念、教材分析、学生分析、重点难点。
（一）设计理念新教改明确指出：学生应在教师指导下主动地、富有个性地学习，要倡导信息技术在教学中的普遍应用。
当前流行的翻转课堂，以微课为主要载体，采用“先学后教、以学定教”的教学模式，通过信息技术手段，完美的诠释了新教改的思想与理念。
（二）教材分析本节内容是在初中所学知识以及高一直线方程的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程。
学好了圆的方程，能为后面拓展模块学习椭圆、抛物线、双曲线的方程奠定基础。
也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。
（三）学生分析授课对象为高一动漫班的学生，思维上，他们喜欢形象和生动；专业上，他们喜欢图形和画画；课堂上，他们喜欢新意和创意。
结合设计理念、教材分析和学生分析，本节课采用翻转课堂开展教学，也就是将知识的呈现转移到课外，而将知识的内化放到课内。
（四）重点难点翻转背景之下，本节课的教学重点为：前置学习情况的答疑解惑；圆的标准方程的基础应用。
教学难点为：求较复杂圆的标准方程；圆的高阶思维能力训练。
二、教法学法（一）教法设计翻转课堂下的“教”，主要采用引导和启发式教学，让学生主动去发现知识的内涵和外延，以凸显学生的主体地位。
（二）学法指导学法与教法绝不孤立，而是相互呼应。
翻转课堂下的“学”，课前学生通过微课自主探究发现，课堂开展小组合作学习，教师则注重解惑与答疑，强调引导和提高。
三、翻转过程（一）翻转设计说明新课改同时明确指出：教师是学生学习的服务者，帮助、引导、促进着学生进步。
教学的整个翻转过程就是不断为学生服务的过程。
服务过程由六个环节组成。
分别是设计微课脚本→创建微课视频→微课前置学习→课前分析诊断→组织课堂活动→后续辅导评估，可以说，服务无所不在，无论是课前，还是课中，还是课后。
下面是为学生提供五星级服务的整个翻转流程。
（二）翻转过程详述【课前服务】1．分析教学内容，设计微课脚本脚本设计是微课成功的第一步，脚本设计要做到简洁、精炼、易懂。
人教高中数学 必修二 4.1.1圆的标准方程(公开课教案)
《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。
北师大版高中数学必修二《圆的标准方程》课程教学设计
教材分析：解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。
对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。
另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。
学情分析：圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。
再者，经过前面的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。
通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
当然，由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难，在教学中一定要关注学生反馈的信息，循序渐进的开展教学。
教学设计说明：新课程下的教学，力求知识的形成过程，为克服课堂时间不足，需要学生做好课前预习，本节采用问题教学法开展教学，同时坚持分层教学。
以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，力求体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。
教学过程环节教学内容与教师行为学生行为理论依据或意图（一）旧知回顾，设置情境问题问题1、圆的定义是什么？2、我们如何确定一条直线？3、两点直接的距离公式教师1、引导学生思考两个问题：1，确定圆需要几个要素；2，圆上的点有什么特征[学生活动]1：小组讨论圆的两种定义以及问题2、3[学生活动]2：小组讨论结果：1，确定圆需要两个要素，圆心（定位），半径（定形）2，圆上的点到圆心的距离都等于半径复习已学知识，为本节课学习圆的标准方程做好铺垫。
高中数学《圆的标准方程》说课稿
高中数学《圆的标准方程》说课稿高中数学《圆的标准方程》说课稿1【一】教学背景分析1、教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节。
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2、学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的。
但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3、教学目标(1)知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。
(2)能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4、教学重点与难点(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用。
(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1、教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。
另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程。
2023高中数学《圆的标准方程》说课稿2篇
2023高中数学《圆的标准方程》说课稿2篇高中数学《圆的标准方程》说课稿1【一】教学背景分析1、教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节。
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2、学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的。
但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3、教学目标(1)知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。
(2)能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4、教学重点与难点(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用。
(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1、教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。
另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程。
《圆的标准方程》第一课时教学设计
《圆的标准方程》第一课时教学设计稿华川中学李建军2007．10．16《圆的标准方程》第一课时教学设计稿一．教材分析圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系、曲线和方程的基础上，让学生学会在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.本节课教材编者共安排了3个例题，例1是求圆的方程的问题，是直接运用所学知识的一个例题；例2是运用圆的标准方程的知识来解决数学问题——求圆的切线问题；例3是运用圆的标准方程的知识来解决实际问题的一个例题。
在作业安排上，安排了4个练习题和4个习题，它们分别是3个例题的补充。
二.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.为了让学生掌握本节课内容，我将例1和例2作为第一课时内容，例3同补充的例题作为第二课时的内容。
由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，计划在同学生一道推导圆的标准方程，以便进一步了解坐标在解决实际问题中的运用。
推导出圆的标准方程后，增加圆的标准方程的直接运用的3个练习题，其中有一个是教材中的练习题第一题，通过这样的训练来达到让学生充分掌握圆的标准方程的形式。
例1我直接选用教材中的例1，没有做改动；在讲解例2时，我采取先用一个具体的问题来求出圆的切线方程后，从特殊的例子入手，为推导一般的圆的切线方程打下知识和方法的铺垫，体现了“从特殊到一般”的思想。
《圆的标准方程》教学设计
《圆的标准方程》教学设计摘要：本文从教学分析、教学设计、教学过程、教学评价与反思四大模块进行设计。
在教学设计中利用中国大学MooC、微课、职教云课堂等信息化教学手段，不仅让学生掌握圆的标准方程的形式特点，还使学生逐步体会探究新知的方法，培养学生应用新知识解决实际问题的能力。
真正做到了坚持以学生为本，让学生在做中学；让学生体验生活中和发现专业中的数学知识，激发了学生的数学学习兴趣，促进了学生的可持续发展。
关键词：圆、标准方程、教学设计一、教学分析。
1、教学内容分析（1）教材版本：高等教育出版社《数学》基础模块下册第三版李广全、李尚志主编。
（2）在教材中的地位与作用：这节内容教材安排在直线之后，圆的一般方程之前，旨在为后续学习奠定基础。
同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，为这类问题的解决提供了基本的思想方法。
2、学情分析（1）教学对象：18 级学前教育技能高考班。
（2）数学基础薄弱，厌烦枯燥的文字说教。
（3）简笔画功底不错而且善于发现问题。
（4）表现积极活跃；希望被注意、被重视。
3、教学目标：知识目标：（1）会推导圆的标准方程；（2）掌握圆的标准方程的形式特点；（3）由圆的标准方程写出圆的圆心和半径坐标；技能目标：（1）提高学生观察、归纳总结的能力；（2）体会数形结合的思想；素养目标：（1）培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（2）从生活中圆的图形美和圆与专业间的联系，进一步激发学生学习数学的热情和兴趣；4、教学重难点教学重点：圆的标准方程的结构特征的正确认识。
教学难点：在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。
教学关键点：掌握圆的标准方程的形式特点。
二、教学设计三、教学实施过程四、教学评价与反思教学评价对数学的教与学有较强的导向作用。
其目的不仅是为了考察教学结果的完成情况，更重要的是可以及时向教师和学生提供反馈信息，从而能更有效地改进和完善教师的教学与学生的学习活动，激发学生的学习兴趣，促进学生的可持续发展。
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人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程
1 教学目标
（1）知识与技能
在平面直角坐标系中探索圆的方程，掌握圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系，能根据条件求圆的标准方程。
（2）过程与方法
通过设置问题情境，让学生经历从几何到代数，从代数到几何解决问题的过程，强调图形在解决问题中的辅助作用，提高学生分析问题，解决问题的能力。
（3）情感态度价值观
通过对问题的探索，培养学生良好的学习习惯，增强学生主动探究知识、合作交流的意识，使学生获得成功的体验，增强数学学习的兴趣和信心。
2 教学重点
推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程
3 教学难点
圆的标准方程的应用，根据不同的条件求圆的标准方程。
4 教材分析
本章在前一章的基础之上，在直角坐标系中建立圆的方程，其本质是用代数的方法研究图形，体现数形结合的重要思想方法，为日后进一步学习圆锥曲线，导数等奠定基础。
因此，本章第一节的内容设计紧扣数与形的结合，强调图形在分析问题中的辅助作用，同时也要学会将几何问题代数化，用代数处理几何问题。
5 学情分析
学生已经学习了直线与方程，知道了在平面直角坐标系中直线可以用方程表示，并通过方程研究直线，为本节课做了准备，提供了基础，本节内容仅仅是这个过程的一个延续。
本教学设计适合中等水平的学生学习。
6 教学方法与辅助手段
（1）以问题为载体，以任务为驱动式教学，突出类比学习，数形结合思想解决问题的思维过程
（2）多媒体课件和几何画板软件辅助教学
7 教学过程
7.1 问题情境引入
我们知道，在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素-----直线上的一点和直线的倾斜角，其代数含义是这个点的坐标以及这条直线的斜率，进而建立了直线的代数方程，通过方程研究直线，用代数的知识和方法去解决直线的问题。
类似地，我们可不可以用同样的方法建立圆的方程呢？回顾圆的定义，提出具体探究任务。
【运用几何画板，让学生形象感知圆的轨迹的形成过程，再次强化圆的几何特征，为建立圆的代数方程指明方向】
7.2 学习任务一：探索圆的标准方程
问题情境1 在平面直角坐标系中，已知圆心C(a，b),半径等于r,试写出圆的方程
学生活动：给予充分时间让学生尝试建立圆的方程，先独立思考完成，然后小组内交流
结果，预设解法是利用两点间距离公式，有可能直接带着根号，有可能会两边平方进行整理，最后教师将学生解决问题的情况在展示台上展示反馈。
知识建构：几何 代数 几何
得到圆的方程
222（x-a ）（y-b ）r +=，若点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M 与圆心的距离是 r ，即点M 在圆心为C (a, b)，半径为r 的圆上。
我们把这个方程称为圆心为C(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
7.3 评测练习一
练习1.说出下列圆的圆心及半径，并画出它们的图形
(1) 22x y
4+= (2) 22(x+1)y 1+=
练习2.写出下列圆的方程
(1)圆心在原点，半径为3;
(2)圆心在(-3，4),；
(3)圆心在（-1，2），与x 轴相切.
学生活动：
（1）练习1个别提问交流，几何画板作图，突出方程所反映的图形特征
（2）练习2先由学生独立完成，预设第（3）小问学生会问难，由小组内交流讨论，最后教师在展示台展示学生的解决方案，突出学生从几何特征发现代数特点的思维过程的展示和交流，如与x 轴相切的圆，半径长有什么特点等。
【运用几何画板画出每一方程所对应的圆，充分经历从几何到代数，从代数到几何的研究思路】
建立圆的方程是最基本的代数化，随着学习的深入，我们还要将圆的各种特征进行代数化，比如点与圆的位置关系等。
7.4 学习任务二：判断点与圆的位置关系，
问题情境3：得到圆的标准方程之后，我们会利用圆的方程解决更多关于圆的问题，我们先以点与圆的位置关系为出发点，继续思考：
比如：如何判断下列各点和圆
22
（x-2）（y+3）25+=的位置关系. 123(4,5),(6,1),(2,2)M M M -
学生活动：独立完成然后个别提问交流
预设解法一：根据方程得出圆心坐标，由两点间距离公式求出各点与圆心的距离再和半径做比较
预设解法二：直接将点的坐标代入方程，与半径的平方25做比较
【运用几何画板演示动态的变化过程，重在利用代数结果解释几何关系，这也是学生思维比较薄弱的地方，强化从代数结果中分析几何的特征和性质的意识和能力】
知识建构：代数 几何
222（x-a ）（y-b ）r += 点在圆上 222（x-a ）（y-b ）r +> 点在圆外
222（x-a ）（y-b ）r +< 点在圆内
7.5 学习任务三：圆的标准方程的应用—求三角形ABC 的外接圆的方程
问题情境4：△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程.
我们刚建立了圆的标准方程，回过头来看，我们要求解△ABC 的外接圆方程，需要解决什么问题？
学生活动：充分发现学生在解决问题中的闪光点，进行交流，必要时要利用几何画板作图，展示台展示等。
预设解法一：代数方法确定a,b,r ，难点在于解方程组，如何优化解法顺利求解
预设解法二：我们解决几何问题，要分析几何对象的几何特征，分析三角形的外接圆圆心具有什么特征，进而确定圆心位置，然后利用距离公式求出半径大小。
代数 几何
【运用几何画板作图，一方面强调图形在分析问题中的辅助作用，另一方面加强数形结合，充分挖掘几何图形的特征，使其代数化顺利进行】
7.6 评测练习二
练习3.已知两点12(4,9),(6,3)P P ，以线段12P P 为直径的圆的方程是 ，
并判断点(6,9),(3,3),(5,3)M N Q 中，点 在圆上，点 圆内，点 在圆外；
练习4.已知AOB ∆的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0)，则AOB ∆外接圆的方程是 .
学生活动：课堂内独立完成测评，预设到各种层次的学生的学习，在既定时间内估计大多数能完成练习3，小部分能完成练习4。
7.7 小结
(1)牢记: 圆的标准方程
222
（x-a ）（y-b ）r += 点与圆的位置关系
(2)明确：代数角度------三个条件a 、b 、r 确定一个圆
几何角度------ 圆心位置和半径确定一个圆
(3)方法：①代数法（解方程组）
②数形结合法
7.8 板书设计
主干知识板块
课题：4.1.1 圆的标准方程
（1） 基本思路 （3） 点与圆的位置关系
圆心、半径 （形） 圆（形） （4） 圆的标准方程的应用 求三角形外接圆的方程 222
（x-a ）（y-b ）r +=
（a,b ） r （数） 圆的方程 a,b,r
（2）圆的标准方程
222
（x-a ）（y-b ）r += 联立三个方程
A,B,C 三个点在圆上
8 教学反思
（1）以问题为载体，以解决问题为驱动，对培养学生的学习能力有很大的帮助，而且能让学生之间的思维产生碰撞，相互学习，相互促进。
（2）与传统的教学相比，现在的教学变得更加多元化，而现代教育技术早已经融入教学中。
除了熟练掌握技术手段之外，还必须深刻理解和体会教育的本质，充分挖掘教材，找准信息技术与数学结合的契机，选择适当的切入点，才能实现现代教育技术下的优质课堂。
本节课是第一次正式研究曲线方程，利用几何画板，实现数与形的交互，在思维碰撞处，真正把数与形结合的思想落到实处，在强调图形在解决问题中的辅助作用的同时，也增强了教学效果。