大学数学 概率论10第10讲(第二章)
概率论第二章(课件2)
(4) 分布函数是右连续的;
(5) P{X=xi}=F(xi)-F(xi -0)
0 x 0
例2.3.2.
设X的分布函数为
F
(
x)
0.4 0.8
0 x1 1 x2
求X的概率分布.
1 2 x
解:X的取值为 X 0 1
f (x) 0, x ;
f
x1
(x)dx
x2 有
1;
在
P{x1 X x2} F(x2 )
f (的x) 连续点处有
F ( x1 )
x2 x1
f
(x)dx
f (x) F(x)
图下方形图在f (x的设形x) 几轴面是x是lxlx何i上积i密mm00意方为度fPF的({义，1函x(yxx)连数X续的xxx点) 本x,y近F由等质P(f似xx{上(于特}x)x)P于述曲f征{(xx小X)性边1,几y矩质梯X何x形f有形(意x)面面xx义2}积}积如下
X01 P 0.3 0.7
,求X的分布函数.
解:(1) 当x<0时, F(x)=P(X≤x)=
P( X xi ) =0
xi x
(2)当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)= P( X xi )=P(X=0)=0.3
xi x
(3)当1≤x时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=1
由离散型随机变量的概率分布或分布律 求分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律为 P{ X xk } pk , k 1,2,...
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为
概率论第二章(课件2)
条件概率具有非负性、规范性、乘法 法则和全概率公式等性质。
贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任意两个事件A和B，有 P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理常用于在已知某些条件 下，对其他条件的发生概率进行推 断和更新。
贝叶斯定理的意义
贝叶斯定理是概率论中的一个重要 定理，它提供了在已知某些信息的 情况下，对其他信息的可信度进行 评估的方法。
期望的计算
期望的计算公式为E(X)=∑xp(x)，其中x为随机变量X的所有可能取值， p(x)为对应的概率。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其期望之间的差的平方的期望，表示随机变量 取值与期望的偏离程度。
方差的性质
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，D(X)≥0。
协方差的定义
协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量，表示两个随机变量 同时偏离各自期望的程度。
自的概率分布相乘得到。
THANKS
感谢观看
02
随机变量及其分布
离散随机变量
离散随机变量定义
离散随机变量是在可数样本空间上的概率函数。
离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布由一个非负整数序列给出，表示在每个样 本点上随机变量取值的概率。
离散随机变量的期望值
离散随机变量的期望值是所有可能取值的概率加权和。
连续随机变量
连续随机变量念 • 随机变量及其分布 • 随机向量及其分布 • 随机变量的函数及其分布 • 随机变量的数字特征
01
概率论的基本概念
概率的定义与性质
01
02
03
概率的定义
概率是描述随机事件发生 可能性大小的数值，通常 用P表示。
概率论与数理统计第二章笔记
概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。
根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。
2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。
对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。
通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。
三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。
这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。
2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。
这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。
四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。
通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。
个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。
通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。
结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。
概率论知识点详解（第二章）
第二章 随机变量及其分布题型归类与解题方法1. 求随机变量的分布1.1 求离散型随机变量分布列或分布函数例 2.1 一盒中装有编号1,2,,5 为的五只球，现从中任取三只球，求被抽取的三只球的中间号码为X 的分布列．解 首先确定X 的取值只能为2，3，４．分析 当X k =时，另两只球中的一只在小于k 的1k -个球中取，余一只球在大于k 的5k -只球中取，故111535{}k kC C P X k C --== (2,3,4)k = 即有例 2. 2 已知X 的概率分布为1{2}{1}{1}{2}4P X P X P X P X =-==-=====，求：（1）2Y X =的分布列； （2）(),X Y 的分布列． 解 （1） 2Y X =的分布列为1{2,4}{2}4P X Y P X =-===-=． 同理1{1,1}{1}4P X Y P X =-=-==-=； 1{1,1}{1}4P X Y P X =====； 1{2,4}{2}4P X Y P X =====．故(),X Y 的联合分布列为评点 对于这一类题，首先确定离散型随机变量的取值，然后求出随机变量取各值的概率，最后写出离散型随机变量的分布律．1.2 求连续型随机变量分布列或分布函数例 2.3 设随机变量X 的概率密度为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求X 的分布函数()F x ．解 分析：利用公式()()xF x f x dx -∞=⎰直接计算分布函数．当0x <时，()0F x =；当01x ≤<时，20()()02xxx F x f x dx dx xdx -∞-∞==+=⎰⎰⎰；当12x ≤<时，01211()()0(2)212xx F x f x dx dx xdx x dx x x -∞-∞==++-=--⎰⎰⎰⎰； 当2x ≥时，220,0;,01;2()112,12;21, 2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩．例 2.4 在(),X Y 区域Θ上服从均匀分布，求(),X Y 的分布函数，其中Θ为x 轴，y 及1y x =+围成的三角形．解 当1x <-或0y <时，(,)0f x y = (,)0F x y =； 当10x -≤<，1y x ≥+时，201(,)22(1)(22)y xy F x y dy dx y x y x y y -==+-=-+⎰⎰；当10x -≤<，1y x ≥+时，121(,)2(1)xx F x y dx dy x +-==+⎰⎰；当0x ≥，01y ≤<时，01(,)2(2)yy F x y dy dx y y -==-⎰⎰；当0x ≥，1y ≥时，(,)1F x y =． 故2010;(22),10,01;(,)(1),10,1;(2),0,01;10, 1.x y x y y x y x F x y x x y x y y x y x y <-<⎧⎪-+-≤<≤<+⎪⎪=+-≤<≥+⎨⎪-≥≤≤⎪≥≥⎪⎩，或， 评点 求一维的和二维的连续型随机变量的分布函数，是对概率密度函数进行积分．若()f x ，(,)f x y 分区域定义时，关键就在于积分的上，下限或区域的确定．1.3 确定分布列或密度函数或分布函数中的参数例 2.5 随机变量(,)X Y 的概率密度为222(;(,)0,A k x y k f x y ⎧⎪+≤=⎨⎪⎩其他，，求：（１） 系数A 的值．（２） 222{(,)}P X Y x y r ∈+≤ ()r k ≤． 解 （1）因为1(,)(f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰用极坐标代换得）222(x y k A k dxdy +≤=⎰⎰230()/3kA d k r rdr A k πθπ=-=⎰⎰故33A k π=． （2）222223300332{(,)}()13r r r P X Y x y r d k r rdr k k k πθπ⎛⎫∈+≤=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰．例 2.6设二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求：（1）A ，B ，C 的值． （2）(,f x y ）．解 （1）因为0A ≠，所以由x ，y 的任意性，得0(0,)arctan 022F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2C π=；0(,0)arctan 023F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2B π=；(,)12222F A ππππ⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21A π=，故21(,)arctan arctan 2223y F x y ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂，得222(,)6[(4)(9)]f x y x y π=++ (,)x y -∞<<+∞．评点 （1）有几个参数就要找到几个独立的条件； （３） 这里主要用到()0F -∞=，()1F +∞=或()1kf x dx =⎰， (,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=，或2(,)1k f x y dxdy =⎰⎰．2. 求概率2.1 由分布列或密度函数或分布函数，求随机变量落入某集合的概率例 2.7 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)6,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩；其他，求：（1）(,)F x y ． （2）{236}P x y +≤．解 （1）分区域讨论，见图2.1．当0x ≤，0y ≤时，(,)0F x y =； 当0x >，0y >时(23)230(,)6(1)(1)x yx y x y F x y dy e dx e e -+--==--⎰⎰即23(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他．（2） (23)236{236}6x y x y P X Y e dxdy -++≤+≤=⎰⎰32(3)/3(23)0x x y dx e dy --+=⎰⎰6170.9826e -=-≈．例 2.8 随机变量X 的分布函数为20,0(),05251,5,x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求{36}P x <<的概率．解 直接利用公式计算：916{36}(6)(3)12525P x F F <<=-=-=． 评点 （1）对一般连续型随机变量取值的概率，如果已知密度函数求概率可用{(,)}(,)GP x y G f x y dxdy <=⎰⎰公式法．（2）对于已知分布函数求概率，同样也可以用公式法{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.2 求实际问题的概率例 2.9 某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以ｍｍＨｇ计)，服从2(110,12)N ，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X ： （1）求{105}P X ≤，{100120}P X <≤． （2）确定最小的x ，使{}0.05P X x >≤． 解 （1）2(110,12)X N ，则105110{105}(0.417)12P X -⎛⎫≤=Φ=Φ- ⎪⎝⎭1(0.417)10.662=-Φ=-=； 120110100110{100120}1212P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0.83)(0.83)2(0.8=Φ-Φ-=Φ-= （2）要使{}0.05P X x >≤，必须1{}0.05P X x -≤≤，即{}10.050.95P X x ≤≥-=，亦即1100.9512x -⎛⎫Φ≥⎪⎝⎭，110 1.64512x -≥，129.74x ≥， 故所求x 必须大于等于129.74．例 2.10 一轰炸机带的三枚炸弹向敌方目标投掷，若炸弹落在目标中心40米内，目标将被摧毁，设在使用瞄准器投弹时，弹着点X 的概率密度函数为(100)/10000,1000;()(100)/10000,0100;0,x x f x x x +-<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，，求投掷三枚炸弹后，目标被炸毁的概率．解 一枚炸弹落在目标中心40米内的概率为4040404001()(100)(100)10000f x dx x dx x dx --⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 4002(100)0.6410000x dx =-=⎰， 则炸弹落在40米外的概率为10.640.36P =-=，所以三枚炸弹都落在目标中心40米外的概率是3(0.36)，于是，目标被炸毁的概率是31(0.36)0.953P =-=．评点 （1）对此类题型，一定要根据实际情况，确定所求概率的范围；（2）然后再根据相应的定义，性质，公式求出符合实际的概率．2.3 求服从二项分布的随机变量取值的概率例 2.11 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在一分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的，为了在任意时刻，使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，至少应有多少电话线路？解 设任意时刻乙地10个用户使用电话的户数为随机变量，记为X ，则每一个电话用户在任意时刻使用电话的概率120.260P ==，即(1,0.2)X b ，又设至少需m 条电话线路，求满足{}0.99P X m ≤=的m ．而1010{}(0.2)(0.8)kk k P X k C -== (0,1,,k =，有10100{}{}(0.2)(0.8)mmkk k k k P X m P X k C -==≤===∑∑，于是1010(0.2)(0.8)0.99mkk k k C-==∑ 即 5m =，故至少应有5条电话线路．评点 对于这类问题要注意：（１） X 是n 次试验中事件A 发生的概率； （２） 在每次试验中事件A 和A 有且仅有一个发生；（３） 利用对立事件来求解问题时，注意随机变量的取值为0,1,2,,n ，n 是试验次数；（４） 当n 较大P 较小时，且np λ=，(1)!k k kn kne C p p k λλ---≈．2.4 求服从泊松分布的随机变量取值的概率例 2.12 实验器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X 服从参数为λ的泊松分布，试求产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率． 解 由题意可知，X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==(0,1,2,k = 而这k 个细菌全部是甲类细菌的概率为(1/2)!kke k λλ-，因此产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为21(1)!kk P ee ek λλλλ∞---===-∑．评点 当试验次数n →∞时，若事件A 每次出现的概率0n P nλ=→，此时事件A 出现的次数X 服从泊松分布．服从泊松分布的随机变量很多，例如一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数，交叉路口单位时间内过往的汽车辆数，一本书1页中的印刷错误数，纺织厂生产的布匹上一定数量的疵点，铸件的砂眼数等．2.5 求服从均匀分布的随机变量取值的概率例 2.13 测量零件时产生的误差(X 单位：cm )是一个随机变量，它服从(0.1,0.1)-内的均匀分布，求误差的绝对值在0.05cm 之内的概率．解 据均匀分布定义，X 的概率密度为1,0.10.1;0.1(0.1)()0,,x f x ⎧-<<⎪--=⎨⎪⎩其他即5,0.10.1;()0,,x f x -<<⎧=⎨⎩其他 故0.050.05{0.05}50.5P X dx -<==⎰．评点 求此类题型的解法一般有两种方法：（１） 利用概率密度的积分计算，即利用公式{}{}{}{}P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤≤=<≤=≤≤()baf x dx =⎰；（２） 直接利用分布函数计算，即利用公式{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.6 求服从正态分布的随机变量取值的概率例 2.14 设随机变量X 服从正态分布(108,9)N ，求： （1）{101.1117.6}P x <<； （2）常数a ，使{}0.90P X a <=； （3）常数a ，使{||}0.01P X a a ->=．解 （1）117.6108101.1108{101.1117.6}33P x --⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3.2)( 2.3)=Φ-Φ-0.9995110.989280.9888=-+=．（2）108{}0.903a P X a -⎛⎫<=Φ=⎪⎝⎭，查表知108 1.293a -≈，即112.17a =． （3）{||}{2}{0}P X a a P X a P X ->=>+<10821081081083333X a X P P ----⎧⎫⎧⎫=>+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭210810.013a -⎛⎫=-Φ= ⎪⎝⎭，即有21080.993a -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭，故得21082.333a -=，即 57.4a =． 评点 正态分布是一类非常重要的分布．正态分布的概率计算最终都要查标准正态分布表，表里表明()z Φ和Z 的关系，特别地，当0Z <时，()1()z z Φ=-Φ-．2.7判别随机变量是否相互独立例 2.15设随机变量(,)X Y 的分布律如下表示，试判断X ，Y 是否相互独立．解 利用离散型随机变量边缘分布定义，随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘分布律分别为{0}{0}0.80.70.56{0,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {0}{1}0.80.30.24{0,1}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{0}0.20.70.14{1,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{1}0.20.30.06{1,1}P X PY P X Y ===⨯==== ．由此可见ij i j p p p = ，故X 和Y 是相互独立的．例 2.16 已知联合分布密度,04,0(,)40,Axy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，，求：（1）系数A ；（2）边缘概率密度；（3）讨论X 与Y 是否相互独立．解 （1）由概率密度的性质可知14GA xydxdy =⎰⎰即40014A dx xydxdy =⎰，得38A =．从而二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 3,(,);(,)320,(,);xy x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩ （2）由2033()3264X f x xydxdy x ==，得 23,04;()320,X x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他， 同理438,02;()3220,Y y y y f y ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，（3）取点1(,)1,2x y G ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由于5133131(1)81,216642642X Y f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故X 与Y 并不独立．评点 考察随机变量相互独立的判别，实际上（１） 若(,)X Y 是离散型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是ij i j p p p = ； （2） 若(,)X Y 是连续型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = ．2.8 求连续型随机变量的边缘概率密度例 2.17 设(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布，G 由直线12xy +=及x 轴，y 轴围成，求；（1）(,)X Y 的联合密度；（2）关于X 和Y 关于的边缘密度．解 （1）G 的面积1()2112L G =⨯⨯=，故 1,(,)1,(,);()(,)0,.0,x y G x y G L G f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其他其他 （2）当02x ≤≤时，2012012()(,)01012x x X x f x f x y dy dx dy dy +∞-+∞-∞+∞-==++=-⎰⎰⎰⎰， 当0x <或2x >时，(,)0f x y =，所以(0)0X f =．综上所述1,12;()20,X x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,同理可求得2(1),01;()0,Y y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他. 评点 由二维随机变量的概率密度求它的边缘分布是常规题，尤其是要注意 当概率密度是分段函数时，计算时要注意分段函数的段．例如，在求()X f x 时，利用公式()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰计算，必须分x 取不同区间值讨论．。
概率论第2章精品PPT课件
当X=3时，取的另外两只球只能是1和2，即只有一种可能, 故
P{X
3}
1 C53
1 10
当X=4时，取的另外两只球可以是1、2、3中的任两个，故
P{X
4}
C32 C53
3 10
当X=5时，取的另外两只球可以是1、2、3、4中的任两个，故
P{X
5}
C42 C53
6 10
2
第2章 随机变量及其分布
(2) 根据概率密度的定义可得
fX
(x)
dFX (x) dx
1 / 0,
x,
1 xe 其它
13
第2章 随机变量及其分布
习题22(1)
22(1) 分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦 (Maxwell)分布，其概率密度为
f
(
x)
Ax 2e
x2
/b
,
0,
x0 其他
其中b=m/(2kT), k为玻耳兹曼(Boltzmann)常数，T为 温度，m是分子的质量，试确定常数A.
1 241
t ex / 241dx 1 et / 241
0
综合得到：
1 et /241, t 0
FT
(t)
0,
其他
利用分布函数的性质计算概率：
P{50 T 100} FT (100) FT (50)
e50/ 241 e100/ 241
17
第2章 随机变量及其分布
习题23
23. 某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度
解： 甲乙各自做3重伯努力实验，设甲投中次数为X, 乙投中次数为Y, 两 者均遵从二项分布。故所求为
甲乙投篮相互独立
3
概率论与数理统计第10讲
[
]
若
f X ( x) =
1 2π
e
−x 2
2
,
−∞ < x < ∞.
则 Y=X2 的概率密度为： 的概率密度为：
1 y − 1 − y 2 e 2 , y > 0, f Y ( y ) = 2π 0, y ≤ 0.
从上述两例中可以看到, 在求P(Y≤y)的过 从上述两例中可以看到 在求 的过 程中, 关键的一步是设法从{ 中解出X, 程中 关键的一步是设法从 g(X)≤y }中解出 中解出 等价的X的不等式 从而得到与 {g(X)≤y }等价的 的不等式 。 等价的 例如: 例如 用{X≤(y-8)/2 } 代替 {2X+8≤y}, 用 {− y ≤ X ≤
y} 代替{ 代替 X2≤ y }。 。
这样做是为了利用已知的X的分布， 这样做是为了利用已知的 的分布，求出 的分布 相应的Y的分布函数 的分布函数F 相应的 的分布函数 Y (y)。 。 这是求随机变量函数Y=g(X)的分布函数 的分布函数 这是求随机变量函数 的一种常用方法。 的一种常用方法。
独立， 例1：若X与Y独立，且 P(X=k)=ak , k=1,2, ： 与 独立 P(Y=k)=bk , k=1,2，求 Z=X+Y 的概率分布。 的概率分布。 ， 可能的取值是2， ， ， 解：Z可能的取值是 ，3，4，于是 可能的取值是
P ( Z = 2) = P ( X = 1, Y = 1) = P ( X = 1) P (Y = 1) = a1b1 ,
下面给出一个定理， 下面给出一个定理，当定理的条件满足 时，可直接求连续性随机变量函数的概率密 度。
定理1: 是一个取值于区间[a, 定理 设 X是一个取值于区间 b], 具 是一个取值于区间 的连续型随机变量, 有概率密度 fX(x)的连续型随机变量 又设 的连续型随机变量 又设y= g(x) 是在 b]上处处可导的严格单调函数 是在[a, 上处处可导的严格单调函数 上处处可导的严格单调函数, 的值域， 记 (α, β)为g(x)的值域，则随机变量 为 的值域 则随机变量Y=g(X)是 是 连续型随机变量， 连续型随机变量，概率密度为
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论课件 第二章
e 5 5 k 0.9864 P{获利不少于一万元}=P{X10} k! k 0 17
10
即
X10
(四) 几何分布*
定义 若随机变量X的分布律为
P{ X k } (1 p)
k1
p , k 1,2,
1 , a xb f ( x) b a 0 , 其它
dx d c . ba ba
这表明，X 取值于[a,b]内的任一子区间的概
率与该子区间的长度成正比，而与该区间的具体
位置无关,这也正是均匀分布的概率意义。
26
例2 某公共汽车站从上午7时起，每10分钟来一班车，
查表，必须取a=8。
14
泊 松 定 理 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ,假 设 一 次试 验 中 事 件 A 出 现 的 概 率 为 pn ,如 果 有 lim np n , 则 对
n
于 任 意 给 定 的 k,有
k k lim C n pn (1 pn )n k n
P{1 X 1}
P{ X 0.1}
1 1
f ( x )dx 3e 3 x dx e 3 1 ;
0
1
0.1
f ( x )dx
0.1
3e
3 x
dx e
0.1
24
连续型随机变量的几种常见分布
1.均匀分布
定义 如果随机变量X的分 布密度为
01xe?由010?知x的分布密度为0100xexfxx??????1甲人等待时间超过10分钟的概率为??0111010010368xpxedxe?????????2甲人等待时间在10到20分钟之间的概率为????200112101020010233xpxedxee??????????3310?3甲等待5分钟以后至少再等待10分钟的概率为01?15101?50115510??50368501xxedxpxpxxepxedx??????????????可见1与3结果相同这恰与指数分布的无记忆性相吻合
概率论与数理统计10讲-PPT精选
(之所以要这样定义还牵涉到数学上的实变 函数理论, 可测集理论.但简而言之, 这样定 义的随机变量能够保证我们一般关心的X在 实数轴上的事件都存在着概率.)
45
实际上,连续型随机变量X的存在给数学家 们带来了很大的麻烦 因为, 当任意两个实数a,b不相同时, 即当ab, 事件{X=a}和事件{X=b}是互不相容的, 而且连续型随机变量X取任何单个的实数的 概率为0.
F(x) 1
0
4
10
x
8
在这里， 分布函数F(x)是(-, +)上的一个非降有界 的连续函数， 在整个数轴上没有一个跳跃 点(可见, 对于这样的随机变量, 它取任何一 个具体值的概率都是零). 这就是这种类型 的随机变量被称作是连续型随机变量的原 因.
9
描述连续型随机变量当然不能够用概率函 数或者概率分布表. 但是使用分布函数F(x) 同样也是不很方便. 因此, 用概率密度函数 来描述连续型随机变量的分布.
=F(2.5)-F(1.5)-0 =1-[-(1.52/4)+1.5]=1-0.9375=0.0625
42
根据概率密度函数进行计算则是
2.5
P{1.5X2.5}
f(x)dx2(-x1)dx2.50dx
1.5
1.5 2
2
| | x2 2
2.5
- x -10.56250.50.0625
若[c,d][4,10], 有P{cXd}=(d-c), 为比
例常数, 特别地, 取c=4, d=10,
P{4X10}=(10-4)=6=1, 因此=1/6.
6
因此X的分布函数就是
0
x4
F(x)P(Xx)16(x-4) 4x10
概率论第二章
例2，已知P（A）=0.4，P（B）=0.6， ，已知P =0.4， =0.6， 事件B包含A 事件B包含A，求：
P ( A) , P ( A ∪ B) , P ( A ∩ B)
P ( BA ) , P ( AB ) , P ( AB )
Ｂ Ａ
例3，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25， ，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=0.1， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=0.1， 求事件A 求事件A、B、C全不发生的概率. 全不发生的概率. 解：Ａ，Ｂ，Ｃ至少有一发生的概率= 解：Ａ，Ｂ，Ｃ至少有一发生的概率= P(A∪ P(A∪B ∪ C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)p(AC)p(AC)-p(BC)+p(ABC) =3*0.25=3*0.25-2*0.1=0.55 注意这里 p(ABC)=0 A,B,C全不发生的概率= A,B,C全不发生的概率= 1- P(A∪B ∪ C)= 1-0.55=0.45 P(A∪ 1-
例1，袋中有红、黄、白色球各一个，每 次任取一个，有放回地抽三次，求“ 次任取一个，有放回地抽三次，求“取到 的三球中没有红球或没有黄球” 的三球中没有红球或没有黄球”的概率。 解：设Ａ：取到的三球中没有红球； Ｂ：取到的三球中没有黄球． P(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB)＝ P(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB)＝ （２／３）３＋（２／３）３－（１／３）３ ＝5/9
例8，在半圆区域0≤y≤ 2ax − x 2 内随机地 ，在半圆区域0≤y≤ 投入一点，求该点与原点的连线与x 投入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹 4 角不超过 π / 的概率. 的概率.
概率论第二章随机事件及其概率分布
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量及其概率分布
例4假设随机变量X的绝对值不大于1；P(X 1) 1 , P(X 1) 1
8
4
在事件(-1<X<1)出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间上
取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求
(1) X的分布函数 F(x) P(X x) (2) P(0 X 0.5)
设可列的随机变量X 的全部可能取值为xi ,i 1,2,3, ，而 P(X xi ) pi i 1,2,3,
X的概率分布或分布律，也叫做X 的概率函数
满足 pi 0 pi 1 i
反之，若数列 pi ( i 1,2,3, , )满足pi 0 i 1,2,3, , pi 1
i
则数列 pi ( i 1,2,3, )就可以作为某个离散型随机变量的分布律.
(3) F () lim F (x) 1 x
F () lim F(x) 0 x
(4) F (x 0) lim F(t) F(x), 即 F(x)是右连续的函数. t x+
9
2020年10月21日3时49分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量及其概率分布
P(X x) x P(X i) x p(1 p)i1 p 1 (1 p)x 1 (1 p)x
i 1
i 1
1 (1 p)
X的分布函数为
F
(
x)
1
(1
0,
p)
x
,
x 1, x 1.
随机变量X 称为服从参数为p 几何分布(geometrical distribution) 记作 X ~ G( p)
概率论与数理统计第二章课件PPT
例2 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ B (3, 0.8)，
P( X k)C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
X
p
1
0
1
2
3 0.1
a b 0.2 0.3
求a,b满足什么条件。
a b 0.4, a 0, b 0
一旦知道一个离散型随机变量X的分布律后，我们便可求得X
所生成的任何事件的概率。特别地，对任意 a ，有 b
P a X b P X x P X x i i a x b a x b 1 1 pk
解
用泊松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
泊松分布(Poisson distribution)
定义2 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…，而X 的分布律为
pk P X k
路口1
路口2
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
1 1 1 P(X=3)= P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 2
即
X
p
0
1
2
3
1 2
1 4
10-第10讲 随机向量函数的分布
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第10讲 随机向量函数的分布
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第三章 随机向量及其分布
理解多维随机变量的定义。 理解多维随机变量的分布函数及其性质。 了解多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握多维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、随机变
FY(y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y } FX( y ) FX( y ).
将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度为
1 2 y [fX( y ) fX( y )], fY(y) 0,
例如设X~N(0,1), 其概率密度为
时上述积分的被积函数不等于零.
x x=10
x=z
x=z10
O
10
20
z
z 因此 f(z)f(z x)dx, 0 z 10, 0 10 fR(z) f(z)f(z x)dx, 10 z 20, z10 0, 其它. 将f(z)的表达式代入上式得
10 x 50 , 0 x 10, f(x) 0, 其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
解 由(5.4)式, R的概率密度为
fR(z) f(x)f(z x)dx.
易知仅当
0 x 10, 0 x 10, 即 0 z x 10, z 10 x z
i
~N(0,1) (i 1,2, ,n), 则称随机变量
χ X X X
2 2 1 2 2
2 n
服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n).
概率论第二章共34页
1 4
(x
1)
1
x5
1
1 x 5
01
5
已知连续型随机变量X的概率密度为
f (x) Aex
(1)求P(1X1)（2） 求 X 的分布函数
随机变量 X 的分布函数为
1 ex 2
F
(x)
1 2
x0 0 x1
1
1 2
e (x1)
x 1
(1)求 P(1X2) （2)求X 的密度函数
均匀分布 Uniform Distribution
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1Xx2)xx12 f(x)dx
P (X 1 ) f(x )d x 3 e 3 x d x e 3
均匀分布
X～U（0，5）
2
21 2
P (X 2 ) F (2 ) 0f(x )d x 05 d x 5
几何概型（一维）
设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x22x10
有实根的概率。
解 方程有实数根
42 4 0
即 1
而
1 的密度函数为 f (x) 6
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
F(x)P{Xx} f (x)dx
导数关系
若 f( x ) 在 x 处 连 续 ， 则 F ( x ) f( x )
连续型随机变量的分布函数的性质
连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0
P(X=a)=0
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
概率论与数理统计第二章_PPT课件
3，4，5
1.随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.我们称样本空
间上的函数 X X e e S
为一个随机变量,如果对于任意的实数 x,集合
e ： X e x X x
X (e)
e
都是随机事件．
随机变量的特点:
R
S
1). X的全部可能取值是互斥且完备的
2). X的部分可能取值描述随机事件
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1 , 2 , 3 , . 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:
0 ,1 ,2 ,3 , ,3 . 0
( 5 ) 对 于 随 机 变 量 ， 我 们 常 常 关 心 的 是 它 的 取 值 ．
( 6 )我 们 设 立 随 机 变 量 ,是 要 用 随 机 变 量 的 取 值 来 描 述 随 机 事 件 ．
实例2 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: e1(反面朝 ), 上
e2 (正面朝 ), 上 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1 ,2 ,3 , . 注意 X(e) 的取值是可列无穷个！
实例7 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X(e) 此人的等车,时间
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为: [0,5].
实例8 设某射手对目标进行射击，如果我们以目标 中心为坐标原点，考查射击点的平面位置（坐标）， 为了便于研究，我们引入两个变量X,Y，其中
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十讲 Ch.2 随机变量及其分布§2.4 常用离散型分布Remark 讨论常用分布的目的及常用分布的类型§2.4§2.5⎧⎨⎩常用离散型分布（中讨论)常用分布常用连续型分布（中讨论） 2.4.1 二项分布(以n 重伯努利试验为背景的分布) 1. 二项分布的定义与记号 记=X “n 重伯努利试验中A 发生(即‘成功’)的次数”，则X 为离散型..V R ，其可能值为n ,,2,1,0⋅⋅⋅.且由事件的独立性可得n k p p C k X P k n k k n,,2,1,0,)1()(⋅⋅⋅=-==-. 其中)(A P p =,满足10<<p .基于这种试验的背景，可以给出二项分布的定义与记号如下：若..V R X 的分布列为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1,0,)1()(⋅⋅⋅=-==-,则称X 服从参数为p n ,的二项分布（因其形式而得名），记为~X b ),(p n . Remarks)i 容易验证二项分布的分布列满足非负性，正则性..93.P)ii 实际中二项分布的例子：.93.P☆检查不合格品率为p 的一批产品中的10件，其中不合格品数~X b ),10(p ；☆随机调查色盲率为p 的任意50个人中的色盲人数~Y b ),50(p ；☆命中率为p 的射手5次射击中命中次数~Z b ),5(p . 2. 利用二项分布的分布列计算概率例2.4.1 (题目叙述没有区分患者与健康者！换讲.101.P 习题的第2题)一条自动化生产线上产品一级品率为0.8，检查5件，求至少有2件一级品的概率.解 记X =“抽检5件产品中一级品的件数”，则依题意可知~X b )8.0,5(，于是(P 抽检5件中至少有2件是一级品)()()()()()()54115521210110.810.80.810.80.99328P X P X P X P X C C =≥=-<=-=-==-⨯⨯--⨯⨯-=例 2.4.2 已知~X b ),2(p ，~Y b ),3(p ，若()519P X ≥=，求()1P Y ≥.解 由~X b ),2(p 及()519P X ≥=，得 ()()54011199P X P X ==-≥=-=，即94)1(202=-p p C ，解之得31=p 或34=p (舍去), 于是~Y b )31,3(，所以()()03031119110113327P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫≥=-==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 二点分布(二项分布的特殊情形)1=n 的二项分布),1(p b 称为二点分布，或称0-1 分布，易见，若..V R X 的分布为二点分布),1(p b ，则其分布列为1,0,)1()(1=-==-x p p x X P xx . 表格列示就是Remark (回到n 重伯努利试验背景下，探讨二项分布与二点分布的有用关系.)记X =“n 重伯努利试验中‘成功’的次数”，则()~,X b n p ；又记i X ="n 重伯努利试验中第i 次试验'成功'的次数"，则()~1,,1,2,,,i X b p i n =易见1,2,,n X X X 相互独立(..V R 的独立性第三章中讨论)，且1ni i X X ==∑.这结果表明：服从二项分布),(p n b 的..V R 是n 个独立的二点分布),1(p b 的..V R 之和. 4. 二项分布的期望与方差若..V R ()~,X b n p ，则EX np =，()1DX np p =-. Proof 由()~,X b n p ，得 ()()1,0,1,,n kk knP X k C P p k n -==-= 于是∑===nk k X kP EX 0)(∑=--=nk k n k kn p p kC 1)1(∑=-------=nk k n k k n p p kC np1)1()1(111)1(1)]1([--+=n p p npnp =. 又∑=+-=⋅⋅⋅===nk n p p n n k X P k X E 0222)1()()(，于是)1()()1()()(2222p np np np p n n EX X E DX -=-+-=-=.Remarks)i 若X ～),1(p b ，则)1(,p p DX p EX -==. )ii n 一定时，对服从二项分布),(p n b 的..V R X 取k 的概率，即)(k X P =变化特点的描述：如..V R X ～),10(p b ，p 分别取8.0,5.0,2.0时，)(k X P =的变化特点是1) )(k X P =的峰值出现在接近np 的k 值处； 2) )(k X P =的峰值随p 的增大而右移. 教材.95.P 有相应的图形揭示. 例2.4.3 (自学) 2.4.2泊松分布 1.泊松分布定义与记号若..V R X 的分布列为⋅⋅⋅===-,2,1,0,!)(k e k k X P kλλ.其中0>λ，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X ～)(λP .Remarks)i 泊松分布的分布列满足非负性和正则性.)ii 一本书中的出错处数是服从泊松分布的；其它服从泊松分布的实例..96.P 2. 泊松分布的期望与方差若X ～)(λP ，则λ==DX EX .(参数既是期望也是方差！)Proof .9796.-P Remarks)i 若X ～)(λP ，则λ==DX EX .记住这个结论是主要的，其证明看过即可.)ii 对服从泊松分布)(λP 的..V R X 取k 的概率，即)(k X P =变化特点的描述：如..V R X ～)(λP ，λ分别取0.4,0.2,8.0时，)(k X P =的变化特点是1) )(k X P =的峰值出现在接近λ的k 值处； 2) )(k X P =的分布随λ的增大趋于对称. 教材.97.P 有相应的图形揭示. 3. 泊松分布应用例例 2.4.4 一个铸件上的砂眼(缺陷)数服从参数为5.0=λ的泊松分布，试求此铸件上至多有1个砂眼(合格品)的概率和至少有2个砂眼(不合格品)的概率.解 记X =“该铸件上的砂眼数”，则X ～)5.0(P ，于是(P 铸件合格)=910.0)1(=≤X P .(用1,5.0==k λ查.421.P 的泊松分布表) 从而(P 铸件不合格)=09.0910.01)1(1=-=≤-X P .例2.4.5 .98.P (自学) 4. 二项分布的泊松分布近似 Remark问题：二项分布概率计算在n 较大时计算量很大，如何处理？解决方法：转为泊松分布作近似计算. 理论依据：泊松定理.定理2.4.1（泊松定理）若..V R ()~,X b n p ,则当n 充分大，且p 足够小时，则有()(1)!kkk n k n P X k p p e k C λλ--==-≈，其中np =λ.Proof .98.P (略) Remarks)i 使用泊松定理对二项分布有关概率作近似计算的条件不是很明确，其实想用都可用，如果n 不是很大，p 不是很小时，也用这种近似计算，不是不可以，只是近似的效果不好而已.)ii 对不同的n 、p 值，利用定理2.4.1的近似效果揭示.见.99.P 表2.4.3. ☆泊松定理应用例例2.4.6 已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，求该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率.解 设X =“该单位患此病的人数”，则X ~)001.0,5000(b ，于是(P 该单位5000人患此病的人数不超5人) )5(≤=X P∑=--=550005000)001.01(001.0k k k kC ，这里n =5000较大，p =0.001也是足够小，于是，由泊松定理可取5001.05000=⨯==np λ，做近似计算，所求概率为616.0!5)5(5=≈≤∑=k kk X P . 最后一步用5,5==k λ查.476.P 的泊松分布表得到.例2.4.7 有10000名同年龄段且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险，每个投保人在每年初需交纳200元保费，而在这一年中若投保人意外死亡则受益人可从保险公司获得100 000元的赔偿.据生命表知这类人的年死亡率为0.001.试求保险公司在这项业务上(1)亏本的概率；(2)至少获利500 000元的概率. 解 记X =“10 000名投保人中在一年内死亡的人数”，则X ~b(10000,0.001)，又保费收入为()10000200200⨯=万元(1)易见，事件“亏本”=“10200>X ”=“20>X ”,这里n =10000已充分大，p =0.001也是足够小.于是，由泊松定理可取10001.010000=⨯==np λ，做近似计算，所求概率为)20()(>=X P P 亏本002.0998.01!101)20(120=-=-≈≤-=∑=k kk X P .其中，倒数第二步用20,10==k λ查.476.P 的泊松分布表得到.(2)注意到，事件“至少获利50万元”=“1050200-≤X ”=“15≤X ”，于是(P 至少获利50万元)15()≤=X P 951.0!10150=≈∑=k kk . 其中，最后一步用15,10==k λ查.476.P 的泊松分布表得到.例2. 4.8 （自学） 2.4.3超几何分布.102101.-P2.4.4几何分布与负二项分布.104102.-PRemark 同学们自行了解以上两个专题的内容. ☆本节作业：习题2.4 .106104.-P上上次布置： 3. 6. 上次布置： 7. 9 本次布置： 15.。