高中数学 第二章 解析几何初步 章末复习

解析几何初步章末复习

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高频考点例析

考点一直线的方程

例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．

[解]解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，

故设直线l的方程为x

a ＋y

a

＝1或x

a

＋y

－a

＝1(a≠0)，

当直线l的方程为x

a ＋y

a

＝1时，

把P(8,6)代入得8

a ＋6

a

＝1，解得a＝14，

∴直线l的方程为x＋y－14＝0；

当直线l的方程为x

a ＋y

－a

＝1时，

把P (8,6)代入得8a －6

a ＝1，解得a ＝2， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0.

综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b

k . ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b k .

∵b ≠0，∴k ＝±1.

当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0；

当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0.

类题通法

常用待定系数法求直线方程

求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．

[变式训练1]将直线的方程x－2y＋6＝0；

(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；

(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．

解(1)将原方程移项得2y＝x＋6，两边同除以2，得斜截式y＝1

2x＋3，因此

它的斜率k＝1

2

，

在y轴上的截距为3.

(2)将原方程移项得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式x

－6＋y

3

＝1.由方

程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为－6,3.

考点二直线的位置关系

例2已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．

[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，

即a2－a－b＝0.①

又点(－3，－1)在l1上，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝2.

(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

∴l1的斜率也存在，a

b ＝1－a，即b＝a

1－a

.

故l1和l2的方程可分别表示为

l1：(a－1)x＋y＋4(a－1)

a

＝0，

l 2：(a －1)x ＋y ＋

a 1－a

＝0.

∵原点到l 1与l 2的距离相等，

∴4⎪⎪

⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝2

3. 因此⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝－2或⎩⎨⎧

a ＝2

3，b ＝2.

类题通法

两条直线位置的判定方法

两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．

[变式训练2] 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值． 解 (1)若l 1∥l 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧

a (a －1)－2×1＝0，a (a 2－1)－6×1≠0.

∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2. (2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直．

当l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝

11－a

，k 1＝－a 2. ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫

－a 2＝－1. ∴a ＝23.

考点三 求圆的方程

例3 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．

[解] 解法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，

得⎩⎪⎨⎪

⎧

(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×4

3＝－1.

解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254， ∴圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y －922＝25

4.

解法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，

得⎩⎪⎨⎪⎧

32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，

52

＋22

＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E

2－6

－D 2

－3×43＝－1，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

D ＝－10，

E ＝－9，

F ＝39.

∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.