江苏省各地市高考数学最新联考试题分类大汇编1 集合
江苏省各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(1) 集合--高考学习网.pdf
江苏省东台市头灶镇中学中考历史二轮复习课时方案 古今中外的改革 第 一 课时（总第 1 课时） 复习目标： 1.复习巩固中外历史上的重要改革的名称、性质、内容、作用，构建专题知识框架； 2.培养学生运用所学知识灵活解答问题的能力； 3.学会正确评价历史上的改革。
导学活动（以达成复习目标作为贯穿全课活动的一根“红线”，从助你补缺、给你定标、请你点击、引你运用、为你指点、推你提升等6个环节去设计整个教学过程）： 知识梳理 改革指对旧有的生产关系、上层建筑作局部或根本性的调整变动。
改革是社会发展的强大动力。
因此，也可以说人类的文明史也是一部改革史。
改革的形式多种多样。
1.古今中外的重大改革 改革性质中国历史上的改革国外的改革奴隶制性质的改革封建性质的改革 资本主义性质的改革俄国 日本 美国 社会主义性质的改革苏俄 苏联 、 匈牙利改革 2.改革的启示： ①改革要符合经济发展的客观规律； ②改革要顺应历史发展潮流，符合本国国情； ③调动人民群众的生产积极性，保障群众的利益； ④改革要抓住问题的实质和关键，既要抓住时机又不急于求成；改革要注意政治、经济、思想的协调发展、和谐发展等。
学以致用 （一）选择题（下列各题所给的选项中只有一个是最正确的） 1《史记》记载，“商君相秦十年，宗室贵戚多怨望（商鞅在秦国为相十年，宗室贵戚大多怨恨他）。
商鞅变法的内容中与此相关的是（ ） A．国家承认土地私有 B．允许土地自由买变 C．根据军功大小授予爵位和田宅D．建立县制 2.改革是社会进步的推动力。
经过商鞅变法，秦国发展成为战国后期最富强的封建国家。
商鞅变法的内容中，对秦国封建制度的确立起决定作用的是（ ） A．国家承认土地私有 B．奖励耕战 C．废除旧贵族特权 D．建立县制 3.1979—1982年我国农民家庭人均收入变化（见图10） 的主要原因是（ ） A．集体劳动盛行 B．国家政策适当 C．自然灾害减少 D．科学技术发达 4.“在吸收全体成年男子公民参加，每年约集会40次的公民大会上，人们就重大问题进行辩论和投票。
江苏省高三数学试题分类之集合、复数
一、集合（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·1）已知集合{}1,0,A a =-，{B =.若B A ⊆，则实数a 的值为 .【答案】12.（2018·无锡期末·1）已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B =，则实数m = ．【答案】33.（2018·镇江期末·1）已知集合 A = {- 2,0,1,3}, B = {-1,0,1,2}, 则=B A【答案】{0,1} 4.（2018·扬州期末·1）若集合A={x |1＜x ＜3}，B={0，1，2，3}，则A ∩B=___________.【答案】{}2 5.（2018·常州期末·1）若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B = ． 【答案】{2}-6.（2018·南京盐城期末·1）.已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B = ．【答案】{}17.（2018·苏州期末·2）已知集合{1,2}a A =，{1,1,4}B =-，且A B ⊆，则正整数a = ． 【答案】28.（2018·苏北四市期末·1）已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ．【答案】{1,0,1}-二、复数（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法 2018·南通泰州期末·2 填 空 复数的概念与除法 2018·无锡期末·2 填 空 复数的概念与除法 2018·镇江期末·4 填 空 复数的模与除法 2018·扬州期末·2 填 空 复数的概念与除法 2018·常州期末·3 填 空 复数的模与乘法 2018·南京盐城期末·2 填 空 复数的概念与乘法2018·苏州期末·1 填 空 复数的模 2018·苏北四市期末·2 填 空 复数的模与除法（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·2） 已知复数141iz i+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 .【答案】32-2.（2018·无锡期末·2） 若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ．【答案】63.（2018·镇江期末·4）设复数 z 满足i zi543=+，则z = 【答案】14.（2018·扬州期末·2）若复数(a-2i )(1+3i )是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】6- 5.（2018·常州期末·3）若复数z 满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ． 【答案】16.（2018·南京盐城期末·2）.设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ． 【答案】17.（2018·苏州期末·1）已知i 为虚数单位，复数3i 2z -的模为 ．8.（2018·苏北四市期末·2）已知复数2i2iz +=-（i 为虚数单位），则z 的模为 ． 【答案】1。
2019江苏省十三大市2019届高三数学期末分类汇编1：集合、命题、逻辑(含答案)
江苏省十三大市2019届高三数学期末分类汇编1集合、命题、逻辑1、【南京市、盐城市2019届高三上期末，1】已知集合(],1A =-∞，{}1,1,2B =-，则AB= ．2、【镇江市2019届高三上期末，1】已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{﹣1，0，2，3}，则A B ＝ ．3、【苏州市2019届高三上期末，1】已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A B ＝ ．4、【无锡市2019届高三上期末，1】 设集合 A =｛x ｜x ＞0｝，B =｛x ｜－2＜x ＜1｝，则 A ∩B ＝ ．5、【苏北三市2019届高三上期末，1】 已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B = ．6、【常州市2019届高三上期末，1】 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，1}，则A B ＝ ．7、【南通市2019届高三上期末，1】已知集合{}{}1,3,5,2,3A B ==，则集合A B 中的元素个数为 ．8、【南通市2019届高三上期末，4】设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．9、【扬州市2019届高三上期末，1】已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则M N ＝ ．10、【泰州市2019届高三上期末，1】已知集合A ＝｛4，2a ｝，B ＝｛－1，16｝，若A ∩B ≠∅，则a ＝11、【宿迁市2019届高三上期末，1】已知集合{|10,A x x x =+>∈R ，{|230,}B x x x =-<∈R ，则A B =参考答案1、{} 1,1 -2、{0，2}3、{3}4、｛x｜0＜x＜1｝5、{} 1,26、｛1｝7、48、充分不必要9、{2}-10、±411、3 (1,)2 -。
江苏省高三数学下学期 最新精选试题分类汇编1 集合
一、填空题1 ．（南京九中2013届高三第二学期二模模拟）设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=⋂B A2 ．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 ．3 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥，则()A B =R ▲ ．4 ．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知集合{}(1)0P x x x =-≥,Q ={})1ln(|-=x y x ,则P Q =________.5 ．（江苏省郑梁梅中学2013届高三下学期期初检测数学试题）集合{1,2}A =的子集个数为__________ ;6 ．（江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x M N a ==-<∈≠∅Z 如果则等于______.7 ．（江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题）已知集合{}11M =-，,11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，,则M N =_________.8 ．（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）若集合}2,1{-=m A ,且}2{=B A ,则实数m 的值为________.9 ．（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）若全集R U =,集合{}01<+=x x A ,{}03<-=x x B ,则集合B A C U )(=______.10．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学））已知全集U R =,函数12-=x y 的定义域为集合A ,则=A C U __________.11．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（三）（数学））已知集合{}22log (2)A y y x ==-,{}220B x x x =--≤,则A B =__________.12．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（二）（数学））若集合{1,0,1},{cos ,},A B y y x x A =-==∈|则A B =______________13．（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题 ）集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},AB =则A B =__________.14．（江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷）已知集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x 2-x ≤0},则A ∩B =_____.15．（江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷）若集合B A x y x B x y y A 则},1|{},|{-=====____.16．（江苏省涟水中学2013届高三下学期期初检测数学试题）(1)集合则=N M ___________(2)17．（江苏省姜堰市蒋垛中学2012-2013学年度第二学期期初测试高三数学试题）已知集合},1{},,1{2x N x M ==,且集合N M =,则实数x 的值为_________18．（江苏省淮阴中学2013届高三下学期期初检测数学试题）集合A={x|︱x+3|+|x-6,t∈(0,+∞) },则集合A∩B=___________.19．（江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题）设集合{}{}{},2,1,2,1,2,3A a B A B ===,则a =______________.20．（2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 ）已知集合{}{}034,22<+-=<=x x x B x x A ,则=B A _______.二、解答题21．（江苏省郑梁梅中学2013届高三下学期期初检测数学试题）已知集合若[]3,0=⋂B A ,求实数m 的值若A B C R ⊆,求实数m 取值范围22．（江苏省江都市大桥高中2013届高三下学期开学考试数学试题）设全集是实数集R ,集合(1) 当 4-=a 时 ,求 B A ;(2) 若B B A C R =)(,求实数a 的取值范围.江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编1：集合参考答案一、填空题1. （2,3）2. 13. 【答案】(]03，4. ()1,+∞5. 4;6. 12或7. }1{-8. 49. [)1,3-10. (,0)-∞11. []1,1-12. {}113. {2,3,4}14. {0, 1}15. (]1,∞-(2)()(){}1122A B =∩，，17. 019. 320. {}21|<<x x 三、解答题21. ()21=m ()32〈-m 或5〉m22. (1)(-2,3)(2)。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分一、选择题（共3小题；共15分）1. 设集合A=1,2，B=1,2,3，C=2,3,4，则A∩B∪C= A. 1,2,3B. 1,2,4C. 2,3,4D. 1,2,3,42. 已知全集U=Z，A=−1,0,1,2，B=x x2=x，则A∩∁U B为 A. −1,2B. −1,0C. 0,1D. 1,23. 若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有 A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=∅二、填空题（共10小题；共50分）4. 已知集合A=−1,2,3,6，B=x−2<x<3，则A∩B=．5. 已知集合A=−2,−1,3,4，B=−1,2,3，则A∩B=．6. 集合−1,0,1共有个子集．7. 已知集合A=−1,1,2,4，B=−1,0,2，则A∩B=．8. 已知集合A=1,2,4，B=2,4,6，则A∪B=．9. 设集合A=x x−12<3x+7,x∈R，则集合A∩Z中有个元素．10. 设集合A=−1,1,3，B=a+2,a2+4，A∩B=3，则实数a = ．11. 已知集合A=x log2x≤2，B=−∞,a，若A⊆B，则实数a的取值范围是c,+∞，其中c=．12. 已知集合A=1,2，B=a,a2+3．若A∩B=1，则实数a的值为．13. 设集合A=x,y m2≤x−22+y2≤m2,x,y∈R ，B=x,y2m≤x+y≤2m+ 1,x,y∈R，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）14. 设集合P n=1,2,⋯,n，n∈N∗．记f n为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁Pn A，则2x∉∁PnA．（1）求f4；（2）求f n的解析式（用n表示）．15. 记U=1,2,⋯,100．对数列a n（n∈N∗）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T=t1,t2,⋯,t k，定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．例如：T=1,3,66时，S T=a1+a3+a66．现设a n（n∈N∗）是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，S T=30．（1）求a n的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆1,2,⋯,k，求证：S T<a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．答案第一部分1. D 【解析】因为A∩B=1,2，所以A∩B∪C=1,2,3,4．2. A3. A第二部分4. −1,2【解析】由交集的定义可得A∩B=−1,2．5. −1,36. 87. −1,28. 1,2,4,69. 6【解析】集合A=x x2−5x−6<0=x−1<x<6，所以A∩Z的元素的个数为6．10. 111. 412. 113. 12,2+2【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m 2 ,即m≥1或m≤0;显然B≠∅．因为圆x−22+y2=m2m≠0与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需2≤ m2≤ m ,所以2−22≤m≤2+2,①当m<0时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点2,0不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+2时，圆x−22+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+2时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为12,2+2．第三部分14. （1） 当 n =4 时，P 4= 1,2,3,4 ，符合条件的集合 A 为 2 ， 1,4 ， 2,3 ， 1,3,4 ，故 f 4 =4．（2） 任取偶数 x ∈P n ，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2⋯，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m ，于是 x =m ⋅2k ，其中 m 为奇数，k ∈N ∗．由条件知， 若 m ∈A ，则 x ∈A ⇔k 为偶数；若 m ∉A ，则 x ∈A ⇔k 为奇数．于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定．设 Q n 是 P n 中所有奇数的集合，因此 f n 等于 Q n 的子集个数． 当 n 为偶数（或奇数）时，P n 中奇数的个数是 n 2（或 n +12）， 所以f n =2n ,n 为偶数,2n +1,n 为奇数.15. （1） 当 T = 2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30， 解得 a 2=3，从而 a 1=a 23=1，a n =3n−1．（2）S T ≤a 1+a 2+⋯+a k=1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k +1.（3） 设 A =∁C C ∩D ，B =∁D C ∩D ，则 A ∩B =∅， S C =S A +S C∩D ，S D =S B +S C∩D ，S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ，因此原题就等价于证明 S A ≥2S B ． 由条件 S C ≥S D ，可知 S A ≥S B ．① 若 B =∅，则 S B =0，所以 S A ≥2S B ．② 若 B ≠∅，由 S A ≥S B 可知 A ≠∅．设 A 中最大元素为 l ，B 中最大元素为 m ．若 m ≥l +1，则由第（2）小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾． 因为 A ∩B =∅，所以 l ≠m ，所以 l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m=1+3+32+⋯+3m−1=3m −1<a m +1≤a l ≤S A , 即 S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此 S C +S C∩D ≥2S D ．。
江苏省2021-2022学年高三数学联考试题(含解析)
高三数学联考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1.已知集合，，，则____．【答案】【解析】【分析】根据并集和补集的定义，直接计算得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为__．【答案】2【解析】【分析】将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.【详解】为纯虚数本题正确结果：【点睛】本题考查复数的基本运算和纯虚数的定义，属于基础题.3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．【答案】800【解析】【分析】根据频率分布直方图求出的频率，利用得到不低于的概率，利用得到结果.【详解】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体的问题，属于基础题.4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．【答案】0【解析】【分析】按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.【详解】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．【答案】【解析】【分析】所有可能的结果共种，通过两次数字之和为偶数说明两次均为奇数或者均为偶数，共种，由此得到概率为.【详解】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的应用，可通过排列组合来解决，由于此题基本事件个数较少，也可采用列举法来求解.6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得的值，从而得到渐近线方程.【详解】渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点渐近线方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系，求解得到结果.7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M PBC的体积为____．【答案】1【解析】【分析】三棱锥体积与三棱锥体积一样，为上动点，可知面积为侧面面积的一半；到面的距离等于到面的距离的，由此可根据三棱锥体积公式求得体积.【详解】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求解的底面积和高.8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数求得；将变成，代入，求得结果. 【详解】为上的奇函数又本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据对称轴之间距离求出最小正周期，从而求得；利用的终边所过点，得到、；将利用两角和差公式展开求得结果.【详解】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角函数图像特点求解解析式、三角函数定义、两角和差公式的应用，关键在于能够通过对称轴之间距离求出解析式，能够利用三角函数定义解出的正余弦值.10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．【答案】2【解析】【分析】根据点求出，从而得到直线；假设点坐标，利用可求得，由此可用坐标求解.【详解】圆半径则所在直线为：，即：设，则，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，关键在于能够利用向量垂直求得点的坐标，从而得到所求向量的坐标，最终求得结果.11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】【分析】通过单调递减区间可确定，，利用韦达定理得到关于的方程，求解出结果.【详解】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调区间求解参数值的问题，解题关键是要明确此函数单调区间的端点值恰为导函数值为零的点，通过构建方程求得结果.12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】通过时函数的单调性和值域，可判断出此时有且仅有一个零点，由此可知当时，有两个零点；通过求导运算，得到单调性，通过图像可知要想有两个零点，只需，求解得范围.【详解】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数研究函数图像和零点个数的问题，关键在于能够通过导数得到图像情况，然后找到临界情况，从而列出关于的不等关系，求得范围.13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8【解析】【分析】通过分析图像可知：取最大值时，且在圆内部，由此可确定点的坐标，再利用方程组求解得到坐标为，由此可求得.【详解】圆由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查点与圆上点连线的最值、圆的最值类问题，关键在于能够通过图像分析出取得最值时点的位置，然后根据等量关系求解出坐标，进而求得结果.14.已知等差数列的前n项和S n>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】首先根据可得恒成立，通过分析可求得；利用已知条件得到时，，根据等差数列通项公式和求和公式可化为，将右侧看做函数，即，通过的范围求得的范围，再结合变量和，分析求出的取值范围.【详解】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时，，满足题意，又，所以由得：两式作商可得：，又整理可得：设，①当时，即当时，当时，此时，即，无法取得②当时，即当时，当时，综上所述：【点睛】本题考查数列的综合应用问题，在求解过程中结合了函数、不等式、恒成立等问题的求解方法和思路，整体难度较大.关键在于能够将范围的求解转化为函数值域的求解，在求解最值过程中，因为变量较多，需要不断进行变量迁移，从而能够在最值集合中找到满足题意的临界值，对学生的综合分析和应用能力要求较高.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过，证得结论；（2）通过四边形为菱形，得到，又，可得到平面，从而证得结论.【详解】（1）在三棱柱中，又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，，平面，平面所以平面而平面所以平面平面【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，题目中的位置关系较为简单，属于基础题.16.在中，角所对的边分别为．向量，，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量平行得到，再利用正弦定理化简，可求得，从而求得；（2）方法一：利用正弦定理将边都化成角的关系，化简求得，再利用，结合基本不等式求得的最值，从而得到的最大值；方法二：利用余弦定理将角化成边的关系，再利用和基本不等式得到的最小值，从而得到的最大值.【详解】（1）因为，，且所以，即由正弦定理，得……①所以整理，得……②将代入上式得又，所以（2）方法一：由①式，因为，，所以②式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为【点睛】本题主要考查解三角形边角关系式的化简，以及通过边角关系式求解角的范围的问题.解决边角关系式的关键是能够通过正余弦定理将边化成角或者将角化成边，然后再进行处理.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆中的参数范围问题求解.求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B 分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）设，可表示出直线的方程，从而求得两点坐标，进而将表示为关于的函数，利用导数求得最值；（2）方法一：将表示为，利用将面积表示出来，利用进行换元，从而化简得：，再根据的范围求得面积最大值；方法二：利用三角形面积公式，直接用表示出，再利用换元，也可得到，从而与方法一采用相同的求最大值方法求值. 【详解】【解】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米【点睛】本题考查函数导数的实际应用问题，属于中档题.解题关键在于能够将所求量表示为某一变量的函数关系，然后利用函数最值的求解方式求得对应的结果.19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【答案】（1）81；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【详解】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入和，从而得到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明或，符合定义式即可证得结论.20.已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【详解】（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点、最值问题，综合性较强.证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.数学Ⅱ（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．【答案】【解析】【分析】设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.【详解】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以【点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.22.如图，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，，F为BC的中点，．（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E AF C的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求得点坐标，从而表示出，通过夹角公式求得结果；（2）通过求得得点坐标，再进一步求出平面法向量，又面的一个法向量为，求出即可求得所求余弦值.【详解】以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角和二面角的问题，关键在于能够准确地建立坐标系，并用坐标表示点、求解法向量；需要注意的问题是：平面法向量有无数条，方向不同会造成的符号不同，要判断好所求二面角与法向量夹角是等角关系还是补角关系，从而准确求得结果.23.设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）当确定时，可确定，再逆推可知有种取法；再依据可知各有种取法；由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为；（2）设，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值为的项数可知的取法数为，再任意指定的值，有种，可知数列有个；再化简，可得最终结果.【详解】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个【点睛】本题考查新定义、排列组合、二项式定理问题，对学生分析解决问题能力要求较高；如何正确理解定义，同时找到定义式的切入点是解决问题的关键；题目对于排列组合、二项式定理知识的应用能力要求比较高，难度较大.。
江苏省十三大市第一学期高三期末11套数学试卷分类汇编——01集合与常用逻辑用语人教版
江苏省十三大市2007-2008学年第一学期高三期末(11套)数学试卷1．设集合{}1A x x =>-,{}3B x x =≤，则A B =_______________．{|13}x x -<≤1.设集合{1,2,3},A =集合{2,3,4},B =则AB = ▲ . {2，3}5.命题“2,220x R x x ∃∈++≤”的否定是 ▲ 2,220.x R x x ∀∈++> 1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}P Q x x n x ===∈Z ，则PQ = ．{0,2}6．命题“0x ∃<，有20x >”的否定是 ．200x x ∀<≤，有 10．A 、B 是非空集合，定义{|,}A B x x AB x A B ⨯=∈∉且，若{|A x y =,{|3}x B y y ==，则A B ⨯= ．(,3)-∞14．设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1ni i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1kpi i S =∑= ．4813. 已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且A 、B 都是集合{}10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ⋂的“长度”的最小值是 ▲ .2151．设全集{2,1,0,1,2},{1,0,1},()S T ST =--=-=S 则C ▲ ．{}2,2-2．命题:p 2{|0}a M x x x ∈=-<；命题:q {|||2}a N x x ∈=<， p 是q 的 ▲ 条件．充分不必要1．已知集合2|{2-+=x x x A ≤0，}Z x ∈，则集合A 中所有元素之和为 ▲ ．2- 1． 已知集合A ={1，2，3}，集合B ={2，3，4}，则A ∪B = ▲ ．答案：{1，2，3，4}．9．若命题“∃x ∈R,使x 2+(a －1)x+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 31≤≤-a1.已知集合}{12A x x =-<<，集合}{31B x x =-<≤，则B A =★ .{|11}x x -<≤7．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ★ . (,1)-∞-∪(3,)+∞。
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1.集合2011年至2020年的新课标全国卷数学试题共包含8套全国卷，包括全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷。
本资料根据全国卷的特点编写，共包含14个专题，包括集合、复数、逻辑、数学文化、新定义、平面向量、不等式、数列、三角函数与解三角形、解析几何、概率与统计、程序框图、坐标系与参数方程、不等式选讲。
通过掌握各种题型，可以把握全国卷命题的灵魂。
集合与简易逻辑是数学试题中的一个重要专题。
以下是一些选择题的例子：2020年新高考Ⅰ卷第一题：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2020年全国卷Ⅰ理科第二题：设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．42020年全国卷Ⅰ文科第一题：已知集合A={x|x23x40}，B={4,1,3,5}，则B={x|1<x<4}。
2020年全国卷Ⅱ理科第一题：已知集合U={−2，−1.1，2，3}，A={−1.1}，B={1，2}，则CUAA．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1.3} D．{−2，−1.2，3}2020年全国卷Ⅱ文科第一题：已知集合A={x||x|1，x∈Z}，则A∩B={–2，2}。
2020年全国卷Ⅲ理科第一题：已知集合A{(x,y)|x,y N*,y x}，B{(x,y)|x y8}，则A∩B中元素的个数为3.2020年全国卷Ⅲ文科第一题：已知集合A1，2，3，5，7，11，B x|3x15，则A∩B中元素的个数为4.2019·全国卷Ⅰ，理1)已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M的正确表示为A。
2023-2024学年江苏省决胜新高考高三上学期12月大联考数学试题+答案解析
2023-2024学年江苏省决胜新高考高三上学期12月大联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则()A.B. C.D.2.已知集合，则集合A 的真子集个数为()A.15B.16C.31D.323.若空间中四点A ，B ，C ，D 满足，则()A. B.3C.D.4.设函数在区间上单调递减，则a 的取值集合为()A. B.C.D.5.记数列的前n 项和为，则“为等差数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等.它们之间可用公式转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为到地球的距离单位：光年现在地球某处测得1号星的绝对星等为，目视星等为号星绝对星等为，目视星等为则1号星与2号星到地球的距离之比为()A.B.C.D.7.已知实数m ，n 满足，则m ，n 可能是()A.，B.，C.，D.，8.已知圆与x 轴正半轴的交点为D ，从直线上任一动点P 向圆作切线，切点分别为A ，B ，过点作直线AB 的垂线，垂足为H ，则DH 的最小值为()A.B.C.1D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某校举办庆元旦歌唱比赛，一共9位评委对同一名选手打分.选手完成比赛后，每位评委当场打分，作为该选手的初始评分.去掉一个最低分与一个最高分，选择剩余7位评委的评分作为该选手的最终得分.则下列说法正确的是()A.同一个选手的初始评分的中位数等于最终评分的中位数B.同一个选手的初始评分的下四分位数等于最终评分的下四分位数C.同一个选手的初始评分的平均数不低于最终评分的平均数D.同一个选手的初始评分的方差不低于最终评分的方差10.已知，，下列结论正确的是()A.若使成立的，则B.若的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称，则C.若在上恰有6个极值点，则的取值范围为D.存在，使得在上单调递减11.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点P的轨迹为曲线E，则()A.曲线E关于原点对称B.曲线E与x轴恰有3个公共点C.的周长最小值为4D.的面积最大值为112.在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，则下列说法正确的是()A.B.棱PD上存在点E，平面PABC.设平面PBC与平面PAD的交线为l，则l与CD的距离为2D.四棱锥的外接球表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学专题训练题及解析(江苏省)：集合
江苏省高考数学专题集合训练一、填空题：每题5分，共14题，共70分。
请把答案填在题中横线上。
1、已知集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，由集合A B 与的所有元素组成集合{}1,3,x 这样实 数x 共有 个。
2．设集合{}21<≤-=x x M ，{}0≤-=k x x N ，若MN M =，则k 的取值范围是。
3、设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠B ，则实数a 的取值范围是。
4、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于 。
5、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人.6、如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 。
7、设{}{}I a A a a =-=-+241222，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。
8、已知集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ⊆｝，则集合B= .9、已知集合{}{}A x y y x B x y y x ==-==()|()|，，，322那么集合A B =10、设A={x |x 2＋x －6=0}，B={x |mx ＋1=0}，且A ∪B=A ，则m 的取值范围是 .11．已知a ,b ∈R ，a ×b ≠0则以b b a a ||||+可能的取值为元素组成的集合用列举法可表示为＝ 。
12．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 。
13．定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，若}6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ，则N －M= 。
14．如右图图（1）中以阴影部分（含边界）的点为元素所组成的集合用描述法表示如下：}{2010),(≤≤≤≤y x y x ， 请写出以右图（2）中以阴影部分（不含．．外边界但包含．．坐标轴）的点 为元素所组成的集合。
江苏省2022-2023学年高三上学期大联考数学试题含答案优选全文
江苏省2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“sin 2θ<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C.D.6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2- B.3C.1-D.07.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1- B.0C.1D.e 1-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c c a b< B.abc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.3a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y +的最小值为45C.1y x y+的最小值为1+D.的最大值为12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R 的值．21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．2023届高三年级大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<，{}10B x x =-≥，则()U A B ⋂=ð（）A.{}13x x ≤< B.{}13x x <≤ C.{1x x ≤或}3x ≥ D.{1x x <或}3x ≥【答案】D 【解析】【分析】先求出A B ⋂，再求其补集.【详解】{}13A x x =-<< ，{}{}101B x x x x =-≥=≥，{}13A B x x ∴⋂=≤<，(){U 1A B x x ∴⋂=<ð或}3x ≥.故选：D .2.设复数z 的共轭复数为z ，已知()2i 5z +=，则zz =（）A.7B.5C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数及复数的乘法运算即可得解.【详解】解：由()2i 5z +=，得()()()52i 52i 2i 2i 2i z -===-++-，则2i z =+，所以()()2i 2i 5zz =-+=.故选：B.3.设R θ∈，则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意首先求解三角不等式，然后结合题意确定“66ππθ-<”与“2sin θ<”的充分性和必要性即可.详解：求解绝对值不等式66ππθ-<可得π0θ3<<，若3sin 2θ<，则()42233k k k Z πππθπ-≤≤+∈，当0k =时，433ππθ-≤≤，据此可得：“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的充分而不必要条件.故选：A 4.某人在湖面之上5米处测得空中一气球的仰角为30︒，而湖中气球倒影的俯角为45︒，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度（单位：米）为（）A.(51B.(51+C.(52+D.(52+【答案】C 【解析】【分析】结合题意作出示意图，利用直角三角形中正切函数的定义得到关于气球离水面的高度的方程，解之即可.【详解】结合题意作出示意图，易知点C 与点D 关于湖面BM 对称，则CM DM =，5AB =，故5,5CE CM EM CM AB CM DE DM AB CM =-=-=-=+=+，在Rt ACE 中，tan 30CEAE ︒=，即tan 30CE AE ==︒，在Rt ADE △中，tan 45DE AE︒=，tan 45DEAE DE ==︒，DE =，即)55CM CM -=+，故(5152CM +==+，所以气球离水面的高度为(52.故选：C..5.函数()22e ex xx f x -=-的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，再结合()0f x >，即可求解.【详解】由题意，函数()22e ex xx f x -=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()22()e ex xx f x f x --==--，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.又当0x >时，e e 0xxy -=->，所以()220e ex x x f x -=>-，故排除CD.故选：A6.把函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()g x 的图象.若()g x 的图象关于直线π12x =对称，则函数()()ππ2cos ,22h x x x ϕ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的最小值为（）A.2-B.C.1- D.0【答案】A 【解析】【分析】根据平移变换及正弦函数的对称性求出ϕ，再根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】解：函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<图象上所有点向左平移π3个单位，得到函数()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线π12x =对称，所以π2πππ,Z 632k k ϕ++=+∈，又0πϕ<<，所以2π3ϕ=，则()2π2cos 3h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故2π3cos 1,32x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()min 2h x =-.故选：A.7.已知ln33a =，()22ln3b =+，3ln3c =，则（）A.a c b>> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】构造函数2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，由1ln32<<易得b c <；构造函数()33x g x x =-，由导数与函数的单调性求得()g x 的单调性，从而证得a c >；由此可得a c b >>.【详解】令2()23(1)(2)f x x x x x =+-=--，所以(1,2)x ∈时，()0f x <，因为2ln e ln 3ln e <<，即1ln32<<，所以2(ln 3)(ln 3)23ln 30f =+-<，故2(ln 3)23ln 3+<，即b c <，令()33x g x x =-，则()ln 333x g x '=⋅-，显然()ln 333x g x '=⋅-在(0,)+∞单调递增，令()0g x '>，得33log ln 3x >，故()g x 在33log ,ln 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为1ln 33<<，故313ln 3<<，则330log 1ln 3<<，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，则(ln 3)(1)0g g >=，即ln333ln 30->，即ln 333ln 3>，故a c >，综上：a c b >>.故选：A.8.设函数()(),0,ln ,0,x a x f x x x -+≥⎧=⎨-<⎩()()12f x f x =，12x x -的最小值为()g a ，则()2g a a a --的最大值为（）A.1-B.0C.1D.e 1-【答案】C 【解析】【分析】对a 分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，再分类讨论求出()2g a a a --的最大值.【详解】设()()12,()f x f x t t a ==≤，不妨设12x x <，所以1212ln(),,e ,tx t x a t x x t a -=-+=∴=-=-+，所以1221e (),()tx x x x t a h t t a -=-=-+=≤，所以()e 1t h t '=-，当0a ≤时，()e 10,t h t '=-≤函数()h t 在(,]a -∞上单调递减，所以min ()()()e ah t g a h a ===.当0a >时，函数()h t 在(,0]-∞上单调递减，在[0,]a 单调递增，所以min ()()(0)1h t g a h a ===+.所以()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩.当0a ≤时，()22e =()ag a a a a a m a --=--，所以()e 21()a m a a n a '=--=，所以()e 20,a n a '=-<所以()n a 在(,0]-∞单调递减()(0)0n a n ∴≥=，所以()0m a '≥，所以()m a 在(,0]-∞单调递增，所以max ()(0)1m a m ==.所以()2g a a a --的最大值为1.当0a >时，()22211g a a a a a a a --=+--=-+，在(0,)+∞单调递减，没有最大值，()2211g a a a a --=-+<所以()2g a a a --的最大值为1.故选：C【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类讨论求出()e ,01,0a a g a a a ⎧≤=⎨+>⎩，其二是分类讨论求出()2g a a a --的最大值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1a b >>，0c >，则（）A.c ca b< B.a bc c> C.a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()()log log b a a c b c +>+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质结合指数函数和对数函数的单调性逐一分析判断即可.【详解】解：因为1a b >>，所以11a b<，又0c >，所以c ca b<，故A 正确；当01c <<时，a b c c <，当1c >时，a b c c >，故B 错误；由1a b >>，得01,ba cbc a<<->-，所以a cb cb b a a --⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；由1a b >>，0c >，得1+>+>a c b c ，则()()()log log log b b a a c b c b c +>+>+，所以()()log log b a a c b c +>+，故D 正确.故选：ACD.10.已知函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，且()00f >，则（）A.a =B.()f x 的图象关于直线2π3x =对称C.()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D.将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式结合已知求出a ，即可判断A ，再根据正弦函数的对称性代入检验即可判断BC ，根据周期变换的原则即可判断D.【详解】解：()00f a =>，()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x （其中tan a ϕ=），因为函数()sin cos f x x a x =+的最大值为2，2=，解得a =a =，故A 正确；则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为2π2sin π=03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；因为5π2sin 2π03f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，得到函数π2sin 2sin 223y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.11.已知0x >，0y >，22x y +=，则（）A.xy 的最大值为14B.22x y+的最小值为45C.1yx y+的最小值为1+ D.的最大值为【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式及其变形可分析AC 选项，由二次函数求最值可判断B ，可用三角换元来分析D 选项【详解】对于A 选项，由基本不等式得22x y =+≥，整理得12xy ≤，当且仅当2x y =，即1x =，12y =时，xy 的最大值为12，所以A 错误.对于B 选项，22222(22)584x y y y y y +=-+=-+，220x y =->得01y <<，22445845(+55y y y -+=-，∴当45y =时，22x y +的最小值为45，所以B 正确.对于C选项，122111222y y y x y y x x y x y x y x y ++=+=+=++≥=+，当且仅当2y x x y =，x =时1y x y+1+，所以C 正确.对于D 选项，令m =，n =，由01y <<，220y x =->，02x <<可知0m <<，01n <<，得2x m =，2y n =，由题意得2222m n +=，设m θ=，cos n θ=，02πθ<<，cos )m n θθθϕ=+=+=+，tan 2φ=)θϕ+≤，所以D 错误.故选：BC12.19世纪，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet ，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R 上的函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则（）A.(0D x =B.()()D x D x =-C.若T 为有理数，0T ≠，则()()D x T D x +=D.存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为正三角形【答案】BCD 【解析】【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论x 为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.【详解】对于A是无理数，若x为有理数，x -则(0D x =；若x为无理数，x有可能为有理数，如x =，此时(()01D x D ==，故A 错误；对于B ，当x 为有理数，x -为有理数，则()()1D x D x =-=；当x 为无理数，x -为无理数，则()()0D x D x =-=，故B 正确；对于C ，T 为有理数，若x 为有理数，则x T +是有理数，则()()1D x T D x +==；若x 为无理数，x T +是无理数，则()()0D x T D x +==，故C 正确；对于D ，存在三个点且x 为有理数，则(),1A x ，,03B x ⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,03C x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭是边长为3的等边三角形，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程是________．【答案】2π0x y +--=【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，进而求出切线方程.【详解】()cos 2sin f x x x '=+，所以()πcos π2sin π1f =+=-'，故sin 2cos y x x =-在点（π，2）处的切线方程为()2πy x -=--，即2π0x y +--=.故答案为：2π0x y +--=14.若tan 4x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos x x x xx x x x x x x+++=_______．【答案】-【解析】【分析】利用切化弦、二倍角公式可推导得到sin tan 2tan cos 2cos xx x x x-=，由此可化简所求式子为tan 8x ，利用二倍角正切公式可求得结果.【详解】sin 2sin sin 2cos sin cos 2tan 2tan cos 2cos cos 2cos x x x x x xx x x x x x--=-= ()222sin cos sin 2cos 1sin cos 2cos cos 2cos x x x x x x xx x--==，sin 4tan8tan 4cos8cos 4x x x x x ∴=-，sin 2tan 4tan 2cos 4cos 2xx x x x=-，∴原式22tan 4tan8tan 4tan 4tan 2tan 2tan tan tan81tan 4x x x x x x x x x x =-+-+-+==-12==--故答案为：-.15.在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【答案】①.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭②.34##0.75【解析】【分析】利用正弦定理可得sin sin c A a C =，结合三角恒等变换知识及C的范围可化简得到1122tan a C=+⋅，由C 的范围可求得tan C 的范围，进而得到a 的范围；利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到1π1sin sin sin 2264A C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数最值的求法可求得结果.【详解】由正弦定理得：()()()1cos sin sin πsin sin 1cos 22sin sin sin sin 22sin C CB C B C c A C a C C C C C +-++=====+⋅；π3B =Q ，ABC 为锐角三角形，2ππ032π02A C C ⎧<=-<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，ππ62C ∴<<，cos 0C ∴≠，1122tan a C∴=+⋅，tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，10tan C ∴<<122a ∴<<，即a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；()211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin 2222A C B C C C C C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2111π1sin 222sin 244444264C C C C C -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭；ππ62C <<，ππ5π2666C ∴<-<，1πsin 2126C ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，∴当πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，sin sin A C 取得最大值34.故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭；34.16.已知函数()ln 1f x ax x =--，3()27xg x =，用max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，设()max{(),()}x f x g x ϕ=．若()3xx ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为_____【答案】4[,)3+∞【解析】【分析】分别讨论当03,3x x <<≥时，3()27x g x =与3x y =的关系，可将问题转化为()3x f x ≥在(0,3)上恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合导数求得最大值，可得所求范围．【详解】当(0,3)x ∈时，3()273x x g x =<，当[3,)x ∈+∞时，3()273x xg x =≥，所以()3x x ϕ≥在[3,)+∞必成立，问题转化为()3x f x ≥在(0,3)恒成立，由ln 13x ax x --≥恒成立，可得ln 113x a x +≥+在(0,3)x ∈恒成立，设ln 11(),(0,3)3x h x x x +=+∈，则221(ln 1)1ln ()x x x x h x x x '⋅-+⨯-==，当01x <<时，()0h x '>，当13x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，max 44()(1),33h x h a ∴==∴≥故a 的取值范围是4[,)3+∞.故答案为：4[,)3+∞【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数())πsin 22f x m x m ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若4m =，求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）0（2）当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-【解析】【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再解关于cos x 的一元二次方程即可；（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数的性质分类讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若4m =，()24cos24cos 8cos 4cos 4f x x x x x =-=--，令()28cos 4cos 40f x x x =--=，解得cos 1x =（1cos 2x =-舍去），又因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0x =，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为0；【小问2详解】解：()2cos 24cos 2cos 4cos f x m x x m x x m=-=--令[]cos ,0,1t x t =∈，则()[]224,0,1f t mt t m t =--∈，当0m =时，()[]4,0,1f t t t =-∈，则()()max 00f t f ==，当0m ≠时，函数()f t 的对称轴为1t m=，若0m <，则()f t 在[]0,1上递减，所以()()max 0f t f m ==-，若1102m <≤，即2m ≥时，()()max 14f t f m ==-，若112m >，即02m <<时，()()max 0f t f m ==-，综上所述，当2m <时，()max f x m =-；当2m ≥时，()max 4f x m =-.18.已知函数()()3213f x x x ax a =-+∈R ．（1）证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切；（2）记（1）中两条切线为1l ，2l ，设1l ，2l 与曲线()y f x =异于原点O 的公共点分别为,A B ．若1a =，求cos AOB ∠的值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.【小问1详解】证明：2()2f x x x a '=-+，设过原点的直线与曲线()y f x =相切于点(),()t f t ，则22()01203f t t t a t t a t --+==-+-，整理得2203t t -=，即0=t 或32t =；所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线()y f x =相切.【小问2详解】当1a =时，2()21f x x x '=-+，由（1）知切点为()330,0,,28⎛⎫⎪⎝⎭，31(0)1,(24f f ''==；两条切线方程分别为：313,842y x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1,4y x y x ==；联立方程3213y x y x x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得3x =和0x =（舍），可得()3,3A ；同理可求33,28B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()333,3,,28OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，334533288OA OB ⋅=⨯+⨯=，8OA OB == ，所以cos 34OA OB OA OBAOB ∠⋅==.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 3B =，点D 在边AB 上，2BD AD =．（1）若ACD BCD ∠=∠，求sin A ；（2）若6CD BD ==，求b ．【答案】（1）22sin 3A =（2）5b =【解析】【分析】（1）在ACD 中和在ABD △中，分别利用正弦定理求出CD ，再结合已知即可得解；（2）在BCD △中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，再次利用余弦定理即可得解.【小问1详解】解：在ACD 中，由sin sin AD CDACD A =∠，得sin sin AD A CD ACD⋅=∠，在ABD △中，由sin sin BD CDBCD B =∠，得sin sin BD B CD BCD ⋅=∠，则sin sin sin sin AD A BD BACD BCD⋅⋅=∠∠，因为ACD BCD ∠=∠，所以sin sin ACD BCD ∠=∠，又2BD AD =，所以sin 2sin A B =，因为()cos ,0,π3B B =∈，所以sin 3B =，所以sin 3A =；【小问2详解】解：在BCD △中，7cos ,63B CD BD ===，2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅，即273636263BC BC =+-⨯⨯⨯，解得BC =0BC =舍去），在ABC 中，9AB =，则2222cos 8111229253AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=，所以5AC =，即5b =.20.在PAB 中，PA PB =，点C ，D 分别在PB ，PA 边上．（1）若3APB π∠=，1CD =，求PCD 面积的最大值；（2）设四边形ABCD 的外接圆半径为R ，若,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且AB BC CD DA ⋅⋅⋅的最大值为49，求R的值．【答案】（1）34（2）49【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PC PD ⋅的最大值为1，再利用面积公式即可求解；（2）由四边形ABCD 存在外接圆，知四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，利用正弦定理，表示,,AB BC CD ，进而利用基本不等式求解.【小问1详解】由已知3DPC APB π∠=∠=，在PCD 中，利用余弦定理知22212cos CD PC PD PC PD PDC ==+-⋅∠，结合基本不等式有122cos3PC PD PC PD PC PD π≥⋅-⋅=⋅，当且仅当1PC PD ==时，等号成立，即PC PD ⋅的最大值为1，133sin 2344PCD S PC PD PD π=⋅=⋅≤所以PCD 面积的最大值为4【小问2详解】四边形ABCD 存在外接圆，DAB DCB π∴∠+∠=又PA PB =，DAB CBA ∴∠=∠，CBA DCB π∴∠+∠=，//AB CD ∴，所以四边形ABCD 为等腰梯形，连接AC ，设CBA θ∠=，CAB x ∠=，在BAC 中，由正弦定理得，2R sin()sin AB BCx xπθ==--，2R sin BC x ∴=，2R sin()2R sin()AB x x πθθ=--=+同理，在ACD 中，由正弦定理得，2R sin()CD x θ=-，所以2216R sin sin()sin()AB BC CD DA x x x θθ⋅⋅⋅=-+()22222216R sin sin cos cos sin x x xθθ=-()22222216R sin sin 1sin cos sin x x x θθ⎡⎤=--⎣⎦()222216R sin sin sin x xθ=-,3APB π∠π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，03x πθ∴<<≤，220sin sin x θ∴<≤()()22222222224sin sin sin 16R sin sin sin 16R 4R sin 2x xx x θθθ⎡⎤+-⎢⎥∴-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当222sin sin sin x x θ=-，即221sin sin 2x θ=0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ，23sin 4θ∴≤，当且仅当3πθ=时，等号成立，即22344R 49⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，即4R 9=21.已知0a >，函数()()ln f x a x x =-．（1）证明()f x 存在唯一极大值点；（2）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）e b ≥-【解析】【分析】（1）求导()ln 1,0af x x x x'=-+->，再对()f x '求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知()0f x '=有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；（2）题目转化为()max f x a b -≤⎡⎤⎣⎦，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.【小问1详解】函数()()ln f x a x x =-，求导()()1ln ln 1,0af x x a x x x x x'=-+-=-+->，令()ln 1,0a g x x x x -+->=，则()221a x ag x x x x+'=--=-又0a >，()0g x '∴<，()f x '∴在()0,x ∈+∞上单调递减，当1e x -=时，()10e a f x -'=>，当e a x =时，()1e 1110e e a a a a f a a ⎛⎫'=-+-=--< ⎪⎝⎭，故存在()10e e,ax -∈，使得()0f x '=当()00,x x ∈，()0f x ¢>，故函数()f x 在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∈+∞，()0f x '<，故函数()f x 在()0,x +∞上单调递减，所以()f x 存在唯一极大值点；【小问2详解】由题知，存在0a >，使得()f x a b ≤+对任意()0,x ∈+∞成立，即存在0a >，使得()max b f x a ≥-⎡⎤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞成立，由（1）知，()max 0()f x f x =，且00ln 10ax x -+-=，即()001ln a x x =+，()()()()0000000max 1ln ln 1ln f x a f x a x x x x x x -=-=+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即存在0a >，使得2000000ln ln ,0b x x x x x x ≥-->恒成立，构造2()ln ln ,0u x x x x x x x =-->，即存在0a >，使得()b u x ≥恒成立，即存在0a >，min ()b u x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，求导2()ln ln 2,0u x x x x '=+->令()0u x '=，求得1ln 2x =-，2ln 1x =，即21e x -=，2e x =，当()20,ex -∈，()0u x '>，故函数()u x 在()20,e -上单调递增，当()2e e ,x -∈，()0u x '<，故函数()u x 在()2e e ,-上单调递减，当()e,+x ∈∞，()0u x '>，故函数()u x 在()e,+∞上单调递增，所以2min ()(e)eln e e elne e 0u x u ==--=-<，由()20,ex -∈时，()2215()ln ln 1ln 24u x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为()20,ex -∈，所以ln 2x <-，即215ln 524x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，则()0u x >在()20,e x -∈上恒成立，所以b 的取值范围是e b ≥-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．22.已知函数()3ln f x ax x =-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122e x x +>．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,)a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数()f x 进行求导，然后对a 进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间(2)由题意变形得到ln 3a xx =的符号，不妨设12x x <，21x tx =，1212ln ln x x x x =得到1ln x 与t 之间的关系，将122ex x +>变形为1ln ln 2e ln(1)x t >-+，构造为t 的函数，在进行求导得出函数值最小为0即可判断【小问1详解】由()3ln f x ax x =-，得33()ax f x a x x'-=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，3(3()x ax a f x a x x-=⋅'-=，由3x a >时，()0f x '>，()f x 在3(,)a +∞上单调递增，由3x a<时，()0f x '<，()f x 在3(0,a 上单调递减，∴综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在3(0,a 上单调递减，在3(,)a+∞上单调递增【小问2详解】根据函数()f x 有两个零点，3ln 0ax x -=变形ln 3a x x=，画出ln x y x =的图像，()f x 有两个零点即为3a y =与ln x y x=有两个交点，不妨设12x x <，如图可得11e x <<，2e x >，设21x tx =，(1)t >由1212ln ln x x x x =，将21x tx =代入1111ln ln x tx x tx =整理得1ln ln 1t x t =-①，要想证明122e x x +>，即证12e1x t >+，即证1ln ln 2e ln(1)x t >-+②，将①代入②整理得，只需证明ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>即可，令()ln (1)ln 2e (1)ln(1)F x t t t t =--+-+，(1)t >，11()ln 2e ln(1)1t F x t t t -=-++++'，22222112(1)(31)()01(1)(1)t t t F x t t t t t-++=-++=+'>++'，()F x '在(1,)+∞递增， (1)0F '=，∴()0F x '>得()F x 在(1,)+∞递增，(1)0F =，∴()(1)0F x F >=，即ln (1)ln 2e (1)ln(1)0t t t t --+-+>，从而证明122ex x +>【点睛】本题采用分类讨论的方法，数形结合的方法，求解的关键进行构造函数，并画出图像，利用数形结合进行分析，两个变量的证明要转化为一个变量进行分析证明。
01 2008～2019年江苏高考数学分类汇编(解析版)---集合
2008～2019年江苏高考数学分类汇编集合2008-04 若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<, (1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5AZ =，共有6个元素． 【答案】62009-11 已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ▲ ．【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =； 由A B ⊆知4a >，所以c =4。
【答案】42010-01 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =___▲___．【解析】考查集合的运算推理。
3∈B, a+2=3, a=1.【答案】12011-01 已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则A B ⋂=___▲___．【解析】考查集合交集的运算 【答案】{}1－，2 2012-01 已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =___▲___．【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1．【答案】{}6,4,2,1【点评】本题重点考查集合并集的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小．2013-04 集合{1,0,1}-共有 ___▲___个子集．【解析】考查集合元素的性质，子集的个数，容易题．【答案】８2014-01 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=___▲___．【解析】考查集合交集的运算．【答案】{}1－，32015-01 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为___▲___．【解析】考查集合的运算．【答案】５2016-01 已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ___▲___．【解析】考查集合交集的运算【答案】{}1－，22017-01 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【答案】1【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“（3）防范空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2018-01 已知集合，，那么________． 【解析】分析：根据交集定义求结果. 详解：由题设和交集的定义可知：. 【答案】{1，8}【点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2019-01 已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____.【解析】分析：由题意利用交集的定义求解交集即可.详解：由题知，{1,6}AB =. 【答案】{1,6}.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。
江苏省各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(12) 统计
江苏省各地市高考数学最新联考试题分类大汇编第12部分:统计一、填空题：3. (江苏省苏州市1月高三调研)样本数据11,8,9,10,7的方差是 ▲3.2【解析】()()()()()222222119899910979 2.5s -+-+-+-+-==7. (江苏省南京市高三第一次模拟考试)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为7．5【解析】平均数141718182021186x +++++==， 故方差22222221(410023)56S =+++++= 3．(江苏省徐州市高三第一次调研考试)在学生人数比例为2:3:5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n = ▲ ．3．30【解析】由分层抽样的比例关系可知：62235n =++，则30n = 5. (江苏省苏北四市高三第一次调研)从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为 ▲ .5．【解析】考查统计初步知识，先求平均数，1(5341312312)310x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，再根据方差公式2211()n i i s x x n ==-∑代入数据，222222112[3(5)(43)(33)3(23)(13)]105s =⨯-+-+-+⨯-+-计算得方差为1255. (江苏省泰州市高三年级第一次模拟)某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为 。
5.20【解答】由分成抽样的知识知，10,20450900n n ==。
5．(江苏省宿豫中学3月高考第二次模拟考试)已知样本方差由102211(5)10i i s x ==-∑求得，则1210x x x +++=_________________504．(江苏省盐城市高三年级第一次调研)某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人, 35岁到49岁的有25人,50岁及以上的有30人.现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查,则35岁到49岁的应抽取 ▲ 人．4. 5【解析】25205.100⨯= 二、解答题：。
全国高中数学联赛试题分类汇编： 1集合
{2,
3} 2
，15
分
结合
a1
Q
，只可能
a1
1 4
．
由此易知， a1
1 4
, a2
1 2
, a3
4, a4
6 或者
a1
1 4
, a2
1 2
, a3
4, a4
6．
检验知这两组解均满足问题的条件．
故 a1 a2
a3
a4
9 4
．
20
分Hale Waihona Puke 2015A 二、（本题满分 40 分）设 S A1, A2 ,, An ，其中 A1, A2 ,, An 是 n 个互不相同的
是过点 P 的圆 的一条切线．故圆 的圆心 M (1, l）到直线 l 的距离等于圆的半径 2 ， 故 | k 1 k 3 | 2 ．结合图像，应取较小根 k 2 3 ．
另一方面，取 a4k3 a4k2 a4k1 a4k k （ k 1, 2,, 5 ）， bi 6 ai （ i 1, 2,, 20 ），
则对任意 i, j （1 i j 20 ），有 (ai a j )(bi bj ) (ai a j )((6 ai ) (6 a j )) (ai a j )2 0 等号成立当且仅当 ai a j ，这恰好发生 5C42 30 次，此时 X 的元素个数达到 C220 30 160 综上所述， X 的元素个数的最大值为 160.
2015B 6、设 k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集 A (x, y) x2 y2 2(x y) 和