数理方法-第一讲-定解问题讲解

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第2章定解问题

第2章定解问题第2章定解问题1、何谓数理⽅程？按其描绘的物理过程，它可分为哪⼏类？2、何谓定解问题？它分为哪⼏类？试写出⼀维波动⽅程的Cauchy问题的数学表⽰。

3、何谓定解条件？它包括哪些内容？4、何谓边界条件？它分为哪⼏类？⼀个边界需⽤⼏个边界条件来描述？5、⽤数理⽅程来研究物理问题需要经历哪⼏个步骤？6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界⾯S 处的衔接条件有⼏个？应如何表⽰？7、如何导出物理模型的数理⽅程？在推导弦的横振动⽅程时采⽤了哪些近似？由⼩⾓度近似我们得到什么结论？8、热传导⽅程的扩散⽅程有何共同和不同之处？9、在杆的纵振动问题中，若端⾃由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从⼀物理定律出发证明吗？11、在热传导问题中，若热源密度不随时间⽽变化，则热传导⽅程会发⽣怎样的变化？12、在弦的横振动问题中，若弦受到了⼀与速度成正⽐的阻⼒，该阻⼒对于弦的振动问题是否起到了源的作⽤？若受到了⼀与位移成正⽐的回复⼒呢？第3章⾏波法1、⾏波法的解题要领是什么？它适合⽤来求解哪⼀类定解问题？为什么？2、⼀维波动⽅程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？3、公式是⽤⾏波法求解弦的横振动问题时推得的，能否⽤公式求解如下定解问题？请说明原因？4、能否⽤公式求解如下定解问题？5、能否⽤⾏波法求解如下定解问题？6、你能否根据直⾓坐标系中的导出球坐标中球对称情况下的的表达式请记住这个结论：7、何谓平均值法？你能通过引⼊球⾯的平均值，将三维的波动⽅程化为关于平均值的⼀维⽅程吗？8、在Poisson 公式中，?若已知9、对于定解问题除了可⽤Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？10、在弦的横振动⽅程单位质量的弦所受的外⼒，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？11、冲量原理的精神是什么？12、你能否⽤纯强迫振动的解来求解定解问题13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于⼀单位球内，则其中的体积分该如何计算？14、对于定解问题按下述⽅法进⾏求解是否正确？为什么？令使由公式可求得⽽显然，所满⾜的定解问题的解为所以，原定理问题的解为第4章分离变量法1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表⽰为单元函数的乘积？2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能⽤分离变量法求解⽆界问题吗？4、分离变量法有哪⼏个求解步骤？其中最关键的是哪⼀步？5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？(1)(2)6、仿照上章⽤冲量原理求解⽆界弦的纯迫振动的思想和⽅法，你能否写出⽤冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的⼀次式，⽽当问题的两个端点均有第⼆类边界条件时，必须选辅助数为X的⼆次式？8、在⽤分离变量法求解圆的Dirichlet问题时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？9、在⽤分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的⽅程为…其后为什么要注明…？它是怎样得来的？11、在扇形区域中，⽤分离变量法求Dirichlet问题应选择什么坐标系？所得到的的⽅程仍是…吗？为什么？12、在⽤分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直⾓坐标系中求解吗？5章特殊函数>> 1）勒让德多项式1、⽅程是什么⽅程？你能写出它在中的⼀有限解吗？2、试述Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？3、你能证明吗？你能由和之值算出吗？4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些⽤途？5、Legendre多项式的归⼀化因⼦是什么？模是什么？你能得到⼀正交归⼀的Legendre多项式吗？6、积分和之值分别是多少？和7、你能将⽤Legendre多项式表⽰吗？8、你能否⽤关系式导出递推公式9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？10、什么是缔合Legendre函数？它是否⼀定是多项式？为什么？11、试述缔合Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？12、缔合Legendre函数的模和归⼀化因⼦是什么？13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归⼀性导出的正交归⼀性？15、何谓球函数⽅程？它满⾜下列条件的特解是什么?16、独⽴的l阶球函数共有多少个？17、你能⽤两种不同的形式，写出在球坐标系中，在⾮轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，⼜分别是怎样的呢？2）贝塞⽿函数1、⽅程叫什么⽅程？你能写出它的⼀有限解吗？2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel⽅程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有⽆母函数？为什么？4、你能利⽤Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？5、Bessel函数有⽆微分表达式？若有，试写出；若⽆，说明为什么？6、什么是三类柱函数？它们是否均满⾜Bessel⽅程？它们互相的关系是怎样的？7、第⼆、三类柱函数是否也满⾜Bessel函数递推公式？为什么？8、9、10、Bessel⽅程的通解是什么？其有限解是什么？11、什么是虚宗量的Bessel⽅程？它经过什么样的代换可变成Bessel⽅程？由此你能推得虚宗量的Bessel ⽅程的⼀个特解吗？12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel⽅程的通解是什么？13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？14、⽅程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel⽅程？虚宗量的Bessel⽅程是否会构成本征值问题？15、球Bessel⽅程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel⽅程有什么关系？你能理解式给出的⼏个函数是球Bessel ⽅程的特解吗？16、试述球Bessel⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？第6章积分变换法1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数⽽导出⾮周期函数的Fourier积分从⽽引⼊Fourier变换吗？3、试求函数的Fourier变换（a>0），你能利⽤Fourier变换的某些性质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。

数理方程与特殊函数第一章王元明版课件

自变量的个数是两个或者两个以上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问题和规律归结为偏微分方程进行研究。十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程并探讨了它的解法。流体的运动弹性体的平衡和振动热传导电磁相互作用原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏微分方程的解
课程考核
考核方式：闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言（2）课前预习，课后复习（3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )

数理方法习题数理方法习题讲解

u ( x , y ) = ∑ (C n e
n =1
nyπ a
+ Dn e
nyπ a
nπ x ) sin a
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∴ lim u = 0 ∴ C n = 0
y →∞
∞
l 2 2l (2n + 1)π Bn = ⋅ v0 sin ξ dξ ∫ l (2n + 1)π a 0 2l 2v0l = = (n + 1 ) 2 π 2 a 2
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Tn = Cn e
−
n 2π 2 a 2 l
2
t
u ( x, t ) = ∑ Bn e
n =1
∞
∞
−
n 2π 2 a 2 l2
t
nπ x ⋅ sin l
nπ bx(l − x ) ∴ u ( x, 0) = ∑ Bn ⋅ sin x= 2 l l n =1 2 l bξ (l − ξ ) nπ Bn = ∫ sin ξ dξ = = 2 0 l l l
Z = ∑ An cos λx + Bn sin λx
nπ Z (a ) = 0 ⇒ sin λ a = 0 ⇒ λ = a ∞ nπ Z ( x ) = ∑ Bn sin x a n =1 Z (0) = 0 ⇒ An = 0 n = 1, 2
而
Yn = An′e
∞
nyπ a
+ Bn′e
−
−
nyπ a
8b π 3 (2 R + 1) 3 ( n = 2 k + 1) = 0 ( n为偶数 )

第一章定解问题

(4)电荷守恒定律电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的— 部分转移到另一部分，或者说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的.
(5)热量(质量)守恒定律物体内部温度升高所吸收的热量(浓度增加所需要的质量)，等于流入物体内部的净热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量)之和．
例在弦的横振动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程．
解弦的横振动问题，通常是指紧绷于两固定点之间的细长而柔软的弦线，在平衡位置附近作振幅极其微小的横振动的问题．显然，该问题需要研究的物理量u 是弦的位移。
(1)如图所示，考虑弦中的任意一小段x 的受力情况．依题意，设单位长弦线所受
个闭曲面所包围的自由电荷的电量的 1 倍。即
s
E

dS

1

d
其中，
为介电常数，

为体电荷密度．
(8)Joule－Lenz 定律电流通过纯电阻的导体时所放出的热量跟电流强度I 的平方、导线的电阻R和通电的时间t
成正比。即Q I 2Rt
(9)Kirchhoff 定律第一定律：会合在节点的电流代数和
(1)导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分．
(2)求解已导出或写出的定解问题．
(3)对求得的解答讨论其适定性(即解是否存在、惟一且稳定)并作适当的物理解释．
3．求解数理方程的方法求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种
(1)行波法(又称d’Alembert解法)
(2)分离变量法
(3)积分变换法
差时，会产生热量的流动。热流密度q （即，单位时间内流
过单位横截面积的热量），与温度的下降率成正比。即

数理方程中典型方程和定解条件的推导ppt课件

P5 (1.5) ”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+
- v(x,t)
Ldx
i(x,t)
Cdx
P● ＋
－
i +di C L– L
GdxC v dv
x
●
图 12
x dx
iC
C
duC dt
di
u L
L
dt 19
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以 R，L，C，G。于是
x1d2x
3、忽略与近似
T cos Tcos 0
(1)
T sin T sin ds g ds utt
(2)
①对于小振动： 0; 0
cos 1 ; cos 1
sin
tg 1 tg2
tg u x
x
sin
tg 1 tg2
tg u x
x dx
于是（1）式变为：
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(utt g)
T u x
xdx T
u x
x
ds(ut t g)
②一般说来，ut t g ，将 g 略去，上式变为
Cdx
Gdx v dv
x
●
x dx
17
电路准备知识电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：

数理方法-第一讲-定解问题

1.初始条件
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分定解问题学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三维情况。
第二部分分离变量法学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程数理方程
定解问题
初始条件
定解条件边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律：边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时：边界条件：例5 细杆的导热问题当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法线方向流出时：
积分
解方程组

定解问题讲解

Mathematical Methods for Physics第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。

－牛顿中心：将物理问题翻译成数学语言目的:1、如何用数理方程研究物理问题2、如何导出方程3、能正确写出定解问题§ 6.1 引言Introduction第六章定解问题Mathematical Problem1、数学物理方程概念：数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。

数学物理方程 ♣ 线性方程♦♥ 非线性方程一、数理方程简介：§ 6.1 引言一、数理方程简介§ 6.1 引言ttu =a2⊗u +fut=D⊗u +f2、数理方程的产生和发展：(1)十八世纪初期(2)十九世纪中期三类数学物理方程：波动方程u -波动，a-波速，f-与源有关的函数输运方程u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量泊松方程h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量+fxx2Taylor ：utt=a u⊗u =-h一、数理方程简介：§ 6.1 引言a u2、数理方程的产生和发展：(3)十九世纪末到二十世纪初高阶方程（梁的横振动）：utt= 2xxxxf ( x, t )非线性方程KdV：ut+σuux+uxxx= 0∂ψh2schro&-dinger：i h∂t=-Δψ2μ+U(r)ψ+1、写出定解问题♣ 泛定方程：数理方程(一般规律)♦♥ 定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)如：y '(t) - 4 y = 0♣y ' -4y = 0 －泛定方程♠y(0) = 0 ↔ y = C e 2t+ C e -2t♦ ← －定解条件 12－通解♠♥y '( 0) = 4↑♦1、写出定解问题2、求解：求解方法: 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 ♣ 物理意义3、分析解答：♠♠ ♣存在 ♠♥ 适定性 ♦唯一♠♥稳定数学物理方法物理（内容）桥梁数学（成果）、数理方法的特点三 § 6.1 引言。

数学物理方法定解问题PPT文档45页

谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
数学物理方法定解问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今பைடு நூலகம்对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。

定解问题复习(教学校园)

A、波动方程的初始条件
系统各点的初位移系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布：
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
不含初始条件，只含边界条件条件
教资优选
5
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
或：
第一类边界条件
9
1、有两个不相等的实根
特征根为
齐次方程的通解为 2、有两个相等的实根
特征根为
齐次方程的通解为 3、有一对共轭复根
特征根为
齐次方程的通解为教资优选
10
齐次边界条件解1
偏
常微分方程1
微
分分离方变量
程
常微分方程2
解2
本征解解1×解2
初始条件
确定叠加系数
通解＝本征解
教资优选
11
泛定方程边界条件本征值本征函数
交换系数；周围介质的温度,
第三类边界条件
C、拉普拉斯方程的边界条件教资优选
7
1、衔接条件
背景：系统中出现跳跃点。
研究方法：具体问题具体分析，在跳跃点处寻找连续条件。
2、自然边界条件
➢
边界值为有限的：
➢
周期边界条件：
教资优选
8
二阶常系数齐次线性方程的标准形式特征方程特征根
教资优选
温度的变化。
4 长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的作用下做小振动，已知弦的初始位移和速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。
5 有一长为 l ，侧面绝热而初始温度为零度的均匀细杆，它的

第一章定解问题

第一章定解问题§1 基本概念1．数学物理方程：是指从物理问题中所导出的反映客观物理量在各个地点、各个时刻之间相互制约的一些偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程）2．数学物理方程的分类数学物理方程按其所代表的物理过程可分为如下三类：（1）描述振动和波动特征的波动方程f u a u tt +∆=2（2）反映输运过程的扩散（或热传导）方程f u D u t +∆=（3）描述稳定过程或稳定状态的poisson 方程h u -=∆其中 222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆ 22t u u tt ∂∂=，t u u t ∂∂= 而未知函数u (x , y , z , t )在三类方程中分别表示位移、浓度（或温度）和稳定现象特征；a 和D 表示波速和扩散（或热传导）系数；f 和h 是与源（汇）有关的已知函数，当f =0或h =0时，相应的方程称为齐次方程。

3．用数学物理方程研究问题的一般步骤（1）导出或写出定解问题（它包括数学物理方程和定解条件两部分）（2）求解已导出或写出的定解问题（3）对求得的解讨论其适应性（即解的存在性、惟一性、稳定性），并作出适当的物理解释4．求解数学物理方程的方法求解数学物理方程的方法大致可以分为如下几种：行波法（达朗贝尔法）；分离变量法；积分变换法；Green 函数法；保角变换法；复变函数法；变分法；数值方法§2 数学物理方程的建立或推导1．建立（或推导）数学物理方程的步骤建立数学物理方程一般步骤step1：从所研究的系统中任取一单元体，分析该单元体与邻近单元体之间的相互关系； step2：根据相关的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律、奥—高定律等）；用算式表达这个作用；step3：化简、整理即得所研究问题满足的数学物理方程。

2．建立（导出）方程时经常要用到的物理定律（1）Newton 第二定律：F=ma（2）Fourier 实验定律（即热传导定律），当物体内部存在温度差时会产生热量的流动。

第一讲定解问题

第一讲：定解问题随着科学技术的不断发展和深入，越来越多的问题得以被解决。

然而，即使是现代科学也不能解决所有的问题。

有些问题，尤其是在数学和物理学领域中，是无法通过直接计算或实验解决的，而需要通过求解问题的定解问题才能得出答案。

本文将介绍定解问题的概念、意义、性质以及解决方法。

一、定解问题的概念定解问题是指确定一组条件，使得某一数学模型或物理问题的解唯一存在的问题。

一般来说，一个数学模型或物理问题会有多种解法，即使这些解法在最终结论上是等价的。

解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。

二、定解问题的意义1、确保答案的正确性解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。

这可以确保问题的答案是正确的。

在一些实际应用中，问题的解法必须是唯一的，才能得到正确的结果。

2、简化问题的解决解决定解问题可以简化问题的解决。

在问题的解法唯一的情况下，我们只需要根据给定的条件寻找问题的解，而不需要试错或者对所有可能的解进行验证。

这样可以节省时间和精力，提高问题的解决效率。

3、研究模型的性质定解问题的解决还可以帮助我们研究模型的性质。

通过分析模型的条件和解，我们可以更好地理解模型的规律和本质，根据这些规律和本质，我们可以推广模型，让它适用于其他应用领域或者更为复杂的问题。

三、定解问题的性质定解问题需要满足一定的性质，才能确保问题有唯一解。

以下是定解问题的几个基本性质：1、解的存在性定解问题必须存在解。

也就是说，通过给定的条件，我们必须能够找到至少一组符合条件的解。

2、解的唯一性定解问题的解必须是唯一的。

也就是说，通过给定的条件，我们只能得到一组解，而不能得到多个或者任意个解。

3、解的光滑性定解问题的解必须是光滑的。

也就是说，解在给定域上可以连续且具有光滑性质。

这个性质可以保证解在求导或者积分的过程中不会出现矛盾或无限大的情况。

四、解决定解问题的方法1、分离变量法分离变量法是定解问题中常用的解决方法。

定解问题和本征值问题课件

04
定解问题实例分析
一维波动方程的定解问题
总结词
描述一维波动现象，如声波、地震波等。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，如声波在空气中传播、地震波在地壳中传播等。通过求解一维波动方程，可以得到波的传播规律、波动速度、波动强度等参数。
热传导方程的定解问题
总结词
描述热量在物体中的传递过程。
02
本征值问题概述
本征值问题的定义
本征值问题是指在某个特定算子或矩阵的作用下，求解特定方程以得到一组解的问题。这些解被称为本征值和本征向量。
本征值问题在物理、工程、化学等领域有着广泛的应用，如量子力学、振动分析、信号处理等。
本征值问题的分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为离散型和连续型两类。离散型本征值问题通常涉及到矩阵，而连续型本征值问题则涉及到微分方程或积分方程。
02
热传导方程
热传导方程也是定解问题的一个例子，它描述了热量在物体中的传递和
分布。同时，热传导方程的本征值问题也具有实际应用，例如在热传导
模式的稳定性分析中。
03
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是描述物理中静电场、稳态热流等问题的定解问题。同时
，它也是一些本征值问题的形式，例如在量子力学中的粒子在势阱中的
运动。
微分算子的本征值问题
总结词
微分算子的本征值问题是一个经典的数学问题，它涉及到微分方程的解和函数的本征值，对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
详细描述
微分算子的本征值问题主要研究微分方程的解和函数的本征值，即找到一个函数使得该函数是这个微分方程的解，并且这个函数是这个微分算子的一个特定的值。在解决实际问题时，微分算子的本征值问题常常用于求解波动方程、热传导方程、薛定谔方程等领域。

定解问题和本征值问题课件

流体流动和传热分析
通过求解本征值问题，可以研究流体的流动和传热特性，为流体动力学的研究提供基础数据。
在量子力学中的应用
原子结构和光谱
利用定解问题的方法，可以求解原子的结构和光谱，从而研究原子和分子的物理性质。
量子纠缠和相干性
通过求解本征值问题，可以研究量子纠缠和相干性等量子力学的基本现象。
2023 WORK SUMMARY
PART 06
定解问题和本征值问题在物理中的应用
在固体物理中的应用
晶体结构分析
利用定解问题的方法，可以求解晶体的内部结构，从而研究晶体的物理性质。
电子状态和能带结构
通过求解本征值问题，可以得到晶体中电子的状态和能带结构，进而研究材料的电子学性质。
在流体动力学中的应用
流体稳定性分析
利用定解问题的方法，可以研究流体的稳定性，预测流体的运动状态。
唯一性
在一定条件下，本征值是唯一的。这些条件包括：线性算子是自伴的、有界可逆的、或者具有某种特定的对称性。在这些条件下，本征值是唯一的，相应的本征函数也是唯一的。
PART 04
常用本征值问题的求解方法
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种求解本征值问题的常用方法，适用于具有特定解析性质的问题。
VS
格林函数法适用于一些具有特定性质的问题，如求解电磁场问题、声波传播问题等。
PART 03
本征值问题概述
定义与分类
定义
本征值问题是指求解一个线性算子，以及其对应的本征函数。本征值是线性算子作用在本征函数上的一种特殊的标量值。
分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为实本征值问题和复本征值问题。实本征值问题对应的是实数域上的线性算子和本征函数，而复本征值问题则对应复数域上的线性算子和本征函数。

07_定解问题

叠加原理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件即可。 I 2 I
例：下面的定解问题
utt a u xx f ( x, t ) I u |x 0 0; u I |x l 0 u I | 0; u I | 0 t t 0 t 0
2
sin 1 tan 1 ux ( x0 0, t ) sin 2 tan 2 ux ( x0 0, t )
h
x0
0
x
u( x0 0, t ) u( x0 0, t )
衔接条件
Tux ( x0 0, t ) Tux ( x0 0, t ) F (t )
kun |xa h u |xa u |media (u Hun ) |xa u |media
左端点x=0，(u Hux ) |x0 u |media .
( 右端点x=a， u Hux ) |xl u |media .
例2：纵振动杆，端点x=a处与弹性体连接到固定物上
u u , t n
(1) 第一类边界条件例：弦两端固定
u( x, t ) x0 u( x, t ) xl 0
u( x, t ) xa f (t )
细杆导热，x=a端温度为f(t)
一维杂质浓度扩散，x=0, l端浓度保持为N0
1 B1u B2u Cu F . u 2 A12
i Re ( ) / 2 , or . i Im ( ) / 2i

06第六章定解问题

x+∆x x
F2 = ESux ( x + ∆x, t)
∫ x+∆ x
∂ t x ut (ξ, t ) ρ S dξ = ES ux ( x + ∆x, t ) − ES ux ( x, t)
中值定理è ut t ( x1 , t )ρ S∆x = ES ux x ( x2 , t) ∆x x1, x2 ∈[x, x + ∆x]
a---波速；D---扩散系数
三类方程都是二阶线性偏微分方程
4
*薛定谔方程：ih ∂t ψ
=
−
h2 2m
∇ 2ψ
+ Uψ
波函数一般为复数！
*KdV 方程 (非线性)： (1895, first 1877)
∂u ∂t
−
6u
∂u ∂x
+
∂ 3u ∂x 3
=
0
非线性项色散项
单个孤波：u = − c sech2[ c (x − c t)]
13
2. 热传导方程
Ø问题描述
比热为 C、密度为ρ的物体内部有热源，
与周围的介质通过热传导有热交换，研究
物体内部的温度分布
u( x,
y,
z,
t) =
r u(r ,
t)
•比热：质量 Δm 的物体温度升高 Δu 需要的热量 Q = C ∆m ∆u = C ρ ∆V ∆u
•热源强度：dt 时间内，体积元 dV 释放 (吸收)
(3) 两端自由：ux (0, t ) ≡ 0, ux (l , t ) ≡ 0 (4) 右端与劲度系数为 k 的水平弹簧相连
− ES ux (l , t ) + [−k u(l, t )] = 0

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第2章定解问题

数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件

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第一章 定解问题

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定解问题复习(教学校园)

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定解问题和本征值问题课件

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