数学建模之传染病模型

第五章 微 分 方 程 模 型
如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.
§1 传 染 病 模 型
建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.
考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.
一. SI 模 型
假设条件：
1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人
和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .
2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康
人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型.
解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴
由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为
()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.
于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有
i s N dt
di
N
λ= (1)
i s dt
di
λ=∴
而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则
()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
01i i i i dt di
λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t
e i t i λ-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
11110
［结果分析］
作出()t t i ~和i dt
di
~的图形如下：
1. 当2
1=i 时，dt
di 取到最大值m
dt di ⎪
⎭⎫
⎝⎛，此时刻为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-11ln 01i t m λ
2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.
二. SIS 模 型
在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.
假设1、2同SI 模型，增加假设:
3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为
易感染者（健康人）.显然μ1
是这种传染病的平均传染期.
解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为
i N i Ns dt
di
N
μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=0
01i i i i i dt di
μλ
解得
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=---　＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11
010i t e i t i t
［结果分析］ 1. 令μλ
σ=.
注意到λ和μ1的含义，
可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.
()⎪⎩⎪⎨⎧-
=∞　
01
1σi 11≤>σσ
1-
2. 接触数1=σ是一个阈值.
当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.
当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ
1
1-=∞i .
3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形.
三. SIR 模 型
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为 1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数
N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .
1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为
μλσ＝.
解：由假设1，有
()()()1=++t r t i t s 0=++∴
dt
dr
dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt
di
N μλ-=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dt
di i dt
dr
μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s
于是
()()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds
i i s dt di
λμλ (2)
我们在相平面上来讨论解的性质. 相轨线的定义域为
(){
}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得
⎪⎩
⎪⎨⎧=-==0
s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()0
00s s
ln
1
s -i s σ
+
+=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线.。