动静法第12章(理论力学II)

M QC m 2 L2sin2α
例12–2：轻杆OA、OB与质量为m的均质杆AB固连成一个边长为 L的等边三角形支架，可在自身平面内绕 O 轴转动。设转动的角 速度和角加速度分别为和，方向如图示。试求支架惯性力系 向O点简化结果。 A [解]：杆AB对O点转动惯量JO R
M QO O
Qy
t aC a A aCA
aA

A
aCy 0.5l cos
x
aCx 0.5l sin
系统受力如图(含惯性力)

RQx
C
J O J C m OC
2
1 3 2 5 2 2 mL m L mL 12 4 6
B 惯性力系向O点简化结果示于图中，大小分别为
ROx m
2
3 L 2
3 RQy mL 2
M QO
5 2 J C mL 6
3.刚体平面运动微分方程
当平面运动的刚体具有质量对称面且运动平行于该平面时， 根据惯性力系向质心的简化结果
OA
将OA杆的惯性力向O点简化。
mg

A R 60 Q
CA RQ
D
A
AB
C M AB B Q 将AB杆的惯性力向质心C简化 mg A RQ ml OA CA RQ 0.5ml AB 2 1 OA M Q ml AB 12
OA RQ 0.5ml OA 1 2 OA M Q ml OA 3
平动刚体的惯性力系是平行力系，惯性力系的合力过质心。
A
C
aC
RQ 刚体A平动
2.定轴转动刚体
刚体具有质量对称面xoy，绕垂直于xoy平面的z轴作定轴转动， 角加速度为。将惯性力系向位于z轴的o点简化。 y n m i t Q i RQ Qi ri o aC x C M QO 刚体内任一质点mi的惯性力如图。 惯性力系对o点的主矩
B MQ
B RQ
M
O
0
A B B M MQ MQ 2rRQ 2mgr 0
mg
5 2 M mr ( A B ) mg 2r 2 2 aB ( M 2mgr ) 5mr
例12–7：均质杆OA、AB长为l，质量均为m。求剪断绳子BD时刻， 二杆的角加速度OA、AB。 OA N Oy [解]：在剪断绳子BD时刻，二杆的角速度 RQ 均为零，角加速度不为零。 OA MQ O N Ox 系统受力如图。
Q
B
m
A
a F
F Q 0
2.质点和质点系的达朗贝尔原理
质点的达朗贝尔原理 (d ’ Alembert principle of a particle) ：在质点 运动的每一瞬时，作用在质点上的外力与惯性力，组成一个 平衡力系。 质点系的达朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle system)： 当一非自由质点系运动时，作用于质点系的主动力系、约束 力系和质点系的惯性力系, 每一瞬时在形式上构成一个平衡 力系。
第十二章
12.1达朗贝尔原理 12.2刚体惯性力系的简化 12.3动静法的应用
动静法
12.1达朗贝尔原理
1.惯性力
Q
m
A
a F
B 质点m在外力F作用下，加速度为a。定义质 点惯性力(inertial force)Q Q ma 由牛顿运动定律 F ma
得
F Q 0
如果就研究对象本身而言，惯性力显得是虚加的，或者表观 的，但当涉及周围物体时，它就成为了实在的力。 F FI a
RQ
解：飞轮静止时，由静载荷 引起的轴承的反力称为静反 力(statical constraint force)。
aC
FNB 0.5mg FNA
FNA l
l
FNB
当飞轮匀速转动时，虚加惯 性力如图示。
RQ maC me 2
由 惯 性 力 所 引 起 的 轴 承 附 加 反 力 称 为 动 反 力(dynamical constraint force):
F N
G


M
Байду номын сангаас
A
0 M Q RQ r Grsin 0
5 a gsin 7
F
y
0 N Gcos
F
x
0 F RQ Gsin 0
纯滚动，则
2 F Gsin 7 F fN
2 f tan 7
例12–6：均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕 固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，直线绳段铅 垂。摩擦不计。求：(1)圆柱体B下落时质心的加速度；(2)若在圆 柱体A上作用一逆时针转向的力偶M，试问在什么条件下圆柱体 B的质心加速度向上。 解 ： (1) 设圆柱 A 的角加速度为 A ， 圆柱 B 的 角加速度为B，质心加速度为aB。
即刚体平面运动微分方程
例12–3：如图，重G、长为L的细长杆，绕过O的铅垂线以匀角速 度转动。求与关系，并求此时O点的约束反力。 [解]：OA杆的受力(含惯性力)情况如图 N
Oy
RQ
惯性力系是分布平行力系，其合力为 O G L 2 N Ox RQ sin g 2 2 L Lcos G 2 Lsin y 3 2g
M QO mo (mi ai ) mo (Qit ) mo (Qin )
mo (Qit ) ri mi ri J o
具有质量对称面的刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯 性力对转动轴的主矩等于其转动惯量与负角加速度的乘积。
具有垂直于转轴的质量对称面的转动刚体的惯性力系简化结果： •质心位于转轴，惯性力系主矢为零，简化为一力偶； •匀速转动，则惯性力系主矩为零，简化为通过转轴的力； •质心位于转轴且匀速转动，惯性力系成平衡力系，即动平衡。 垂直于转轴的质量对称面的存在，则保证了惯性力系可首先 简化成对称面内的一平面力系。 xoy是其质量对称面，A1和A2关于xoy对称， z A是它们在对称面内的投影。
动静法 (method of kineto statics) ：这种在加速运动的质点上虚加 一惯性力，而把动力学问题在形式上转化为静力学问题的方 法。在使用中应注意以下几点： • • • 主动力系和约束力系中的内力不要计入； 实际应用中，矢量方程可投影于直角坐标系或自然轴系， 类似于静力学中平衡方程的应用； 这里所谓的平衡仅仅是形式上的，实质上动静法中的平衡 方程仍然表示质点系的运动和受力之间的关系。
12.2刚体惯性力系的简化
作用在刚体的每个质点上的惯性力，构成一个分布力系，即 惯性力系(inertial force system)。根据力系简化理论，该惯性力系 向一点简化后，可得到一个主矢RQ和主矩MQ。
12.2.1刚体惯性力系的主矢RQ
质心位置矢量 rC
m r m r M m
MO 0
mg T
B MQ
D
R
B Q
MD 0
mg
M
(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向的力偶 M，设圆柱A的角加速度为A，圆柱B的角加 速度为B，质心加速度为aB。
aB
A
B
存在运动学关系 a B r A r B 以整体为研究对象，受力如图(含惯性力)。
Ny
M
Nx
A MQ
OA RQ
N Oy
以整体为研究对象。
OA MQ O N Ox
M
O
0
AB Q
OA
mg

A R 60 Q
CA RQ
D
A
AB
N Ay
C M AB B Q mg
R
A Q
mgl 3l A OA M M Q RQ 0 4 4 3g 13 OA AB l 以杆AB为研究对象。 MA 0 l CA 1 A M ( RQ RQ mg ) 0 2 2 6g 3 OA 4 AB l
FNA FNB 0.5me 2
例12–5：重量为G、半径是r的均质圆球沿倾角是的斜面无初速 地滚下。求使球滚而不滑的最小静滑动摩擦系数。 y [解]：设球处于纯滚动的临界状态，其质心
x
RQ r
A
MQ
C
加速度为a，角加速度为。 a r
a
圆球受力图，将惯性力向质心C简化
RQ G 2G 2 2G a M Q J C r ra g 5 g 5 g
A
存在运动学关系
B
a B r A r B
aB
Ny
Nx
A MQ
B MQ
B RQ
以整体为研究对象，受力如图(含惯性力)。 1 2 A M Q mr A 2 1 B MQ mr 2 B 2 B RQ maB mr ( A B )
A B B MQ MQ 2rRQ 2mgr 0 4g A B 5r 以B为研究对象，受力如图(含惯性力)。 B B MQ RQ r mgr 0 3 g A B 2 r 4 2g 2g a g A B B 5 5r 5r
A
G
x
M F F
O
0
x
y
0
0
sin 0
作用点在OA杆的2/3处 2 G RQ Lcosα Lsin 0 3 G 22 N x RQ Lsin 2g Ny G 3g 或cos 2 L 2
例12–4：图示飞轮由于安装的误差，其质心不在转动轴上。若飞 轮质量为m，偏心距为e，飞轮以匀转速ω转动，试求轴承A处的 附加动反力。
例12–1：在下列各图中，求惯性力系的简化结果。圆盘视为均质 圆盘，质量为m，杆AB质量不计。 z

RQy

M QO
RQx
纯滚动
C
O
R

M QC RQ C V R
A L
m
a
M QC
L B m
C
ROx m 2 R RQy mR M QO 3 mR 2 2
RQ ma M QC 1 mRa 2
y
o
n m i t Q i Qi ri C aC x
Qe
将平面运动分解为随质心的平动和相对于质心的转动。惯性 力系向质心C简化 惯性力系对C点的主矩
M QC mC (mi ai ) mC (Qe ) mC (Qit ) mC (Qin )
mC (Qit ) ri mi ri J C
D
B
C
mg
h

A
解：先确定运动学补充方程。以A为基点研究B点加速度。 B at D n t BA a B a A a BA a BA n a BA n a BA 0 t aC a A aCA C aB aA 投影到水平向左方向 t a CA t y a A aBA sin l sin 以A为基点研C点加速度
QA
A1
A1和A2的惯性力关于关于xoy平面对称。 A1和A2惯性力的合力必在xoy平面内。 因此，该刚体的惯性力系可以首先简化 成该xoy平面内的任意力系。 惯性力也会对x轴和y轴产生主矩，但 若 xoy 构成质量对称面，则惯性力对此二 轴的矩为零。
1
o
QA x
A
A2
y
QA
2
3.平面运动刚体
设刚体具有质量对称面xoy，运动平行于该平面。刚体的惯性 力系可首先简化为在xoy面内的平面力系。
i i i i i
mi、ri为刚体内各个质点的质量及位置矢量 d 2 rC M 2 MaC mi ai 由此可得 dt RQ mi ai MaC 刚体惯性力的主矢，等于刚体质量与其质心负加速度的乘积， 与其运动形式无关。
12.2.2刚体惯性力系的主矩(或合力作用位置) 1.平动刚体
(e) F i RQ 0
(e) m ( F C i ) M QC 0
写成分量形式的三个动力学方程

2 d xC (e) Fix MaCx M dt 2 2 d yC (e) Fiy MaCy M dt 2 d 2 (e) mC (Fi ) J C J C dt 2
AB Q
R
CA Q
AB MQ
A N Ax
C mg
B
OA
18 g 55l
AB
69 g 55l
例12–8：图示均质杆AB的质量m=50kg，AB=l=2.5m，A端置于光 滑地面上， B 端连接一绳； D 点高出地面 h=2m 。 当绳 DB 处于水 平位置时，杆由静止开始落下 。 试求此瞬时： (1) 杆的角加速 度；(2)绳的拉力；(3)A点的反力。