一次函数和二次函数-课件

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课前自修
知识梳理
一、一次函数及其性质 函数y＝ax＋b(a≠0)叫做一次函数．当____a_>_0__时，该函数 在R上是增函数；当_____a_<_0_时，该函数在R上是减函数．由于 一次函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、最小值一定在 端点取得． 若函数f(x)＝ax＋b在x∈[p，q]时恒为正(负)，则在p，q处 的函数值满足___f_f((_pq_))_00_((_00_)),______． 若函数f(x)＝ax＋b在x∈[p，q]上与x轴有交点，则在p，q 处的函数值满足_f_(_p_)f_(_q_)≤_0____．
函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[α，β]上的最值一般分为三种情况讨
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函数、导数及其应用
一次函数和二次函数
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考纲要求
1．熟练掌握二次函数的图象，并能求给出了某些条件的 二次函数的解析式．
2．掌握二次函数的单调性，会求二次函数的单调区间． 3．会求二次函数的最值． 4．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2
答案：A
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2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则f(x)在区间
(－∞，0]上是
()
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．以上答案都不对
解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以mm－ 2－11≠＝00，， 得 m＝
－1，所以 f(x)＝－2x2＋1，根据图象判断，选项 D 正确.
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根的分布
x1<x2<k
k<x1<x2
图象
x1<k<x2
等价条件
f－ Δ>k20b>a0<，k，
f－ Δ>k20b>a0>，k，
f(k)<0
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根的 分布
x1，x2∈(k1， k2)
k1<x1<k2<x2< k3
在(k1，k2)内有且仅有一个根
2
∴f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上所述，
f(x)max＝tt22＋－22，t＋t>3，12，t≤21，
t2＋2，t≤0， f(x)min＝2，0<t<1，
t2－2t＋3，t≥1.
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点评：讨论二次函数的区间最值问题：(1)注意对称轴与区
间的相对位置；(2)注意相应抛物线的开口方向．具体地说，二次
__f___(22_b)a_若_．p＋2 q
≤
－
b 2a
<q
，
则
该
函
数
的
最
大
值
为
___f_(p_)___
，
最
小
值
为
(3)若 p≤
__f___2_ba__．
－
b 2a<
p＋2 q，
则
该
函
数
的
最大
值
为
___f_(_q_)__
，
最
小值
为
(4)若 p>－2ba，则该函数的最大值为___f_(q_)___，最小值为__f_(p__)___．
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3．一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质： (1)定义域为R.当a>0时，值域为__[_4_a_c4－_a_b_2_，_＋ __∞__)__；当a<0 时，值域为__(－ __∞__，__4_a_c4_－a__b2_]___． (2)图象是抛物线，其对称轴方程为__x_＝__－__2_ba___；顶点坐 标是___(－ __2_ba_，_4_a_c4_－a_b_2_) ___；
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基础自测
1．已知函数y＝x2－4ax(1≤x≤3)是单调递增函数，则实数a的取值
范围是
A．(－∞，12] C．[12，32]
()
B．(－∞，1] D．[32，＋∞)
解析：对称轴为x＝2a，依题意，对称轴应在区间[1,3]的左侧 (包括左端点)．故2a≤1，得a≤ .1故选A.
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考点二 二次函数的单调性与对称性
【例2】 函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增
函数，则m的取值范围是 ( )
A．[－8，＋∞)
B．[8，＋∞)
C．(－∞，－8]
D．(－∞，8]
(2)(2012·湛江二中月考)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m
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(3)当t<1<t＋1，即0<t<1时，f(x)在区间[t,1]上是减函数，在
区间[1，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋3＝2， (i)当1－t≥t＋1－1，即0<t≤ 时1 ，f(t)≥f(t＋1)，
2
∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， (ii)当1－t<t＋1－1，即 1 <t<1时，f(t)<f(t＋1)，
答案：74，5
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考点探究
考点一 求二次函数的解析式
【例1】 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝－ 2，截x轴上 的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数f(x)的解析式．
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解析：∵二次函数的对称轴为 x＝－ 2， 可设所求函数为 f(x)＝a(x＋ 2)2＋b(a≠0)， 又∵f(x)截 x 轴上的弦长为 4， ∴f(x)过点(－ 2＋2,0)和(－ 2－2,0)，f(x)又过点(0，－1)，
2
答案：(1)C (2)B
点评：二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质， 在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质．
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变式探究
2．(1)函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件是 ()
A．b≥0
B．b≤0
C．b>0
D．b<0
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，
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(法三)依题意知，f(x)＋1＝0的两根为 x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)·(x＋1)，即f(x)＝ax2－ ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8， 即 4a－2a－1－a2 ＝8，
4a
解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
＋1)的值
()
A．是正数
B．是负数
C．是非负数
D．与m有关
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解析：(1)函数的对称轴为x＝ m，且图象的开口向上，∴当
x∈
m 4
,
4
时，函数是增函数．若x∈[－2，＋∞)时，函数是增
函数，则 m ≤－2，得m≤－8.故选C.
4
(2)函数的对称轴为x＝ 1 ，∴f(m＋1)＝f(－m)<0.故选B.
那么
()
A．f(2)<f(1)<f(4)
B．f(1)<f(2)<f(4)
C．f(2)<f(4)<f(1)
D．f(4)<f(2)<f(1)
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解析：(1)∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈R)的对称轴x＝－ b ，
2
∴函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数⇔－ b ∉(0，＋
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二、二次函数定义及其性质 1．二次函数的定义：_____形__如__y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_，_ b， _c_为__常__数__且__a_≠_0_)_的__函__数__叫__一__元__二__次__函__数________. 2．二次函数的三种表示形式为： (1)一般式：____y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)______； (2)顶点式：___y_＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)______； (3)零点式：___y_＝__a_(x_－___x_1)_(_x_－__x_2)_(_a_≠_0_) ___.
解析：(法一)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 依题意有4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1， 解之，得ba＝＝4－，4，
c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
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(法二)设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线对称轴为 x＝2＋2－1＝12.∴m＝12. 又根据题意函数有最大值为 n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1. 解之，得 a＝－4. ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
(5)当___b_＝__0__时，该函数是偶函数；当___b_≠_0___时，该函 数是非奇非偶函数．
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4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在闭区间[p，q](p<q)上的最值 问题(以a>0的情形为例)．
(1)若 q≤－2ba，则该函数的最大值为___f_(p_)___，最小值为___f_(q_)___．
∴42aa＋＋bb＝＝－0，1.
解得a＝12， b＝－2.
∴f(x)＝12(x＋ 2)2－2.
点评：已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系 数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法 简捷．
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变式探究
1．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大 值是8，试确定此二次函数．
答案：D
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3．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为 R，则a的取值范围是( )
A．a＝－1或3
B．a＝－1
C．a＞3或a＜－1
D．－1＜a＜38
解析：依题意知函数f(x)为一次函数，所以a2－2a－3＝0，
解得a＝－1或a＝3.当a＝3时，f(x)＝1，值域不为R，故舍
∞)⇔－ b ≤0⇔b≥0.故选A.
2
2
(2)∵f(x)＝x2＋bx＋c，a＝1，∴抛物线开口向上．又f(2＋t)＝
f(2－t)，故x＝2是其对称轴，即当x＝2时，f(x)取最小值，且f(1)
＝f(3)．而当x≥2时，f(x)是增函数，∴f(2)<f(1)<f(4)．故选A.
答案：(1)A (2)A
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三、一元二次方程根的分布问题
研究一元二次方程的根的分布，一般情况下需要从以下三 个方面考虑：
(1)一元二次方程根的判别式； (2)相应二次函数区间端点函数值的符号； (3)相应二次函数图象——抛物线的对称轴x＝－ b 与端点
2a
的位置关系．
设x1，x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根， 则x1，x2分布范围与二次方程系数之间的关系见下表：
(3)当a>0时，开口向_上___；当a<0时，开口向__下__；
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(4)当a>0时，在区间__(－__2_ba_，__＋__∞__)_上是增函数；在区间 _(_－_∞__，__－__2b_a_) _上是减函数；
当a<0时，在区间__(－__∞__，__－_2_ba_)_上是增函数；在区间 _(_－__2b_a_，_＋__∞__)_上是减函数；
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考点三 求二次函数的最值值域
【例3】 求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[t，t＋1](t∈R) 上的最大值与最小值．
解析：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x-1)2＋2，∴其对称轴为x＝1. (1)当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在区间[t，t＋1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(t)＝t2－2t＋3， f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2. (2)当t≥1时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数， ∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋3， f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.
图象
等价 条件
fkf1(k>1)0f(，k2)<0 或 fk2>0， k1<－2ba<k2， Δ>0
Δfff＝kkk0123且><>000－， ，2ba∈(kf(或 或1k，1)fkff(2kkk)212)<＝ ＝000或， ，Δ＝kk110<＋2且－k2－2<ba－2<bak2∈1ba＋2<(kkk或 或122，kff2kk)12＝ ＝
去．故选B.
答案：B
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4．若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足
0<α<1<β<2，实数t的取值范围是______．
解析：令 f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4，
∵α，β 满足 0<α<1<β<2，
∴f0f1<0， f1f2<0.
∴74<t<5.