切比雪夫不等式的推广
34切比雪夫不等式与大数定律
如果X P E( X ), 则称{Xn }服从大数定律.
说明：
(1)X P E( X ), 即对 0, lim P{ X E( X ) } 1. n
或表为: 对 0,
lim P{
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi )
}
P( X E( X ) 2) P( X 7 2) 2
( X可取1, 6)
P( X 1) P( X 6) 2 1 63
1时,
D( X ) 35 2
2
P( X E( X ) 1) 12 3
2时,
D( X ) 1 35 35 1
(1)
另一种形式
lim P{
n
Xn
a
}
0
(2) 对N ,n N时,
落在邻域U
(a
,
)外的X
个数有限,测度为0.
n
(3) 设X n P a, Yn P b, 则X n Yn P a b. X n .Yn P a.b, X n / Yn P a / b(b 0)
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400间的概率不小于8/9 .
二、依概率收敛简介
1、数列极限的定义
lim
n
X
n
a
对
0,
N ,
n
N时,
Xn a
n N时, P{ Xn a } 1, 必然事件.
p( A)
核心: X1, X2 , ..., Xn满足什么条件时,
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用王林（2013080201031）指导教师：吕恕摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础。
从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。
关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用0.引言切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。
1.切比雪夫不等式设随机变量X 存在数学期望E(X)和方差D （X)，则对任意实数ε有：P{X-E(X)}≥ε}≤2)(εX D证明：（1）设X 为离散型随机变量，其分布列为P(X=i X ）=i P （i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|ε≥}=∑∑∞=≥-=-≤1222)|(|)())((1i i i X E X i X D P X E X P i εεε （2）设X 为连续性随机变量，其概率密度为P （X),由于E(X),D(X)均存在，则有D(X)=⎰+∞∞--dx X P X E X )())((2⎰⎰-∞-+∞+-+-≥εε)()(22)())(()())((X E X E dx X P X E X dx X P X E X ⎰⎰-∞-+∞++≥εεεε)()(22)()(X E X E dx X P dx X P =))(())((22εεεε+≥+-≤X E X X E X P)|)((|2εε≥-=X E X P2)()|)(|(εεX D X E X P ≤≥-∴ (1)切比雪夫不等式还有另一种形式，2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<- (2)由切比雪夫不等式得，D(X)越小，则表明X 的取值越集中在E(X)附近；反之D(X)越大，说明X 的取值越分散。
说明，方差刻画了随机变量取值的离散程度。
切比雪夫不等式的推广与应用
切比雪夫不等式的推广与应用切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它描述了随机变量与其均值之间的关系。
然而，除了在概率论中的应用外，切比雪夫不等式还可以推广到其他领域，并且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将围绕切比雪夫不等式的推广和应用展开讨论。
首先，我们来回顾一下切比雪夫不等式的表述。
对于一个随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，那么对于任意一个正数ε，有：P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/ε^2这个不等式告诉我们，随机变量X偏离其均值的程度与其方差有关，方差越大，偏离的可能性就越大。
但是，这个不等式的应用范围并不仅限于概率论。
在数学分析中，切比雪夫不等式可以推广到一般的测度空间。
对于一个测度空间Ω，其中包含了一个测度μ，以及一个可测函数f:Ω→R，那么对于任意一个正数ε，有：μ({ω∈Ω:|f(ω)-μ(f)| ≥ ε}) ≤ Var(f)/ε^2这个推广的切比雪夫不等式告诉我们，对于一个测度空间中的函数f，其偏离其均值的程度与其方差有关。
这个推广在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，我们经常需要估计一个信号的均值。
由于噪声的存在，我们无法直接得到准确的均值。
这时，我们可以利用切比雪夫不等式来估计均值的范围。
假设我们有一个信号X，其均值为μ，方差为σ^2。
我们对信号进行了N次观测，得到了样本均值X_bar。
根据切比雪夫不等式，我们可以得到以下结论：P(|X_bar-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/(Nε^2)这个不等式告诉我们，样本均值与真实均值之间的偏离程度与样本数量N有关。
当我们增加样本数量时，偏离的可能性减小。
这对于信号处理中的估计问题非常有用。
除了在信号处理中的应用外，切比雪夫不等式还可以在数据分析中发挥重要作用。
在数据分析中，我们经常需要对数据进行统计推断。
通过切比雪夫不等式，我们可以估计总体均值的范围。
假设我们有一个总体X，其均值为μ，方差为σ^2。
我们从总体中随机抽取了N个样本，得到了样本均值X_bar。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式切比雪夫不等式是数学中的一种重要的不等式，它是由俄罗斯数学家切比雪夫（Chebyshev）在19世纪末提出的。
它在概率论、统计学、数论等领域都有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义、证明、以及应用实例。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是概率论中的一种不等式，它描述了随机变量与其期望值之间的关系。
假设X是一个随机变量，其期望值为μ，方差为σ^2，则对于任意大于0的k，切比雪夫不等式可以表示为：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2其中，P表示概率，|X-μ|表示X与μ的差的绝对值，kσ表示标准差的k倍。
二、切比雪夫不等式的证明切比雪夫不等式的证明可以通过马太郎夫不等式（Markov's inequality）来完成。
根据马太郎夫不等式，对于任意一个非负的随机变量Y和大于0的a，有以下不等式成立：P(Y ≥ a) ≤ E(Y)/a其中，E(Y)表示随机变量Y的期望值。
我们可以将切比雪夫不等式的右边改写为P(|X-μ|^2 ≥ k^2σ^2)。
由于方差的定义为σ^2 = E((X-μ)^2)，我们可以将其代入，得到：P((X-μ)^2 ≥ k^2σ^2) ≤ E((X-μ)^2)/(k^2σ^2)化简可得：P(|X-μ|^2 ≥ k^2σ^2) ≤ 1/k^2再引入开方运算，即可得到切比雪夫不等式。
三、切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
以下简要介绍几个例子。
1. 样本估计切比雪夫不等式可以用于样本估计。
在统计学中，我们经常需要根据一部分样本数据来估计总体的参数。
切比雪夫不等式可以帮助我们估计一个随机变量离其期望值的距离有多远。
2. 异常检测在异常检测中，我们需要判断一个数据点是否是异常值。
利用切比雪夫不等式，我们可以根据样本数据的均值和方差，估计一个数据点离期望值的距离，从而判断是否为异常。
3. 统计推断切比雪夫不等式可以用于统计推断。
切比雪夫不等式与大数定律ppt课件
的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取 = 3
P{| X E(X ) | 3} 2 0.111 9 2
可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
大数定律的客观背景
大量随机试验中
事件发生的频率稳定于某一常数 测量值的算术平均值具有稳定性
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性.
定理2的另一种叙述形式
设随机变量X1，X 2 , , X n , 相互独立，且具
有相同的数学期望和方差：E( X k ) = m, D( X k ) = 2
(k = 1, 2,
)，则序列X
=
1 n
n k =1
X k依概率收敛于m，即
一个常数.若对于任意正数，有
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
=
1
则称序列Y1,Y2, Yn , 依概率收敛于a.记为
Yn P a.
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n X 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n X 的发生，而只是说他发生的
可能性很小.
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
} = 1
E(Xk ) D(Xk )
=m =2
E( X ) = m lim
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
}
=1
k
大数定律以严格的数学形式表达了随机现
象最根本的性质之一：
第45讲 切比雪夫不等式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。
解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。
(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。
下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。
切比雪夫不等式及其应用(论文)
第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。
随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。
这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。
而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。
历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。
因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。
伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。
1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。
之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。
切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。
切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。
该论文给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。
切比雪夫不等式及其应用(摘要)
切比雪夫不等式及其应用摘要切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。
尤其在分布未知时，估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式。
另外，大数定律是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。
如今，在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。
作为一个理论工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。
本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论，引出其概率形式，用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。
其次，从三大方面阐述了其在概率论中的应用，并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。
在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的应用，并且用切比雪夫不等式评价了IRR的概率风险分析。
关键词:切比雪夫不等式大数定律IRRThe Chebyster’s Inequality and Its ApplicationsABSTRACTIn probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities. In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability. In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability. The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it. Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem. As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability. Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives the prove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers. After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s Inequality Law Of Large Numbers I R R。
切比雪夫不等式的推广及应用
编号毕业论文（ 2013 届本科）题目：切比雪夫不等式的推广及应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师：职称：完成日期： 2013 年 5 月 24 日二○一三年五月切比雪夫不等式的推广及应用摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.关键词切比雪夫不等式;推广;应用;实例.中图分类号O211.1The promotion and application of chebyshev inequalitySong Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃.对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.2 预备知识定义1[]1 (切比雪夫不等式)若随机变量X 有数学期望()E X 和方差()D X ,则对于任意的正数0ε>, 总有:{}2()()D X P X E x εε-≥≤.定义2[]2 如果函数()f x 和()g x 对于一切12,x x 均成立1212(()())(()())0f x f x g x g x--≥,则称()f x 与()g x 成似序；倘若反向的不等式成立,则称()f x 与()g x 成反序.定义3[]3 设连续型随机变量X 的概率密度函数为()f x ,若积分()x f x dx +∞-∞⎰收敛,则称()xf x dx +∞-∞⎰为X 的数学期望,则22()()()D X E X E X =-为X 的方差.3 主要结论及证明定理1[]2 切比雪夫不等式积分形式如果连续函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上成似序,则成立如下不等式()()()()()bb baaaf x dxg x dx b a f x g x dx ≤-⎰⎰⎰相反,如果()f x 与()g x 成反序,则不等号反向.证明 引入辅助函数()()()()()()tttaaaF t t a f x g x dx f x dx g x dx =--⎰⎰⎰,()F t 求导得'()()()()()()()()()()t t taaaF t f x g x dx t a f t g t f t g x dx g t f x dx =+---⎰⎰⎰[]()()()()()()()()ta f x g x f t g t f t g x g t f x dx =+--⎰[][]()()()()taf x f tg x g t dx =--⎰.由于()f x 与与()g x 在区间[],a b 上成似序,故有[][]()()()()0f x f t g x g t --≥,于是'()0F t ≥,因此()F t 在[],a b 上单调递增, 又()0,()0F a F b =∴≥,即()()()()()0bbbaaab a f x g x dx f x dx g x dx --≥⎰⎰⎰,()()()()()b b baaaf x dxg x dx b a f x g x dx ∴≤-⎰⎰⎰.同理反序成立.定理2[]4 切比雪夫不等式有限形式若12(,,,)n l l l l = 和12(,,,)n m m m m = 是两个实序列,且满12n l l l ≤≤≤ ,12n m m m ≤≤≤ ,或12n l l l ≥≥≥ ,12n m m m ≥≥≥ ,则成立如下不等式111111()()n n ni i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 证明 设12,,,n l l l ,12,,,n m m m 为两个有相同次序的序列,有排序不等式得11221122n n n n l m l m l m l m l m l m ++=+++ , 112212231n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ , 112213242n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ ,11221211n n n n n l m l m l m l m l m l m -++≥+++ ,将这n 个式子相加得到111()()nnni i i i i i i n l m l m ===≥∑∑∑,不等式两边同时除以2n ,得111111()()n n ni i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 定理3[]4 设12(,,,)n a a a a = ,12(,,,)n b b b b R =∈ ,0,i λ≥则当12,n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≤≤≤ 或者12,n a a a ≥≥≥ 12n b b b ≥≥≥ 时,有如下不等式成立1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑ (1)当12,n a a a ≤≤≤ 12n b b b ≥≥≥ 或者12,n a a a ≥≥≥ 12n b b b ≤≤≤ 时,也有如下不等式成立1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≥⋅∑∑∑∑ (2)并且当0i λ≥,对于任意的1,2,,i n = 时,则(1),(2)中等式成立的条件是1212n n a a a b b b ====== 或.证明 先证明1111()()()()k k k ki i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.用数学归纳法1k =时11111111()()()a b a b λλλλ⋅=⋅则不等式成立.假设k n =时1111()()()()nnnni i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.下证1k n =+时1111()()n n i i i i i i a b λλ++==⋅∑∑111111()()n ni i n n i i n n i i a a b b λλλλ++++===+⋅+∑∑211111111111()()n n n ni i i i n n i i n n i i n n n i i i i a b a b b a a b λλλλλλλ+++++++=====⋅+++∑∑∑∑211111111111()()n n n ni i i i n n i i n n i i n n n i i i i a b a b b a a b λλλλλλλ+++++++====≤⋅+++∑∑∑∑211111111111()()nnnni i i i n n i n n i i i n n n i i i i a b a b a b a b λλλλλλλ+++++++====≤⋅+++∑∑∑∑211111111111()()nnnni i i i n n n i n i i i n n n i i i i a b a b a b a b λλλλλλλ+++++++=====⋅+++∑∑∑∑111111()()nnin i i i n n n i i a b a b λλλλ++++===+⋅+∑∑1111()()n n i i i i i i a b λλ++===⋅∑∑.当n →∞时,两边取极限 则有1111()()()()i i i i i i i i i i i i a b a b λλλλ====⋅≤⋅∑∑∑∑成立.同理可证（2）式成立.4 切比雪夫不等式的应用4.1 利用切比雪夫不等式估计随机变量X 落入区间(),a b 内的概率()P a X b << 例1[]5 设随机变量X 的概率密度为()(0)!m xx f x e x m -=≥,用切比雪夫不等式估计[]02(1)P X m <<+解 第一步:求()E X 和()D X()!m x x E X x e dx m +∞-=⎰101!m x x e dx m +∞+-=⎰ 1(1)!(2)!!m m m m +=Γ+=1m =+. []22()()()D X E X E X =-220(1)!m x x x e dx m m +∞-=-+⎰ 21(3)(1)!m m m =Γ+-+ 2(1)(2)(1)m m m =++-+ 1m =+.第二步:将不等式02(1)X m <<+的各端同减去()1E X m =+,把待估概率[]02(1)P X m <<+化成(())P X E X ε-<的形式[][]02(1)(1)(1)1P X m P m X m m <<+=-+<-+<+(1)1P X m m =⎡-+<+⎤⎣⎦()1P X E X m =⎡-<+⎤⎣⎦.第三步:取1m ε=+,利用切比雪夫不等式估计概率[]02(1)()1P X m P X E X m <<+=⎡-<+⎤⎣⎦()P X E X ε=⎡-<⎤⎣⎦ 22()111(1)D X m m ε+≥-=-+ 1mm =+. 4.2 求解或者证明一些有关概率的不等式例2[]6 设在每次试验中,事件A 发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:n 需要多大时,才能使得在n 次独立重复试验中,事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90？解 设X 为n 次试验中,事件A 出现的次数,则X ~(,0.75)B n ,()0.75,()0.750.250.1875E X n D X n n ==⨯=.所求为满足(0.740.76)0.90XP n<<≥的最小的n . (0.740.76)XP n<<可改写为(0.740.76)P n X n <<,则 (0.740.76)(0.010.750.01)P n X n P n X n n <<=-<-<()0.01P X E X n =⎡-<⎤⎣⎦.在切比雪夫不等式中取0.01n ε=,则(0.740.76)XP n<<()0.01P X E X n =⎡-<⎤⎣⎦ 2()1(0.01)D X n ≥-20.187510.0001nn ≥-18751n≥-.依题意,取187510.90n-≥, 解得 18751875010.9n ≥=-.即n 取18750时,可以使得在n 次独立重复试验中,事件A 出现的概率在0.740.76 之间概率至少为0.90.4.3 利用切比雪夫不等式证明切比雪夫大数定理 例3[]7 设1,,n X X 是相互独立的随机事件,其数学期望和方差分分别为()i E X ,()i D X ,1,2,,,i n = 且存在常数c ,使()i D X c ≤(1,2,,,)i n = ,则对于任意给的正数0ε>,有1111lim ()1n ni i n i i p X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 解 设11ni i X X n ==∑则1111()()n ni i i i E X E X n n ===∑∑, 21111()()n ni i i i KD X D X n nn===≤∑∑. 由切比雪夫不等式得:12111()11()1ninni i i i i D XnP X E X nn εε===⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑∑21K n ε≥-.所以211111()1nn i i i i KP X E X nn n εε==⎧⎫≥-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑.另n →∞,由两边夹定理11111()1nni i i i P X E X nn ε==⎧⎫≥-<≥⎨⎬⎩⎭∑∑1111lim ()1n ni i n i i p X E X n n ε→∞==⎧⎫∴-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 4.4 利用切比雪夫不等式证明不等式 例4[]7 证明22211x aaedx a -+-≥-⎰. 证明 构造一个随机变量X ,设(0,1)X N ,则22()x x ϕ-=,()0E X =,()1D X =.且{}220x aap X a dx -+--≤=⎰.由切比雪夫不等式知{}2101p X a a-≤≥-. 所以22211x aaedx a-+-≥-⎰.5 总结切比雪夫不等式不等式是概率论中的重要不等式，本文将切比雪夫不等式进行了不同形式的推广，并研究总结了切比雪夫不等式不等式在概率论中的不同应用，通过本文的研究可以将切比雪夫不等式及其推广的不同形式能灵活应用，所以研究切比雪夫不等式有很重要的研究意义.致谢本文撰写过程得到老师的悉心指导,在此对朱老师表示衷心的感谢.参考文献[1]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2009.[2]韩生,白岩,刘光清,李茂.契比雪夫不等式的一个新证明[J].长春师范学报.1995,17(1):24-25.[3]万星火.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社,2007.[4]楼宇同.契比雪夫不等式的推广[J].曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54.[5]上海交通大学数学系编.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,2004.[6]周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩译.理工科概率统计[M].北京:机械工业出版社,2009.[7]陈启浩.概率论与数理统计精讲精练[M].北京:北京师范大学出版社,2010.[8]霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用[J].长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.。
切比雪夫不等式的推广与应用
切比雪夫不等式的推广与应用什么是切比雪夫不等式切比雪夫不等式(又名切比雪夫不等式、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式)是一个在概率论中经常使用的不等式，又称切比雪夫不等式。
该不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫在1887年提出来的，用于说明在概率论中和的分布的规律性。
在数学中，切比雪夫不等式不仅可以立刻衍生出其他形式的不等式，而且它的应用不仅仅限于概率与统计学，可能会在公差限制条件下也会涉及到它。
切比雪夫不等式的公式表示设x1,x2,…,xn为一组独立同分布随机变量，期望为μ，方差为σ^2。
则对于任意ε>0，P(|x1+…+xn/n−μ|≥ε)≤σ2/nε2切比雪夫不等式的翻译版本中毒瘤式的符号耗费了超过30秒让我理解含义，所以我尝试从易懂的方式来解释其符号：设x1,x2,…,xn为一组独立同分布随机变量, 则其期望为μ，方差为σ^2，则对于任意的正量ε，当n为正整数时，P(在x1,x2,…,xn样本中，x的平均值与其期望误差超过ε的样本比例) ≤ 总体方差σ2/(nε2)切比雪夫不等式的推广在以上公式中，变量都必须满足独立同分布这个条件，然而研究中有时候变量的分布是未知的，甚至不是固定的分布。
那么，使用切比雪夫对于不同的条件分布情况下进行推广是非常重要的。
Chebyshev-Cantelli不等式设x1,x2,…,xn为一组独立随机变量，并且存在每个变量的均值和方差E(xi)=μi和Var(xi)=σi^2, i=1,2,.,n，则P(xi−μi≤kσi)≥1−1/k^2，其中k为任意正数。
这个公式可以应用于不常见的条件分布，就是我们没有把X展开成期望与方差的和的那种分解形式。
虚拟类变量注意到切比雪夫定理的证法，可以推广到非实际的类别变量上。
准确地，在x用于批处理中，或者有小于零的分布，其零到一的缩放x’=（x-μ）/σ的最大值通过1/k^2保证是足够小的。
切比雪夫不等式的应用切比雪夫定理在数值分析中不可或缺，通常用于估计。
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
初中数学 什么是数据的切比雪夫不等式 如何应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围
初中数学什么是数据的切比雪夫不等式如何应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围
数据的切比雪夫不等式是一种用于估计数据离散程度的统计不等式。
它可以告诉我们关于数据集中有多少观测值落在某个距离中心的范围内。
具体而言，切比雪夫不等式可以用来估计数据的波动范围。
以下是如何应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围的步骤：
1. 收集数据：首先，收集包含观测值的数据集。
2. 数据准备：对于数据集，进行必要的数据清洗和处理。
确保数据的格式正确，缺失值被处理。
3. 计算平均值和标准差：计算数据的平均值（记为μ）和标准差（记为σ）。
平均值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。
4. 应用切比雪夫不等式：根据切比雪夫不等式，至少有(1 -1/k^2)的数据落在距离平均值k 个标准差范围内。
其中，k是一个大于1的常数。
5. 计算波动范围：根据切比雪夫不等式，可以得到波动范围的一个估计值。
波动范围等于k 个标准差的长度，即k*σ。
需要注意的是，切比雪夫不等式提供了一个上界估计，它并不会告诉我们实际的波动范围。
实际的波动范围可能会比切比雪夫不等式给出的估计值更小。
因此，在使用切比雪夫不等式时，需要谨慎解释其结果。
总结起来，数据的切比雪夫不等式是一种用于估计数据离散程度的统计不等式。
应用切比雪夫不等式计算数据的波动范围的步骤包括收集数据、数据准备、计算平均值和标准差、应用切比雪夫不等式和计算波动范围。
切比雪夫不等式提供了一个上界估计，它可以帮助我们估计数据在距离平均值一定范围内的分布情况。
切比雪夫不等式推导
切比雪夫不等式推导切比雪夫不等式是概率论与统计学中一种重要的不等式，它描述了一个随机变量离其期望值的距离与标准差之间的关系。
通过切比雪夫不等式，我们可以得到对于任意分布的随机变量，在概率上限制其偏离期望值的范围。
为了推导切比雪夫不等式，我们先从定义入手。
令X为一个随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。
现在我们想要知道X离μ的距离超过多少时是非常罕见的情况，即X与μ的偏差较大的概率有多小。
为了求得这个概率，我们可以利用马尔可夫不等式。
根据马尔可夫不等式，对于一个非负随机变量Y和任意t > 0，有P(Y ≥ t) ≤ E(Y)/t。
我们将Y定义为(X-μ)^2，即X与μ之间的偏差的平方。
由于Y非负，我们可以使用马尔可夫不等式得到以下不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤ E((X-μ)^2) / t^2。
注意到E((X-μ)^2)正好是X的方差，记作σ^2。
将其代入上述不等式中，我们得到以下形式的不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤σ^2 / t^2。
由于X的标准差为σ，即σ^2 = σ^2，我们可以将不等式变形为：P(|X-μ| ≥ t) ≤ σ^2 / t^2。
现在，我们将不等式改写成概率形式，就变成了切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2，其中k = t/σ。
切比雪夫不等式的意义在于它不受随机变量分布形式的限制，适用于任意随机变量。
通过这个不等式，我们可以得到一个随机变量离其期望值一定范围内的概率上界，无论是正态分布、均匀分布还是其他分布都适用。
例如，假设X是服从任意分布的随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。
我们可以利用切比雪夫不等式来推导X离μ的距离超过2个标准差的概率上限。
根据切比雪夫不等式，我们有P(|X-μ| ≥ 2σ) ≤ 1/2^2 = 1/4，即X离μ的距离超过2个标准差的概率不会超过1/4。
切比雪夫不等式在实际应用中具有重要意义。
它告诉我们，如果我们想要控制一个随机变量离其期望值的距离的概率，我们只需要关注该随机变量的标准差。
切比雪夫不等式的证明过程
切比雪夫不等式的证明过程切比雪夫不等式，听起来就像一个神秘的魔法咒语，但其实它是有超有趣的证明过程的。
想象一下，切比雪夫不等式就像是一个严格的交通警察，要管理一群调皮的数字小怪兽。
这些小怪兽就是随机变量啦。
我们先从定义开始捣鼓。
就好比我们要给这些小怪兽们做一个大集合，这个集合里有它们各种各样的表现（取值）。
然后呢，我们引入期望这个概念。
期望啊，就像是小怪兽们的平均脾气。
有些小怪兽特别调皮，离这个平均脾气特别远，有些就很乖，离得近。
我们要做的就是找到一个界限，来控制那些调皮小怪兽偏离平均脾气的程度。
这时候切比雪夫不等式就闪亮登场啦。
它说，不管这些小怪兽有多调皮，在一定的范围内，偏离平均脾气特别远的小怪兽的数量是有限制的。
这就好比在一个大操场上，那些跑得离集合点（平均位置）特别远的小朋友（数字小怪兽）是不会太多的。
从数学上来说，我们设随机变量为X，期望为E(X)，方差为D(X)。
方差就像是小怪兽们调皮程度的一个衡量标准。
如果方差小，说明小怪兽们都比较听话，不太会偏离平均脾气太远。
我们要证明对于任意正数k，P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ D(X)/k²。
这就像是给那些调皮小怪兽画了一个红线。
我们开始推导的时候，就像是在给小怪兽们排兵布阵。
通过一些巧妙的数学变换，把这些小怪兽按照我们想要的方式组合起来。
这个证明过程就像是一场有趣的数字游戏，我们把各个数学概念当作游戏里的道具。
每一步的推导就像走一步棋，要小心翼翼又充满创意。
最后，当我们成功证明出切比雪夫不等式的时候，就好像是成功地把所有调皮小怪兽都管理得服服帖帖。
这个不等式就像一个神奇的笼子，把小怪兽们的调皮范围都限制住了。
它在概率这个大森林里可是非常重要的工具呢，帮助我们理解随机变量的各种行为，就像一个指南针，指引我们在概率的迷宫里不迷路。
切比雪夫不等式应用
切比雪夫不等式应用
切比雪夫不等式是概率论中一个重要的不等式，它给出了随机变量偏离其均值的程度与方差的关系。
具体来说，对于一个随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，则对于任意正数k，有如下不等式成立： P(|X-μ|≥kσ)≤1/k^2
这个不等式的重要性在于它可以用来估计一个随机变量的概率
分布。
例如，如果我们知道一个随机变量的均值和方差，那么可以用切比雪夫不等式得到它与均值相差k倍标准差的概率上界，从而对随机变量的分布进行估计。
切比雪夫不等式还可以应用于样本均值的估计。
假设我们从总体中取得一个大小为n的随机样本，样本均值为X_bar，样本方差为S^2，则我们可以用切比雪夫不等式得到样本均值与总体均值相差k倍标
准误差的概率上界，从而对总体均值进行估计。
总之，切比雪夫不等式在统计学和概率论中有着广泛的应用，是一种重要的工具。
- 1 -。
推荐-切比雪夫不等式及其应用 精品
第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。
随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。
这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。
而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。
历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。
因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。
伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。
1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。
之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。
切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。
切比雪夫在1866年发表的《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。
该给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。
切比雪夫不等式的证明
切⽐雪夫不等式的证明
定理4.4 (切⽐雪夫不等式) 设随机变量 X 的期望和⽅差均存在，则对任意 ε>0，有
P (|X −WX |≥ε)≤DX
ε
2
等价形式为
P (|X −WX |<ε)≥1−DX
ε
2
证明 令
Y =
1ω∈{|X −EX |≥ε},0其他,
则 Y ≤
(X −EX )2
ε2
，根据期望的性质，有
P (|X −WX |≥ε)=EY ≤E
(X −EX )2
ε2
=DX ε2
.
以上是书本上的证明，我初读不理解，故在⽹上查阅其他形式的证明辅助理解，有效，如下：
命题 设随机变量具有数学期望 E (X )=µ，⽅差 D (X )=σ2，则对任意的正数 ε 有 P {|X −µ|≥ε}≤σ2
ε2 或 P {|X −µ|≤ε}≥1−σ2
ε
2
证明过程：
1. X 为连续型则有
P {|X −µ|>ε}=∫|X −µ|≥εf (x )dx ≤∫+∞
−∞
(x −µ)2
ε2
f (x )dx =σ2
ε
2
2. X 为离散型则有
P {|X −µ|≥ε}=∑k ∈|X −µ|≥εP k ≤∞
∑
k =1
(x −µ)2ε2
P k =σ2
ε
2
注：上⾯的离散型证明中的第⼀个求和符号下⾯的 k 后⾯的符号不确定是否是 ∈，原图有些不清晰，以后有时间会求证.参考：
{
[
]
Processing math: 100%。
切比雪夫不等式的一个推广形式
切比雪夫不等式的一个推广形式斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度.(图7)分析:该题实际上是求二次函数的顶点和(图6)函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7,2分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程(8-a)2+(x+6)2=102化简得:x+12x+a-16a=0当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快.【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确到0.1米)22然后把x=7Π2代入解析式,即可求得.总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力.专题研究切比雪夫不等式的一个推广形式上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它44在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式:推广的切比雪夫不等式:设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,ni=1nnn则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1n≤i∑aibiti.=1注:若所有的t1i=n,上述不等式即为切比雪夫不等式.为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;积分不等式:设f和g都在区间[a,b]上单调增加且分段连续,则 b∫f(x)g(x)dxa≥1bbb-a∫f(x)dxg(x)dxa∫a.bb证明:令A=∫f(x)dx,B=g(x)dx,a∫abC=∫f(x)g(x)dxa,要证:C≥1b-aAB.由于f和g都在区间[a,b]上单调增加,所以对于任意的x,y∈[a,b]有(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))≥0.对上式两边关于区间[a,b]进行积分,得bb(f(x)-f(y))(g(x)-g(y))dxdy≥0,a∫abb即∫[∫(f(x)g(x)f(x)g(y)aa--f(y)g(x)+f(y)g(y))dx]dy≥0,b∫[CAg(y)a--Bf(y)+(b-a)f(y)g(y)]dy≥0,C(b-a)-AB-AB+C(b-a)≥0.于是,C≥1b-aAB.注:由上述证明过程可知,若f和g一个为单调增加而另一个为单调减少时,则积分不等b式要变向,即∫f(x)g(x)dxabb≤1b-a∫f(x)dxg(x)dxa∫a.推广的切比雪夫不等式的证明:分划区间[0,1]:0=x0 f(x)=a1,x∈[x0,x1]ai+1,x∈[xi,xi+1],1≥ig(x)=b1,x∈[x0,x1]bi+1,x∈(xi,xi+1],i≥1.由已知条件知f和g在区间[0,1]上都单调增加,于是有积分不等式: 111∫f(x)g(x)dx0≥∫f(x)dxdx0∫g(x)0.1n易知∫f(x)g(x)dx0=i∑aibiti,=11n1nf(x)dx=iti,(x)dx=0i∑a=1∫g0i∑biti.由=1nnn此即得:(∑aiti)(∑biti)≤∑aibiti.i=1i=1i=1令,xgn,x∈[x01]1(x)=bbn-1,x∈(x1,xi+1],1≤i则g1在区间[0,1]上单调减少.同前,对f和g1关于区间[0,1]应用积分不等式即得: nnnaibn+1-iti≤(∑aiti)(∑biti)i∑.=1i=1i=1参考文献:1.《中学数学竞赛导引》,上海教育出版社,1992年.45∫∫。
切比雪夫不等式高中知识推导
切比雪夫不等式1. 引言切比雪夫不等式（Chebyshev’s inequality）是概率论中一条重要的不等式，它描述了随机变量偏离其均值的程度。
切比雪夫不等式是由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev）在1867年提出的，是概率论与数理统计中常用的一个基本定理。
2. 切比雪夫不等式的表述设X是一个随机变量，其期望值为μ，方差为σ^2。
则对于任意大于0的实数k，有： P(|X-μ| >= kσ) <= 1/k^2其中，P表示概率。
3. 推导过程为了推导切比雪夫不等式，我们需要先引入马尔可夫不等式。
3.1 马尔可夫不等式马尔可夫不等式（Markov’s inequality）是概率论中另一条重要的不等式，它描述了非负随机变量大于某个正数时的概率上界。
设X是一个非负随机变量，其期望值为E(X)，则对于任意大于0的实数a，有： P(X >= a) <= E(X)/a3.2 推导步骤现在我们开始推导切比雪夫不等式。
首先，我们将随机变量X标准化，即令Y = (X-μ)/σ。
此时，Y的期望值为0，方差为1。
根据马尔可夫不等式，对于任意大于0的实数t，有： P(|Y| >= t) <= E(Y2)/t2将Y的定义代入上式，得到： P(|(X-μ)/σ| >= t) <= E(((X-μ)/σ)2)/t2化简上式得到： P(|X-μ| >= tσ) <= E((X-μ)2)/(t2σ^2)由于方差的定义为Var(X) = E((X-μ)^2)，所以上式可以进一步化简为： P(|X-μ| >= tσ) <= Var(X)/(t2σ2)将切比雪夫不等式的表述形式代入上式，得到： P(|X-μ| >= kσ) <= 1/k^24. 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式在概率论和数理统计中有广泛的应用。
它可以用来估计随机变量偏离其均值的程度，并给出一个概率上界。