平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第二讲间接效用函数与支出函数D
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
平新乔《微观经济学十八讲》模拟试题及详解【圣才出品】
平新乔《微观经济学⼗⼋讲》模拟试题及详解【圣才出品】平新乔《微观经济学⼗⼋讲》配套模拟试题及详解（⼀）⼀、简答题（每题10分，共40分）1．假设政府与流浪者之间存在如下社会福利博弈：请分析下，在这场博弈中政府和流浪汉各⾃有没有优势策略均衡？有没有纳什均衡？在此基础上说明优势策略均衡和纳什均衡的区别和联系。
答：（1）从流浪汉的⾓度来看，如果政府选择“救济”，流浪汉的最佳策略是“游⼿好闲”；如果政府选择“不救济”，流浪汉的最佳策略是“寻找⼯作”。
因此，流浪汉没有优势策略。
从政府的⾓度来看，如果流浪汉选择“寻找⼯作”，政府的最佳策略是“救济”；如果流浪汉选择“游⼿好闲”，政府的最佳策略是“不救济”。
因此，政府也没有优势策略。
从⽽，这场博弈中没有优势策略均衡。
如果流浪汉选择“寻找⼯作”，则政府会选择“救济”；反过来，如果政府选择“救济”，则流浪汉会选择“游⼿好闲”。
因此，（救济，寻找⼯作）不是纳什均衡，同理，可以推断出其他三个策略组合也不是纳什均衡。
所以，这场博弈中也没有纳什均衡。
（2）当博弈的所有参与者都不想改换策略时所达到的稳定状态称为均衡。
⽆论其他参与者采取什么策略，该参与者的唯⼀最优策略就是他的优势策略。
由博弈中所有参与者的优势策略所组成的均衡就是优势策略均衡。
给定其他参与者策略条件下每个参与者所选择的最优策略所构成的策略组合则是纳什均衡。
优势策略均衡与纳什均衡的关系可以概括为：优势策略均衡⼀定是纳什均衡，纳什均衡不⼀定是优势策略均衡。
2．（1）张⼤⼭的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数形式表达（为常数）其偏好满⾜严格凸性吗？为什么？（2）李经理的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？满⾜严格凸性吗？为什么？（3）崔⼤⽜的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？为什么？你能从⽣活中举出⼀个例⼦对应这种偏好关系吗？答：（1）该偏好满⾜严格凸性，理由如下：⽆差异曲线的图像如图1所⽰，可知其偏好满⾜严格凸性。
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数1 •设一个消费者的直接效用函数为u =• Inq。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数:L = : Inq 72 川'；• j y -pq -P 2C 2L 对q 、C 2和，分别求偏导得:从而解得马歇尔需求函数为:y P 2q2二P 2由⑤式可知：当y_「p 2・0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。
将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -：P iP 2②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：P i将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工P i(2)①当y_「p 2・0时，此时的间接效用函数为：v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 -P iP 2将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得:P t = 0-:C i C ip 2 = 0 池y~ p i q i_ p 2q^= 0OK从①式和②式中消去后得::、沱 P 2q p再把④式代入③式中得：C 2y P 2P 2① ②③④⑤②当y _<_p2^0时，间接效用函数为v P -, P 2, y =u q i”,q 2” ，将间接效用函数分P i别对P i 、P 2和y 求偏导得:由罗尔恒等式，得到:(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2•某个消费者的效用函数是 u x i 必i=X 2X 2，商品I 和2的价格分别是p 和P 2，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。
经济学第二讲笔记
意义：控制消费者的消费行为实质上可以通过 p《价 格政策，价格改革》及 y《收入政策》 二、间接效用函数的性质 如果 u(x)在Rn + 是连续且严格递增的，则 v(p,y)= max u(x) x∈ Rn + st: px≤y 有
n 1、在Rn ++ × R + 是连续的
2、关于（p,y）是零次齐次的 3、对于 y 严格递增 4、对于 p 严格递减 5、满足罗尔恒等式 即 v(p,y)在点（p0 ,y 0 ）可等且
= =
1
x 2 1
1
−1 2
x2 - p1 λ = 0
−1
1 2
⋯⋯① ⋯⋯②
1 2 2 x x 2 1 2
- p2 λ = 0
= y − p1 x1 − p2 x2 = 0 ⋯ ⋯ ③
x2 x1
由①②有 即
= p1
2
p
x 2 = p 1 x1
2
p
代入③有
∗ x1 = 2p ∗ x2 = 2p y
y
ρ
+ 1]
有
p 1 ρ −1 p2
ρ ρ −1 ρ
= u[
+ 1]
−1 ρ 1 ρ −1
=u[p1
+ p2 ] . p2
γ −1 p2 )γ .
1
ρ −1 ρ −1 ρ
γ =u(p1
+
p2
γ−1
⋯⑥
代⑥给④有
h x1 =up1
1 ρ −1
. p2
−1 ρ −1
γ (p1
+
γ −1 p2 )γ .
1
p2
3、总效应<TE> SE + IE= TE 讨论题： 住房由福利分房改为货币分房，分析其效应 配合上图
第二章__间接效用函数与支出函数
其中， x x* ( p, y) 因此，
v( p, y ) / y max u ( x) / y n
L( x, ) u( x) ( y p x)
xR
L( x* , * ) u( x* ) * pi 0, (i 1, 2, n) xi xi
需要证明，对于所有的t>0，都有：
v( p, y) v(tp, ty),即v(tp, ty) tv( p, y)
证明：v(tp, ty) max u ( x), s.t. tp x y n
xR
max u ( x), s.t. p x y n
xR
（3）在收入上y是严格递增的，而在价格p上 则是严格递减的。 v(tp, ty) max u ( x), s.t. tp x y n
第二章 间接效用函数与支出函数
§1.间接效用函数
一、相对价格变化与收入变化对最优 消费量的影响
x2
y p2 p1 p2 y p1
p1' p2
y p1'
x1
x2
y' p2 y p2
收入变化的影响
y p1
y' p1
x1
x2
x0
x1
x2
x1
价格和收入变化对最优消费量的影响
二、间接效用函数
1 1
1 1
令r
1
, 可得到:
1
1 h p1 1 x2 u p2
ux2 ( p1r p )
1 1 r r 2
r p2 1
x u( p p )
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本
平新乔十八讲课后习题答案
;
因为 x1 为常数，把之代入（3）式得：
x2
=
m
− αp2 p2
2-11-1
（1） （2） （3）
第二讲 间接效用函数与支出函数
x2
•
•
• m = p1x1 + p2x2
x1
=
αp2 p1
u = α ln x1 + x2
效用函数为拟线 性 曲 线 u = v(x1) + x2
可知，其中 x 1 的需
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
11，（1） u′ = 2
x1
=
αm p1
；
√
x2
=
(1 − α )m p2
（2） u′ = 2v−3(v > 0) √
（3） u′ = −2v−3(v > 0) ×
（4） u′ = v−1(v > 0) √
（5） u′ = ve−v (v > 0) √
（6） u′ = 2v(v > 0) √
⎫ ⎬
⎩ a1 a2 ⎭
当a
=1则
y
=
Min
⎧ ⎨
x1
;
x2
⎫ ⎬
，而当 a
不指定时，则存
⎩ a1 a2 ⎭
在多种表示形式（但它们都无伤大雅），萧锋的效用函数也可 写为 u(x, y) = min(2x, y) ；
2
x2
u(x1, x2 ) = max(x1, x2 )
10 = x1 + 2x2
• x1
（2）
lim ln u(x)
ρ →0
=
lim
ρ →0
1 ρ
ln(α1x1ρ
平新乔《微观经济学十八讲》模拟试题及详解(二)【圣才出品】
平新乔《微观经济学十八讲》模拟试题及详解（二）一、简答题（每题10分，共40分）1．某市人口不断增加，但商品房价格较高从而住房问题日益紧张。
为此，市政府计划刺激租房需求。
先考虑两种方案：一种方案是对租房者按照其支付房租的比例给予补贴，另一种方案是规定一个低于当前房租价格的最高房租。
试简要分析这两种方案对租房市场的短期和长期影响。
答：（1）方案一：以租房者所支付房租的一定比例给予补贴如图1-1所示，政府未补贴前的需求曲线和供给曲线分别为1D 和1S ，均衡点为A 点。
政府补贴后的短期影响：政府补贴后，需求增加，需求曲线由1D 平移到2D ，供给相对不变（短期内，供给相对稳定），均衡点变为B 。
可以看出，均衡数量增加，住房问题有所改善；出租房市场上价格水平上涨，政府给予的补贴绝大部分由住房供给者获得（补贴更多地是由缺乏弹性的市场一方所获得）。
图1-1以租房者所支付房租的一定比例给予补贴政府补贴后的长期影响：在长期，租房需求的增加及间接获得政府补贴的刺激，出租房供给会增加，从1S 增加到2S 。
考虑到现实因素，相对于住房需求增加，住房供给增加幅度很少（受供给能力约束）。
新均衡点为C 点，均衡增加，住房问题得到缓解。
当然，一旦考虑到长期住房需求增加，事实上出租房市场上价格水平会进一步上涨。
（2）方案二：直接规定一个房租的最高价最高限价即能够对一种产品索取的最高价格，往往低于市场的均衡价格。
图1-2最高限价：租金控制租金控制法限制了公寓所有者能够索取的租金。
如图1-2（a）所示，如果将租金控制在R，即低于市场出清水平R*，那么就存在公寓的超额需求。
图1-2（b）给出了长期的1反应。
出租住房的供给在长期更有弹性，因为房东可能拒绝修建新的公寓楼，或是将现有公寓当作单位住房来出售。
另外，对住房的需求在长期也更有弹性，低的住房价格使得长期住房需求增加。
因此，相对于短期来说，长期短缺更加严重。
从上述两种方案分析可以看出，这两种方案都不能有效解决租房市场上存在的供不应求的问题。
间接效用函数与支出函数
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？
消费者的选择
• 当收入，价格既定时，如何选择效用才能最大？ • 消费者还可能面临： 如果要达到一定的效用水平，当价格既定时，如何选择才 能花的钱最少？ 这两个问题都涉及消费者最优选择的问题。前者是极大值， 后者是极小值。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。
间接效用函数的例题
支出函数是关于价格的凹函数的证明
• 凹函数的定义：
对于函数f ( x)的定义域中任意两个量 x1 , x 2 , 取0 t 1, 如果满足： tf ( x1 ) (1 t ) f ( x 2 ) f (tx1 (1 t ) x 2 ),则该函数为凹函数。
• 支出函数：
如果支出函数满足： te( p1 , u ) (1 t ) f ( p 2 , u ) e(tp1 (1 t ) p1 , u ),则该支出函数为凹函数 。
间接效用函数及其性质
将马歇尔需求函数 x x( p, m)代入U ( x)中， 得到效用最大值，构成 间接效用函数 v( p, m) U ( x( p, m))
意义：知道消费者的收 入和价格，就可以知道 最大效用在哪。 可通过控制价格和收入 来影响消费者行为。政 策的应用价值。
思考
第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义
ux
u
x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数
px h p ,u
支出函数 e : n
? 为：
e p, u px h p ,u , x h x x
xh p, u ，最小支出为
n , u x u, u
min px , s.t., u x u
x px , x x x n ,u x u, u
2.在定义域 e : n
? 上连续
3.对于所有的 p ? 0，支出函数在 u上递增并且关于
4.在价格 p 上递增
5.在价格 p 上一次齐次性
6.如 果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：
e p0,u0 pi
xih p 0 ,u 0
u 无上界
证明：
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
e p0,u0 pi
2 2*0.52源自税收总量 =2*0.25=0.5 。与所得税相同。
v%(.)
yy
22 =1.41
2p1 2p2 2*0.5 2*1
商品税带来的效用损失大于所得税。
为什么？
第二节支出函数 一、 支出函数的定义
x*
给定价格 p 实现某一效用水平 u 所需的最小支出：
e( P, u )
min px ,
s.t.,
1) 在 n
上连续
2) 在 p , y 上零次齐次性
3) 在 y上严格递增 4) 在 p 上严格递减
5) 在 p , y 上拟凹
6) 罗伊恒等式：如果 v p, y 在 p0 , y0 上可导，并且
v p 0, y0 y
0 ，有：
v p0, y0
xi p 0 , y0
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平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数1 •设一个消费者的直接效用函数为u =• Inq。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数:L = : Inq 72 川'；• j y -pq -P 2C 2L 对q 、C 2和，分别求偏导得:从而解得马歇尔需求函数为:y P 2q2二P 2由⑤式可知：当y_「p 2・0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。
将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -：P iP 2②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：P i将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工P i(2)①当y_「p 2・0时，此时的间接效用函数为：v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 -P iP 2将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得:P t = 0-:C i C ip 2 = 0 池y~ p i q i_ p 2q^= 0OK从①式和②式中消去后得::、沱 P 2q p再把④式代入③式中得：C 2y P 2P 2① ②③④⑤②当y _<_p2^0时，间接效用函数为v P -, P 2, y =u q i”,q 2” ，将间接效用函数分P i别对P i 、P 2和y 求偏导得:由罗尔恒等式，得到:(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2•某个消费者的效用函数是 u x i 必i=X 2X 2，商品I 和2的价格分别是p 和P 2，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。
解：(I )消费者的效用最大化问题为：2max x X 2X i, X2st. px • p 2x 2 二m构造该问题的拉格朗日函数:把⑤式代入④式中得:_/V _ 二印1 — p由罗尔恒等式，得到：a*矽® P i a P 2q i---应出丄P i:-p 2p2p2y :—■ ■:-V :卩2 P 2 P 2y 「二P 2；v 沁 丄P 2P iJv-：p；v ：：yq i”:-v :v :yP iq 2拉格朗日函数对xX 2和■分别求偏导得:从①式和②式中消去■后得:把④式代入③式中得:" 2x i X 2 - 1 P i 二 0 jX i；：L 2-X - - 1 P 2 =0X 2二 P ix - 2P 2X - p,P 2,m )=2m 3P i① ② ③④⑤1P 2.P i—m显P i,P 2,m 五⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。
将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：4m 2m4 m 3V P x ，P y ,m2—9 P i 23P 2 27口和2由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：1.『27成P 2U~4收入。
2P 1 • P 2 P 1 ' P 2P 1 ' P 22P 1 • P 2 P 1 ' P 2P 1 ' P 24.考虑一退休老人， 他有一份固定收入， 想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。
假定他的选择决策只依赖于其效用函数 u r x M ，这里 X ,，冷卢R 2。
已知北京的物价为p a, p l ，上海的物价为p ,b, p 2，并且P i ap f=p ； p ；，但p a= Pi b,廖=p ；。
又知广州的物价为（P C ,P 亠伽F ® +训若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生 活？解：老人的效用最大化问题为：maxx ,x 2X ,, X 2st p ,x , +p 2x 2 =m构造该问题的拉格朗日函数：L （x i ,x 2，人） = x* +^（m — px i -P 2X 2）拉格朗日函数对X ,、X 2和■分别求偏导得:=2 32P ； P 2Ue P i , P 2，u 二 3 •试根据间接效用函数 VP ，P 2，mJ "— 求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示解：由间接效用函数可得:■v.P 12P 1 - P 2:y _；：P 22P 1 - P 2-------- = ----------------------------- o；:m P ，- P 2根据罗尔恒等式可知商品1和商品 2的马歇尔需求函数分别为（其中i =1 或 2):3 =x i _ • P 2 =0；X 2Lm-px -p 2% =0由①②③三式求解，可得： x(P i ,P 2,m)=-^， X2(p i ,p 2,m)=2 pi2 p2将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数:于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为:5- (i )设u =X i X 2，这里x i ,X 2 ]WR 2，求与该效用函数相对应的支出函数 e p i , P 2, u 。
(2)又设u' =l n X i ・lnx 2，这里，卢R 2，求与该效用函数相对应的支出函数e P ,P 2,u 。
(3)证明： e p, P 2,u = e P i , P 2, u ，其中 u=|nu 。
答：(i )消费者的支出最小化问题为：max p x P 2X 2 X i, X2st x x ? =u构造该问题的拉格朗日函数：L x , x 2, ' = p i x i p 2x 2 亠」u —x x 2 拉格朗日函数对X i 、X 2和■分别求偏导得：P i - X 2:L °P 2 - ■ x i =0.x 2综合上述分析可知： 若该退休老人是理性的， 则他会选择在北京或上海生活， 但不会选b，所以该不等式的等号并不成立，则有 V c :：: V a 二V b 。
择去广州生活。
.:L二X 2 -1P i二0v p,p 2,m ]=4 P i P 2V aa a 4p i Pi% _4p i bp bV cc c 4 P i Pi因为P ：P ；=P ； P b，所以 V =v b。
又因为a bc cP P iP i P 2-ab p 2p_2p ai p bip a . p b由于已知abaP i = Pl ，P 2 = P- u - X i X 2 =0把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数:e"(p i , p 2,u")=2(p i p 2『e u '2=2、；p i p 2e'(3)证明:=u =ln u = 2 • p i p 2e u=2 pp 2e lnu=2』p i p 2Uu =ln X t 亠1 n x 2|-根据(i )与(2)的结果，可得 e p i , p 2, ^ =ep i , p 2, u 。
6•设某消费者的间接效用函数为 v p,p 2,m 二，这里 几c i 。
什么是该消费P i P 2者对物品i 的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为v P i ，P 2,m二p :mP =，从中反解出m 关于P i 、P 2和v 的表达式，并用u 替换v ,就得到了消费者的支出函数：e p,u =up ;p 2"-12-12由上述三式解得：X =弋丿把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数:, i2 — e P i , P 2,u =2 p i p ?]屮 =2. p iP 2U(2)消费者的支出最小化问题为:min PX 亠 px 2 X ，X2s.t In x +ln 冷=u "构造该问题的拉格朗日函数:L x, X 2「 - p i X i P 2X 2 亠；.[u -I n X i -Inx 2拉格朗日函数对 x 1、 X 2和，分别求偏导得:■门 P -一 =0.:X i X.：X i 兰 *2-一0.X 2X 2Cf.由①②③三式可解得：X i 二P 2 I P i 丿e u,'2， X 2 e u '2。
u =XX 2根据谢泼特引理，可知物品 1的希克斯需求函数为:把这n -1个等式代入①式中，就有:即:从而解得商品的马歇尔需求函数为：、、一 yX ― i =1,2,l||nP i(2)把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，£6fp,u\ 云(UpflD 严)h P ,U =-:P 1/P l1P 2=O(U —I P 1丿7 .考虑含n 种商品的 Cobb-Douglass n效用函数u x = A| ] x i ?，这里A . 0 , Y 匕i =1。
(1) (2) (3) (4) 求每种商品的马歇尔需求函数。
求消费者的间接效用函数。
计算消费者的支出函数。
计算每种商品的希克斯需求函数。
解：(1 )消费者的效用最大化问题为:n _max u x = A ' x' x1，x2 x ni 丄n st ,' P i X = yi -4构造该问题的拉格朗日函数:拉格朗日函数对X i i =1,2,H|n 和，分别求偏导数得:—=A i X：i J| ] X j -^Pi ■ =0 i=1,2,l(|n .Xj圧jL ny P i X =0一1从前n 个等式可知，对任意的i 和j ，都有如下关系成立::i X j P i:jX从而得到，对任意的j -i 都有:X j:jP i X":iPjp i1 i *Pi +±(r[ Xi =y 就得到了消费者的间接效用函数:(3)从间接效用函数中反解出 y 关于p i 、p 2和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：(4)把支出函数两边取对数，得:上式关于p 求导得:e p,u 二In e =汕 u -I nA ：] -：; Il n p —In al.?1；:e :-i再根据谢泼特引理 h p,u 二壬P ,ux得到消费者对物品的希克斯需求函数为:tpiuA 」n ,j =1,2,3,HI,n&以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可 以得到同一需求函数。
答：(i )如果消费者的效用函数为柯布一道格拉斯效用函数， 那么他的效用最大化问题可以描述为：max Ax ：f X 〔，x2st , p,x 卩2冷=m构造该问题的拉格朗日函数:人，冷， H A X -I X 1--? " P m — P i x i —P2%拉格朗日函数对x i 、X 2和，分别求偏导得：——=a Ax 严x 严一 X p = 0 .:x 1AxF x 2二 _ ■ p 2 =0_*2m 「px 「0x 2 =0ck从①式和②式中消去'后得：PXX 2〉P 2把④式代入③式中解得:p,y ]=u x p, y =Ae B px ；二兰二ep,u 」二巴 羽 P j 宀:-j 4am X i⑤P i把⑤式代入④式中解得：X_ 1 m 2P 2⑤、⑥两式就是与柯布一道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数, 函数式中，就得到了间接效用函数：（2）消费者的支出最小化问题为:min p X 1 - p 2X 2X〔，X2st , u X 二 AxC ：构造该问题的拉格朗日函数:屮(XX,人)=P i X i +P 2X 2 + 扎(u-A 仪拉格朗日函数对X 1、X 2和，分别求偏导得：p 」；4、纠：七；-‘ -0 各1 p 2 —'# A 1 - ? X <X^ - 0 -X 2u —A /x ；三=0从①式和②式中消去■后得：（1 一G 恥1X 2把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为:把⑤式代入④式中解得商品 2的希克斯需求函数为:/ V ue p ，U i=A（3）下面来验证问题的结论：对柯布一道格拉斯效用函数而言，求解效用最大化问题 和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。