平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数

1 •设一个消费者的直接效用函数为

u =• Inq

。求该消费者的间接效用函数。并且

运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数:

L = : Inq 72 川'；• j y -pq -P 2C 2

L 对q 、C 2和，分别求偏导得:

从而解得马歇尔需求函数为:

y P 2

q

2

二

P 2

由⑤式可知：当y_「p 2・0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:

v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -：

P i

P 2

②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。

从而解得马歇尔需求函数为：

P i

将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:

v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工

P i

(2)①当y_「p 2・0时，此时的间接效用函数为：

v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 -

P i

P 2

将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得:

P t = 0

-:C i C i

p 2 = 0 池

y

~ p i q i

_ p 2q

^

= 0

OK

从①式和②式中消去后得:

:、沱 P 2

q p

再把④式代入③式中得：

C 2

y P 2

P 2

① ②

③

④

⑤

②当y _<_p2^0时，间接效用函数为v P -, P 2, y =u q i”,q 2” ，将间接效用函数分

P i

别对P i 、P 2和y 求偏导得:

由罗尔恒等式，得到:

(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2•某个消费者的效用函数是 u x i 必i=X 2X 2，商品I 和2的价格分别是p 和P 2，此消

费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：(I )消费者的效用最大化问题为：

2

max x X 2

X i

, X

2

st. px • p 2x 2 二m

构造该问题的拉格朗日函数:

把⑤式代入④式中得:

_/V _ 二

印1 — p

由罗尔恒等式，得到：

a

*

矽® P i a P 2

q i

-

-

-

应出丄

P i

:-p 2

p

2

p

2

y :

—■ ■

:-V :卩2 P 2 P 2

y 「二

P 2

；v 沁 丄

P 2

P i

Jv

-：

p

；v ：：y

q i”

:-v :v :y

P i

q 2

拉格朗日函数对x

X 2和■分别求偏导得:

从①式和②式中消去■后得:

把④式代入③式中得:

" 2x i X 2 - 1 P i 二 0 jX i

；：L 2

-

X - - 1 P 2 =0

X 2

二 P i

x - 2P 2

X - p,P 2,m )=

2m 3P i

① ② ③

④

⑤

1

P 2

.P i

—

m

显P i

,P 2

,m 五

⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。 将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：

4m 2

m

4 m 3

V P x ，P y ,m

2

—

9 P i 2

3P 2 27口和2

由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：

1

.『27成

P 2U

~4

收入。

2

P 1 • P 2 P 1 ' P 2

P 1 ' P 2

2

P 1 • P 2 P 1 ' P 2

P 1 ' P 2

4.考虑一退休老人， 他有一份固定收入， 想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。 假定他的选择决策只依赖于其效用函数 u r x M ，这里 X ,，冷卢R 2。已知北京的物价为

p a

, p l ，上海的物价为

p ,b

, p 2，并且P i a

p f

=

p ； p ；，但p a

= Pi b

,廖=p ；。又知广州的物

价为（P C ,P 亠伽F ® +训若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生 活？

解：老人的效用最大化问题为：

maxx ,x 2

X ,, X 2

st p ,x , +p 2x 2 =m

构造该问题的拉格朗日函数：

L （x i ,x 2，人） = x* +^（m — px i -P 2X 2

）

拉格朗日函数对X ,、X 2和■分别求偏导得:

=2 32P ； P 2U

e P i , P 2，u 二 3 •试根据间接效用函数 VP ，P 2

，m

J "

— 求出相应的马歇尔需求函数，这里

m 表示

解：由间接效用函数可得:

■v

.P 1

2

P 1 - P 2

:y _

；：

P 2

2

P 1 - P 2

-------- = ----------------------------- o

；:m P ，- P 2

根据罗尔恒等式可知商品

1和商品 2的马歇尔需求函数分别为（其中

i =1 或 2):