大学数学 概率论10第10讲(第二章)

第十讲 Ch.2 随机变量及其分布

§2.4 常用离散型分布

Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型

§2.4§2.5⎧⎨⎩常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论） 2.4.1 二项分布(以n 重伯努利试验为背景的分布) 1. 二项分布的定义与记号 记

=X “n 重伯努利试验中A 发生(即‘成功’)的次数”，

则X 为离散型..V R ，其可能值为n ,,2,1,0⋅⋅⋅.且由事件的独立性可得

n k p p C k X P k n k k n

,,2,1,0,)1()(⋅⋅⋅=-==-. 其中)(A P p =,满足10<

若..V R X 的分布列为

n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(⋅⋅⋅=-==-,

则称X 服从参数为p n ,的二项分布（因其形式而得名），记为~X b ),(p n . Remarks

)i 容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性.

.93.P

)ii 实际中二项分布的例子：.93.P

☆检查不合格品率为p 的一批产品中的10件，其中不合格品数~X b ),10(p ；

☆随机调查色盲率为p 的任意50个人中的色盲人数

~Y b ),50(p ；

☆命中率为p 的射手5次射击中命中次数~Z b ),5(p . 2. 利用二项分布的分布列计算概率

例2.4.1 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲

.101.P 习题的第2题)

一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率.

解 记

X =“抽检5件产品中一级品的件数”，

则依题意可知~X b )8.0,5(，于是

(P 抽检5件中至少有2件是一级品)

()()()()

()()

5

4

11

5

5

21210110.810.80.810.80.99328

P X P X P X P X C C =≥=-<=-=-==-⨯⨯--⨯⨯-=

例 2.4.2 已知~X b ),2(p ，~Y b ),3(p ，若

()5

19

P X ≥=

，求()1P Y ≥.

解 由~X b ),2(p 及()5

19P X ≥=，得 ()()54

011199P X P X ==-≥=-=，

即

94

)1(2

02

=-p p C ，

解之得

3

1

=

p 或

3

4

=

p (舍去), 于是~Y b )31

,3(，所以

()()0

3

031119110113327P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫≥=-==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭. 3. 二点分布(二项分布的特殊情形)

1=n 的二项分布),1(p b 称为二点分布，或称0-1 分布，易见，若..V R X 的分布为二点分布),1(p b ，则其分布列为

1,0,)1()(1=-==-x p p x X P x

x . 表格列示就是

Remark (回到n 重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记

X =“n 重伯努利试验中‘成功’的次数”，

则()~,X b n p ；又记

i X ="n 重伯努利试验中第i 次试验'成功'的次数"，

则

()~1,,1,2,,,i X b p i n =

易见1,2,,n X X X 相互独立(..V R 的独立性第三章中讨论)，且

1n

i i X X ==∑.

这结果表明：服从二项分布),(p n b 的..V R 是n 个独立的二点分布),1(p b 的..V R 之和. 4. 二项分布的期望与方差

若..V R ()~,X b n p ，则EX np =，()1DX np p =-. Proof 由()~,X b n p ，得 ()()

1,0,1,,

n k

k k

n

P X k C P p k n -==-= 于是

∑===

n

k k X kP EX 0

)(

∑

=--=

n

k k n k k

n p p kC 1

)1(

∑

=-------=n

k k n k k n p p kC np

1

)

1()1(111

)1(

1

)]1([--+=n p p np

np =. 又

∑

=+-=⋅⋅⋅===

n

k n p p n n k X P k X E 0

222

)1()()(，

于是

)1()()1()()(2222p np np np p n n EX X E DX -=-+-=-=.

Remarks

)i 若X ～),1(p b ，则)1(,p p DX p EX -==. )

ii n 一定时，对服从二项分布),(p n b 的..V R X 取k 的概

率，即)(k X P =变化特点的描述：如..V R X ～),10(p b ，

p 分别取8.0,5.0,2.0时，)(k X P =的变化特点是

1) )(k X P =的峰值出现在接近np 的k 值处； 2) )(k X P =的峰值随p 的增大而右移. 教材.95.P 有相应的图形揭示. 例2.4.3 (自学) 2.4.2泊松分布 1.泊松分布定义与记号

若..V R X 的分布列为

⋅⋅⋅==

=-,2,1,0,!

)(k e k k X P k

λλ.

其中0>λ，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为

X ～)(λP .

Remarks

)i 泊松分布的分布列满足非负性和正则性.

)ii 一本书中的出错处数是服从泊松分布的；其它服从