固体的能带结构-精品
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1.2 固体的能带(材料化学)
2(2πm k B T ) = 3 h
3/ 2
e
② 空穴பைடு நூலகம்浓度 这里是指电子激发到导带后在满带中留下的空穴。 我们知道，f（E）表示电子占据能量为E的状态的 几率，所以1-f（E）表示该状态不被电子占据的几 率，即为空穴所占据的几率。
1 − f (E) =
1 1 + e ( E F − E ) / k BT
由电导率公式，σ = neμ
① 对于金属，n大且基本上不随温度而变，σ中唯 一可变的是μ（迁移率），由于μ随温度增加略有减 小，σ也减小。 ② 对于半导体和绝缘体，n随温度按指数规律增加，这 种n急剧地增加的效应远超过μ微弱减小的效应，因此 σ随温度迅速增加。 绝缘体是在常温下n很小的半导体的极端例子，因此有 些绝缘体，在高温下变成了半导体；相反，某些半导体 在低温下和绝缘体十分相似。
* + 3/ 2
2(2πm k B T ) p= 3 h
e
− ( E F − E + ) / k BT
③ 结果讨论 对本征半导体而言，有ne = nh ，所以我们可 以得到下面的结果： a．将ne和nh都用Eg和T来表示，载流子浓度仅 取决于能带隙Eg和温度T。 b． 当T=0K或m-* = m+* 时， E F = 1 ( E1 + E 2 )
在一般温度条件下，满带中不被电子占据的几率很 小，也就是被空穴占据的几率很小，由此可知，上式 中分母必定很大，有EF-E>EF-E+»kBT ∴
1 − f (E) ≈ e
− ( E F − E ) / k BT
此时，在单位体积中，在满带顶下面能量从 E到E+dE内的空穴数为：
p=∫
E+
固体物理中的电子结构与能带理论
固体物理中的电子结构与能带理论在固体物理学中，电子结构与能带理论是研究固体材料中电子的行为和性质的重要理论。
通过理解电子结构和能带理论，我们可以深入了解固体材料的导电性、磁性、光学性质等，并为材料设计和应用提供基础。
一、电子结构电子结构是指描述固体材料中电子分布和能级的方式。
根据波尔模型，原子中的电子分布在不同的能级上，而在固体中，原子之间的相互作用会导致电子能级的改变。
在经典物理学中，电子的行为可用经典力学描述，但是在固体中，电子的波动性变得显著，因此需要引入量子力学的概念。
量子力学中的薛定谔方程描述了电子在固体中的行为。
根据波粒二象性，电子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
薛定谔方程描述了电子波函数的演化，并通过解方程得到电子的能级和波函数。
电子结构的计算方法有多种，如密度泛函理论（DFT）、紧束缚模型等。
二、能带理论能带理论是解释固体材料中电子能级分布的重要理论。
它基于电子在固体中的周期性势场中运动的性质。
根据布洛赫定理，电子波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积形式。
在周期势场中，电子波函数满足布洛赫定理的条件。
根据能带理论，固体中的电子能级可以分为禁带和能带。
禁带是指电子不能占据的能级范围，而能带是指电子可以占据的能级范围。
能带又可以分为价带和导带。
价带是指电子占据的能级范围，而导带是指电子可以自由运动的能级范围。
固体材料的导电性质与其能带结构密切相关。
对于导体，导带中存在自由电子，电子可以在导带中自由移动，导致材料具有良好的导电性。
对于绝缘体，导带与价带之间存在较大的能隙，电子不能跃迁到导带中，导致材料具有较差的导电性。
对于半导体，导带与价带之间的能隙较小，可以通过施加外界电场或提高温度来激发电子跃迁，从而改变导电性。
能带理论还可以解释固体材料的光学性质。
在能带中，电子跃迁可以吸收或发射光子。
固体材料的能带结构决定了其能量吸收和发射的范围，从而影响其光学性质。
例如，带隙较小的材料通常对可见光具有较好的吸收和发射能力，因此在太阳能电池等领域有广泛应用。
固体的能带结构解析
主量子数
决定电子的能量。
角量子数
磁量子数 的空间取向， 自旋磁量子数 间取向，
决定电子轨道角动量 决定轨道角动量
决定自旋角动量的空
例1：计算当氢原子中的电子处在第一激发态， 它有多少个可能的状态？
解：
n2
可能的状态有8个，即： n等于2的情况下， n，l，m，ms的组合数目有8个
例题2 在氢原子的L主壳层中，电子不可能具
组成晶体后，分裂为N个微有不同的能级
由于N是一个很大的数，这些能级相距很近，看起来
几乎是连续的，从而形成一条有一定宽度E的能带。
1s
1s能带
能带的形成
续：能带的形成 E
0
a
离子间距
二，能带的分类
填满电子的能带称为满带。 未填满电子的能带称为导带。 没有电子填充的能带称为空带。显然空带 也属导带。 在能带之间没有可能的量子态的能量区域 叫禁带。
三 电子在能带中的填充和运动
由于满带中所有能级都被电子占满， 因此一个电子在外力作用下向其它 能级转移时，必然伴随着相反方向 的转移来抵消，所以满带是不导电 的
•• •• •• •• •• •• •• ••
导带中的能级未被占满，一个
电子在外力作用下向其它能级转移 时，不一定有相反方向的转移来抵 消，所以导带具有导电作用
电子的状态可以用研究氢原子得来的四个量 子数(n,l, m, ms )来标记，此即单电子近似。
原子的壳层结构
主量子数n相同的电子组成同一壳层，角 量子数l相同的电子组成同一支壳层。
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 5p.....
Hale Waihona Puke 利不相容原理决定每层能容纳电子数
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法
( ) r) ,相互作用势依赖于 i ( r ) ,同时 i ( r ) 由于nr i( i i ( r ) 既出现 又要由薛定谔方程来决定,也就是说， 在系数中,同时又是方程的解.所以,必须用自洽的 计算方法—迭代法来处理.这种求解工作量很大, 需借助计算机进行. 求解思路： 1).首先确定所研究晶体的结构和组成(确知价 电子并计算出电荷密度)； 2). 确定初始的单电子势 V ( r ) ；
3.密度泛函理论(density functional theory) 该理论是对哈特利—福克(Hartree—Fock)近 似,亦即将多电子问题化为单电子问题的更严格、 更精确的描述. (具体内容可参考谢希德、陆栋主 编的《固体能带理论》17）. 在密度泛函理论基础之上的局域密度近似 (local density approximation,简称为LDFT)框架 下的计算 ,在大多数情况下能得到较好的结果。 密度泛函理论的基础是非均匀相互作用电子 系统的基态能量由基态电荷密度唯一确定,是基态 电子密度n ( r ) 的泛函.阎守胜书P287(12.1.3)给出了 证明;同时给出了当电子密度的空间变化缓慢时,由 局域密度近似得到的单电子薛定谔方程.
内层电子的能带---窄带；外层电子的能带---宽带 通常把被电子填满的最高能带称为价带，而把 最低空带或半满带称为导带(后面我们还要讨论). 固体的物性主要取决于价带和导带中的电子.而对 于这些外层电子而言,离子实区内和离子实区外是 两种性质不同的区域. 离子实区外,电子感受到的是弱的势场的作用, 波函数很平滑,类似于平面波;离子实区内由于强 烈的局域势作用,波函数急剧振荡,可由紧束缚波 函数来描述。 外层电子(价带和导带中的电子)的波函数可由 两者的线性组合来描述。
(2)
能带理论
满带
导体
空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，
这样的能带称为空带。
空带：每一个能级上都没有 电子的能带
★与各原子的激发态能级相对应 的能带，在未被激发的正常情况 下就是空带；
空带 带隙
★空带中若有被激发的电子进入， 则空带就变成了导带。
非导体
禁带：两个相邻能带间的间隔
★禁带中不存在电子的定态； ★禁带的宽度对晶体的导电性起着 重要的作用。
满带（价带）
半导体
例如：硅、硒、锗、硼等元素，硒、碲、硫的化合物， 各种金属氧化物等物质都是半导体。
不同固体的能带填充情况 (a) 导体；(b) 绝缘体；(c) 半导体；(d) 半金属
四、带性质
（1）对于第 n 个能带，其能量与波函数 k 在空间均 具有对称性，可表示为E：n k En k En k En k n*,k r n,k r
以硅为例:每立方厘米的体积内有5×1022个原子， 原子之间的最短距离为0.235nm —— 致使离原子核 较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于 某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上 去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去， 这种现象称为电子的共有化。
二、 能带的形成
晶体中电子共有化的结果，使得晶体内电子的能量 状态不同于孤立原子中的电子： 晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，
空带
导带
例如: 当 Na 原子结合成晶体时，3s 能带只填满了一半电子， 而 3p 能带与 3s 能带相交错。这样在被电子填满的能 级上面有很多空着的能级，所以电场很容易将价电子 激发到较高的能级上，因此 Na 是良导体
Na:1s22s22p63s1
Na :1s22s22p6
固体能带结构
(3) 高亮度 大功率激光亮度 太阳表面亮度约
1010 ~ 1017 W·cm-2·sr-1
103
W·cm-2·sr-1
(4) 高相干性 用于测量长度、干涉以及全息术 ······
高亮度可用于精密加工，医学，核聚变等.
6KW CO2 激光加工机在进行 金属表面涂敷合金粉末的作业
核聚变实验的六路真空靶室
pn 结单向导电性
I / mA
30
30
20
击穿电压
反向
20
正向
10
0. 4
0. 8
10
U/V
20
pn 结伏安特性曲线
§16.11 激
光
主要内容：
1. 自发辐射受、激辐射和受激吸收 2. 粒子数反转和光放大 3. 激光器的基本构成及激光的形成 4. 激光的纵模和横模 5. 激光的特性及应用
16.11.1 自发辐射受、激辐射和受激吸收
激励
激励
E2 激发态
E1 基态
三能级结构
E1 基态
四能级结构
增益介质（处于粒子数反转态的介质）. 激励系统
例 He-Ne激光器中Ne气粒子数反转态的实现
碰撞 电子
亚稳态
碰撞
增益介质(Ne气体)
(2) 阈值条件
I I0eGz
I0
增益介质
r1r2I0 e2GL I0
I0 eGL
r2 r1I0 e2GL
k1 k
c 2nL
纵模个数：
N
Δ Δ k
单模线宽
vk
vc
vk vk+1
辐射线宽
N 个纵模
2. 激光的横模 光束横截面上光强的稳定分布称为激光的横模.
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
k at s
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
4.1能带结构PPT课件
22mk 2 Nhomakorabeak
2
n a
2
包括二级微扰的电子能量为
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2
2m
k 2
k
2 n
a
18
2
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
(0) k
(
x)
(1) k
(
x)
......
(0) k
(
x)
1 eikx L
'
H (1)
k 'k
k
(0)
(0)
E E k ' k
e / i
k
2
n a
x
， 它们的能量差越小掺
L
21
Brillouin区边界处的发散
一般情况下，各原子产生的散射波影响较小，但如果相邻原子产生 的散射波具有相同的位相时，情况完全不同。
当
E E (0)
(0)
k
k 2n / a
散射波成份的振幅
2k 2 2 (k 2 n / a)2
2m
2m
2mVn
k'
(0) k'
一级微扰波函数
(1) k
n
Vn
2
2m
k 2
k
2
n a
2
1 ei
k
2
n a
x
L
包括一级微扰的电子波函数
k (x)
1 eikx
Vn
L
n
2
2m
k 2
k
2
n a
2
固体能带理论
固体能带理论（学号：1120120332 姓名：马英 ）摘要：固体能带理论是凝聚态物理学的重要组成部分，在密度泛函理论基础上，对固体能带理论70年来的发展作简单的论述和分析，并阐述固体能带计算各种方法的物理原理及共典型应用。
关键词：固体、半导体、金属、单电子、准粒子、离子、晶体、应力一、自由电子模型在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量 2.电子发射3.电子气的顺磁与逆磁效应 二、3个重要近似和周期性势场 绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。
所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。
单电子近似：：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。
又称hartree-Fock 自洽场近似。
周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。
周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）。
3. Bloch 波（1）Bloch 定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如形式 ：其中u 具有晶格的周期性，即（2）Bloch 波的性质a.波函数不具有晶体周期性，而（k 为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性b.当k 为虚数，描写电子的表面态，k ＝is(s>0)(S 小于0时无意义.)c. 周期边界条件：)()(r u e r rk i⋅=ϕ)()(332211a n a n a n r u r u+++=)()(x u e x ika=ϕ222|)(||)(||)(|x u a x x =+=ϕϕ)()(x u e x sx-=ϕ)()(x Na x ϕϕ=+)()(ˆ)(x e x TNa x ikNaϕϕϕ==+)()(a x x n K k k +=+ϕϕd. 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch 波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N 可容纳的电子数为2N.三、单电子近似下电子的能量状态. 电子满足的薛定谔方程：在克龙尼克—潘纳模型下：周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界. 关于能带的讨论：1.在原理布区边界的区域内， 电子的能量可粗略的视为自由电子的能量.2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为：3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线.4.能量是k 的周期函数，周期为倒格子矢量.5.能量曲线的三种表示方法:（1）第一布区图 （2）扩展区图 （3）周期区图6.E 为k 的多值函数，以视区别 表示第s 个能带的能量，而k 表示在第一布区中取值. 7.每个能带可容纳2N 个电子，第一布区分立k 的数目为N. 考虑自旋2N.)()()()()())(2(22x u e x V na x V x E x x V m ikx ==+=+∇-ψψψ其中： a -b -0c a 0V cb a +=禁带a πa π232V 22V 12V m k E 222 =|2|g l l V E =禁带a πa π232V 22V 12V )(k E s ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=N Na a ππ22四、费米面的构造费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形状十分重要。
固体电子5--能带结构
⎤ ⎥ ⎥⎦
⋅
ΔE
所以，能态密度g(E)为：
∫ N (E) = lim ΔZ = 2V dS
ΔE→0 ΔE (2π )3 ∇k E
<三维情况>
∫ N (E)
=
2S
(2π )2
dl ∇k E
<二维情况>
N(E) = 2L 2
2π dE / dk
<一维情况> 19
例：三维自由电子的能态密度
自由电子的E(k)∼k关系： E(k) = h2k 2 2m
只与k的模有关。
k空间等能面为球面，球面上：
为常数。
∇k E
=
h2k m
∫ ∫ 能态密度： N (E)
=
V
4π
3
dS = V ⋅ m
∇k E 4π 3 h2k
dS
=
Vm
h2π 2
k
=
V
2π
2
⎛⎜ ⎝
2m h2
⎞⎟3/ 2 E1/ 2 ⎠
N(E)和E呈抛物线关系。
20
自由电子和近自由电子
在第一布里渊区内离界面较远处，布洛赫电子的行 为近似于自由电子，在k空间的等能面为球面，近自由 电子与自由电子的能态密度非常相近。
11
能带结构
满带和空带、价带和导带 能带电子的导电性 导体、半导体和绝缘体的能带论解释。 能态密度
12
导体：除去完全充满的一系列能带外，还有部分被电子占据 的能带。后者起导电作用，称为导带。（a) 和（b）
绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带都是空 的。满带不导电。(c)
半导体: 能带结构类似绝缘体，但价带和导带之间的带隙较小， 杂质或者热激发会使导带有少部分电子或者价带缺少电子。（d）
第四章 固体的能带
外，贵金属和碱金属以及铝等都有这种情况。贵金属的价电
子数是奇数，本身的能带也没填满，因而是良导体。
4.过渡金属
过渡金属具有未满的d壳层，d电子态形成的d带比较窄。
d电子轨道有5个，结晶成固体后形成5个子能带，具有紧束缚
电子态特征。而s带很宽，具有准自由电子特征。粗略说，过 渡金属的能带是由很窄的d带与较宽的s带交叠在一起形成的， 实际上s带与d带不是简单交叠受到杂化的影响，具有导电性， 对电导贡献的是4s带的s带电子以及3d带的空穴（因未填满电
14
遵守 泡利不相容原理
能量最小原理 10×N
6×N
2×N
6×N 2×N
2×N
最多容纳电子数
说明： 一般情况下，价带是被电子所填充的能量最高的能带。
15
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。
若N~1023, 则能带中两能级的间距约10-23eV。
一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。
受外电场的能量，所以形不成电流。
从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一
个较宽的禁带（Eg 约3～6 eV），共有化电
子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）
上去。
半导体 的能带结构,满带与空带之间也是禁带，
但是禁带很窄（E g 约0.1～2 eV )。
28
二、绝缘体与半导体的击穿
当外电场非常强时，它们的共有化电子
在几率最大的点）速度，而不是构成整个波包的各个傅里叶
成分的波的相速度ω/k。 晶体中的电子在外场中的运动规律是把波包用粒子的观 点来讨论的波包运动。
18
以k0为中心，波矢在Δ k范围内变化的布洛赫波包，在Δk
第二节 固体的能带理论
也变成导带。在此情况下也可以导电。 绝缘体——如果空带与相邻的满带相 半导体的能带结构特征
能级差较 大，电子难发 生跃迁。
隔较远，在一般条件下，满带中的电子不
能跃迁到空带中而形成导带，则不可能为 形成净的电子流而导电。
Eg ≥ 5eV
绝缘体的能带结构特征
⑶金属光泽
由于金属中的电子可在导带或重带中跃 迁，其能量变化覆盖范围相当广泛，并放出 各种波长的光，故大多数金属呈银白色。
果能带中的电子可以有多种分布状况。那么，在外电场的作用下，可以得到
净的电子流——导电。 例1 3s 2p 2s 1s 金属钠 N 6N 2N 2N 满带中电子在各能级上的排布方式只有 1 种，电
子的速度和能量分布固定，无论有无外电场，均不可
能产生净的电子流——对导电无贡献。 导带（未充满带）中的电子，有可能在该能带中 不同能级间改变其分布状况，在外电场作用下，可以 得到净的电子流——导电。
晶体管时代—1958年，贝尔实验室研制的硅
电晶体，很快就取代了锗电晶体。从此，电视机、 计算机业到了蓬勃发展。
次加法运算 20世纪50年代 中，贝尔实验室 组装的世界上第 一台晶体管计算 机TRADIC
集成电路时代—1970年，
集成电路技术的发展，促进了 计算机时代的到来。
1983年我国研制的银 河－Ⅰ亿次巨型机
E *2 E *1 E(3s) E3 E2 E1
N = 2
E*1 E*2
E(3s) E2 E1
N = 4 空带
E(3s)
满带 N →∞
N = 6
例2：金属镁
2 3p0 Mg：1s2 2s2 2p6 3s2
价电子
E*1
E(3s) N = 2 E1
能级差较 大，电子难发 生跃迁。
隔较远，在一般条件下，满带中的电子不
能跃迁到空带中而形成导带，则不可能为 形成净的电子流而导电。
Eg ≥ 5eV
绝缘体的能带结构特征
⑶金属光泽
由于金属中的电子可在导带或重带中跃 迁，其能量变化覆盖范围相当广泛，并放出 各种波长的光，故大多数金属呈银白色。
果能带中的电子可以有多种分布状况。那么，在外电场的作用下，可以得到
净的电子流——导电。 例1 3s 2p 2s 1s 金属钠 N 6N 2N 2N 满带中电子在各能级上的排布方式只有 1 种，电
子的速度和能量分布固定，无论有无外电场，均不可
能产生净的电子流——对导电无贡献。 导带（未充满带）中的电子，有可能在该能带中 不同能级间改变其分布状况，在外电场作用下，可以 得到净的电子流——导电。
晶体管时代—1958年，贝尔实验室研制的硅
电晶体，很快就取代了锗电晶体。从此，电视机、 计算机业到了蓬勃发展。
次加法运算 20世纪50年代 中，贝尔实验室 组装的世界上第 一台晶体管计算 机TRADIC
集成电路时代—1970年，
集成电路技术的发展，促进了 计算机时代的到来。
1983年我国研制的银 河－Ⅰ亿次巨型机
E *2 E *1 E(3s) E3 E2 E1
N = 2
E*1 E*2
E(3s) E2 E1
N = 4 空带
E(3s)
满带 N →∞
N = 6
例2：金属镁
2 3p0 Mg：1s2 2s2 2p6 3s2
价电子
E*1
E(3s) N = 2 E1
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
填充的部分（允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成 的能带，所以这种理论称为能带论。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，
在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子 之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶 态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成 能带的必要条件。
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场形式和强弱也是不同的，需要针对具体 问题才能进行求解。
Hale Waihona Puke T T f r TT－ T T = 0，
晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有
e
ika
a b 2
r R r 1a1 2a2 3a3
1 2 3 1 2 3
T T T r r
1 2 1 2 3 3
Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数
应具有的形式，给出了周期场中单电子状态的一般特征，
这对于理解晶体中的电子，求解具体问题有着指导意义。
When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，
在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子 之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶 态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成 能带的必要条件。
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场形式和强弱也是不同的，需要针对具体 问题才能进行求解。
Hale Waihona Puke T T f r TT－ T T = 0，
晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有
e
ika
a b 2
r R r 1a1 2a2 3a3
1 2 3 1 2 3
T T T r r
1 2 1 2 3 3
Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数
应具有的形式，给出了周期场中单电子状态的一般特征，
这对于理解晶体中的电子，求解具体问题有着指导意义。
When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.
02能带结构及基本效应1
EF = EC − K BT ln
NC ND
(非简并半导体)
EF =
N 1 1 ( EC + EV ) − kBT ln C 2 2 NV
其中NC为导带的有效态密度，ND为施主掺杂浓度。
本征半导体中电子按能量的分布 N型硅晶体的平面示意图及其能带
费米能级的物理意义及计算方法
P型半导体 —— 偏向于价带边的一侧。
二．纳米粒子的能带结构
1）金属纳米粒子的能带结构 2）半导体纳米粒子的能带结构
4
金属纳米粒子的能带结构
1 2m 2 1 2 N (E) = E 2π 2 h 2
3
金属纳米粒子的能带结构
从原子的离散能级到块体材料的准连续能带
块 体 Au
宏观尺 度的 金属 材料在 高温 条件 下 ，其能带 可以 看作是连续的。
金属纳米粒子的能带结构
等能级间隔模型的缺点 等 能级近 似 模型 可以 推 导 出 低温下单 个 金属 纳米 颗 粒的 比 热 公 式， 但 实际上 无 法 用实验验证 ， 因为 我 们 只 能对纳米 颗 粒的 集 合 体进行实验。而 在 此集 合体中 又必 须考虑（因粒径尺寸等因素造成的）能级间隔δ 的统计分 布性质。久保的贡献主要体现在这方面。 δ EF
δ
EF
δ C (T ) = k B exp − k BT
δ～kBT
自由电子气能量示意图
高温简化为与1/T成线性关系
金属纳米粒子的能带结构
纳米粒子能带的离散性
金属纳米粒子的能带结构
纳米 金属 粒子的能带 离散性 使 其 热 力 学 性质 ， 诸 如比热、磁化率等显著不同于块体性质。 实际 上 ， 低温 条件 下 ，只有费米能级 附 近的 几 个 能级对物理性质起重要作用。
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这相当于产生了一个带正电的粒子, 称为“空穴”。 1.除了电荷符号外，空穴和电子有完全相同
的性质。 2.电子和空穴总是成对出现的。
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在外电场作用下, 空穴下面能级上 的电子可以跃迁 到空穴上来, 这相当于空穴 向下跃迁.
满带上带正电的 空穴向下跃迁也 是形成电流, 这称为空穴导电.
p s
单个原子
空带
禁带 导带
禁带 满带
N个原子
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§19-2 导体和绝缘体
固体按导电性能的高低可以分为
导体
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
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导体 Eg
导体
导体
绝缘体 Eg
半导体
导体
Eg 绝缘体
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的能级,称为能带。
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7
能带的宽度记作E ，数量级为 E ~ eV． 若N~1023,则能带中两能级的间距约 ~ 10-23eV. 一般规律：
（１）越是外层电子，能带越宽.
（２）点阵间距越小，能带越宽．
( 3 ) 两个能带有可能重叠.
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8
E
2P 2S
o
a
能带重叠示意图
理想晶体中原子排列是有规则的，具有周 期性。长程有序。
非晶体结构不规则，是短程有序。
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2
能带理论是研究固体中电子运动的一个 主要理论
二十世纪初，特鲁德和洛仑兹建立的经典 的金属的自由电子论，能说明金属的导电性， 和导热性质，但对有些材料是导体，有些是绝 缘体，有些是半导体不能解释。
一. 本征半导体
本征半导体是指纯净的半导体. 本征半导体的导电性能在导体与绝缘体 之间．
介绍两个概念： （1）电子导电……半导体的载流子是电子 （2）空穴导电……半导体的载流子是空穴
满带上的一个电子跃迁到空带后,满带中出现 一个空位.
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例. 半导体
空带
h
满带
Eg=2.42eV
空带 Eg
满带
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上例中,半导体CdS激发电子, 光波的波长至少多短？
解
Eg
h
hc
max
hc Eg
6.631034 2.42eV
J s 3108 m 1.61019C
/
s
514nm
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二. 杂质半导体 １. n型半导体
四价的本征半导体 Si、Ge等，掺入少量 五价的杂质元素（如P、As等）形成电子 型半导体, 称 n 型半导体．
同时，由于近代物理的发展，对固体的认 识更深入。
• １９１２年劳厄首先用Ｘ射线对晶体结构 进行研究。
• 量子理论出现使人们能正确和深入描述晶
体内部的微观粒子运动。
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3
如：爱因斯坦的量子化概念研究晶格振动 在特鲁德和洛仑兹的金属的自由电子论
基础上，索末菲发展的固体量子论，费米发 展的统计理论。
量子力学表明，这种掺杂后多余的电子的 能级在禁带中紧靠空带处, ED～10-2eV， 极易形成电子导电,
§19-1 固体的能带
一. 电子共有化 在固体中，相邻原子排列紧密，电子不
再束缚于一定的原子，电子将可以在整个固 体中运动，称为电子的共有化。
电子受到周期性势场的作用.
a
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5
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
（１）电子的能量是量子化的 （２）电子的运动有隧道效应
• 二十世纪三十年代，人们作了大量关于晶 体中电子能量状态、电子运动规律及晶体中 原子的热运动和热缺陷的研究工作。逐渐建 立了固体电子能带理论。
固体的能带理论提出了导电的微观机理，指 出了导体和绝缘体的区别，同时也指出有一类 固体叫做半导体，其导电性介于导体和绝绝缘 体之间。
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4
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透 概率较大， 电子可以在整个固体中运动, 称为共有化电子.
原子的内层电子与原子核结合较 紧,一般不是 共有化电子.
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6
二. 能带
固体中的电子能级有什么特点？
量子力学计算表明，固体中若有N个原子， 由于各原子间的相互作用，对应于原来孤 立原子的每一个能级,变成了N条靠得很近
上一页
半导体；的能带结构: 满带与空带之间也是禁带，
但是禁带很窄.（Eg：约0.1～2 eV ).
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绝缘体与半导体的击穿
——当外电场非常强时，它们的共有化电子 还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的. 这时绝缘体与半导体就被击穿变成导体了。
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§19-3 半导体的导电机构
导体:在外电场的作用下，大量共有化电子很
易获得能量，集体定向流动形成电流． E
从能级图上来看:是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去．
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绝缘体: 在外电场的作用下，共有化电子很难接
受外电场的能量，所以形不成电流。
从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一 个较宽的禁带（Eg：约3～6 eV），共有化电子 很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带） 上去．
1S
r 离子间距
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9
三. 能带中电子的填充 固体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上． 填充原则： （１）服从泡里不相容原理（费米子） （２）服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl，它最多能容 纳 2 (2l+1)个电子．
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带 后，能带最多能容纳 2Ｎ(2l+1) 个电子．
固体能带结构简介
前言 固体的能带 导体和绝缘体 半导体的导电机构
Ｐ-Ｎ 结 半导体的其他特性和应用
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1
前言
根据固体的结构, 固体材料分为晶体和非晶 体 （1984年发现了准晶体） 固体是由大量分子、原子或离子组成。而
大量分子、原子或离子有规则排列的方式称为 固体的点阵结构（晶体点阵）。
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例如，1ｓ、２ｓ能带，最多容纳 2Ｎ个电子． 2ｐ、３ｐ能带，最多容纳 6Ｎ个电子．
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词： 1．满带（排满电子） 2．价带（排满一部分电子）…亦称导带 3．空带（未排电子）…………亦称导带 4．禁带（不能排电子）
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这相当于产生了一个带正电的粒子, 称为“空穴”。 1.除了电荷符号外，空穴和电子有完全相同
的性质。 2.电子和空穴总是成对出现的。
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在外电场作用下, 空穴下面能级上 的电子可以跃迁 到空穴上来, 这相当于空穴 向下跃迁.
满带上带正电的 空穴向下跃迁也 是形成电流, 这称为空穴导电.
p s
单个原子
空带
禁带 导带
禁带 满带
N个原子
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§19-2 导体和绝缘体
固体按导电性能的高低可以分为
导体
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
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导体 Eg
导体
导体
绝缘体 Eg
半导体
导体
Eg 绝缘体
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的能级,称为能带。
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能带的宽度记作E ，数量级为 E ~ eV． 若N~1023,则能带中两能级的间距约 ~ 10-23eV. 一般规律：
（１）越是外层电子，能带越宽.
（２）点阵间距越小，能带越宽．
( 3 ) 两个能带有可能重叠.
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E
2P 2S
o
a
能带重叠示意图
理想晶体中原子排列是有规则的，具有周 期性。长程有序。
非晶体结构不规则，是短程有序。
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2
能带理论是研究固体中电子运动的一个 主要理论
二十世纪初，特鲁德和洛仑兹建立的经典 的金属的自由电子论，能说明金属的导电性， 和导热性质，但对有些材料是导体，有些是绝 缘体，有些是半导体不能解释。
一. 本征半导体
本征半导体是指纯净的半导体. 本征半导体的导电性能在导体与绝缘体 之间．
介绍两个概念： （1）电子导电……半导体的载流子是电子 （2）空穴导电……半导体的载流子是空穴
满带上的一个电子跃迁到空带后,满带中出现 一个空位.
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例. 半导体
空带
h
满带
Eg=2.42eV
空带 Eg
满带
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上例中,半导体CdS激发电子, 光波的波长至少多短？
解
Eg
h
hc
max
hc Eg
6.631034 2.42eV
J s 3108 m 1.61019C
/
s
514nm
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二. 杂质半导体 １. n型半导体
四价的本征半导体 Si、Ge等，掺入少量 五价的杂质元素（如P、As等）形成电子 型半导体, 称 n 型半导体．
同时，由于近代物理的发展，对固体的认 识更深入。
• １９１２年劳厄首先用Ｘ射线对晶体结构 进行研究。
• 量子理论出现使人们能正确和深入描述晶
体内部的微观粒子运动。
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3
如：爱因斯坦的量子化概念研究晶格振动 在特鲁德和洛仑兹的金属的自由电子论
基础上，索末菲发展的固体量子论，费米发 展的统计理论。
量子力学表明，这种掺杂后多余的电子的 能级在禁带中紧靠空带处, ED～10-2eV， 极易形成电子导电,
§19-1 固体的能带
一. 电子共有化 在固体中，相邻原子排列紧密，电子不
再束缚于一定的原子，电子将可以在整个固 体中运动，称为电子的共有化。
电子受到周期性势场的作用.
a
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5
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
（１）电子的能量是量子化的 （２）电子的运动有隧道效应
• 二十世纪三十年代，人们作了大量关于晶 体中电子能量状态、电子运动规律及晶体中 原子的热运动和热缺陷的研究工作。逐渐建 立了固体电子能带理论。
固体的能带理论提出了导电的微观机理，指 出了导体和绝缘体的区别，同时也指出有一类 固体叫做半导体，其导电性介于导体和绝绝缘 体之间。
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4
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透 概率较大， 电子可以在整个固体中运动, 称为共有化电子.
原子的内层电子与原子核结合较 紧,一般不是 共有化电子.
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二. 能带
固体中的电子能级有什么特点？
量子力学计算表明，固体中若有N个原子， 由于各原子间的相互作用，对应于原来孤 立原子的每一个能级,变成了N条靠得很近
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半导体；的能带结构: 满带与空带之间也是禁带，
但是禁带很窄.（Eg：约0.1～2 eV ).
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绝缘体与半导体的击穿
——当外电场非常强时，它们的共有化电子 还是能越过禁带跃迁到上面的空带中的. 这时绝缘体与半导体就被击穿变成导体了。
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§19-3 半导体的导电机构
导体:在外电场的作用下，大量共有化电子很
易获得能量，集体定向流动形成电流． E
从能级图上来看:是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去．
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绝缘体: 在外电场的作用下，共有化电子很难接
受外电场的能量，所以形不成电流。
从能级图上来看，是因为满带与空带之间有一 个较宽的禁带（Eg：约3～6 eV），共有化电子 很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带） 上去．
1S
r 离子间距
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三. 能带中电子的填充 固体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上． 填充原则： （１）服从泡里不相容原理（费米子） （２）服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl，它最多能容 纳 2 (2l+1)个电子．
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带 后，能带最多能容纳 2Ｎ(2l+1) 个电子．
固体能带结构简介
前言 固体的能带 导体和绝缘体 半导体的导电机构
Ｐ-Ｎ 结 半导体的其他特性和应用
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1
前言
根据固体的结构, 固体材料分为晶体和非晶 体 （1984年发现了准晶体） 固体是由大量分子、原子或离子组成。而
大量分子、原子或离子有规则排列的方式称为 固体的点阵结构（晶体点阵）。
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例如，1ｓ、２ｓ能带，最多容纳 2Ｎ个电子． 2ｐ、３ｐ能带，最多容纳 6Ｎ个电子．
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词： 1．满带（排满电子） 2．价带（排满一部分电子）…亦称导带 3．空带（未排电子）…………亦称导带 4．禁带（不能排电子）
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