回归分析(5)
应用回归分析-第5章课后习题参考答案
第5章自变量选择与逐步回归
思考与练习参考答案
5.1 自变量选择对回归参数的估计有何影响？
答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。如果模型中丢掉了重要的自变量, 出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量, 或者数据质量很差的自变量, 不仅使得建模计算量增大, 自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。
5.2自变量选择对回归预测有何影响？
答：当全模型〔m元〕正确采用选模型〔p元〕时，我们舍弃了m-p个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差，所以全模型正确而误用选模型有利有弊。当选模型〔p元〕正确采用全模型〔m 元〕时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。
5.3 如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣？
C统计量达到最小的准则来衡量回答：如果所建模型主要用于预测，则应使用
p
归方程的优劣。
5.4 试述前进法的思想方法。
答：前进法的基本思想方法是：首先因变量Y对全部的自变量x1,x2,...,xm建立m个一元线性回归方程, 并计算F检验值，选择偏回归平方和显著的变量〔F值最大且大于临界值〕进入回归方程。每一步只引入一个变量，同时建立m－1个二元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显著的两变量变量〔F值最大且大于临界值〕进入回归方程。在确定引入的两个自变量以后，再引入一个变量，建立m－2个三元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显著的三个变量〔F值最大〕进入回归方程。不断重复这一过程，直到无法再引入新的自变量时，即所有未被引入的自变量的F检验值均小于F检验
应用回归分析 第五章习题
应用回归分析 第五章习题
5.10
(1)建立y 对26x ~x 的线性回归方程
由上可知，线性回归方程是：
23456
59228274864237481790114539846867y ..x .x .x .x .x =++-+-（2）用后退法选择变量
Coefficients a
Model Unstandardized Coefficients
Standardized
Coefficients
t Sig. B Std. Error Beta
1
(Constant) -2530523.651
1053982.823
-2.401
.040 x2 -27.458 13.588 -3.823 -2.021 .074 x3 3.321 .797 1.094 4.169 .002 x4 -1506.217 324.836 -2.128 -4.637 .001 x5 212.489 146.255 .737 1.453 .180 x6 -477.930 284.609 -.507 -1.679 .127 x1
1304.787
542.184
5.104
2.407
.039
2 (3)
(Constant) -445380.948
110447.795
-4.033 .002 x3 2.310 .457 .761 5.055 .000 x4 -971.882 174.101 -1.373 -5.582 .000 x6 -827.999 220.276 -.879 -3.759 .003 x1
232.202
56.138
.908
5回归分析
, n,
1 , 2 ,, n 相互独立 2 可得到： yi ~ N ( 0 1 xi , ). ˆ ,，则经验回归方程为： ˆ 如果β 和β 的估计量分别为
0 1
数据预处理 以(xi ,yi)为坐标在平面直角坐标系中描点, 所得到 的这张图便称之为散点图.
ˆ ˆx ˆi y 0 1 i
n 0 nx 1 ny n n 2 nx ( x 0 i ) 1 xi yi i 1 i 1
ˆ y ˆx 解方程得 0 1 n xi yi nx y ˆ i 1 1 n 2 ( x x ) i i 1
0 , 1
0 , 1
i 1
Y
yi
0 1 xi
找使得这些 垂直偏差的 平方和尽可 能小的那条 直线
x
O
xi
以下求 Q( 0 , 1 )
2 2 [ y ( x )] i i 0 1 i 的最小值： i 1 i 1
n
n
n Q 2 ( yi ( 0 1 xi )) 0 0 i 1 n Q 2[ yi ( 0 1 xi )]xi 0 1 i 1
i 1
例5.2.1
• 我国城镇居民消费和人均可支配收入之 间的关系。
5.2.2 估计的性质 性质
第8章 回归分析预测法5
ˆ y z s
0 2
y
五、应用举例
例如：某工厂机床使用年限和年维修费资料如 下表，试配合适当的回归模型并进行显著性检 验；若机床使用年限为12年，显著性水平α为 0.05时，估计年维修费用的置信区间。
合计 1
机床使用年限 （x） 2
年维修费 （元）y 400
x2 4
y2 160000
xy 800
3.进行回归模型显著性检验(用相关系数检验法)
r
n x 2 ( x ) 2 n y 2 ( y ) 2
12×46560 - 60×8520 12×352 - 602 12×6428800 - 85202
n xy x y
=
=0.8913
当显著性水平a = 0.05，自由度＝n-m=12-2=10时，查 相关系数临界值表，得 ro.o5（10）＝0.567， 因r＝0 .9829＞ro.o5=0.576，检验通过，说明两变量之 间相关关系显著。
sy =
y2 - a y - b xy n-2
6428800 - 329.25×8520 - 76.15×46560 = 12 - 2
= 88.33
(2）当显著性水平a = 0.05，自由度=n-m=10时，查t分 布表得：t0.025（10）＝2.228, (3）当xo＝12年时，代人回归模型得y的点估计值为：
专题05 回归分析(解析版)
专题5 回归分析
例1．已知回归方程y=5x+1，则该方程在样本（1，4）处的残差为（）
A．﹣2B．1C．2D．5
【解析】解：当x＝1时，y=5x+1＝6，
∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．
故选：A．
例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．
以上正确说法的是①③④．
【解析】解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；
③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单
位，故③正确；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，
故④正确．
故答案为：①③④．
例3．下列命题中，正确的命题有②③．
①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的
拟合效果越好；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．
实验五相关和回归分析
实验五相关和回归分析
相关分析是指对变量之间的相关关系进行描述与度量的一种分析方法，简单相关分析通常指对两变量间相关关系的研究，其目的是确定两个变量之间是否存在相关关系，并对其相关关系的强度进行度量，常用方法是考察两个变量的散点图和计算变量间的相关系数。
多元线性回归分析研究多个变量的数量伴随关系，内容主要包括模型的假定与检验、参数的估计与检验、回归诊断与预测。
很多非线性回归问题都可以转化为线性回归问题处理，如多项式回归、指数回归、对数回归、幂函数回归等。
5.1 实验目的
掌握使用SAS进行简单相关分析和多元线性回归分析及非线性回归分析的方法。
5.2 实验内容
一、用INSIGHT模块作简单相关分析与一元线性回归分析
二、用“分析家”作多元线性回归分析
三、使用REG过程作回归分析
四、一元非线性回归分析
5.3 实验指导
一、用INSIGHT模块作简单相关分析与一元线性回归分析
【实验5-1】比萨斜塔是一建筑奇迹，工程师关于塔的稳定性作了大量研究工作，塔的斜度的测量值随时间变化的关系提供了很多有用的信息，表5-1给出了1975年至1987年的测量值（sy5_1.xls）。表中变量“斜度”表示塔上某一点的实际位置与假如塔为垂直时它所处位置之偏差再减去2900mm。
表5-1 比萨斜塔的斜度
试分析y(斜度)关于年份x的相关关系，写出y关于x的线性回归方程，并利用所建回归方程预测1988年时比萨斜塔的斜度值。
1. 数据的导入
首先将上表在Excel中处理后导入成SAS数据集Mylib.sy5_1，如图5-1所示，其中x
第5章 回归分析
1 2 yi ( n i 1
2019/1/3
n
( xi x ) yi 2 yi ) ( ) l xx i 1 i 1
n 2 n
Biblioteka Baidu22
对
y1 , y2 ,, yn 作如下线性变换
z x1 x y x2 x y xn x y 1 2 n n1 lxx lxx lxx z 1 y 1 y 1 y
并且
zn1
x x ˆ l ,z 1 i yi β 1 xx n l n i 1 xx
n
y
i 1
n
i
ny
ˆ, y 三者相互独立。 根据 z1,z2 ,, zn 的独立性，知 Se , β
2019/1/3 26
回归方程的显著性检验 在实际工作中，我们不能断定因变量与自变量间确有线性关系，
n
2019/1/3
1 x2 2 ˆ ) ( ) Var ( n l xx
16
n 1 ˆ ) Var( Var( ( xi x ) yi ) l xx i 1
i 1
n
xi x 2 Var ( y )
l 2 xx
i 2 2 x x i i 1 n
（2） 其中
ˆ , Y 相互独立。 Se ,
虚拟变量的回归分析
Coef fic ientas
Unstandardized Standardized
Coefficients Coefficients
Mo de l
B Std. Error
1
(Cons tant) 1.409
.6 82
Be ta
年龄
.0 68
.0 13
.5 69
ED2
-1 .1 27
.2 95
-. 39 9
ED3
-1 .3 09
.3 52
-. 51 4
ED4
-1 .5 76
.3 82
-. 55 8
ED5
-1 .5 69
.3 70
-. 61 6
AREA
-. 48 6
.1 62
-. 22 0
a.Depe nde nt Variab le: 生 子 女 数
.
t 2 .06 6 5 .18 3 -3 .8 20 -3 .7 23 -4 .1 27 -4 .2 40 -2 .9 89
Sig. .0 69 .0 01 .0 04 .0 05 .0 03 .0 02 .0 15
9
回归方程的解释
当案例在两个分类变量都等于0时，即文 化程度为文盲，居住地在农村时，此种情 况称为参照类（其他情况将于此进行比 较），其回归方程为：
第5章回归分析
(3.472301 3.258333)2 (3.472301 3.258333)2 (3.125326 3.258333)2 (3.0212335 3.258333)2
表 商品价格与消费量的关系
价格X 5.0 5.2 5.8 6.4 7.0 7.0 8.0 8.3 8.7 9.0 10.0 11 消费量Y 4.0 5.0 3.6 3.8 3.0 3.5 2.9 3.1 2.9 2.2 2.5 2.6
5.2 一元线性回归
15
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续） 在坐标轴上做出价格与消费量的相关关系。
n
ESS= ( yˆi y)2 i 1
残差平方和RSS表示实际值与拟合值之间的差异程度，RSS是各个数据残差的平方和。即：
n
RSS = (yi -yˆi )2 i=1
TSS、ESS、RSS三者之间关系为：TSS=ESS+RSS。
5.2 一元线性回归
10
2. 拟合优度检验（续）
拟合优度（Goodness of Fit）是指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是决定系数
F ESS / k RSS / (n k 1)
且服从F 分布 F (k, n k 。1)
其中 k 为自由度（自变量的个数），n 为样本总量。对于一元线性回归方程，只有一个自变量x ，所以 k=1。 F 值越大说明自变量和因变量之间在总体上的线性关系越显著。反之线性关系越不显著。
如何进行回归分析：步骤详解(五)
回归分析是一种统计方法，用来研究自变量和因变量之间的关系。它可以帮
助我们了解变量之间的相关性，预测未来的趋势，甚至发现隐藏在数据背后的规律。在实际应用中，回归分析可以用于市场营销、经济学、医学等领域。下面将详细介绍如何进行回归分析的步骤。
数据收集
回归分析的第一步是收集数据。这些数据可以是实验数据，也可以是观察数据。在收集数据时，要确保数据的准确性和完整性。此外，还需要考虑数据的样本量和样本的代表性。只有具有代表性的数据才能得出可靠的结论。
变量选择
在进行回归分析之前，需要确定自变量和因变量。自变量是用来解释因变量
变化的变量，而因变量是需要预测或解释的变量。在选择自变量和因变量时，需要考虑它们之间的理论关系，以及它们之间的实际关系。有时候，还需要进行因子分析或者相关性分析，来确定最终的变量。
建立模型
建立回归模型是回归分析的核心步骤。在建立模型时，需要选择合适的回归
方法，比如线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。此外，还需要考虑模型的拟合度和预测能力。可以使用一些统计指标来评估模型的好坏，比如R方、残差分析等。
数据分析
在建立模型之后，需要对数据进行分析。这包括对模型的参数估计、假设检验、模型诊断等。通过数据分析，可以得出模型的显著性、自变量的影响程度以及模型的稳定性。如果发现模型存在问题，还需要对模型进行修正。
模型解释
一旦得到合适的回归模型，就可以对模型进行解释和应用。通过模型的系数
和拟合曲线，可以解释自变量对因变量的影响程度，以及它们之间的关系。此外，还可以使用模型进行预测和决策。比如，在市场营销中，可以使用回归分析来预测产品的销量；在医学领域，可以使用回归分析来预测疾病的发生率。
北大暑期课程《回归分析》(Linear-Regression-Analysis)讲义PKU5
Class 5: ANOVA (Analysis of Variance) and F-tests
I. What is ANOVA
What is ANOVA? ANOVA is the short name for the Analysis of Variance. The essence of ANOVA is to decompose the total variance of the dependent variable into two additive components, one for the structural part, and the other for the stochastic part, of a regression. Today we are going to examine the easiest case.
II. ANOVA: An Introduction
Let the model be
ε
β+
=X
y.
Assuming x
i
is a column vector (of length p) of independent variable values for the i th' observation,
i
i
i
ε
β+
='
x
y.
Then b'x i is the predicted value.
sum of squares total:
[]
∑-
=2
Y
y
SST
i
[]
∑-
+
-
=2
'x
b'x
y Y
b
i
i
i
[][][][]
∑∑∑-
+
-
+
-
=Y
-b'x
b'x
应用回归分析,第5章课后习题参考答案
第5章自变量选择与逐步回归
思考与练习参考答案
自变量选择对回归参数的估计有何影响
答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。如果模型中丢掉了重要的自变量, 出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量, 或者数据质量很差的自变量, 不仅使得建模计算量增大, 自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。
自变量选择对回归预测有何影响
答：当全模型（m元）正确采用选模型（p元）时，我们舍弃了m-p个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差，所以全模型正确而误用选模型有利有弊。当选模型（p元）正确采用全模型（m 元）时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。
如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣
C统计量达到最小的准则来衡量回答：如果所建模型主要用于预测，则应使用
p
归方程的优劣。
试述前进法的思想方法。
答：前进法的基本思想方法是：首先因变量Y对全部的自变量x1,x2,...,xm建立m 个一元线性回归方程, 并计算F检验值，选择偏回归平方和显着的变量（F值最大且大于临界值）进入回归方程。每一步只引入一个变量，同时建立m－1个二元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显着的两变量变量（F 值最大且大于临界值）进入回归方程。在确定引入的两个自变量以后，再引入一个变量，建立m－2个三元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显着的三个变量（F值最大）进入回归方程。不断重复这一过程，直到无法再引入新的自变量时，即所有未被引入的自变量的F检验值均小于F检验临界值
第五章 回归分析ppt课件
;
〔2〕相关关系
反映客观事物之间非严厉、不确定的线性 依存关系。
一个变量发生数量变化，要影响另一变量 相应变化
给定一个变量一个数值，另一变量有多个 数值与之对应。
如：月收入与月支出
;
2、回归分析与相关分析
;
3名毕业生月收入与月支出表〔元〕
月收入 X
1800
小王 1500
月支出 Y 小李 小刘 1650 1800
;
第二节 一元线性回归模型 一、一元线性回归模型根本式
对于经判别具有线性关系的两个变量y与 x，构造一元线性回归模型为：
YX
式 中 ： α 与 β 为 数模 ，型 ε参 为 随 机 误
;
为 除 自 变 量 X 之 外 的 各 随 机 因 素 对 因 变 量 Y 的 影 响 总 和 。
;
以 消 费 支 出 函 数 为 例 ： Y x
第五章 回归分析
;
第一节 引言 一、回归分析和相关分析
1、相关关系的概念
景象之间的数量关系，存在着两种不同 的类型：函数关系和相关关系。
;
〔1〕函数关系
反映客观事物之间存在着严厉的依存关系。 在这种关系中，对于某一变量的每一个数 值， 都有另一变量确实定的值与之对应。 这种关系，可以用一个数学表达式反映。 如：
人均支出
5963.25 6082.62 9636.27 5763.50 5502.43 7118.06 5759.21 4948.98 6023.56 5666.54 5298.91 5400.24 5330.34 5540.61 8045.34
实验5 回归分析
实验报告
课程名称试验设计与数据分析姓名邵建智
学号3110100122
专业生物系统工程
实验名称回归分析
浙江大学生物系统工程与食品科学学院
二O一三年八月制
实验五：回归分析
实验类型：上机操作
实验地点：农生环D-414
指导老师：傅霞萍
实验日期：2013年10月22日
一、实验目的和要求
（1）熟练使用SPSS进行相关分析、曲线拟合、一元线性回归分析、多元线性回归、逐步线性回归分析等
二、实验内容和原理
2.1实验原理
2.2 实验内容（显著性水平α＝5%）
（1）相关分析
某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨和春季温度的数据如下，利用二元变量相关分析(Bivariate)对降雨量与收获量进行相关分析；控制温度影响，对降雨量与收获量进行偏相关分析
（2）一元线性回归
（3）多元线性回归分析
某VCD连锁店非常想知道在电视台做广告与在广播电台做广告哪种媒体更有效。它收集了连锁
三、主要仪器设备/实验环境（使用的软件等）
IBM SPSS 19.0等
四、操作方法与实验步骤（必填，上机操作过程，可以插图）（1）相关分析
二元变量相关分析(Bivariate)对降雨量与收获量进行相关分析:
控制温度影响，对降雨量与收获量进行偏相关分析(Partial):
（2）一元线性回归
（3）多元线性回归分析
五、实验数据记录和处理（必填，图表数据、计算结果、对图表的处理）（1）相关分析
二元变量相关分析(Bivariate)对降雨量与收获量进行相关分析:
控制温度影响，对降雨量与收获量进行偏相关分析(Partial):
（2）一元线性回归
（3）多元线性回归分析
5多元回归分析大样本理论
9
Consistency
一致性
Under the Gauss-Markov assumptions OLS is BLUE, but in other cases it won’t always be possible to find unbiased estimators 在高斯－马尔可夫假定下OLS 是最优线性无偏估计量， 但在别的情形下不一定能找到无偏估计量。 In those cases, we may settle for estimators that are consistent, meaning as n ∞, the distribution of the estimator collapses to the true parameter value 在那些情形下，我们只要找到一致的估计量，即当n ∞ 时, 这些估计量的分布退化为参数的真值。
第五章__回归分析修改
正 规 方 程 组
经过整理后得到线性方程组
na nxb ny n n nxa ( x 2 )b xi yi i i 1 i 1
第五章 回归分析
回归分析 一元线性回归
在现实问题中处于同一个过程中的一些 变量往往是相互依赖和相互制约的，它们之 间的相互关系大致可分为两种： (1)确定性关系 --函数关系 (2)非确定性关系 -- 相关关系：变量之间有 一定的依赖关系，但这种关系并不完全确定。
可控变量：可以在某范围内随意地取指定数值- 自变量 不可控变量:可以观测但不可控制(随机变量)-- 因变量
则
ˆx a ˆ Y b 参数估计量 b ˆ l xY l xx ˆx Y b ˆ( x x ) ˆ a 回归方程 ˆ b Y
ˆ 相互 定理1: 在一元线性回归模型中, Y 和 b 独立.
证明:
1 ( xi x )Yi ˆ cov(Y , b ) cov n Yi , l xx
2
由 1 , 2 , n 独立知道 Y1 ,Y2 ,Yn 也相互独立，且
Yi ~ N (a bxi , 2 )
i 1,2,n
Y1 , Y2 ,Yn称为来自Y的容量为n的一个独立随机 样本（简称独立样本） 。而
统计分析与方法-第七章 回归分析5-罗吉斯蒂克回归
第七章
回归分析6— 罗吉斯蒂克回归
1.0
.8
.6
.4
从这张图可以看出什么呢?
.2
0.0 -.2 10 20 30 40 50 60 70 80
年龄
120
100
80
60
40
OPINION
C ou n t
20 .00 0 .00 1.00 1.00
性别（ 0: 女， 1: 男）
从这张图又可以看出什么呢?
从多元线性回归到Logistic 回归
p 0.2 0.4
0.6
0.8
10
20
30
40 age
百度文库
50
60
70
于是，Logistic概率函数表示为：
经过变形，可得到线性函数：
这里，事件发生概率=P (y=1) 事件不发生概率=1-P (y=0) 发生比：
对数发生比：
这样，就可将logistic曲线线性化为：
从P到logit P经历了两个步骤变换过程： 第一步：将转换成发生比，其值域为0到无穷 第二步：将发生比换成对数发生比，其值域科 为 经过转换， 将P logit P,在将其作为回归因变 量来解释就不再有任何值域方面的限制了，即 可线性化！
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y 0 1 x1 p x p
对模型3，可先两边取对数，得 ln y ln a bx 然后再令
y ln y, 0 ln a, 1 b 原模型化为线性回归模型 y 0 1 x
2016/5/10 6
2016/5/10 44
由于本例中最好的实验条件是 x1 13.1, x2 48.0, x3 60 根据前述分析，影响蛋白提取浓度的 最主要因素是提取时间，提取时间应 在48h以上；提取液pH值是第二重要 因素， pH 值应比 13.10 再低些；提取 温度应该控制在60º C以上。
2016/5/10 45
y 0 1 x p x
p
2016/5/10 4
y ae e
bx
bx
y ae 对模型1，只要令 x e bx 即可化
为线性回归模型 y 0 1 x 对模型2，令 2 p x1 x , x2 x , , x p x 原模型化为多元线性回归模型
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0.93，临界值F(1,13)=4.67，也没通过 显著性检验，所以回归模型中也不应
2。 该包含二次效应项 x2 2 类似可验证， x1 项通过显著性检
验。 综上，最终选用下列回归模型
y 0 1 x1 2 x2
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2 11 x1
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生长、病毒的传播速率与时间的关系 等都可以用S型函数研究。 SPSS 中的 S 型函数 y=exp(b0+b1/t) 当b1<0时属通常意义的S型函数; 当b1 >0时不属通常意义的S型函数。 另外， SPSS 中的 Logistic 函数也 是S型函数。
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1994
1995 1996 1997
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14
15 16 17
46759.4
58478.1 67884.6 74462.6
42331.77
50477.13 60189.80 71771.35
4427.63
8000.97 7694.80 2691.25
1998
18
79395.7
85581.38
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析，所以通常略去误差项，而仅写出 回归函数。 bx 例如，模型3常简记为 y ae 。
2. 常用可线性化的曲线回归方程 SPSS 中给出了 11 种常见的可线 性化的非线性回归方程，见下表。
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显然，上述曲线中的复合函数、 增长函数和指数函数等价，只是形式 不同。 若选用上述曲线进行回归，只需 选用分析->回归->曲线估计菜单即可, 而不必做任何变换。 除了上述曲线外，还有下列几种 常用回归曲线。
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T
E i 0, i 1, 2, , n, 2 , i j , i , j 1, 2, , n cov i , j 0, i j .
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(1) 双曲函数 x 1 1 y 即 ab ax b y x
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(2) S型函数II
1 y x a be
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此函数显然有两条渐近线y=0和y =1/a。 S 型函数有多种，其共同特点是 曲线首先缓慢增长，在达到某点后迅 速增长，在超过某点后又缓慢增长， 最终趋于一个稳定值。 S 型函数在许多领域都有广泛的 应用，例如产品的销售量、农作物的
(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量，而不能与未知参数有关。 若模型 1 中的 b 未知，则模型 1 不能线 性化。 可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型，不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
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(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关，而且与误 差项的形式也有关。 例如，模型 3 的误差项为乘性误 差项，可以线性化，而模型 4 的误差 项为加性误差项，不可以线性化。 在对非线性回归模型进行线性化 时，总是假定误差项满足可线性化条
例10.1 对下表中的GDP数据进行 非线性回归。 解 首先做数据散点图。 分析->回归->曲线估计。 分别选线性和复合函数进行回归, 结果见下。
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年份 1981
t 1
y 4862.4
y1 4296.35
e 566.05
1982
1983 1984 1985
2
3 4 5
5294.7
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2 x1 ,
以此类推。方差分析表如下：
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根据下列公式计算得偏F统计量 SSR( i ) 1 Fi SSE n p 1
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下面检验交互效应和风险反感度 的二次效应。 因为交互影响项系数显著性检验 的偏 F 值 =2.00 ，临界值 F(1,2)=4.75 ， 交互影响项系数没通过显著性检验， 所以回归模型中不应该包含交互作用 项x12。 又风险反感度二次效应项的偏F=
类似于例 10.3 寻找最优生产条件 的问题在医药、食品行业较为常见。 解决此类问题较适当的方法是将试验 设计方法与回归分析方法相结合—— 响应面分析。 相关内容见下学期的试验设计与 分析课程。
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§3 非线性回归模型
1. 非线性最小二乘估计 非线性回归模型一般可记为 yi f xi , i , i 1,2,, n T xi xi 1 , xi 2 ,, xik 其中 yi 是因变量， 是自变量， 是未知 0 ,1 ,, p i 是随机误差项并满足独 参数向量， 立同分布假设，即
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数据表
x1 10.00 1.56 13.10 6.00 0.86 12.40 3.00 x2 32.00 8.00 48.00 24.00 2.00 40.00 16.00 x3 100.00 80.00 60.00 45.00 35.00 20.00 10.00 y 8.50 5.80 73.60 2.20 8.30 19.60 3.50
其标准化形式为
2 0.0135 x1 x3 0.0799 x2
y 16.170 1.825 x1 0.264 x2 0.203 x1 x3
2 2.710 x2
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从标准化回归方程中可以看出， 2 四个变量的作用由大到小依次为：x2 x1 , x2 , x1 x3 。 根据回归方程分析，提取时间还 有必要延长; 提取温度和提取液pH值 有交互作用，且系数为正，故较高的 温度更有利于提取蛋白； pH 值应稍 低些更佳。
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而知。 为此，研究者选用二元二次多项 式回归模型 2 y 0 1 x1 2 x2 11 x1
2 22 x2
12 x1 x2
并检验交互效应和风险反感度的二次 效应。
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序号
x1
x2
y
1
2 3 4
66.29
和一元三次模型
y 0 1 x 11 x 111 x
2 3
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三次及以上的多项式回归模型较 少使用，因为此时回归系数的解释比 较困难，回归模型的数值稳定性也不 太高，不利于应用。 多元多项式回归比较复杂，较少 使用。二元多项式回归模型为
y 0 1 x1 2 x2
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具体回归方程为 y 62.349 0.840 x1
5.685 x2 其标准化形式为 0.164 x2
2 0.037 x1
y 62.349 0.164 x1
2 0.785 x1
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例10.3 用均匀设计法研究从烤烟 中提取粗蛋白的实验条件。目标变量 y 是提取的蛋白质尝试，三个实验因 子分别为：提取液pH值x1，提取时间 x2的，提取温度x1。 采用U7(73)均匀设计表, 试验安排 与结果如下表：
-6185.68
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数据散点图
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线性回归
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指数回归
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回归效果图
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需要说明的是，回归分析的一个 重要应用是预测，而预测的方法有多 种，如拟合 ( 回归 ) 、灰色模型、时间 序列和神经网络等。 相比较而言， Origin 的拟合功能 更强，提供了更多的线型，可以图形 的帮助下选择较合适的线型。
第10章 非线性回归
线性回归的理论较为成熟，应用 也较为广泛。但当被解释变量与解释 变量之间呈某种曲线关系时，就必须 用非线性回归。 本章首先介绍可线性化的非线性 回归，然后介绍多项式回归，最后简 要介绍了一般的非线性回归模型。
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§1 可线性化的非线性回归
1. 线性化的含义及途径 因为线性回归的“线性”是针对 参数而言，而不是针对自变量而言， 所以有些非线性回归模型可以通过变 量代换转化为线性回归模型。 例如， bx y 0 1e (b已知)
46.13
30.366 39.06 79.38
4
3 5 1
77
14 56 245
17
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52.766
55.916
8
6
133
133
29
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为了清楚地看到各项对回归的贡 献，使显著性检验更加明确，采用逐 个引入自变量的方法。 2 2 首先由x1和x2的值求出 x1 , x2 , x1 x2 的值，然后用下列方法依次引入变量 2 2 x1 , x2 , x1 , x2 , x1 x2 ： 先选入y和x1, 然后下一张，再选 入x1, x2 , 然后再下一张, 再选入x1 , x2 ,
40.964 72.996 45.01
7
5 10 6
196
63 252 84
5
6
57.204
26.852 38.122 35.84
4
5 4 6
126
14 49 49
数 据 表
7 8
9
10 11 12
75.796
37.408 54.376 46.186
9
5 2 7
266
49 105 98
13
14 15 16
5934.5 7171.0 8964.4
5123.04
6108.80 7284.24 8685.86
171.66
-174.30 -113.24 278.54
百度文库1986
1987 1988 1989
6
7 8 9
10202.2
11962.5 14928.3 16909.2
10357.16
12350.06 14726.42 17560.04
首先做三元线性回归，结果如下:
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线性回归
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显然，回归效果极差。 可将所有项选入，然后选择逐步 回归法，结果如下：
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逐步回归
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具体回归方程为 y 16.170 9.017 x1 0.400 x2
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Origin拟合效果图
90000
60000
adj. R 0.9934
2
B
30000
0
0
8
16
A
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§2 多项式回归
多项式回归是一种较为重要的非 线性回归模型，有较广泛的应用。 1. 几种常见的多项式回归模型
常见的多项式回归模型有一元二 次模型 2 y 0 1 x 11 x
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2 11 x1
2 22 x2
12 x1 x2
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2. 多项式回归应用实例 例10.2 根据下表研究给定年龄组 内经理的人寿保险额 y 与年均收入 x1 和风险反感度x2的关系。 研究者认为年均收入与人寿保险 额有二次关系，风险反感度与人寿保 险额只有线性关系，年均收入风险反 感度对人寿保险额有无交互效应不得
-154.96
-387.56 201.88 -650.84
1990
1991 1992 1993
10
11 12 13
18547.9
21617.8 26638.1 34634.4
20938.89
24967.89 29772.14 35500.81
-2390.99
-3350.09 -3134.04 -866.41