2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题九 数学思想方法

高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．

(一)函数与方程思想

函数思想，就是用函数与变量去思考问题

分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．

例1(1)若a>1，则双曲线x2

a2－

y2

(a＋1)2

＝1的离心率e的取值范围是________．

(2)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是______________．

思维升华函数与方程思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．

跟踪演练1(1)(2015·南京模拟)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)”或“<”)．

(2)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是______________．

(二)数形结合思想

数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 例2 (1)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．

(2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x >0，

y ≤2，则y x

的最小值是____． 思维升华 数形结合思想在解题中的应用

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．

(3)构建解析几何模型求最值或范围．

(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．

跟踪演练2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．

(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，

A 、

B 是切点，

C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．

(三)分类与整合思想

分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．

例3 (1)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．

(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24

＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2

的值为________． 思维升华 分类与整合思想在解题中的应用

(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．

(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．

(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．

跟踪演练3 (1)(2014·课标全国Ⅱ改编)钝角三角形ABC 的面积是12

，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.

(2)(2014·广东改编)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为________．

(四)转化与化归思想

转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．

例4 (1)定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1

(2)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x

－1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，任意的x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是______________．

思维升华 转化与化归思想在解题中的应用