大数定理与中心极限定理典型题解
第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析
V 20 5 100 / 12 20
105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n
i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)
1 2
t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n
n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
大数定理与中心极限定理
是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长
来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15。若学校共有400
名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且具有
相同概率分布。
(1)求参加会议的家长数X 超过450的概率；
(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
解：(1)设X k (k 1, 2 , 400)表示第k个学生来参加会议
解：设该地区次小麦品种的亩产量为X.
由题设知 E(X ) 750 D(X ) 152，由Chebysherv不等式有
P700
X
800
P
X
750
50
1
152 502
0.91
➢ 理论证明的工具
例4.2设X为随机变量，D(X ) 0 PX c 1
证明：充分性显然成立。
必要性
由于D( X ) 0
一分布，且具有数学期望和方差 : E( Xi ) ，D( Xi )
2 (i 1, 2, )，则对于任意的实数x，有
lim
P
n i 1
Xi
n
x
n
n
理解：在定理条件下，总有
1
x t2
e 2 dt
2
P
n i 1
Xi
n
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
n
Xi n
即随机变量序列 i1
Chebysherv不等式
一、 Chebysherv不等式
定理：设随机变量X的数学期望与方差存在，且E( X ) ,
D( X ) 2，则对于任意的实数 0恒有
P X
-
2
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
概率论-大数定律和中心极限定理习题和例题
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于29 （分钟）. n i 1
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
2 2 2 Y X X X X X X X k 1 2 3 4 5 6 3 n 2 X 3 n 1 X 3 n k 1 n
(完整word版)第五章大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理一、填空题1．设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-≥≤ 1/9 ； 2．设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布，且()i E X μ=，()8i D X =，(1,2,,)i n =， 则由切比雪夫不等式有{}||P X με-≥≤28n ε 。
并有估计{}||4P X μ-<≥ 112n-； 3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且都服从参数为 的泊松分布，则 1lim n i i n X n P x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ ()x Φ ；4．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和3，方差分别为1和4,而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，{||6}P X Y +≥≤；解：因为 ()()()220E X Y E X E Y +=+=-+=,cov(.)()()0.5141XY X Y D X D Y ρ==-=-， ()()()2cov(.)142(1)3D X Y D X D Y X Y +=++=++⨯-=，故由切比雪夫不等式,231{||6}{|()0|6}612P X Y P X Y +≥=+-≥≤=. 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n →∞时，211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于 。
解:因为 11(),(),(1,2,,)24i i E X D X i n ===，所以 22111()()()442i i i E X D X E X =+=+=,故由辛钦大数定律，对0ε∀>,有{}2111lim ()lim 12n n n i n n i P Y E Y P X n εε→∞→∞=⎧⎫-<=-<=⎨⎬⎩⎭∑,即 211n n i i Y X n ==∑依概率收敛于21()2i E X =。
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
第五章大数定理和中心极限
D( X ) D( X ) 或P{ X E ( X ) ε} 1 2 P{ X E ( x ) ε } 2 ε ε 成立.
契比雪夫不等式用于估计X落入区间(E(X)-, E(X)+)的概率 当方差D(X)很小时, X落入区间(E(X)-, E(X)+)是大概率事件; X落入区间(E(X)-, E(X)+)之外是小概率事件.
P{ X -100 20}
10 1- 2 20 0.975
例5-2设电站供电网有10000盏灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7，
而假定所有的电灯开或关都是彼此独立的，试用切比雪夫不等式 估计夜晚同时开着的灯数在6800盏-7000盏的概率.
解 设X表示在夜晚同时开着的电灯数目，则X B（10000，0.7）
证明 取连续型随机变量的情况来证明.
设 X 的概率密度为 f ( x ), 则有
P{ X E ( x ) ε}
x E( X ) ε
f ( x )d x
x E( X )
2
x E( X ) ε
ε
2
f ( x )d x
1 2 ε
D( X ) ( x E( X )) f ( x )d x 2 ε
若=2, 则P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2} =1/3
而 D( X )
2
35 1 35 1 12 4 48 3
可见契比雪夫不等式成立
例5-1 设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2, 2.5, 实际 计算P{|X-E(X)|}, 并验证契比雪夫不等式成立. 7 35 E( X ) D( X ) 2 12 X 1 2 3 4 5 6
大数定律和中心极限定理历年真题
大数定律和中心极限定理历年真题数学一：1（01，3分）设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2|)({|X E X P。
数学三：1（88，6分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占20%。
以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。
（1） 写出X 的概率分布； （2）利用棣美佛-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。
[附表]Φ（x ）是标准正态分布函数。
999.0994.0977.0933.0841.0692.0500.0)(0.35.20.25.10.15.00x x Φ2（89，3分）设X 为随机变量且2,σμ==DX EX 。
则由切比雪夫不等式，有≤≥-}3|{|σμX P。
3（96，6分）设n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本。
已知)4,3,2,1(==k a EXk k，证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 121近似服从正态分布，并指出其分布参数。
4（99，3分） 在天平上重复称量一重为a 的物品。
假设各次称量结果相互独立且服从正态分布n X a N n 表示若以).2.0,(2次称量结果的算术平均值，则为使95.0}1.0|{|≥<-a X P nn 的最小值应小于自然数。
5（01，3分）设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6|{|Y X P.6（01，8分） 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。
假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。
若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。
（Φ（2）=0.977，其中Φ（x ）是标准正态分布函数。
）数学四：1（01，3分） 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有P {|X-Y |≥6}≤ 。
数理统计复习题第五章范文
第五章 大数定律与中心极限定理一、 典型题解例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。
解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有：()()()22221,339D X P X E X P X E X σεσεσ⎡⎤⎡⎤-≥≤-≥≤=⎣⎦⎣⎦有例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n =试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。
证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ⎧=⎨⎩1,发生•，不发生()12,...i n =，，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=，又因为()()224140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥，所以()()11,2, (4)i i i D X p q i n =≤= 由切比雪夫大数定理，对,o ε∀>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞=⎧⎫-<=⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。
若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。
（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。
解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15易知()()19.0,1.1==k k X D X E ，1,2,...400.k =而∑==4001k k X X .由独立同分布中心极限定理知，随机变量19.04001.140019.04001.14004001⨯-=⨯-∑=X Xk k近似服从正态分布()0,1N ，于是{}()14004001.145011.147.00.4000.1911.1470.1357P X P P⎫>=>=-≤⎬⎭≈-Φ= （2）以Y 记有一名家长来参加会议的学生数，则(400,0.8)Y B ，由德莫佛—拉普拉斯定理得{}()340 2.52.50.9938.P Y P P ≤=≤⎫=≤⎬⎭≈Φ=例4一加法器同时收到20个噪声电压()20,,2,1 =k V k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。
（完整版）8-第五章大数定律和中心极限定理解析
（完整版）8-第五章⼤数定律和中⼼极限定理解析第五章⼤数定律和中⼼极限定理⼤数定律和中⼼极限定理是概率论中两类极限定理的统称，前者是从理论上证明随机现象的“频率稳定性”，并进⼀步推⼴到“算术平均值法则”；⽽后者证明了独⽴随机变量标准化和的极限分布是正态分布或近似正态分布问题，这两类极限定理揭⽰了随机现象的重要统计规律，在理论和应⽤上都有很重要的意义。
§5.1 ⼤数定律设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的⼀列随机变量，每个随机变量取值于⼆元集合{0，1}，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=易计算它们的数学期望和⽅差为 (),()j j E X p D X pq ==如果取这些j X 的部分和 n n X X X S +++=Λ21并考虑它们的平均值∑==n j j n n Xn S 1/)(/，易知它的数学期望和⽅差为;nnS S pq E p D n n n == ? ?利⽤定理4.2.13给出的切⽐雪夫不等式可知：对任何⼀个正数t 有2n S pq P p t n t n-≥≤ ? 令∞→n ，有2lim lim 0n n n S pq P p t n t n→∞→∞??-≥≤= 即lim 0n n S P p t n →∞??-≥=(5.1.1) 可见当n 很⼤时，部分和的平均值/n S n 与p 相距超过任何⼀个数0>t 的概率都很⼩，⽽当∞→n 时, 这个概率趋于0。
(5.1.1)式的结果称为弱⼤数定律，也称伯努利⼤数定律, 因为这个定律是伯努利在1713年⾸先证明的，是从理论上证明随机现象的频率具有稳定性的第⼀个定律。
注意式(5.1.1)等价于lim 1n n S P p t n →∞??-≤=(5.1.2) 把它完整地叙述如以下定理：定理5.1.1（伯努利⼤数定律）设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的取值于⼆元集合{0，1}的⼀列随机变量，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=⼜设 n n X X X S +++=Λ21则 lim 0n n S P p t n →∞??-≥=或等价地lim 1n n S P p t n →∞??-≤=。
概率论chap4大数定理与中心极限定理复习题
)。 1 2π
− t2 2 dt
− t2 2 dt
(A)
1 2π
∫−∞ eຫໍສະໝຸດ x−t2 2 dt
；
( B ) 0 ；( C )
∫−∞ e
+∞
；
(D)
∫−∞ e
x
二、计算证明题 1、一药厂试制成功了一种新药，卫生部门为了检验此药的效果，在 100 名患者中进行了 试验，决定若有 75 名或更多患者显示有效时，即批准该厂投入生产，如果该新药的治愈率 确实为 80%，求该药能通过这次检验的概率。(利用中心极限定理) 2、已知有 5000 人参加某项事故保险，在一年里保险者中每人的事故率为 0.005，参加保险 的人每年交 160 元的保险费，出事故时由保险公司付给 2 万元的赔偿费；试求保险公司在 一年内从此项业务中获利 20 万元到 40 万元之间的概率。(利用中心极限定理) 3、一部件包括 25 个部分，每部分的长度是独立同分布的随机变量，其数学期望为 2mm， 标准差为 0.05 mm，规定总长度为 50 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。 4、一包装工平均每 3 分钟完成一件包装，假设他完成一件包装所用的时间服从指数分布， 试求他完成 100 件包装需要 5 到 6 小时的概率(利用中心极限定理)。 5、某商店出售某种贵重商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数为 λ = 1 的泊松分布， 假定各周的销售量是相互独立的，用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品 件数在 50 件到 70 件之间的概率。
n 1 " 且 lim 2 Var(∑ X k ) = 0, 6、 设随机变量序列{ Xn }满足： E(Xk)， Var(Xk)存在， k = 1, 2， n→∞ n k =1
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 .
二、大数定律
在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性
例 如 ， 在 n 重 贝 努 力 试 验 中 ， P ( A ) p， 若 n 次 试 验 事 件 A 共 发 生 μ n次 ， 则 μn n 即 为 事 件 A发 生 的 频 率 。
1
n
n
xi
依概率收敛于 即n充分大时， x
1
i 1
n
n
xi
i 1
在切比雪夫不等式中取 0.01 n，则
P (0.74
1
X
0.76)
1
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
0.1875n
2
n D( X )
(0.01n)
2
1
1875 n
0.0001n
一、切贝谢夫不等式
依题意，取 1 解得
n 1875 n 1875 1 0.9 18750 0.9
大数定律与中心极限定理
第一节 大数定律
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
一、切贝谢夫不等式
练习 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得 在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76 之间的概率至少为0.90? 解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75) E(X)=0.75n, 所求为满足 的最小的n .
D(X)=0.75*0.25n=0.1875n
大数定理及中心极限定理
标准正态分布的分布函 数.
从而知当n充分大时，
n
Xk n
k
近似服从标准正态分布
N (0,1)
n
n
X k 近似服从正态分布 N (n, n 2 )
k 1
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压Vk (k 1,2, 20), 设它们是相互独立的随机变量,
20
且都在区间(0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk , k 1
§4.1 大数定律
一、切比雪夫不等式 (P107)
若 r .v X 的期望和方差存在，则对任意0，
有
P{|
X
E(
X
) |
}
D( X
) ;
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
P{|
X
E(
X
) |
}
D(
X
)
.
二、依概率收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给 >0, 使得
E( Xk ) p, D( Xk ) p(1 p) (k 1,2, , n),
根据定理4.6得
lim P n
n np
np(1 p)
x
lim n
P
n
Xk
k 1
np(1
np p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理4.8表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
D( Yn
)
n
D(
k
Xk
)
n
P {| Yn
概率论-第5章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
一、问题的引入
生产过程中的 字母使用频率 废品率 启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值 有稳定性.
大量抛掷硬币 正面出现频率
§1 大数定律
一、问题的引入
大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number)
§2 中心极限定理
即考虑随机变量X k (k 1, n)的和 X k的标准化变量
k 1 n
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
2
说明每一个随机变量都有相同的数学期望。
§1 大数定律
检验是否具有相同的有限方差？
Xn P
2
( na ) 1 2 2n
2 n
2
0 1 1 2 n
2
( na ) 1 2 2n
2
1 2 a , E ( X ) 2( na ) 2 2n 2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
使得当 x a y b 时,
g( x , y ) g(a , b)பைடு நூலகம் ,
§1 大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) }
{ X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2
§2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人 们发现，正态分布在自然界中极为常见.
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
大数定律和中心极限定理例题与解析
要点二
详细描述
中心极限定理是指无论随机变量的个体分布是什么，当样 本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。例如，从 一个总体中随机抽取的100个样本的均值应该接近总体的 均值，并且其分布近似正态分布。
主题总结与启示
• 总结词：大数定律和中心极限定理是概率论中的重要概念，它们揭示了随机现 象的规律性，对于理解和预测随机现象具有重要意义。
大数定律和中心极限定理例题与解 析
目 录
• 引言 • 大数定律例题 • 中心极限定理例题 • 解析与总结
01 引言
主题简介
主题概述
大数定律和中心极限定理是概率论中 的重要概念，它们在统计学、金融、 计算机科学等领域有着广泛的应用。
主题背景
大数定律和中心极限定理分别描述了 在大量数据和独立同分布的情况下， 随机变量的分布规律。
假设我们进行大量的抛硬币实验，每次实验的结果只有两种可能：正面朝上或反面 朝上。根据大数定律，当实验次数足够多时，正面朝上的频率趋近于50%，反面朝 上的频率也趋近于50%。
例题二：抽取彩票
总结词
在抽取大量彩票时，中奖概率趋近于预设的中奖率。
详细描述
假设一张彩票的中奖概率为1%，那么在抽取100张彩票时，根据大数定律，大 约有1张彩票中奖。随着抽取的彩票数量增加，中奖的彩票数量趋近于预设的中 奖率。
例题二：保险精算
总结词
保险精算是中心极限定理在保险业中的一个重要应用 ，用于计算保险费和赔偿金。
详细描述
保险精算是保险业中一项重要的工作，它涉及到如何 合理地计算保险费和赔偿金。在保险精算中，中心极 限定理常常被用来估计某个事件发生的概率。例如， 一个保险公司可能会根据中心极限定理来估计某个特 定人群在未来一年内发生特定事件的概率，从而制定 相应的保险费和赔偿金方案。通过中心极限定理，保 险公司可以更准确地预测风险，从而做出更合理的决 策。
【高等数学】概率论与数理统计-大数定律和中心极限定理专项试卷及答案解析
(1 ，第i次试验成功，
设Y, ＝斗
则X"
lO，第 i次试验失败，
=
)ι;Y， ，且Yi :-:-'i
,Yz， … ，Y＂ 独立同分布，数学期望存在．也
学显出养成笔记与京纺织档严这题
就是满足辛钦大数定律的条件.Y1 ，儿， …，Y n 也是两两不相关，且D(Y,) ＝ρ(1 一 ρ）ζC，也
满足切比雪夫大数定律的条件，因此词汇＝于 1→ ρ
C[I)P{I
－－ － AtT
设X
X
一
tl1飞J｜f
1 4 un
「μ｜第 注 . 3个 σ｝部 ζ件' 第 个部件
一 (Dd一σX）τ2 完好
损坏
＝一91 .
统正常工作的概率为
一－ n n
uu
。好部件个数
Zm
X
兀
叫
X 卢mm 系
> > P { _6 X; 85} =P{ X 85}
pf > X-100×0.9
概率均为0.1 ，如果有85个以上的部件完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率；
< II ）如果上述系统由n个部件组成，需80%以上的部件完好时系统才能正常工作，问n
至少多大才能使系统正常工作的概率不小于0.95? 附表：φ（1. 667) = 0.9522，φ(1.645) = 0. 95.
(C）②或①都能推出①．
CD）哪一个也不能推出另一个 ．
2.填空题 (1 ）设随机变量X1，儿， … ，X”’ … 相互独立，均服从参数为2的指数分布，则当n → ∞
时，Y,, ＝土”工＞：： x� 依概率收敛于
(2）设随机变量X和Y的数学期望分别为一 2和2，方差分别为1和9，而相关系数为一 1.
4大数定理及中心极限定理典型题解
第四章 大数定理与中心极限定理典型题解1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？解 设第k 个加数的舍入误差为),1500,,2,1( =k X k 已k X 在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，故知121)(,0)(==k k X D X E ．记∑==15001k k X X ，由中心极限定理，当n 充分 时有近似公式)(}121150001500{x x X P Φ≈≤⨯-，于是{15}1{15}1{1515}11[1[21]2(1.342)2[10.9099]0.1802.P x P x P X P >=-≤=--≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ=-Φ=Φ=-= 即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为1802.0．2．有一批建筑房屋用的木柱，其中%80的长度不小于m 3，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于m 3的概率． 解 以X 记被抽取的100根木柱长度短于m 3的根数，则)2.0,100(~b X ．于是由中心极限定理得{30}{30}()1(2.5)10.99380.0062.P X P X P ≥=≤<∞=≤<=Φ∞-Φ=-Φ=-= 3．将一枚硬币投掷49次，（I ）求至多出现28次正面的概率；（II ）求出现20-25次正面的概率．解 以X 表示49次投掷中出现正面的次数，则有)21,49(~b X ． （I ）由中心极限定理得8413.0)1()212149214928(}28{=Φ=⨯⨯⨯-Φ≈≤X P ； （II ）由中心极限定理得112549204919{2025}()()770.55570.09850.4572.P X -⨯-⨯≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=-= 4．某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概率为8.0．求正常工作的机器超过85台的概率．解 设ξ为100台中正常工作的机器数，则)8.0,100(~B ξ，且16 ,80====ξξD npq E np ．由中心极限定理可得所求概率为080808580{85}1{085}1{}4441[(1.25)(20)]0.1056.P P P ξξξ--->=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-= 5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg ，标准差5kg ．若用最大载重量5t 的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解 设n 为每辆车所装的箱数，),,2,1(n i i =ε是装运的第i 箱的重量，且25,50==i i D E εε．n 箱的总重量 n εεεε+++= 21有n D n E 25,50==εε，由中心极限定理ε近似服从正态分布)25,50(n n N ．现求使下面不等式成立的:n977.0)101000(}5505000550{}5000{>-Φ≈-≤-=≤nn n nn nP P εε 查正态分布表得 2101000>-n n，从而0199.98<n ，即最大可以装98箱．6．设一大批产品中一级品率为%10，现从中任取500件，这500件中一件级品的比例与%10之差的绝对值小于%2的概率．解 设ξ为所取500件中的一级品数，则)1.0,500(~B ξ且45 ,50==ξξD E由中心极限定理得{0.10.02}{5010}5002(1.49)10.8638.P P P ξξ-<=-<=<≈Φ-=7．设一袋味精的重量是随机变量，平均值100g,标准差2g ．求100袋味精的重量超过10.05kg 的概率．解 设i i i 第)100,2,1( =ξ袋味精的重量，100袋的总重量10021ξξξξ+++= ，而4,100==i i D E ξξ，所以所求概率为{10050}1{010050}11[(2.5)(500)]10.993790.00621.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-=-= 8．一本200页的书，每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布，求该书的错误数大于15个的概率．解 设ξ为该书的总错误数，则20=ξE ，20=ξD ,于是所求概率为{15}1{015}11[( 1.12)( 4.47)]0.8686.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤=-Φ--Φ-=9．某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05．现射击100次，求总分多于880分的概率．解 设ξ为100次射击的总分数，依题意，915,122.75E D ξξ==．根据中心极限定理得{880}1{0915}11( 3.16)0.9992.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤≈-Φ-=10．一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出120只，求次品不多余15只的概率．解 以120~(120,0.12)X X B 记只产品中的次品数，则．所需求的概率为{15}(0.17)0.5675.P X P ≤=≤≈Φ=11．某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以X 记手术成功的人数．求{8495}P X ≤≤．解 依题意有{8495}(1.67)(2)0.95250.977210.9297.P X ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=+-=12．在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率．解 以(1,2,,100)i X i = 记对第i 位顾客的服务时间．按题设需求概率为1001001100 1.5{120}120150()(3)0.0013.10ii X P X P =-⨯≤=≤-≈Φ=Φ-=∑13．某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率．解 设X 为100只元件的寿命之和，则()200,()400E X D X ==，则所求概率为{180)1{0180}11[(1)(10)]0.8413.P X P X >=-≤≤=-≤≤≈-Φ--Φ-=14．某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率．解 设随机变量Y 表示任一时刻正在工作的机器的台数，则Y 服从二项分布(200,0.75)B ．所以所求概率为{144160}(1.63)(0.98)0.7849.P Y ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=15．在次品率为16的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率．解 设X 为300件产品中次品的件数，依题意知1250~(300,),()50,()66X B E X D X ==， 利用中心极限定理得(4060)(1.55)( 1.55)2(1.55)10.8788.P X P <<=<<≈Φ-Φ-=Φ-=。
第五章大数定律及中心极限定理第节
令
Yn
1 n
n
X
k 1
k
则序列 Y1,Y2,,Yn, 依概率收敛于 a。
定理二: (伯努利大数定理)
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，
则对于任意正数 0，有
lim
n
P
nA n
p
1
或
lim
n
P
nA n
p
0.
伯努利大数定理表明事件发生的频率 nA n
解： 令
Xk
1 0
第 k 个人在未来一年里死亡 第 k 个人在未来一年里未死亡
(k 1,2,,10000)
则 Xk
0
1
p 0.995 0.005
10000
10000个这类人中死亡人数 X Xk ~ b(10000, 0.005)
k 1
10000
10000个这类人中死亡人数 X Xk ~ b(10000, 0.005)
下，这一要求可以去掉 。
为此，我们有以下结论 ：
定理三： (辛钦定理)
设随机变量 X1, X2,, Xn, 相互独立，
服从同一分布，且具有数学期望 E( Xk ) , (k 1,2,). 则对于任一正数 , 有
lim
n
P
1 n
n
X
k 1
k
1
第二节 中心极限定理
正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别 重要的位置。在某些条件下，即使原来并不服从正 态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布， 当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布 的。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立 的随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这 一类定理称为中心极限定理。
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第四章 大数定理与中心极限定理典型题解
1. 计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差
相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对 值超过15的概率是多少?
解 设第k 个加数的舍入误差为 X k (k =1,2,…,1500),已知X k 在(-0.5,0.5)
1 1500
上服从均匀分布，故知E(X k ) =0,D(X k )=丄.记X =送X k ，由中心极限定理,
12 心
当n 充分时有近似公式
P{
匸芒0
笄<x}黑①(X )，
于是
P{x A 15}=1-P{X 兰 15}=1-P{—15<X 兰15}
-15-0
"F 叭2
15
=1 -[2①-1]=丹(1.342) = 2[1-0.9099]
= 0.1802.
即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802 .
2. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，现在从这批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率.
解 以X 记被抽取的100根木柱长度短于3m 的根数，则X ~b(100,0.2).于 是由中心极限定理得
P{X >30} = P{30 <X
~ 30—100X0.2 ” X —100X0.2 乂―100咒0.2、 =P { -丈 —< }
丁100".2天0.8 710^0.^0.8 710^0.^0.8
不 不30 —20 不
=昨）—①（一
）=1 —①（2.5）
V 16
= 1-0.9938 = 0.0062.
3. 将一枚硬币投掷49次，（I ）求至多出现28次正面的概率；（II ）求出现
15
}
20-25次正面的概率.
从而n <98.0199，即最大可以装98箱.
6.设一大批产品中一级品率为10%，现从中任取500件，这500件中一件 级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率.
解 以X 表示49次投掷中出现正面的次数，则有 X 〜b(49,%). (I )由中心极限定理得
1
28 -49x —
2
) =e (1) =0.8413 ； 1 1 X —X — 2 2
(II )由中心极限定理得
1 1
25—44-
20
-49咒-
1
9
= 0.5557-0.0985 = 0.4572.
P{20 <X <25}^Q(
4.某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概 率为0.8 .求正常工作的机器超过85台的概率.
解 设匕为100台中正常工作的机器数，则 匕-B(100,0.8)，且
np =E E =80,
np q =D 匕=16 .
由中心极限定理可得所求概率为
K
t
0 —80 t —80 85 —80
P{© >85} =1 -P{0
<85} =1 -P{ ---------- < --------- < ---------- }
4 4 4
Z —[①(1.25)-①(—20)] =0.1056.
5.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重
50kg ，标准差5kg .若用最大载重量5t 的汽车承运最多可以装多少箱才能保障 不超载的概率大于0.977 .
解 设n 为每辆车所装的箱数, 引(i =1,2,…，n)是装运的第i 箱的重量，且
E 翳=50, D 會=25 . n 箱的总重量
£ = % + £2 +…+片有 E s = 50n, D s = 25n ，由
中心极限定理E 近似服从正态分布 N(50 n,25n).现求使下面不等式成立的n:
P{^5000} = P{沖兰 5°°^} 5^20^)A 0.977
5如
查正态分布表得
1000 -10n 2
> 2 ，
解 设£为所取500件中的一级品数，贝U 巴-B(500,0.1)且
EE=50, DE=45
由中心极限定理得
厂 - ' 500
肚 2①(1.49)—1=0.8638.
7.设一袋味精的重量是随机变量，平均值 100g,标准差2g .求100袋味精 的重量超过10.05kg 的概率.
解 设E jQ =1,2，…100)第i 袋味精的重量，100袋的总重量
而E q =100, =4，所以所求概率为
. ^0—100X100—100x100 / 10050 -100x100、
P{ © >10050} =1 — P{0 < © <10050} =1 — P{—== ------- < —== ----------- < ------- == ------------ }
*00咒 2 7^x 2 <10^x 2
止1 -[①(2.5) -6(—500)] =1 -0.99379 =0.00621. &一本200页的书，每页上的错误数服从参数为
0.1的泊松分布，求该书
的错误数大于15个的概率.
解 设©为该书的总错误数，则E ©=20，=20,于是所求概率为
F
U
0-20 20 15-20
屮沖八珂山兰佝八p{^.右.茹}
=1—[①(—1.12)-①(—4.47)] =0.8686.
9 .某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05 .现射击100次，求总分多于880分的概率.
解 设匕为100次射击的总分数，依题意，E E =915, D © =122.75 •根据中 心极限定理得
昭＞880}十P{0兰皿佝十p{晋兰津兰^^注}
V 122.75 V122.75 V122.75
刊-①(—3.16) =0.9992.
10. 一生产过程的次品率为12% ,随机地自这一生产过程生产的产品中取出 120只，求次品不多余15只的概率.
解 以X 记120只产品中的次品数，贝U X ~ B(120,0.12) •所需求的概率为
X -120咒 0.12 15—120 咒 0.12
P{X 兰 15} = P{ P 兰 ‘
}
J120x0.12x0.88 J120x0.12x0.88
匕-50 f 10 } 745 745^
卩{二_0.1 c 0.02}=P{|©-5q c 10} = P{
50.17） =0.5675.
11.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术,
以X记手术成功的人数.求P{84 <X <95}.
解依题意有
不95—100x0.9 不84-100x0.9
P{84 <X <95}止①(/ )-①(/ )
J100X0.9X0.1 J100X0.9X0.1
= 0(1.67)-①(一2) =0.9525 +0.9772 -1 = 0.9297.
12.在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余 2 小时的概率.
解以X i(i =1,2川1,100)记对第i位顾客的服务时间.按题设需求概率为
—100
100送i^X i—100x1.5 120—100x1.5
P{S X i <120} = P{ ---------- < —5}
y 尿0X1 7^X1
120-1503) = 0.0013.
止
10
13.某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互
独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率.
解设X为100只元件的寿命之和，则E(X)=200, D(X) =400，则所求概
率为
P{X >180） =1 -P{0 兰X 兰180}=1 -{=.*J80M0}
J400 7400 J400
H —[①(—1)—①(—10)] =0.8413.
14.某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正
在工作的概率.
解设随机变量丫表示任一时刻正在工作的机器的台数，则丫服从二项分布
B(200,0.75).所以所求概率为
不160—200X0.75 不144 — 200X0.75
P{144 <Y 兰160}止①（丁二）—①）
J200 X 0.75 X 0.25 丁200 咒0.75 咒0.25 = 6（1.63）-①（—0.98） =0.7849.
15.在次品率为丄的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定
6
理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率.
解 设X 为300件产品中次品的件数，依题意知
1 250
X - B(300, -), E(X) =50, D(X)=——
6 6
利用中心极限定理得
止①（1.55）-①（―1.55） = 2 ①
（1.55） —仁 0.8788.
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