云南师范大学 《量子力学》期末B卷
量子力学试卷期末例题(第1-4章)
第一至四章 例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是 【】 A 、 戴维孙——革末实验 B 、 黑体辐射C 、 光电效应D 、 斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是 【】 A 、 单值、正交、连续 B 、 归一、正交、完全性C 、 连续、有限、完全性D 、 单值、连续、有限5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et irϕϕψ+-=,)exp()()exp()(22112t E ir t E i r ϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r -+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E ir -+-=ϕϕψ其中定态波函数是 【】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【】 A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a .7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]ˆ ,ˆ[x p x = 【】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是 【】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【 】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlm ψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【 】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ二、填空题1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子） 。
量子力学期末考试试卷及答案范文
量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。
二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。
综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。
针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。
谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。
四、计算题。
1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。
量子力学期末试题及答案
（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3
云南师范大学 《量子力学》期末试卷B及答案
4．一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的
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中央处。
（ （ （
） ） ）
� � � � 5． 不是所有角动量J都遵守形如J × J = iℏJ的关系。
6．对于一个厄米算符，涨落为零的态就是它的本征态。
7. 如果哈密顿量不显含时间， 则求任一时刻能量平均值时， 只需求 t=0 时刻的能 量平均值即为所求。 8. （ ）
1 2
φ1和φ2，相应的本征值为b1和b2。已知这两个本征函数 族之间的关系为
3 4 3 4i ⎧ ⎧ φ1 = ψ 1 + ψ 2 ψ 1 = φ1 + φ2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 5 5 5 与⎨ （两组式子均已归一化 ） ⎨ ⎪φ = 4 ψ − 3 ψ ⎪ψ = 4 φ − 3i φ 2 1 2 2 1 2 ⎪ ⎪ 5i 5i 5 5 ⎩ ⎩ ˆ 得a ，继续对测量后的系统 ˆ ，得到结 今有某态ψ，在该态下测量力学量 A 再测量力学量B 1 ˆ 。求最后测得结果不是 果后再对测量后的系统 再测量力学量A a 的几率。（ 10分）
ˆ ，本征函数族为 {ψ (0) }∞ ，对 5、在非简并微扰论中，体系的原 Hamilton 量为 H n n =0
(0) ∞ ˆ ′ 之后变为 H ˆ =H ˆ +H ˆ ′ ，则能 应本征值为 {En }n =0 。Hamilton 量在被施加微扰 H 0
量本征值的计算公式为 到二级近似） 。
1
1 2 2 4. 氢原子处于态ψ ( r ,θ , ϕ ) = R43Y31 + R41Y10 − R41Y1−1 中，问 3 3 3 （1）ψ ( r ,θ , ϕ ) 是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明 理由； （2 ）在ψ ( r ,θ , ϕ ) 中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多 少？（10 分）
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学期末考试试卷及答案集
1
s
[ (1) (2)
2
(2) (1)]
是什么性质： C
D. z 本征值为 1. 二 填空题（每题 4 分共 24 分）
En
1．如果已知氢原子的电子能量为
13.6 n 2 eV ，则电子由 n=5 跃迁到 n=4 能级时，发出的光子
二、（15 分）已知厄密算符 A?, B?，满足 A?2 B?2 1 ，且 A?B? B?A? 0 ，求
1、在 A 表象中算符 A? 、 B? 的矩阵表示；
2、在 A 表象中算符 B? 的本征值和本征函数；
3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。
三、（15 分）线性谐振子在 t 0 时处于状态
5 2 ， E3 3 2
92
( 0) 1
先求出 H?0 属于本征值 1、2 和 3 的本征函数分别为：
1
0
(0 ) 2
0，
0
1
(0) 3
0，
0 0 1，
(1) k
利 用波函数的一级修正公式
H ik
(0 )
E( 0)
ik
k
E (0) i
i
， 可求 出波函 数的 一级 修正为：
0
(1) 1
21
(1) 2
0，
2
0
0
(1) 3
3
1
3，
0
1
近似到一级的波函数为：
1
2
2
0，
2
0
1
33
3，
1
五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以 子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。
3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。
4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。
5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。
8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。
9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。
10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。
量子力学2012级量子力学期末试卷B
徐州工程学院试卷2014 — 2015 学年第 二 学期 课程名称 量子力学 试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟命 题 人 胡峰 2015 年5月11日 使用班级 12测试、12光伏教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号一、填空题（共10小题，每空2分，共计20分）1．德布罗意关系式为____________________________________________。
2．微观粒子体系的状态用_____________________________来进行描写。
3．微观粒子的波函数ψ满足的薛定谔方程是_______________________。
4．厄密算符的本征函数具有_________________________________________。
5．粒子的坐标和动量的测不准关系式是__________________________________。
6. 角动量Z 方向算符的本征值 。
7. ˆan += 。
8. 斯特恩－革拉赫实验和光谱的精细结构表明电子具有 属性。
9. 厄密算符在其自身表象中是一个 矩阵。
10. 氢原子的电离能为 。
二、判断题（共10小题，每题1.5分，共计15分）1．对于定态而言，几率密度ω不随时间变化。
( )2．若0]ˆ,ˆ[=G F ，则在其共同本征态上，力学量F 和G 必同时具有确定值。
( )3．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化：1|),(|2=ψ⎰∞τd t r 。
( )4．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。
( ) 5．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。
( )6、 在量子力学中，粒子在某一点的能量等于动能与势能之和。
（ ）7、若[A,B]=0,A 、B 均为算符，则A 的本征函数必定也是B 的本征函数。
( )8、[A,B]=0，[B,C]=0, A 、B 、C 均为算符，则[A,C]=0。
2017-2018学年《量子力学》期末考试 B卷
27、一维运动粒子的状态是
(
x)
Axex
,
0,
当x 0 当x 0
其中 0 ，求归一化常数。
28、已知某表象中 Hamilton 量的矩阵形式
1 c 0 H c 3 0
0 0 c 2 （1）设 c 1，应用微扰论求 H 本征值到二级近似； （2）求 H 的精确本征值。
题型 分值 得分
填空题 28
选择题 28
简答题 12
证明题 12
计算题 20
总分 100
得分 评阅人 一、填空题：（共 28 分，每空 2 分）
1、玻尔的三个基本假设分别是 定态假设 、 跃迁假设 和 角动量量子化假设 ，他
的假设解决了 氢原子光谱 问题。
2、 康普顿散射 实验证实了光具有粒子性，同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
H m n
E (0) n
E (0) m
1
E (0) n
E (0) m
。
7、不确定关系可以表述为 (Fˆ )2 (Δ Gˆ )2 k 2 ，它反映了微观粒子的波粒二象性。 4
8、塞曼效应分为 正常塞曼效应 和 反常塞曼效应 两类。
A. 电子具有波动性； C. 光具有粒子性；
B. 光具有波动性； D. 电子具有粒子性.
A
）
A. xˆ 和 pˆ x 都是厄米算符；
B. xˆpˆ x 一定是厄米算符；
D.
22n2
.
16 a 2
C. xˆpˆ x pˆ x xˆ 一定是厄米算符；
D. xˆpˆ x pˆ x xˆ 一定是厄米算符.
14、球谐函数Ylm ( , ) (1)m Nlm Plm (cos )eim （ C ）
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学试卷(2套)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2002级量子力学期末考试试题和答案A 卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x pi -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==BA，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2L ˆ和zL ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ˆ和zL ˆ的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H000000200030001ˆ这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae-⋅=ψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
量子力学期末考试试题整理
量子力学期末考试试题整理一、 填空1. 波尔磁子：2429.274102B e e A m m cμ-==⨯⋅2. 回转磁比率：2zZe e L m cμ=-3. 薛定谔方程表达式：22121(,,)2ni n i iiU r r r t t m ψψψ=∂=-∇+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∑ 4. 算符对易的定义:ˆˆˆˆˆˆ[,]A B ABBA =- 5. 在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换，粒子内部运动状态并无改变，则这种散射称为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变，则称为非弹性散射。
6. 散射粒子的方向与入射粒子的方向间的夹角，称为散射角。
7. 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的例子为全同粒子。
全通粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
8. 全同粒子的不可区分性：在两个波重叠在一起的区域，无法区分那个是第一个粒子的波，哪个是第二个例子的波。
也就是说，无法区分哪一个是第一个粒子，哪个是第二个粒子，因此，全同离子在量子力学中是不可区分的。
9. 自旋为2奇数倍的粒子称为费米子。
在量子力学中，由费米子组成的体系称为费米—狄拉克统计。
自旋为整数倍的粒子称为波色子。
在量子力学中，由波色子组成的体系称为波色—爱因斯坦统计。
10. 克莱因-戈尔登方程：22222221()0m c ctψψψ∂∇--=∂11. 狄拉克方程：2[]i H i c mc tψψαβψ∂==-⋅∇+∂12. 被填满的负态称为费米海。
如果空穴的能量为0p E +>，质量为0m +>，电荷为0e +>，这种空穴称为正电子。
13. 波函数的量子化称为二次量子化。
14. 概率流守恒定律：0J t ω∂+∇⋅=∂，概率流的定义：**()2i J mψψψψ=-∇-∇15. 光电效应的实验结果表明（1）存在临界频率0ν：当入射光的频率0νν<时，无论光强度多大，都无光电子逸出，只有在0νν≥时，即使光强度较弱，但只要光照到金属面上，几乎在910-s的极短时间内，就能观测到光电子。
量子力学期末考试习题
量子力学期末考试习题 Last updated on the afternoon of January 3, 20212014年量子力学期末考试习题（一）单项选择题 1. A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,32A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(一)单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是 A 0A 0A 0A 0能量为的自由中子的DeBroglie 波长是A 0A 0A 0A 0能量为，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A 0⨯1012-A 0⨯1012-A 0A 0温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A 0A 0A 0A 0用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω. C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A 0A 0A 0A 0钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为⨯1018-⨯1018-⨯1016-⨯1016-当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A. 2μc .B. 22μc .C. 222μc .D.22μc . 效应证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性. 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱U x x ax x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a=描写，其归一化常数C 为A.1a .B.2a .C.12a .D.4a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.ψ(,,)x y z dxdydz 2.B.ψ(,,)x y z dx 2.C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2. 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B.c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C.c c 112222ψψ++2*1212ψψc c . D.c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+.15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是 A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波. B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. ,B,C. 17.已知波函数 ψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp(), ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()exp()()exp() , ψ312=-+-u x i Et u x i Et ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数. C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是A.c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B.c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C.c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D.c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件: (1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数.(2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的.(4)方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5)方程中不能含有决定体系状态的具体参量.(6)方程中可以含有决定体系状态的能量.则方程应满足的条件是A.(1)、(3)和(6).B.(2)、(3)、(4)和(5).C.(1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂C.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂23.几率流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为 A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25.电流密度矢量的表达式为 A.J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a ,D.πμ222232 n a .28.在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a ,B.πμ22224 n a ,C.πμ22228 n a ,D.πμ222216 n a. 29.在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b ,C.πμ22224 n b ,D.πμ22228 n b. 30.在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31.在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.B.(),(,,,....)n n +=1012ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω.D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为 A.x =0.B.x =±μω.C.x =μω.D.x =±μω.35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -.D.-μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39.在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B.2),(ϕθlm Y . C.Ωd Y lm ),(ϕθ.D.Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符.B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D.i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符.B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im .B.)ex p(21r k i ⋅π.C.12πϕexp()im .D.)ex p(21r k i⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数. C. 是 L 2、 L z的共同本征函数. D.即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小. 49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是A. 库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0.B.40a .C.90a .D.160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,.B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,.D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.21 ,.B. ,1.C.212 ,.D.212 ,.53.接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B.01434,;, .C.01232,;, -.D.01232,;,-- .54.接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为 A.14 .B.-14 .C.34 .D.-34. 55.接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C.- k .D.12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为 ,接56题,体系的动量平均值为A.0.B. k .C.- k .D.12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为 A.3252 ωω,.B.1252 ωω,. C.3272 ωω,.D.1252ωω,. 60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c .B.232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +.D.31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为A. ω 232123215321c c c c ++.B.5 ω. C.92ω.D.ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x ().63.对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy .B.i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i .B.-i .C. .D.- .65.对易关系[, ]L yx 等于 A.i z.B. z .C.-i z .D.- z . 66.对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x.B.i x .C. x .D.- x . 67.对易关系[, ]L zz 等于 A.i x.B.i y .C.i .D.0. 68.对易关系[, ]x p y 等于 A. .B.0.C.i .D.- . 69.对易关系[ , ]p p y z 等于 A.0.B.i x.C.i p x .D. p x . 70.对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y .B.-i L y.C. L y .D.- L y .71.对易关系[ , ]L L z y等于 A.i L x .B.-i L x.C. L x .D.- L x . 72.对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x .B.i L x .C.i L L z y( )+.D.0. 73.对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z .B.i L z .C.i L L x y( )+.D.0. 74.对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z .B.-i L z.C.i p z .D.-i p z . 75.对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py.B.i p y.C.-i L y .D.i L y. 76.对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x .B.i p x .C.-i Lx .D.i L x . 77.对易式[ , ]Lx y 等于 A.0.B.-i z .C.i z .D.1. 78.对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +.B. F m n -.C.0.D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG.B. GF .C. FG GF -.D. FG GF +. 80..对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF.B.0.C.c .D.F ˆ. 81.算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥.B.( )( )∆∆F G k 2224≥.C.( )( )∆∆FG k 2224≥.D.( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ .B.( )( )∆∆x p 2224≥ .C.( )( )∆∆x p x 222≥ .D.( )( )∆∆x p x 2224≥ .83.算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z= ,则 L x、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆FG L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze r E s.B.[]-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s .85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为 A.-μz e n s 22222.B.-μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D.-μz e ns 24222 .86.在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2aa μπμπ ,B.πμπμ2222222 a a ,, C.323222222πμπμ a a ,,D.524222222πμπμ a a,. 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 4,3/接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a. 89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 如果力学量算符 F 和 G 满足对易关系[ , ]F G =0,则A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值. D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2.B.i p f x x '()2. C.-i pf x x ()2.D.i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L L ˆˆˆ±=±,则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ .B.2 L z .C.-2 L z.D.z L ˆ -. 94.接上题,则[ , ]LL z+等于 A. L +.B. L z .C.-+ L .D.- L z . 95.接93题,则[ , ]LL z-等于 A. L -.B. L z .C.--L .D.- L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'ex p(21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是A.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是 A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010.C.1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.D.0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103.线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a .B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a .C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a .D.00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. .B.- .C.2 ..105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂.B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂.D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵.C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x∂∂.B.i p x ∂∂.C.-i p x 2∂∂.D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212pp ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是 A.±1.±i 1±i 接上题,F 的归一化本征态分别为 A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.B.1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C.12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/ax ip =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A.[ , ]a a +=0.B.[ , ]a a +=1. C.[ , ]aa +=-1.D.[ , ]a a i +=.114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nmm()()()''0200++-∑. B.E H H E E n nn mn nmm()()()'''0200++-∑. C.E H H E E nnn mn mnm()()()'''0200++-∑.D.E H H E E nnn mnm nm ()()()''0200++-∑. 115.非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '.B.H nn '.C.-H nn '.D.H nm '.116.非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nmm'()()200-∑.B.''()()H E E mn nmm200-∑.C.''()()H E E mn m n m 200-∑.D.H E E mnm nm '()()200-∑. 117.非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn nm m m '()()()000-∑ψ.B.''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C.''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D.H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk km'()()001-<<.B.H E E mk km'()()001+<<.C.H mk '<<1.D.E E k m ()()001-<<.121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为 A. 五个子能级.B.四个子能级. C.三个子能级.D.两个子能级.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C.原子的能级是分立的.D.电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S S y x等于 A.2i .B.i .C.0.D.-i S z. 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ.B.i y σ.C.2i y σ.D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S2的本征值为 A.142 .B.342 .C.322 .D.122 . 129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 算符的三个分量之积等于i 2i 电子自旋角动量的x 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S i i x=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110.D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132.电子自旋角动量的y 分量算符在 S z表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200.D. S i i y=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133.电子自旋角动量的z 分量算符在 S z 表象中矩阵表示为 A. S z=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B.0,- .C. 22,.D.22,-.138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B.a b 22,.C.a b 2222/,/.D.a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题,s z 的平均值为A. .)(222b a - .C.)22/()(2222b a b a +- .D. .143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是 0,1,2,3,二)填空题效应证实了光具有粒子性；。
量子力学期末考试习题
量子力学期末考试习题（一） 单项选择题 1. A, 2.B, 3.C, 4.D, 5.A, 6.B, 7.A, 8.B, 9.C, 10.A, 11.B, 12.D, 13.C, 14.D, 15.D, 16.C, 17.C, 18.A, 19.D, 20.C, 21.C, 22.D, 23.C, 24.C, 25.C, 26.C, 27.D, 28.C, 29.A, 30.A, 31.A, 32 A, 33.C, 34. B, 35.A, 36.C, 37.D, 38.D, 39.D, 40.C, 41.D, 42.A, 43.B, 44.B, 45.C, 46.C, 47.C, 48.D, 49.A, 50.C, 51.A, 52.A, 53.A, 54.D, 55.B, 56.A, 57.B, 58.A, 59.C, 60.B, 61.D, 62.C, 63.A, 64.A, 65.A, 66.B, 67.D, 68.B, 69.A, 70.B, 71.B, 72.D, 73.D, 74.C, 75.B, 76.A, 77.B, 78.C, 79.C, 80.B, 81.C, 82.D, 83.A, 84.C, 85.D, 86.A, 87.C, 88.A, 89.B, 90.B, 91.B, 92.A, 93.B, 94.C, 95.A, 96.D, 97.B, 98.A, 99.A, 100.A, 101.B, 102.B, 103.A, 104.D, 105.B, 106.A, 107.B, 108.C, 109.A, 110.A, 111.A, 112.A, 113.B, 114.B, 115.B, 116.B, 117.B, 118.D, 119.A, 120.C, 121.B, 122.C, 123.A, 124.B, 125.D, 126.D, 127.D, 128.B, 129.D, 130.C, 131.C, 132.B, 133.C, 134.D, 135.D, 136.D, 137.D, 138.D, 139.C, 140.C, 141.C, 142.B, 143.A, 144.C, 145.A (一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie波长是A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0.C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）A.E n n = ω.B.E n n =+()12ω.C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0. 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25⨯1018-J. B. 1.25⨯1018-J. C. 0.25⨯1016-J. D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A. 2μc .B.22μc . C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C xa = 描写，其归一化常数C 为 A.1a . B.2a . C.12a . D.4a.12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx . 13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2. 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp(),ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()exp()()exp() ,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp() ,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp().其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)e x p ()x t c p t ipx dp =⎰12π的傅里叶变换式是A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件: (1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. (1)、(3)和(6).B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t iμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r tμ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i μ∂∂),,(),,(2121t r r t r r Uψ+23.几率流密度矢量的表达式为A. J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.B. J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ.C. J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a ,D.πμ222232 n a. 28. 在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a. 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b .30. 在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x ax a(),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.B.(),(,,,....)n n +=1012ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=1123 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω.D.x =±μω. 35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕ exp()im .B. )exp(21r k i ⋅π.C.12πϕexp()im .D. )exp(21r k i⋅π.46.波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L2的本征函数,不是 L z的本征函数. B. 不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. C. 是 L2、 L z的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为A. 3.B. 6.C. 9.D. 12. 48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小. 49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是A. 库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,.B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,.52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.21 , .B. ,1.C.212 ,.D.212 ,. 53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .55. 接51题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k .57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为A.2321,c c . B. 232121c c c +,232123c c c +.C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .61.接59题,该振子的能量平均值为 A.ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω.C. 92 ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]p f x x 等于(f x ()为x 的任意函数)A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '().D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]LL xz等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y. 71. 对易关系[ , ]LL zy等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]LL x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]LL z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i py. B. i p y. C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x. 77.对易式[ , ]L x y 等于A.0.B. -i z. C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F 和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是A.()()∆∆F G k 2224≥.B. ()()∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ .C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ .B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆FG L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆F G L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s.B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze rE s.D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.-μz e n s 22222 .B. -μ224222z e n s .C.-μze n s 2222 .D. -μz e ns 24222 .86. 在一维无限深势阱U x x ax x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a , .87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a. 89.若一算符 F的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]FG =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符yxL i L Lˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z . D.zL ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]LL z+等于 A. L +. B. L z . C. -+L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]LL z-等于 A. L -. B. L z . C. --L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθϕθϕn l m nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'e x p (21)('x p ix Pπψ=,它在动量表象中的表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是A.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a .B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a .C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是A.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()*∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂. 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵. 107.力学量算符x ˆ在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ-. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是 A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为 A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为 A.S S +-=. B.S S +=*. C.S S =-. D.S S *=-. 112.幺正变换 A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢. 113.算符 ()( )/ax i p =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n nn mn nm m ()()()''0200++-∑. B. E H H E E n nn mnn m m ()()()'''0200++-∑. C.E H H E E n nn mnm n m()()()'''0200++-∑.D.E H H E E nnn mn mnm()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为A.H mn '.B.H nn '.C.-H nn '.D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn nm m'()()200-∑. B. ''()()H EE mnnmm200-∑. C.''()()H EE mnmnm200-∑. D.H EE mnmnm'()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn nm m m '()()()000-∑ψ.B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ.C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ.D. H E E mn mn m m '()()()000-∑ψ.119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.H E E mk km'()()001-<<. B.H E E mk km'()()001+<<.C. H mk '<<1.D. E E k m ()()001-<<.121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.B.ψψψn n mn nm m m H E E =+-∑()()()()''0000.C.ψψψn n mn mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.D.ψψψn n nm mn m m H E E =+-∑()()()()''0000.122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]SS yx等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子的自旋角动量平方算符 S 2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 .129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z表象中矩阵表示为A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 Sz表象中矩阵表示为A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为A.0, .B. 0,- .C. 22,.D.22,-.138.接上题,测得s z 为22,-的几率分别是A.a b ,.B. a b 22,.C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为A. 0.B.)(222b a - . C. )22/()(2222b a b a +- . D. .143.下列有关全同粒子体系论述正确的是A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系. 144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 光具有粒子性；。
量子力学期末试卷
1、光子、电子、中子、质子的内禀属性，至少说出三种 答：光子：有自旋、有速度C电子：有自旋、带负电荷、有静质量 质子：有自旋、带正电荷、有静质量 中子：有自旋、有静质量2、写出h 的数值，并说出它在量子力学中的重要作用（至少3点） 答：JS h 3410*626.6-=，λhp =、νh E=，h 是联系物质粒子性与波动性的桥梁3、量子力学中动能量关系，试推导克莱因——戈登方程 答：22202pc E E+=ti E ∂∂=∧xi p ∂∂-=∧xp 2222∂∂-=∧xc c m pc E 22222202220∂∂-=+),()(),(22022222t r c m t r tψ+∇-=ψ∂∂-∴4、),(t r ψ：在t 时刻，测得粒子出现在r 附近的概率密度幅),,(21t r r ψ：在t时刻，测得粒子1出现在1r 附近，同时粒子2出现在2r 附近的几率密度幅C （p ，t ）：在t 时刻，测量粒子的动量得到p 值的几率密度幅 如果),,(21t r r ψ代表氢分子中两电子的波函数则满足：),,(21t r r ψ=—()t r r ,,12ψ5、零点能：阵子的基态（n=0）能ω210=E，称为零点能简并度：量子力学中把能级中可能有的微观状态数称为该能级的简并度 量子隧穿:6、写出定态波函数的一般表达式，判断以下三个量子态，哪（几）个是定态)()tE i tE in n ex f ex f-+=ψ1()()Eti Eti ex f ex f--+=ψ212tE i n xeA-=ψcos 3答：定态波函数：()()()Eti ex f x f -+=ψ212()tE i n ex A-=ψc o s 3是定态波函数7、复共轭算符：算符∧F 的复共轭算符∙∧F ,由∧F 式中复量换成共轭复量构成宇称算符：对波函数进行→→-=rr的变换的算符线性算符必须满足()FvFuv u F βαβα+=+∧，其中βα,为任意复数，则∧F为线性算符，而复共轭算符和宇称算符不满足8、满足⎪⎭⎫⎝⎛ψ=⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∧∧ϕϕ,,A A 的算符称为厄米算符，()x p xpx x+21是厄米算符(下面答案有错)[]()dxi dx xxi dxi xd i dxi x d i x i dxi xd i dx i x xi dx x x i x xi dx x p xp x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-*∞∞-*∞∞-*∞∞-*∞∞-*∞∞-*∞∞-*∞∞-∞∞-**∞∞-*∞∞-*∞∞-*ψψ-ψ∂∂ψ=ψψ-ψψ=ψψ-ψψ+ψψ-=ψψ-ψψ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψ-ψ∂∂-ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+∂∂-ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ψ 212121212121212121dxi d x i dx i x xi dx x x i x xi dx x p xp x x ⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-**∞∞-∞∞-**∞∞-**∞∞-**ψψ+ψψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψ+ψ∂∂=ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 2121212121218、对易关系（Z X L P ,）xi P X ∂∂-=∧，xyi yxi P y P x L X y Z∂∂+∂∂-=-=∧∧∧yZ X y y X X X y y X X X X X y X X X y X y X X Z Z X P i L P P i P xP x P P xP xP P P yP P yP xP P P yP xP yP xP P P L L P ->=∴<ψ-=ψ-=ψ-ψ=ψ+ψ-ψ=ψ--ψ-=ψ-ψ,)()()(。
云南师范大学《量子力学》期末试卷C及答案
云南师范大学《量子力学》期末试卷C及答案云南师范大学2011-2012学年（下）学期统一考试量子力学试卷学院专业年级学号姓名考试方式：闭卷考试时量：120分钟试卷编号: C 题号一二三四总分评卷人得分评卷人一、判断题（每题4分，共20分）判断下面表述是否正确1、Ψ(x)与10Ψ(x)表示量子体系的两个不同的状态。
（）2、微观粒子在空间r处的动量为10kg.m/s。
（）3、两个厄米算符有共同本征函数族，则它们一定彼此对易。
（）4、一个体系的力学量完全集取法是唯一的。
（）5、电子自旋角动量及自旋磁矩是电子自转形成的。
（）得分评卷人二、简答题（每小题4分，共20分）1．什么是简并? 什么是简并度?2. 什么是波函数的合格条件？3.什么是定态及非定态波函数的一般表达形式？4.写出束缚态非简并微扰能量计算一级近似公式及近似计算的适用条件。
5.什么是泡利不相容原理?得分评卷人三、填空题（每题4分，共20分）1.微观粒子具有波粒二象性，其能量E动量P体现粒子性，波长λ，频率v体现波动性，则体现粒子性的量与体现波动性的量之间有关系是__________________和__________________。
2.在Ψ态下算符?的平均值A=________________3.动量算符在动量表象中可表示为∧p=________________，在坐标表象下∧p=________________。
4.一维线性谐振子的能级En=__________,宽度为2a的一维无限深势阱中粒子的能级En=__________。
5.有算符A，B满足对易关系[A，B]=iC，则A，B的测不准关系为__________________。
6.[ l y , l z] =_____。
7.氢原子处在一个状态，n=4, 能量的简并度为_______；l=3, 角动量的简并度为_____。
8.坐标x对应本征值x’的本征函数为ψx’(x)= _______________，其归一化可表为（ψx’(x)，ψx’ ’(x)）= ______________。
大学量子力学期中期末考试试卷及答案解析 (28)
2006-2007学年第1学期《量子力学》（B 卷）参考答案及评分标准一、简答题（共10题，每小题5分，共50分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。
解：()ϕϕθψθθππd r d dr r P ⎰⎰=2022,,sin 。
2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
解： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ,3,2,1,82222==n an E n μπ3. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。
解： )0(2)0()0(2ψγψψm -='-'-+4. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。
解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q tQ。
5. 写出电子自旋z s 的二本征态和本征值。
解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===01)(,221z z s s χα ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-10)(,21z z s s χβ 。
6. 给出如下对易关系：[][][][][]?,?,?,?,?,2=====xyz zyz yL Lp L L y p x σσ解：[][][][][]zxyz xzyz yi L Lpi p L xi L y p x σσσ2,0,,,0,2-=====7. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。
在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为(21)j +条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。
原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
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云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试量子力学 试卷学院 专业 年级 学号 姓名考试方式：闭卷 考试时量：120分钟 试卷编号： B题号 一 二 三 四 总分 评卷人得分 评卷人 一、 填空题（每题4分，共20分）1、请写出德布罗意关系中粒子的波长公式 。
2、请给出动量表象中势能算符的表达式 。
3、请给出不确定度关系的表达式 。
4、守恒量具有的性质是 和 不随时间改变。
5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为ˆH ，本征函数族为(0)0{}n n ψ∞=，对应本征值为(0)0{}n n E ∞=。
Hamilton 量在被施加微扰ˆH '之后变为0ˆˆˆH H H '=+，则能量本征值的计算公式为 （准确到二级近似）。
得分 评卷人 二、 简答题（共20分）1. 请分别给出坐标和动量表象中薛定谔方程的具体形式。
（4分）2. 什么是粒子全同性原理？（4分）3. 请给出所学过的求力学量平均值使用的公式。
（6分）4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6分） 得分 评卷人 三、 判断题, 判断下列表述的正误。
（每小题2分,共 20分）1．在单个电子穿过双缝装置的实验中，确实发生了干涉现象：就是一个电子自己和自己发生了干涉。
（ ） 2．波函数的统计诠释其实只是一个假定。
（ ）3．，且处在束缚态，的粒子，势函数无奇点即一维规则势场中)()())((x V x V x V -=.0 标的平均值一定为则在能量本征态下，坐 （ ）4．一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的中央处。
（ ）5．的关系。
都遵守形如不是所有角动量J i J J J=⨯ （ ） 6．对于一个厄米算符，涨落为零的态就是它的本征态。
（ ） 7. 如果哈密顿量不显含时间，则求任一时刻能量平均值时，只需求t=0时刻的能量平均值即为所求。
（ ） 8.的交换是反对称的。
，其波函数对于两粒子整数倍的全同粒子体系自旋为（ ）9. 中心力场中，动量和角动量都守恒。
（ ）10. 126度为的氢原子，其能级简并=n 。
（ ） 得分 评卷人 四、 计算题（50分）1．一维谐振子（+∞<<∞-x ）处在基态，波函数为()ex x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212)(απαψ,请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：adx eax π=⎰∞∞--2)(）。
（16分）分）。
（任意时刻的能量平均值数任意时刻归一化的波函。
求：的平方和为个系数模数。
态和第二激发态本征函分别为基态、第一激发和、子，初始时刻态为一维无限深势阱中的粒14 )2();,( )1(13)()()(),()()()0,(.2321332211t x x x x x c x c x c x ψψψψψψψψ++=分）的几率。
（。
求最后测得结果不是再测量力学量果后再对测量后的系统，得到结再测量力学量，继续对测量后的系统得，在该态下测量力学量今有某态）（两组式子均已归一化与族之间的关系为。
已知这两个本征函数和，相应的本征值为和个成员，分别为族亦只有的归一化完备本征函数。
另一个力学量和应的本征值为，相和个成员，分别为族只有的归一化完备本征函数对于某个体系，力学量10ˆˆˆ5354545353545453 2ˆ2ˆ.31121221121221121212121a A B a Ai i i i b b Ba a A ψφφψφφψψψφψψφφφψψ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=4. 氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？（10分）云南师范大学课程考试 试卷参考答案及评分标准课程名称： 量子力学 考试班级： 物理09级ABCD 班 试卷编号： B 命题教师签名 2012 年 6 月 12 日解答及评分标准：（B 卷） 一、（每题4分，共20分）1. 请写出德布罗意关系中粒子的波长公式p h /=λ2. 请给出动量表象中势能算符的表达式)(xp i V ∂∂。
3. 请给出不确定度关系的表达式|]ˆ,ˆ[|21B A B A ≥∆⋅∆ 4. 守恒量具有的性质是平均值和各可能值出现概率不随时间改变。
5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为0ˆH ，本征函数族为(0)0{}n n ψ∞=，对应本征值为(0)0{}n n E ∞=。
若Hamilton 量在被施加微扰ˆH '之后变为0ˆˆˆH H H '=+，相应的能量本征值为2(0)(0)(0)||'nkk kkk nk n H E E H E E ''=++-∑（准确到二级近似）。
二、 简答题（ 共20分）1. 请分别给出坐标和动量表象中薛定谔方程的具体形式。
（4分）分）（动量表象：分）（坐标表象：2),()](2[),(2),()](2[),(22t p pi V m p t t p i t r r V mt t r iϕϕψψ∂∂+-=∂∂+∇-=∂∂ 2. 什么是粒子全同性原理？（4分）全同粒子具有不可区分性。
(1分)因此，由若干全同粒子构成的量子体系中，任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，(2分)即体系波函数在两个粒子交换下保持不变。
(1分)3. 请给出所学过的求力学量平均值使用的公式。
（6分）分）（分）（3||ˆ3ˆ)ˆ,(ˆ2*∑⎰===nn n A c A dV A A A ψψψψ4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。
（6分）s三、判断题（每题4分，共20分）√√ √ × × √ √ × × ×四、计算题分）的基本对易关系应的算符要满足角动量自旋是一个力学量，对分）满足秉磁矩旋角动量相关联的内每个电子都有一个和自分）投影都只有两个值：在空间任意方向上，其：电子自旋角动量的假定2( .32(|||| ,.22(2.1^^^S i S S mc e S S s s z=⨯=±=μμ1、一维谐振子（+∞<<∞-x ）处在基态，波函数为()ex x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212)(απαψ,请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：adx eax π=⎰∞∞--2)(）。
（10分）解：由于1|)(|2=⎰∞∞-dx x ψ，所以波函数已经归一化（2分）分）下，动量均值为利用结论：束缚本征态分）分），得对称区间上结果为利用：奇函数的积分在是奇函数，是偶函数，则由于分）2(0.02()(ˆ)(2(00|)(|)(2(|)(|)()(*22*=====⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-x x x p dx x px p x x x x xdx x dx x x x x ψψψψψψψ分）。
（任意时刻的能量平均值数任意时刻归一化的波函。
求：的平方和为个系数模数。
态和第二激发态本征函分别为基态、第一激发和、子，初始时刻态为一维无限深势阱中的粒10 )2();,( )1(13)()()(),()()()0,(.2321332211t x x x x x c x c x c x ψψψψψψψψ++=，从初始时刻求出。
么是使用能量守恒关系刻波函数求平均值，要求法要么是代入任意时分）任意时刻的能量平均值分）（函数为）任意时刻归一化的波（分）经归一化。
（解：由已知，波函数已4(|||||| )2(4)()()(),(12323222121-33-22-11321E c E c E c E e x c ex c e x c t x t iE t iE tiE ++=++=ψψψψ分）的几率。
（。
求最后测得结果不是再测量力学量果后再对测量后的系统，得到结再测量力学量，继续对测量后的系统得，在该态下测量力学量今有某态）（两组式子均已归一化与族之间的关系为。
已知这两个本征函数和，相应的本征值为和个成员，分别为族亦只有的归一化完备本征函数。
另一个力学量和应的本征值为，相和个成员，分别为族只有的归一化完备本征函数对于某个体系，力学量10ˆˆˆ5354545353545453 2ˆ2ˆ.31121221121221121212121a A B a Ai i i i b b Ba a A ψφφψφφψψψφψψφφφψψ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+= 分）（最后得总概率为：分）（分）（：两种途径得到这个结果分）。
（，那就是，要求的不是量在上两个结果中继续测分）（：分）（：分）概率分别为，（和，可能值为下测在分）（，波函数坍缩，解：第一次测得3625288259251625162591259:)()(12516:)()(1ˆ12516)(1259)(1ˆ12222121121221121111=⨯+⨯→→→ψφψφφφψψψa b a b a a A b b b b B a 4. 氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？（10分）解：（1）(),,r ψθϕ满足方程4ˆH E ψψ=，（2分） 所以它是能量的本征态，本征值为4E 。
（2分）（2）因为332211||1n n n n c c ====∑∑，所以波函数已经归一化。
（2分）测量角动量平方的可能值有两个：2212,2 ，相应几率分别为：18,99。
（2分）。