角动量及守恒

第五章
北京交大学习组
自然界中常见物体绕着某中心运动的情况.例 如地球绕太阳的公转, 等等. 在这些情况下,仅仅 用动量来描述物体的运动是不够的,有必要引入 另一个物理量──角动量来描述物体的转动.
北京交大学习组
质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向 下，水平面光滑，开始小球作圆周运动半径为 r1， 然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为半径r2的圆周。 试问小球这一过程中下面哪个叙述是对的？
v v0 r0 1 rr
星球所需向心力：
v2 1 F向 m r r 3
开始 F引 F向 ，r当 ：rF引就 F稳向 定不变了，引力
不能再使r减小 。但在z轴方向却无这个限制， 所以可以在引力的作用下沿z向收缩，使星云形
成了铁饼状。
2 有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
C
例题 如图所示.半径为r 的轻滑轮的中 心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条 轻绳,质量相同的两个孩子.起初两个孩子 都不动。现设两个孩子以不同的爬绳速 度从同一高度同时向上爬试问谁先到达 滑轮处？
分析：系统合外力矩为零，系统角动量 守恒。角动量在两小孩之间通过绳中张 力的力矩（内力矩）传递。
设两人对轴承0点的速率分别为vA,vB
A. 小孩甲 B. 小孩乙 C. 同时到达 D. 谁先到达不能确定
C
#1a0204005b
如图所示，半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定 在高处，其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子。 在同一高度从静止开始一起向上爬，任何时刻，相 对绳子，甲的速率是乙的一倍，试问谁先到达滑轮 处？
A. 小孩甲 B. 小孩乙 C. 同时到达 D. 谁先到达不能确定
r
F
i jk x yz
Y
o
说明
Fx Fy Fz Mxi M y j Mzk
1.力矩是改变质点系转动状态的原因,
力是改变质点系平动状态的原因。
2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的。
质点的角动量及 角动量定理：
d
(a
b)
da
b
a
db
dt
dt
dt
M
r
F
r dp
d(r
p)
dr
p
d(r
p)
dt
定义角动量
dt
v mv
dt dt
d(r p)
dt
vv 0
ddL L ddt t
M
L r p mr v
t2
M
dt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
质点的角 动量定理
t2 t1
Mdt
为质点在t内对o点的冲量矩
力
力矩
平动运动状态发生改变（动量定理） 转动状态发生改变（角动量定理）
Pi
i
vi mvi 0
[F外i
fij(内) ]
ji
dL dt
i
ri
F外i
ji
fij (内)
ri F外i
i
一对作用力、反作用力对定点（定
轴）的合力矩等于零。
dL
dt
i
ri F外i M
dL
M
dt
一个质点系所受的合外力矩等于该质点系总角动量对
时间的变化率——质点系的角动量定理。 当 M 0时 L 常矢量
L
r
p
mr
v
=0 ？
大小： L mvrsin mvd
方向：
d
r
思考：如何使L=0？
O
v
m
#1a0204010a
质点的角动量的定义是
L
r
p
,以下哪一个
选项的理解是正确的？
A.对不同的参考点，角动量是相同的，或者说 质点的角动量与特定的坐标原点无关
BC..当当rr与 与质 质点 点动动量量pp平垂行直时时质质点点的的角角动 动量 量等 等于 于零 零
0
M1
M
2
r1
f
2
r2
f2
(r2 r1 ) f2 r f2
r f2
2.质点系的角动量
L ri Pi
d
(a
b)
i
da
b
a
db
Fi
·i
Pi· fi ·
·
r·i
·
rj
fj·
j
dt
dt
dt
o
dL
dt
d [
dt i
ri Pi ]
i
ri
d dt
Pi
i
dri dt
性质：角动量守恒 机械能守恒
#1a0204003c
一个粒子飞过一金原子核而被散射，金核基本 未动（如图所示）。在这一过程中，对金核中心 粒子的角动量
A. 守恒 B. 不守恒 C. 条件太少，无法判断
粒子
A
v
r
Au核
#1a0204003b
质量为m的质点在t=0时刻自(a，0)处静止释放，忽 略空气阻力。问对原点O的角动量是否守恒？
1.质点的圆周运动
动量：p
mv
L
Or
v
（对圆心的）角动量：
m
L
r
p
r
(mv)
mr
v
(r
v)
大小： L m rv
方向：满足右手关系，向上
2 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
L
r
p
m(r
v)
大小： L mvrsin;
v
v
r
r
Sun
方向：满足右手关系，向上
3 质点直线运动对某定点的角动量
(1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？ (3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
C
T
O
mg
C'
请同学思考！
力矩的概念！
知识点：
质点的角动量 L r p mr v
质点的角动量定理
dL
M
r
F
dt
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。 质点→质点系
角动量守恒的几种可能情况：
18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气 云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩， 最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。
万有引力不能把所有的天体吸引在一起? 形成一个扁平的盘状!
为什么星系是扁状，盘型结构？
盘状星系的成因
角动量守恒。
解释 星球具有原始角动量
m0r 0ห้องสมุดไป่ตู้ 0 Z
Z方向： M Z 0 LZ 常量 mvr m 0 v 0 r0
A. 动量守恒 B. 机械能守恒 C. 动能守恒 D. 速度不变 E. 以上都不对
O
F
E
开普勒第一定律：所有行星沿各自的椭圆轨道绕太阳 运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任一行星来说，它与太阳的连线 （称为对太阳的矢径）在相等的时间内扫过相等的面积.
开普勒第除三定了律动：量行星，绕机太械阳运能动守轨恒迹量的半以长外轴一a的定立 方 是与 一还运个有动只另周与期 太外阳T一的有个平关放的守成常恒反量量比。。存比在例！系数与行星无关，
m(ab cos 2 tk ab sin2 tk )
mabk (恒矢量)
M
dL
0!
dt
或由
M
r
F
二、角动量守恒定律
M dL
dt
质点的角动量守恒定律
当M 0
,
L
r (mv)
=恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点
对该参考点O的角动量为一恒矢量。
例：
L
v
r m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律
行星受力方向与矢径在一条直线，永远
注意与矢径L 是v反 平行的r。LMmvr0sinLm常r矢r s量in
t
S
r1
F
r
m
r
sin
2m
1 2
rr
sin
2m
S
2
行星的 mv时 刻在变,但其
可L维t持不变. t
有心力：运动质点所受的力 的作 用线始终通过某个给定 点，而且 力的大小只依赖于 质点对该给定点的距离。
——质点系的角动量守恒定理
说明：
dL
M
dt
1 角动量守恒条件：合外力矩为零.
合外力为零,合外力矩不一定为零, 反之亦然.
2 守恒指过程中任意时刻。
3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一.
4 角动量守恒定律只适用于惯性系。
#1a0204005a
如图所示，半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定 在高处，其上穿过一条轻绳,质量相同的两个孩子。 起初两个孩子都不动。现设一个孩子甲用力向上爬， 而另一个孩子乙抓住绳子不动。试问谁先到达滑轮 处？
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然
后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周
求：v2=？
解： 作用在小球的力始
v2
终通过O点（有 心力）由质点角
v1
动量守恒：
r r O
1
2
mv1r1 mv 2r2
F
v2
v1
(
r1 r2
)
( v1 )
判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速圆周运动 的小球m。
rmv A rmv B 0
vA vB
不论小孩对绳的速度如何，他们对地的速度都相 同，故将同时到达！