同济大学流体力学期末复习资料
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同济大学 土木工程学院 2013 流体力学复习资料
1150899 Rick Chan
J=
hf l
：水力坡度，单位长度的沿程水头损失。
该公式对层流和紊流均适用。 4.3.2、圆管过流断面上切向应力分布：
τ= r τ 0 ，圆管均匀流过流断面上的切应力与半径成线性关系。 r0
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1150899 Rick Chan
⎧ ∑ F x = ρ Q ( β 2 v 2 x − β 1 v1 x ) ⎪ ⎪ 分量形式： ⎨ ∑ F y = ρ Q ( β 2 v 2 y − β1 v1 y ) ⎪ ⎪ ⎩ ∑ F z = ρ Q ( β 2 v 2 z − β 1 v1 z )
方程中的外力包括：（ 1）控制体的体积力。若不计重力，则忽略。 （ 2）控制体的表面力。表面压强产生的作用力，通常取相对压强。 � � � � 分流情况： ∑ F = ρ (β2 Q2 v2 + β3 Q3 v3 − β1Q1 v1 )
四、流动阻力和水头损失
4.1、流动阻力和水头损失的分类及计算 （ 1）沿程阻力：边界无变化的均匀流六流段上，产生的流动阻力。造成的能量损失称为 沿程阻力损失或水头损失，均匀分布，与管长成正比，表示为 h f 。 局部阻力：发生在流动边界有急变的流域中，能量损失主要集中在该流域及其附 近。它造成的损失称为局部水头损失，通常发生在管道进出口、变截面 管道、管道连接处等部位，表示为 h j 。 管道的水头损失等于各段的沿程损失和各处的局部损失的总和： hw = ∑ h f +∑ h j 。 （ 2）计算公式： 沿程损失：
du du 或 τ = µ 。 µ 称为流体动力粘性系数。 dy dy
（与速度梯度成正比；与接触面积成正比；与流体性质有关；与压力无关。） µ 运动粘性系数： υ = 。 ρ 粘性随温度的变化： （1）液体：温度↑，分子间距↑，分子吸引力↓，内摩擦力↓，粘性↓； （2）气体：温度↑，分子热运动↑，分子碰撞↑，粘性↑。 1.3.3、压缩性与膨胀性 压缩性：流体在压力作用下，改变自身体积的特性。 dv / V 压缩系数 β = − ，单位是压强的倒数。 dp 膨胀性：由于温度的变化，流体改变自身体积的特性。
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流体力学
一、绪论
1.1、流体力学的任务和发展简史： 研究对象：水和空气。 理论基础：牛顿运动定律、质量守恒定律。 流体力学的任务：（1）研究流体宏观机械运动的基本规律； （2）研究产生上述宏观机械运动的原因； （3）研究流体和股体间、流体与流体间的相互作用。 1.2、连续介质假设和流力的研究方法： 连续介质：把流体视为无数质点组成的、没有空隙的连续体，并认为流体的各物理量的变 化随时间和空间也是连续的。 研究方法：（1）理论分析方法；（2）数值计算方法；（3）实验方法。 1.3、流体的主要物理性质： 1.3.1、惯性 m 密度： ρ = 。（水 1000；空气 1.23；水银 13600。） V 重度： γ = ρ g 。 1.3.2、粘性 概念：流体微团间发生相对滑移时产生切向阻力的性质。 牛顿内摩擦定律： T = µ A
二、流体静力学
2.1、静止流体中压强的特性 （ 1）静止流体中表面力只为内法向应力； （ 2）流体静压强的大小与作用面的方向无关。 2.2、流体静力学基本微分方程 ⎧ 1 ∂p ⎪ X − ρ ∂x = 0 ⎪ ⎪ 1 ∂p Y− =0 静止流体平衡微分方程： ⎨ ρ ∂ y ⎪ ⎪ 1 ∂p =0 ⎪Z − ρ ∂z ⎩ 微分方程的积分形式： P = ∫ ρ ( X d x + Y d y + Z d z ) 等压面：质量力垂直于等压面， F ⊥ dl 。 2.3、重力作用下精致流体中的压强分布规律 p p p 液体静力学基本方程： + z = c ，或 z1 + 1 = z2 + 2 ，或 p = p0 + γ h 。 γ γ γ 静止流体的几个性质： （ 1）压强和水深成线性关系； （ 2）任意两点的压差仅与阿门的垂直距离有关； （ 3）任意点压强的变化，将等值地传递到其他各点。 p 测压管水头：高度水头 z +压强水头 ，是单位重量流体具有的总势能。 γ 2.4、静止流体压强的表示方法 （ 1）绝对压强； （ 2）相对压强：以当地同高程的大气压强为起算点。 a.绝对压强 > 当地大气压强，用相对压强表示； b.绝对压强 < 当地大气压强，用差值的绝对值表示，称真空度。 压强的三种度量单位： （1）从压强的定义出发，即 N / m2 。 （2）转换为液体高度。 （3）大气压。工程大气压（ at）=千克力/平方厘米；物理大气压（ atm）=760mmHg。 2.5、静水压强的量测方法
三、流体动力学基础
3.1、描述流体运动的两种方法 3.1.1、拉格朗日法： 以质点为研究对象，优点是物理概念清晰，缺点是在数学上常常遇到很大的困难。 3.2.2、欧拉法： 以空间点为研究对象，研究不同时刻在某个空间点上流体物理量的变化。 � � � du ∂u � � a= = + (u ⋅ ∇)u ，加速度=当地（时变）加速度+迁移（位变）加速度。 dt ∂t 3.2、流体运动的基本概念 （ 1）恒定流：任意空间位置上运动参数或物理量都不随时间而变化，即对时间的偏导数 等于 0。在恒定流中，流速等运动参数仅是位置坐标的函数。 （ 2）流线：（欧拉法）曲线上每一点的切线方向是该点的流速方向。 迹线：（拉格朗日法）由一个质点随时间推移在空间所勾画的曲线。 （ 3）流管、流束：任取一封闭曲线，通过曲线上的每一点做流线，构成的封闭管状曲面 称为流管。充满流体的流管称为流束。 过流断面：在流束上作与流线正交的横断面称为过流断面。一般不是平面。 元流：当流束的过流断面为微元时，该流束称为元流。
yD = yc + Ic yc A
由于 I c > 0 ，所以 yD ≥ yc ，即作用点位置在平板形心点的下方。 基本形状的 I c ：（ 1）矩形， I c =
bh 3 πd4 ；（ 2）圆形， I c = 。 12 64
2.6.2、图解法： 原理：压强沿水深是线性变化的，方向是垂直平板的。 （1）先绘制压强分布图； （2）作用力的大小等于压强分布图的面积乘以受压面的宽度，即压强分布的体积； （3）作用点的位置相当于压强分布图的形心点位置。 2.7、作用在曲面上的静水总压力 （ 1）水平方向： F = Px = pc A ； （ 2）垂直方向： Pz = G = γ V ； （ 3）合力： P = Px 2 + Pz 2 。 压力体：实压力体；虚压力体；混合压力体。
15 ( mm) r
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（2）水银 20 � C 时在管中的下降高度为： h =
5.07 ( mm) r
1.4、作用在液体上的力 表面力：通过直接接触，施加在接触面上的力，与接触面积成正比。单位 Pa 。 质量力：作用在隔离体内每个流体质点上的力，与隔离体的质量成正比。单位 m/s2 。 1.5、力学模型 （ 1）无粘性流体（理想流体）； （ 2）不可压缩流体； （ 3）牛顿流体和非牛顿流体。
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总流：由无数元流组成的流束。 （ 4）流量： Qm = ρQ ； 平均流速： v =
Q 。 A
（ 5）均匀流：在任何时刻，流体质点的流速不随空间位置的变化而变化。在均匀流场 中，流线保持平行，不存在迁移加速度。 3.3、恒定总流的连续性方程 Q = v1 A1 = v2 A2 = c ，平均流速与过流断面面积成反比。 分流时， v1 A1 = v2 A2 + v3 A3 ；合流时， v1 A1 + v2 A2 = v3 A3 。 3.4、恒定元流的能量方程
物理意义和几何意义： z ：位能、位置高度或位置水头； p ：压能、压强水头； γ p z + ：平均势能、测压管水头，对于指定的渐变流断面，值不变； γ
α u2 ：平均动能，平均流速水头； 2g
hω ：平均的能量损失，水头损失。 3.7、恒定总流能量方程的应用 以总能量的概念建立总流存在分流的能量方程： ⎛ ⎛ ⎛ p3 u3 2 p1 u1 2 ⎞ p2 u2 2 ⎞ z + + α γ Q = z + + α γ Q + z + + α ⎜ 1 ⎟ 1 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ 3 1 2 3 γ 2g ⎠ γ 2g ⎠ γ 2g ⎝ ⎝ ⎝
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测压管：确定被测点的相对压强。 U 型测压管： pA = ∆hp γ p − γ h 。当被测点的压强为真空状态时， pA = ∆hp γ p + γ h 。 压差计： ∆ p = p A − p B = (γ p − γ ) ∆h p + γ ∆z 。 ▲2.6、作用在平面上的静水总压力 2.6.1、解析法： 合力的方向：垂直于平板； 合力的大小： P = pc A ； 合力作用点：用一个集中压力还代替分布压力系。
hf = λ l v2 d 2 g ， λ 沿程阻力系数（无量纲）， d 管宽或内径。
局部损失： h j = ξ
v2 ， ξ 为局部损失系数。 2g
4.2、雷诺试验 4.2.1、两种流态： （1）层流：当阀门 B 慢慢打开，并打开颜色水阀门，此时管中流速较小，可以看到玻 璃管中有一条线状的颜色水，它与水流不相混合。这表明水流的方向沿着管 道的轴线，流体质点保持直线运动，水流层与层之间没有宏观的干扰。 （2）紊流：当阀门 B 逐渐开大，管中流速增大，当达到了某一数值时，颜色水由直线 的运动轨迹开始波动，线条逐渐变粗，继续增加流速，则颜色水迅速与周围 的清水相混合。这表明流体质点的运动轨迹极不规则，各层流体相互剧烈混 合，产生随机的脉动。 （3）下临界速度：由紊流转变为层流的流速 vc 。 4.2.2、临界雷诺系数： vdρ vd 雷诺数 Re = = µ υ v d 临界雷诺系数 Re cr = cr ，一般取值为 2300。小于它为层流，大于它为紊流。 υ 4.3、均匀流基本方程 4.3.1、均匀流基本方程： h τ χl τ l h f = 0 = 0 ，或者 τ 0 = ρ gR f = ρ gRJ l ρ gA ρ gR A 其中， R = ：水力半径，过流断面面积与湿周的比值； χ
1 dv ，单位是温度的倒数。 V dT p 气体的压缩性和膨胀性：服从气体状态方程 = RT 。 ρ （ R 气体常数，对于空气，值为 287 J / ( kg iK ) ）
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膨胀系数 α =
1.3.4、表面张力 由于分子间的吸引力，在液体的自由表面上能够承受的极其微小的张力。 毛细管现象：（1）水在 20 � C 时在管中的上升高度为： h =
⎞ ⎟ γ Q3 + hω1− 2 γ Q2 + hω1 −3γ Q3 ⎠
3.8、总水头线和测压管水头线 总水头：过流断面上单位重量的三个能量之和，用 H 表示。每个过流断面的总水头是上 游断面总水头减去两断面之间的水头损失： H 2 = H1 − hl1−2 。 测压管水头：同一断面，总水头减去流速水头。 ▲3.9、恒定总流的动量方程 控制体：两个断面及总流的侧表面所围成的空间为控制体。 � � � 矢量形式： ∑ F = ρ Q ( β 2 v2 − β1v1 )
z1 + p1 u12 p u2 + = z2 + 2 + 2 γ 2g γ 2g
pa − pb = 2 ghv γ 误差来源：（1）或多或少改变流场；（ 2） a 和 b 的高度之差；（ 3）由于粘性的 影响，造成速度之差。 3.6、恒定总流的能量方程
应用：毕托管。 u = 2 g
z1 + p1 u2 p u2 + α1 1 = z 2 + 2 + α 2 2 + hω ，其中 p , z 必须取同一点的值。 γ 2g γ 2g
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J=
hf l
：水力坡度，单位长度的沿程水头损失。
该公式对层流和紊流均适用。 4.3.2、圆管过流断面上切向应力分布：
τ= r τ 0 ，圆管均匀流过流断面上的切应力与半径成线性关系。 r0
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⎧ ∑ F x = ρ Q ( β 2 v 2 x − β 1 v1 x ) ⎪ ⎪ 分量形式： ⎨ ∑ F y = ρ Q ( β 2 v 2 y − β1 v1 y ) ⎪ ⎪ ⎩ ∑ F z = ρ Q ( β 2 v 2 z − β 1 v1 z )
方程中的外力包括：（ 1）控制体的体积力。若不计重力，则忽略。 （ 2）控制体的表面力。表面压强产生的作用力，通常取相对压强。 � � � � 分流情况： ∑ F = ρ (β2 Q2 v2 + β3 Q3 v3 − β1Q1 v1 )
四、流动阻力和水头损失
4.1、流动阻力和水头损失的分类及计算 （ 1）沿程阻力：边界无变化的均匀流六流段上，产生的流动阻力。造成的能量损失称为 沿程阻力损失或水头损失，均匀分布，与管长成正比，表示为 h f 。 局部阻力：发生在流动边界有急变的流域中，能量损失主要集中在该流域及其附 近。它造成的损失称为局部水头损失，通常发生在管道进出口、变截面 管道、管道连接处等部位，表示为 h j 。 管道的水头损失等于各段的沿程损失和各处的局部损失的总和： hw = ∑ h f +∑ h j 。 （ 2）计算公式： 沿程损失：
du du 或 τ = µ 。 µ 称为流体动力粘性系数。 dy dy
（与速度梯度成正比；与接触面积成正比；与流体性质有关；与压力无关。） µ 运动粘性系数： υ = 。 ρ 粘性随温度的变化： （1）液体：温度↑，分子间距↑，分子吸引力↓，内摩擦力↓，粘性↓； （2）气体：温度↑，分子热运动↑，分子碰撞↑，粘性↑。 1.3.3、压缩性与膨胀性 压缩性：流体在压力作用下，改变自身体积的特性。 dv / V 压缩系数 β = − ，单位是压强的倒数。 dp 膨胀性：由于温度的变化，流体改变自身体积的特性。
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流体力学
一、绪论
1.1、流体力学的任务和发展简史： 研究对象：水和空气。 理论基础：牛顿运动定律、质量守恒定律。 流体力学的任务：（1）研究流体宏观机械运动的基本规律； （2）研究产生上述宏观机械运动的原因； （3）研究流体和股体间、流体与流体间的相互作用。 1.2、连续介质假设和流力的研究方法： 连续介质：把流体视为无数质点组成的、没有空隙的连续体，并认为流体的各物理量的变 化随时间和空间也是连续的。 研究方法：（1）理论分析方法；（2）数值计算方法；（3）实验方法。 1.3、流体的主要物理性质： 1.3.1、惯性 m 密度： ρ = 。（水 1000；空气 1.23；水银 13600。） V 重度： γ = ρ g 。 1.3.2、粘性 概念：流体微团间发生相对滑移时产生切向阻力的性质。 牛顿内摩擦定律： T = µ A
二、流体静力学
2.1、静止流体中压强的特性 （ 1）静止流体中表面力只为内法向应力； （ 2）流体静压强的大小与作用面的方向无关。 2.2、流体静力学基本微分方程 ⎧ 1 ∂p ⎪ X − ρ ∂x = 0 ⎪ ⎪ 1 ∂p Y− =0 静止流体平衡微分方程： ⎨ ρ ∂ y ⎪ ⎪ 1 ∂p =0 ⎪Z − ρ ∂z ⎩ 微分方程的积分形式： P = ∫ ρ ( X d x + Y d y + Z d z ) 等压面：质量力垂直于等压面， F ⊥ dl 。 2.3、重力作用下精致流体中的压强分布规律 p p p 液体静力学基本方程： + z = c ，或 z1 + 1 = z2 + 2 ，或 p = p0 + γ h 。 γ γ γ 静止流体的几个性质： （ 1）压强和水深成线性关系； （ 2）任意两点的压差仅与阿门的垂直距离有关； （ 3）任意点压强的变化，将等值地传递到其他各点。 p 测压管水头：高度水头 z +压强水头 ，是单位重量流体具有的总势能。 γ 2.4、静止流体压强的表示方法 （ 1）绝对压强； （ 2）相对压强：以当地同高程的大气压强为起算点。 a.绝对压强 > 当地大气压强，用相对压强表示； b.绝对压强 < 当地大气压强，用差值的绝对值表示，称真空度。 压强的三种度量单位： （1）从压强的定义出发，即 N / m2 。 （2）转换为液体高度。 （3）大气压。工程大气压（ at）=千克力/平方厘米；物理大气压（ atm）=760mmHg。 2.5、静水压强的量测方法
三、流体动力学基础
3.1、描述流体运动的两种方法 3.1.1、拉格朗日法： 以质点为研究对象，优点是物理概念清晰，缺点是在数学上常常遇到很大的困难。 3.2.2、欧拉法： 以空间点为研究对象，研究不同时刻在某个空间点上流体物理量的变化。 � � � du ∂u � � a= = + (u ⋅ ∇)u ，加速度=当地（时变）加速度+迁移（位变）加速度。 dt ∂t 3.2、流体运动的基本概念 （ 1）恒定流：任意空间位置上运动参数或物理量都不随时间而变化，即对时间的偏导数 等于 0。在恒定流中，流速等运动参数仅是位置坐标的函数。 （ 2）流线：（欧拉法）曲线上每一点的切线方向是该点的流速方向。 迹线：（拉格朗日法）由一个质点随时间推移在空间所勾画的曲线。 （ 3）流管、流束：任取一封闭曲线，通过曲线上的每一点做流线，构成的封闭管状曲面 称为流管。充满流体的流管称为流束。 过流断面：在流束上作与流线正交的横断面称为过流断面。一般不是平面。 元流：当流束的过流断面为微元时，该流束称为元流。
yD = yc + Ic yc A
由于 I c > 0 ，所以 yD ≥ yc ，即作用点位置在平板形心点的下方。 基本形状的 I c ：（ 1）矩形， I c =
bh 3 πd4 ；（ 2）圆形， I c = 。 12 64
2.6.2、图解法： 原理：压强沿水深是线性变化的，方向是垂直平板的。 （1）先绘制压强分布图； （2）作用力的大小等于压强分布图的面积乘以受压面的宽度，即压强分布的体积； （3）作用点的位置相当于压强分布图的形心点位置。 2.7、作用在曲面上的静水总压力 （ 1）水平方向： F = Px = pc A ； （ 2）垂直方向： Pz = G = γ V ； （ 3）合力： P = Px 2 + Pz 2 。 压力体：实压力体；虚压力体；混合压力体。
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（2）水银 20 � C 时在管中的下降高度为： h =
5.07 ( mm) r
1.4、作用在液体上的力 表面力：通过直接接触，施加在接触面上的力，与接触面积成正比。单位 Pa 。 质量力：作用在隔离体内每个流体质点上的力，与隔离体的质量成正比。单位 m/s2 。 1.5、力学模型 （ 1）无粘性流体（理想流体）； （ 2）不可压缩流体； （ 3）牛顿流体和非牛顿流体。
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总流：由无数元流组成的流束。 （ 4）流量： Qm = ρQ ； 平均流速： v =
Q 。 A
（ 5）均匀流：在任何时刻，流体质点的流速不随空间位置的变化而变化。在均匀流场 中，流线保持平行，不存在迁移加速度。 3.3、恒定总流的连续性方程 Q = v1 A1 = v2 A2 = c ，平均流速与过流断面面积成反比。 分流时， v1 A1 = v2 A2 + v3 A3 ；合流时， v1 A1 + v2 A2 = v3 A3 。 3.4、恒定元流的能量方程
物理意义和几何意义： z ：位能、位置高度或位置水头； p ：压能、压强水头； γ p z + ：平均势能、测压管水头，对于指定的渐变流断面，值不变； γ
α u2 ：平均动能，平均流速水头； 2g
hω ：平均的能量损失，水头损失。 3.7、恒定总流能量方程的应用 以总能量的概念建立总流存在分流的能量方程： ⎛ ⎛ ⎛ p3 u3 2 p1 u1 2 ⎞ p2 u2 2 ⎞ z + + α γ Q = z + + α γ Q + z + + α ⎜ 1 ⎟ 1 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ 3 1 2 3 γ 2g ⎠ γ 2g ⎠ γ 2g ⎝ ⎝ ⎝
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测压管：确定被测点的相对压强。 U 型测压管： pA = ∆hp γ p − γ h 。当被测点的压强为真空状态时， pA = ∆hp γ p + γ h 。 压差计： ∆ p = p A − p B = (γ p − γ ) ∆h p + γ ∆z 。 ▲2.6、作用在平面上的静水总压力 2.6.1、解析法： 合力的方向：垂直于平板； 合力的大小： P = pc A ； 合力作用点：用一个集中压力还代替分布压力系。
hf = λ l v2 d 2 g ， λ 沿程阻力系数（无量纲）， d 管宽或内径。
局部损失： h j = ξ
v2 ， ξ 为局部损失系数。 2g
4.2、雷诺试验 4.2.1、两种流态： （1）层流：当阀门 B 慢慢打开，并打开颜色水阀门，此时管中流速较小，可以看到玻 璃管中有一条线状的颜色水，它与水流不相混合。这表明水流的方向沿着管 道的轴线，流体质点保持直线运动，水流层与层之间没有宏观的干扰。 （2）紊流：当阀门 B 逐渐开大，管中流速增大，当达到了某一数值时，颜色水由直线 的运动轨迹开始波动，线条逐渐变粗，继续增加流速，则颜色水迅速与周围 的清水相混合。这表明流体质点的运动轨迹极不规则，各层流体相互剧烈混 合，产生随机的脉动。 （3）下临界速度：由紊流转变为层流的流速 vc 。 4.2.2、临界雷诺系数： vdρ vd 雷诺数 Re = = µ υ v d 临界雷诺系数 Re cr = cr ，一般取值为 2300。小于它为层流，大于它为紊流。 υ 4.3、均匀流基本方程 4.3.1、均匀流基本方程： h τ χl τ l h f = 0 = 0 ，或者 τ 0 = ρ gR f = ρ gRJ l ρ gA ρ gR A 其中， R = ：水力半径，过流断面面积与湿周的比值； χ
1 dv ，单位是温度的倒数。 V dT p 气体的压缩性和膨胀性：服从气体状态方程 = RT 。 ρ （ R 气体常数，对于空气，值为 287 J / ( kg iK ) ）
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膨胀系数 α =
1.3.4、表面张力 由于分子间的吸引力，在液体的自由表面上能够承受的极其微小的张力。 毛细管现象：（1）水在 20 � C 时在管中的上升高度为： h =
⎞ ⎟ γ Q3 + hω1− 2 γ Q2 + hω1 −3γ Q3 ⎠
3.8、总水头线和测压管水头线 总水头：过流断面上单位重量的三个能量之和，用 H 表示。每个过流断面的总水头是上 游断面总水头减去两断面之间的水头损失： H 2 = H1 − hl1−2 。 测压管水头：同一断面，总水头减去流速水头。 ▲3.9、恒定总流的动量方程 控制体：两个断面及总流的侧表面所围成的空间为控制体。 � � � 矢量形式： ∑ F = ρ Q ( β 2 v2 − β1v1 )
z1 + p1 u12 p u2 + = z2 + 2 + 2 γ 2g γ 2g
pa − pb = 2 ghv γ 误差来源：（1）或多或少改变流场；（ 2） a 和 b 的高度之差；（ 3）由于粘性的 影响，造成速度之差。 3.6、恒定总流的能量方程
应用：毕托管。 u = 2 g
z1 + p1 u2 p u2 + α1 1 = z 2 + 2 + α 2 2 + hω ，其中 p , z 必须取同一点的值。 γ 2g γ 2g