数学 教案 三升四-12 简单的数阵图
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。
数阵图PPtPPT课件
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例1. 把1--- 7这七个数填入下图,使每条 线段上三个○内的数的和相等.
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和都等于己于14,且数字1出现在四边形 的一个顶点上.
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例3.把1---7这七个数填入下图中的7个○内, 使每条线段上三个数的和两个圆上的数的和 都相等 .
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5
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例8. 如下左图有5个圆，它们相交后相互分 成几个区域，现在两个区域里已分别填上数 字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、 3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内 的数的和都是15.
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例4． 将1～16分别填入下图（1）中圆圈 内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方 形的四个数之和都为34，图中已填好八个数， 请将其余的数填完.
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8
例5. 10个连续的自然数中从小到大的第三 大的数是9,把这10个数填入图中的10个方 格内,每格填一个数,要求图中3个2×2的正 方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是
______.
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例6. 将1～8填入左下图的○内，要求按照 自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连 接的相邻的两个○内
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在下左图的七个圆圈内各填上一个数， 要求每条线上的三个数中，当中的数是两边 两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？
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二年级第九讲简单的数阵图
第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数：连续，大小，奇偶性。
图：辐射型，封闭型，混合型。
二、突破口的选择1.数比较多的地方。
2.重叠部分：考虑第一个数，中间数，最后一个数。
三、方法1.尝试法（有序枚举）。
2.计算法：线和，数和，重叠部分。
●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中，使得每边上的和为12（同一个数只能使用一次）。
★找数最多的部分作为突破口，有序的枚举，尝试进行填空。
练习1在下面的圆圈中填上适当的数，使每条直线上的三个数之和都是12。
例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框，使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。
★先观察横行、数列、斜对角，寻找出题目的突破口，再从数多的部分入手，逐一填数，各个击破。
练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中，使得每边上的和为10，同一个数只能使用一次。
例题3把2，3，4，5，6这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于11，每个数只能是一次。
★找突破口（重叠部分），条件中要填的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试，最后小数配大数。
练习3把5，6，7，8，9这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于22，每个数只能使用一次。
例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。
练习4将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14，每个数只能使用一次。
例题5把1，2，3，5，7，9，11这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都为14，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数不是连续的，奇偶性尝试或者计算的方法。
线路图幼儿园大班数学教案：数字序列教学
线路图幼儿园大班数学教案：数字序列教学
一、教学目标
1.学生能够识别数字序列1-10。
2.学生能够按照规律补全数字序列1-10。
3.学生能够创造自己的数字序列。
二、教学准备
线路图、数字卡片、数字积木、数字拼图、数字球、小黑板、白板笔。
三、教学内容
1.引入
老师出示线路图，让学生按照线路图上的数字依次念出来。
引导学生发现数字在这幅图中有规律的排列。
2.基本知识与技能讲解
（1）数字序列的特点
数字序列是指将数字按照一定的顺序排列起来形成的一组数列。
可以看成是一个数形结合的故事，可以趣味地引导学生操作，从而了解这组数据的规律性和特点。
（2）补全数字序列
老师出示数字序列1-10中有两个数字缺失的序列，让学生用数字积木、数字卡片等工具完成补全，加深学生对数字序列的理解。
3.练习
组织学生按照1-10的数字序列，用数字球、数字拼图、小黑板练习数字的识别和顺序排列。
4.提高
老师出示一个更复杂的数字序列，让学生破解规律并完成补全。
学生可以自己发挥，创造自己的数字序列，并邀请同学来猜测规律并完成补全。
5.总结
通过这节课的学习，学生学会了识别、补全和创造数字序列，学生对数字的理解和使用有了一定的提高。
四、参考资料
1.《幼儿数学教学指南》
2.《幼儿数学游戏大全》
3.《幼儿数学实践教材》
以上是本次线路图幼儿园大班数学教案：数字序列教学的详细内容。
在教学过程中，老师可以灵活运用各种教学手段和工具，让学生在愉悦的氛围中感受到数字的魅力，从而激发学生对数学的兴趣和热爱。
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
数学 教案 三升四-12 简单的数阵图
第12讲巧填数字——简单的数阵图[教学内容]《数学》暑期版，三升四第12讲——简单的数阵图。
[教学目标]知识技能1. 通过计算，进一步掌握有关数阵图的运算技巧。
2. 通过小组合作的形式，来激发学生学习的兴趣，提高学生合作交流的能力以及实践能力。
数学思考1.在解决数字迷等问题的过程中，进一步培养学生对数的计算和理解，发展数感以及学生的思维能力。
2.学生在讨论交流的过程中，能提出一些简单的猜想，并能独立思考问题，表达自己的想法。
问题解决1. 培养学生分析问题的能力,寻找解决数阵图的方法，养成检验的好习惯；2. 通过解答数阵图，了解同一个问题可能有不同的解决方法。
情感态度：1. 积极参与数学活动，体会数学问题的探索性和挑战性，并在小组协作中感受数学活动中的成功；2. 感受数学与生活的紧密联系，并在解决问题的同时，善于倾听别人的意见，养成良好的学习习惯。
[教学重点和难点]掌握数阵图各种题型的解题方法与技巧[课前准备]：动画多媒体语音课件第一课时教学过程种游戏的名字叫幻方，也说这叫九宫格。
我们现在把这个叫数阵图，今天我们就学习关于数阵图。
二、自主探究、合作交流课件出示：例1 将1、3、5、7、9这5个数字分别填入下面的图中，使得横行三个数之和与竖行三个数之和相等。
（蓝色的字可以拖动）1.生读题，寻找解题思路。
2.师生共分析。
师：题中告诉我们哪些信息？生1：有1、3、5、7、9这样的5个数字生2：还要求横行三个数的和与竖行三个数的和相等。
师：横行三个数，竖行三个数，这样不是6个数吗？而题中只告诉我们5个数，这是为什么？生：中间这个数被重复计算了.师：也就是说，这五个数中，哪个位置的数比较特殊？生：中间数师：那么如何确定中间数呢？大家想一想3.生独立思考，然后指定学生说说自己的解题思路。
生：中间数我填的是5，剩下的数就是两两搭配。
较大数搭配较小数，这样可以保证和相等。
师：思考的很到位，讲解也很细致。
还有其他不一样的填法吗？4.探究不同的解法：生1：中间还可以填1……生回答，展示自己的思路、想法小组讨论，培养孩子的合作意识生2：中间还可以填9……5.师引导学生探究：师：如果把题目稍微改下，变成“不仅要保证横行三个数的和与竖行三个数的和相等，而且还要求和都是17。
数学教案 3升4-13 数阵图
第13讲神奇的幻方
——数阵图
[教学内容]
暑期激趣版，三升四第13讲——数阵图。
[教学目标]
知识技能
1. 通过计算，进一步掌握有关数阵图的运算技巧。
2. 通过小组合作的形式，来激发学生学习的兴趣，提高学生合作交流的能力以及实践能力。
数学思考
1.在解决数字迷等问题的过程中，进一步培养学生对数的计算和理解，发展数感以及学生的
思维能力。
2.学生在讨论交流的过程中，能提出一些简单的猜想，并能独立思考问题，表达自己的想法。
问题解决
1. 培养学生分析问题的能力,寻找解决数阵图的方法，养成检验的好习惯。
2. 通过解答数阵图，了解同一个问题可能有不同的解决方法。
情感态度：
1. 积极参与数学活动，体会数学问题的探索性和挑战性，并在小组协作中感受数学活动中的成功。
2. 感受数学与生活的紧密联系，并在解决问题的同时，善于倾听别人的意见，养成良好的学习习惯。
[教学重点和难点]
掌握数阵图各种题型的解题方法与技巧
[课前准备]
动画多媒体语音课件
第一课时教学过程
第二课时教学过程：
教材答案：
教材：
攀登高峰
1.答案不唯一，中间的数还可以填2,10。
2.答案不唯一，中间的数还可以为3,4；2，5。
3.
4.
5.
眺望远方。
有趣的数阵图教案
《有趣的数阵图教案》一、教学目标1. 知识与技能目标- 学生能够理解数阵图的定义和基本特征。
- 学会运用不同的方法来分析和解决数阵图问题。
- 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和创新思维能力。
2. 过程与方法目标- 通过观察、猜测、验证等活动，让学生经历探索数阵图规律的过程。
- 引导学生运用多种策略解决问题，培养学生的思维灵活性和解决问题的能力。
- 培养学生合作交流的意识和能力。
3. 情感态度与价值观目标- 激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学思维和探索精神。
- 让学生体会数学与生活的紧密通联，感受数学的魅力和价值。
- 培养学生的自信心和成就感，增强学生学好数学的信心。
二、教学重难点1. 教学重点- 理解数阵图的定义和基本特征，掌握分析和解决数阵图问题的方法。
- 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和创新思维能力。
2. 教学难点- 根据数阵图的特点，灵活运用各种方法解决问题。
- 引导学生发现数阵图中的隐藏规律，培养学生的数学思维能力。
三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、实践法、多媒体辅助教学法。
四、教学准备多媒体课件、数阵图卡片、练习题等。
五、教学过程（一）导入新课1. 教师展示一个简单的数阵图（如九宫格数阵图），让学生观察并思考：这个数阵图有什么特点？它是如何构成的？2. 学生自由发言，共享自己的观察和思考结果。
3. 教师总结数阵图的定义：数阵图是把一些数按照一定的要求排列成一定的形状，使横行、竖行和对角线上的数的和相等的一种数学问题。
（二）探究新知1. 讲解数阵图的基本类型- 封闭型数阵图：数阵图的范围是封闭的，如正方形、圆形等。
- 不封闭型数阵图：数阵图的范围不是封闭的，如长方形、三角形等。
- 特殊型数阵图：根据数阵图的特点和要求，还有一些特殊类型的数阵图，如等差数列数阵图、等和数阵图等。
2. 探究分析数阵图的方法- 观察法：仔细观察数阵图，找出数与数之间的关系，以及数阵图的形状、位置等特点。
数阵图(一)(含详细解析)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
四年级奥数教程第7讲-有趣的数阵图
随堂练习2
如下图， 将数字1~6填入图中的小圆圈内，使每 个大圆上4个数字和都是16.
开放型（辐射型）数阵图
例4：把1-7这7个数分别填入下图中的7个圆圈内， 使每条线段上的三个圆圈内各数之和都相等。
解：解答本题的关键是确定中心 内的数，另外 还知道每条线段上3个数的和是几？经试验，可 得出3个基本解。
小学四年级奥戏千姿百态，种类很多。在前面我们
已经学习了找规律、魔牌二十四、算式谜等。下 面我们再来学习一种很有趣的填数游戏—数阵图。 它的特点是把一些数字按照一定的要求，填入各 种各样的图形中。数阵图主要有封闭型、开放型 （也称辐射型）和复合型。它的填写需要有一定 的技巧，要求同学们必须有敏锐的观察能力，灵 活的思维能力才能找到答案。
解：基本解有4个，每个基本解可有6种填法， 一共就有24种填法。
1
6
5
1
6
4
2
4
3
3
2
5
2
5
3
4
1
6
4
3
2
5
1
6
随堂练习1
（1）如图，将1~4这四个数分别填入图中口内，
使竖列和横行口内数的和相等。
（2）如下图，把数字1，3,4,5,6分别填入图中 三角形3条边上的5个○内，使每条边上3个○内 数的和等于9.
29
4
75
3
61
8
补充
例7：把1-9这个数填入下图中的九个小三角形 中，使得每条边上的5个小三角形内的数字之和 都相等。这个和的最小值是多少？
解：设每边的和为a，将它们加起来，总和3a 中，每边中间的数出现一次，其余的数出现2 次，因此3a中的最小值是2×（1+2+3+4+5+6） +7+8+9=66，a的最小值为66÷3=22。在a及每边 中间的数确定后，经尝试可得一解。
小学数学解题方法解题技巧之数阵图
第一章小学数学解题方法解题技巧之数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5。
17的方格中,使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
(长沙地区小学数学竞赛试题）讲析:中间一格所填的数，在计算时共算了4次,所以可先填中间一格的数.（l+2+3+……+9)÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
显然，中间一数填“5”.再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换,再通过旋转（如图5。
18)，便得解答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。
(“新苗杯"小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除,又能被 4整除,（三行四列)。
所以，能被12整除.十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。
每列为（91—7)÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。
三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。
经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。
例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5。
22的十个方格中,每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等.那么,这个和数的最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。
它们的和是65。
在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b)之和必须是 3的倍数。
所以，(a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
【其他数阵】例1 如图5。
23,横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20,竖列上任意三个相邻数之和为21。
三年级升四年级数学暑假基础班第5讲 数阵图
第四站数阵图月日姓名【知识要点】在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
数阵图是一种趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙，大致可分为三种：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
辐射型数阵图一般只有一个重叠数；封闭型数阵图一般是指有多个重叠数。
【典型例题】例1 把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
例2 将1～7这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例3 将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例4 将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
随堂小测姓名成绩1 将1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。
2．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填入下图的○中，使横行、竖行五个数相加的和等于23。
3 把1～8这八个数填入下图中，使每个圆圈上的各数之和为20。
4 将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于10。
课后作业姓名成绩家长签名1.将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
数阵图一.教师版
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
三 简单的数阵图
3
通关小诀窍：确定
中间值
练 习 我 最 棒
将1-9这九个数填入下图圆圈内，使横行、竖行 五 个数相加和为24。
1 5 2 4 3A 7 8 6 9
横行、竖行五数和：
24+24=48 1-9数之和：
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 A：48-45=3 12456789八个数分为两组， 使每组中四个数字之和：
将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上 三个数之和等于9。
A1
6
5
B2
4
C3
三条边数字总和： 3×9=27
1-6六数之和： 1+2+3+4+5+6=21
A+B+C=27-21=6 故只能选1，2，3
将1-9这九个数填入下图圆圈内，使每条线上三个数字 相加之和为5
C1
2～9填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等 于18。
A
B
四条边数字总和： 4×18=72
2-9九数之和： 2+3+4+5+6+7+8+9=4 4
C
D A+B+C+D=72-44=28
故只能选,
4+7+8+9=5+6+8+9
将1～8这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之 和都等于15。
不会做，就 等着受死吧！
把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每 个圆圈里的四个数之和都等于13。
1 4 2 357 8 6 9
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第12讲巧填数字——简单的数阵图[教学内容]《数学》暑期版，三升四第12讲——简单的数阵图。
[教学目标]知识技能1. 通过计算，进一步掌握有关数阵图的运算技巧。
2. 通过小组合作的形式，来激发学生学习的兴趣，提高学生合作交流的能力以及实践能力。
数学思考1.在解决数字迷等问题的过程中，进一步培养学生对数的计算和理解，发展数感以及学生的思维能力。
2.学生在讨论交流的过程中，能提出一些简单的猜想，并能独立思考问题，表达自己的想法。
问题解决1. 培养学生分析问题的能力,寻找解决数阵图的方法，养成检验的好习惯；2. 通过解答数阵图，了解同一个问题可能有不同的解决方法。
情感态度：1. 积极参与数学活动，体会数学问题的探索性和挑战性，并在小组协作中感受数学活动中的成功；2. 感受数学与生活的紧密联系，并在解决问题的同时，善于倾听别人的意见，养成良好的学习习惯。
[教学重点和难点]掌握数阵图各种题型的解题方法与技巧[课前准备]：动画多媒体语音课件第一课时教学过程教学路径学生活动方案说明一、导入相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
师：同学们，仔细观察表格中的数字，你能发现什么规律？(下一步)依次闪每一行，然后在后边标上15，闪每一列然后在列下面标上15闪对角线，然后标上15生独立思考，然后老师指定学生说说自己的发现。
生1：每一行数字和都是15。
生2：每一列的数字也都是15。
生3：每条对角线上的数字和也是15。
师：说得非常好，在我们的国家古代大家都玩这种游戏，这种游戏的名字叫幻方，也说这叫九宫格。
我们现在把这个叫数阵图，今天我们就学习关于数阵图。
二、自主探究、合作交流课件出示：学生独立思考，自主作答。
从实际生活出发，使学生觉得亲切、自然。
例1 将1、3、5、7、9这5个数字分别填入下面的图中，使得横行三个数之和与竖行三个数之和相等。
（蓝色的字可以拖动）1.生读题，寻找解题思路。
2.师生共分析。
师：题中告诉我们哪些信息？生1：有1、3、5、7、9这样的5个数字生2：还要求横行三个数的和与竖行三个数的和相等。
师：横行三个数，竖行三个数，这样不是6个数吗？而题中只告诉我们5个数，这是为什么？生：中间这个数被重复计算了.师：也就是说，这五个数中，哪个位置的数比较特殊？生：中间数师：那么如何确定中间数呢？大家想一想3.生独立思考，然后指定学生说说自己的解题思路。
生：中间数我填的是5，剩下的数就是两两搭配。
较大数搭配较小数，这样可以保证和相等。
师：思考的很到位，讲解也很细致。
还有其他不一样的填法吗？4.探究不同的解法：生1：中间还可以填1……生2：中间还可以填9……5.师引导学生探究：师：如果把题目稍微改下，变成“不仅要保证横行三个数的和与竖行三个数的和相等，而且还要求和都是17。
”那么应该选哪个？生回答，展示自己的思路、想法小组讨论，培养孩子的合作意识生思考回答。
解析：课件动态显示横行三个方框，再动态显示竖行三个方框，最后中间方框变成不一样的颜色。
（下一步）首先确定中间数。
课件出示答案：分三步出示：6.师小结：解决此类题，我们一定要先观察数与数之间的位置关系，确定关键位置的数之后，再去一一确定其他位置的数。
课件出示：例2 在下面的5个圈内分别填上1～5这5个数字，使每条线段上的3个数之和等于10。
（将数字1-5设计成可以拖动的）（1）生读题，思考（2）师生共分析师：这题与上一题有什么区别？生：这题不仅要求每条线段上的3个数和相等，而且都要等于10。
师：这一题先确定哪个位置的数？生：中间数生：满足3个数之和相等的中间可以填1、3、5，但满足和是10 的只有填5。
剩下的1和4配对，2和3配对。
师：大家想一想，除了上一题的一一列举的思路，你还有更简便的方法吗？生：我们可以先算出原来5个数的和，然后再算出两条线段上6个数的和。
因为中间数是被重复计算的，所以两个和之间的差就是中间数。
（3）生尝试解答（4）汇报讲解生：1+2+3+4+5=15，10×2=20，20-15=5，所以中间数是5，然后再配对剩下的数。
解析：课件分别动态显示两条线段上三个方框，最后中间方框变成不一样的颜色。
（下一步）中间的数=2×10-（1+2+3+4+5）=5课件出示答案：（5）小结师：解决此类题有一个较为简单的方法就是先算出中间数，然后再配对剩下数。
这样就避免了一一计算，节省时间。
课件出示：例3 将10～16这7个数填入下图，使每条线上三个数的和都是39。
根据答题情况，适时进行总结，找到解题突破口通过讲解，锻炼孩子的口头表达能力通过总结，培养孩子举一反三的能力（1）生读题，思考（2）师生共分析师：这题的图形，特殊位置在哪？生：中间位置。
师：那么这题中间位置能填哪些数？生：10、13、16师：如何快速求出满足条件的中间数呢？生：先求出原来7个数的总和，然后再求出3条线上数的总和，这样就可以求出两个和之间的差。
师：这个差就是中间数吗？生：不是，应该是中间数的2倍。
师：为什么？生：因为这题有3条线，中间数算了3次，这样就可以知道中间数被重复计算了 2次。
师：下面中间数会求了吗？生：用求出的差除以2即可求出中间数。
（3）生尝试解答（4）汇报讲解解析：课件分别动态显示三条线段上方框，最后中间方框变成不一样的颜色，然后出示：先确定中间数，剩下的数再按要求填入圈内。
（下一步）2×中间数=39×3-(10+11+12+13+14+15+16)课件出示答案：（5）小结师：解答此类题时，我们要注意中间数被重复计算的次数，然后再确定其他位置的数。
课件出示：例4 将2、4、6、8、10、12这6个数分别填入下图中，使每边上的3个数之和都等于18。
（蓝色的字设计成可以拖动的）（1）生读题，观察思考（2）师生共分析师：这题的特殊位置是哪里？生：三个角上师：如何确定三个角上的数？生：先算出原来6个数的和，然后再算出三条边上数的总和。
两个和之间的差对应的就是三个角上数的和，这样就可以确定三个角所对应的数，剩下的数再一一配对即可。
（3）生尝试解答（4）汇报讲解生：原来6个数的和是2+4+6+8+10+12=42，后来三条线上数的和时18×3=54。
差是54-42=12，这样三个角上数的和是12，可知三个角上的数是2、4、6。
然后再利用每条边上和时18，即可求出每条边上的中间数。
解析：先求出三个角上的数的和。
（下一步）三个角上数的和=三条边的总和－原来6个数的和。
课件出示答案：先出2,4，6 ，然后再出12,8,10。
师：如果题目要求每条边上和是24，又该怎么填？生独立完成并汇报讲解。
（5）小结三、课堂总结师：本节课你学到了哪些知识？生：说一说师：我们刚才一起研究了数阵图的解题方法，你们会了吗？下节课再继续！第二课时教学过程：预设材料与教学路径预计学生活动方案说明一、过渡语：师：上一节课，同学们不仅积极开动脑筋答题，还悟出了一些数阵图的解题技巧，真是太棒了！接下来还有更大的挑战等着我们，有信心战胜它们吗？生：有！二、巩固应用、尝试成功1. 将2、5、8、11、14这5个数填入下面的图中，使得横行三个数之和与竖行三个数之和相等，且都等于27。
将蓝色的字设计成可以拖动的教师要注意学生独立完成，然后老师指定学生说说，中间的数是多少，怎么求得的。
2.将1～7这7个数字分别填入下图，使每条线上的三个数字之和相等。
（课件中五个圆圈可以通过键盘填数。
不需要判断对错。
）（1）指名学生读题（2）分析各个量之间关系（3）学生汇报（4）尝试解答（5）验证、总结。
3. 将3、7、11、15、19、23这6个数分别填入下图中，使每边上的3个数之和都等于45。
蓝色的设计成可以拖动学生先独立思考，然后学生说说三个角上数字的和是多少。
师指定学生说说三个角上的数的和多少？生：45×3-3-7-11-15-19-23=57。
师：那三个角上的数字分别是什么？生：只能是15,19,23。
学生独立完成。
根据算式特点，思考解题的关键点生：……本环节思维活跃的学生易抢答，而可能导致个别学生不去动脑筋，依赖别人的答案。
教材及练习册答案： 教材： 大胆闯关：4. 将11～16这6个数填入下图中，使每个正方形上的4个数的和都是56。
师：对于这道题，我们首先确定是哪两个数字呢？ 生：中间的两个数字。
师：我们怎么确定中间的两个数呢？生：先求中间两个数的和，因为两个正方形的和是56×2=112，中间的两个数字被重复计算了两次，如果用两个正方形的和－（11+12+13+14+15+16）=31,所以中间的两个数分别是15,16. 课件出示解析：先闪左边四个圈，然后闪右边的四个数，将中间的两个数标红.然后出示先确定中间两个数。
三、课堂总结同学们，通过今天的学习，你有什么收获？还有什么问题要解决？ 师生总结。