2-2函数的极限
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第二节函数的极限
1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B， 定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近 有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改 为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的 定义.相应地记作
x x0
证 任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取 ，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向 于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的 某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义 设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任 意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当0 x x0 时有
2-2极限(3)
m>n m=n m<n
∞ an bm ≠ 0 ) ( ∞
注意 涉及无穷大的极限问题 ( ±∞ ) + ( ±∞ ) ( ±∞ ) − ( ±∞ ) ∞⋅∞ ∞ = ∞ 有界量即可 A+ ∞ + ∞ 肯定型） （肯定型） A A ⋅ ∞ ( A ≠ 0) 极限存在 0 ln x 2 lim lim lim =∞ 例 x → 0+ ln x = −∞ ⇒ x → 0 ( x + ln x ) = ∞ , x → 0
存在 可推广至有限个的情形 ，则
★由lim C = C，可得 lim C f ( x ) = C lim f ( x ) n n lim f x ★ lim f ( x ) = lim f ( x )
证明： 利用极限基本定理． 证明： 利用极限基本定理．
x → x0
lim α ( x ) = lim β ( x ) = 0
x → x0
x → x0
lim α ( x ) + β ( x ) = 0
注意
无限多个无穷小的和未必是无穷小. 无限多个无穷小的和未必是无穷小.
定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
除非
须区别对待． 须区别对待． 【例7】 lim x →∞
lim
2 x arctan x x + ( arctan x )
→∞
ln G ， ∀ G > 0 ，若使 | q |> G， 得 n > ln | q | ln G 取 N= ． 则当n > N时, 成立 | q n |> G． ln | q | lim q n = ∞． 说明数列 {q n } 发散． 发散． 即
函数的极限 (2)
x0−δ< <x0, 有|f(x)−A|<ε。. −δ<x< − ε
x→x0
： < − ε lim+ f (x) = A⇔∀ε >0,, ∃δ >0,, ∀x： x0<x<x0+δ , 有|f(x)−A|<ε .
x→x0
lim f (x) = A⇔ lim− f (x) = A 且 lim+ f ( x) = A
x →∞
y A+ε y=f (x)
11
A
.
A−ε
.
−X
O
X
x
例6. 证明 .
1 lim = 0 x →∞ x
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1 1 分析: 分析: | f ( x) − A|=| − 0|= x | x|
∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 | x |> − <ε 证明: 因为∀ 证明: 因为∀ε >0, ∃ ,
6
有| f(x)−A| −
x 2 −1 =| − 2| x −1
=|x−1|<ε , − <
x 2 −1 所以 lim =2 x →1 x −1
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单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
, , . .
1
ε
x →∞
形的水平渐近线 。
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二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性 定理 函数极限的唯一性) 函数极限的唯一性 如果极限 lim f (x) 存在, 那么这极限唯一. 存在, 那么这极限唯一.
2-2极限
ε
lim an = a : 当 n 无限增加时， an 无限趋近于 a． 无限增加时， n →∞
，
ε 1 N= 对给定的 ε > 0 , 能找到 , 当 n > N时, 有 | an − 4 |< ε
定义4：给定数列 定义 ：给定数列{an}，如果存在数 a， ，
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
为单调递增数列； 若对一切 n 恒成立 a n < a n +1，就称 {a n } 为单调递增数列；
若对一切 n 恒成立 a n > a n+1， 就称 {an } 为单调递减数列；
单调上升数列与单调下 降数列统称为单调数列 ．
问题: 问题: 如何用数学语言刻划 “无限趋近”. n→ ∞ 1 例如 an = 4 + −−→ 4 n 分析： 意味着可以在序列中走得足够远 分析： n → ∞ 意味着可以在序列中走得足够远 an 无限趋于 4， 意味着 | an − 4 | 可以小到我们所愿意的程度 可以小到我们所愿意的程度 1 由 | an − 4 | = 可见只要 n 充分大就能够保证 | an − 4 | 任意小． 任意小． n 1 0.1， 比如给定 0.1，欲使 | an − 4 | < 0.1 ，只要n > = 10 0.1 0.0001， 给定 0.0001，欲使 | an − 4 | < 0.0001 ，只要 n > 10000 一般地，对于给定的任意小的正数 ε ，欲使 | an − 4 |< ε 一般地， 1 只要 n > ，即
(3) 0, 1, 0, 2,L , 0, n,L an =
(4)
lim an = a : 当 n 无限增加时， an 无限趋近于 a． 无限增加时， n →∞
，
ε 1 N= 对给定的 ε > 0 , 能找到 , 当 n > N时, 有 | an − 4 |< ε
定义4：给定数列 定义 ：给定数列{an}，如果存在数 a， ，
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
为单调递增数列； 若对一切 n 恒成立 a n < a n +1，就称 {a n } 为单调递增数列；
若对一切 n 恒成立 a n > a n+1， 就称 {an } 为单调递减数列；
单调上升数列与单调下 降数列统称为单调数列 ．
问题: 问题: 如何用数学语言刻划 “无限趋近”. n→ ∞ 1 例如 an = 4 + −−→ 4 n 分析： 意味着可以在序列中走得足够远 分析： n → ∞ 意味着可以在序列中走得足够远 an 无限趋于 4， 意味着 | an − 4 | 可以小到我们所愿意的程度 可以小到我们所愿意的程度 1 由 | an − 4 | = 可见只要 n 充分大就能够保证 | an − 4 | 任意小． 任意小． n 1 0.1， 比如给定 0.1，欲使 | an − 4 | < 0.1 ，只要n > = 10 0.1 0.0001， 给定 0.0001，欲使 | an − 4 | < 0.0001 ，只要 n > 10000 一般地，对于给定的任意小的正数 ε ，欲使 | an − 4 |< ε 一般地， 1 只要 n > ，即
(3) 0, 1, 0, 2,L , 0, n,L an =
(4)
二次函数极限
二次函数极限二次函数是高中数学中的一个重要概念。
在学习二次函数的过程中，我们会接触到二次函数的极限。
本文将详细介绍二次函数极限相关的知识，包括极限基本概念、求解方法以及应用实例。
一、极限基本概念极限是微积分的重要概念之一。
对于一个函数而言，当自变量趋于某个特定的值时，函数的值是否也趋于某个特定的值，这个特定的值就是函数的极限。
在二次函数中，极限的求解可以通过函数的图像来进行理解。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当 x 的值逐渐接近某个特定的值x_0 时，我们可以观察 f(x) 的变化趋势。
如果 f(x) 的值趋近于一个常数L，那么我们可以说 f(x) 在 x_0 处存在极限 L，记作 lim_{x->x_0} f(x)= L。
在图像上就是说，当 x 靠近 x_0 时，函数图像在 x_0 处有一个水平的渐近线。
二、求解二次函数的极限方法对于二次函数，我们可以采用以下方法来求解其极限。
1. 利用函数的图像：通过画出函数的图像，我们可以直观地看出函数在某个特定值处的极限。
对于二次函数，我们可以观察函数图像在接近该特定值时的变化趋势，从而确定极限。
2. 代数运算法则：对于二次函数，我们可以利用代数运算法则进行极限的求解。
根据极限的性质，我们可以将二次函数分解为一次函数的和或积的形式，然后求解各个部分的极限。
3. 极限定理：对于二次函数，我们可以利用极限定理进行极限的求解。
常用的极限定理有夹逼定理、无穷小定理以及洛必达法则等。
利用极限定理可以简化极限的计算过程，提高求解效率。
三、二次函数极限的应用实例二次函数极限在实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用实例。
1. 物理问题：二次函数极限可以用来求解物理问题中的速度、加速度等相关量。
例如，一辆汽车在起步时的速度随时间的变化可以用二次函数模型来描述，通过求解极限可以确定汽车起步时的最大速度。
2. 经济问题：二次函数极限可以用来求解经济问题中的利润、成本等相关量。
2-1,2-2极限的定义
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
x x0
时,函数极限的直观定义
当x x0 时 , 若 f ( x)无限接近与常数A, 则称A为函数 f ( x)在x0处的左极限,记为
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：
(1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等；
(3) 左、右极限中至少有一个不存在.
找找例题！
例
x2 1 求 f ( x) 2 x 1
x 1 x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3
, ;
3
n ( 1) n
3 ,
}
3 , , 3
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
例10
设
x 2 1, f ( x) x 1,
x 1 , x 1
2
求 lim f ( x ) 。
x 1
解
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
lim f ( x ) 2
f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.
二 函数极限
定理 若 lim f ( x) A
(5) lim[ f ( x)] [lim f ( x)] =A
k k
K
用极限四则运算法则时应注意： 1、法则的前题条件是
lim f ( x) A lim g ( x) B 都存在，商的极限分母不能为零； 2、对于加法、乘法运算可以推广到有限个函数 的情形；
可任意小），则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x 时
的极限或说 f ( x) 当 x 时， 以 A 为极限。 记作：
lim f ( x) A 或 x f ( x) A( x )
f ( x) A x 值仅为正的时，记作 xlim 若所考虑的 x 值仅为负的时，但 x 无限增大
若所考虑的
f ( x) A 时 ，记为 xlim
例：
1 lim 0 x 1 x
lim arctgx x 2
lim arctgx x 2
lim sin x
x
函数值在 [ 1,1] 之间跳跃，
不能无限接近任何常数，所以该极限不存在 。
（二）、 当
x0
定义：如果当 x 从 x0 的右侧（大于 x0 ）趋向 于 x0 时，函数 f ( x ) 趋向于某个定数A，则称A为 函数 f ( x )的在 x0右极限 。记为
x x0
或 f ( x) A( x x0 ) lim f ( x ) A
同样可以定义左极限
定义：如果当 x 从 x0 的左侧（小于 x0 ）趋向
lim f ( x) A
准则2. 单调有界数列必有极限
（二）、两个重要极限
sin x 1 1、 lim x 0 x 1 x 2、 lim(1 ) e x x 1 y 当 x 时 y 0 令 x 1 1 x lim(1 ) lim(1 y ) y e x y 0 x
d2_2函数的极限与极限运算法则
17
§2.3
极限的性质与运算法则
1、极限的性质 2、运算法则
18
一、变量的极限
定义3.1 对于任意给定的正数 ，在变量y 的变化过程， 总有一个时刻，在那时刻之后，恒有
| y A | 成立, 则称变量y在此变化过程中以A为极限。
记作: lim y A 例:
lim c c
19
x 4x 2 lim 4 0 x 2 x 6 x 2 1 4 x 3x 2 lim 2 x 3 x 6 x 1
3 2
0, m n 结论 , m n a0 b , m n 0
例7．
2 x5 5x 3 2 2 lim 5 x x 6 x 1
3
3
lim( x 1)
3
lim( x 5x 3)
x 2
x 2 2
2 1 7 3 3
23
2x 3 例３求 lim 2 x 1 x 5 x 4 解 分母极限 lim( x 2 5 x 4) 1 5 4 0
分子极限 lim( 2 x 3) 2 3 1
lim( x 1) ?
x 1
x 1 且x 1 直观可看出： x 1 x 1 且x 1
如图
y
２
A
１
x
4
时,函数 f ( x ) 的极限 １、当 x x0
x “当 x 无限接近于 x0 (但不等于 0 ) 时函数 f ( x )无限接近常数A”
定义2.4
证明：
x0
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1
1.2 教学设计—— 函数的极限
布置作业或任务
5’
1.学生课后查找极限思想在实际问题中有哪些应用；
2.布置课后作业，学会利用极限的四则运算法则求函数极限的方法；
3.课后通过习题进一步理解函数极限的定义。
教学反思
极限是高等数学中非常重要的知识点，它是学习高等数学的工具。继续挖掘现实生活中的实例,使学生能更加深刻的体会极限思想，从而有利于数列极限、函数极限的理解和学习，为今后学习微积分的其它内容打下坚实的基础
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
函数的极限
2
理论课
教学内容及学情分析
学生在中学阶段已经学习过数列，这节课主要研究数列随着项数的增加，项的变化趋势，从而得出数列极限的定义。在学习了数列极限的前提下，进而继续学习一般函数极限。极限是高等数学的重要工具，极限思想较抽象，学生理解较困难，因此采用教学动画展示，使学生能较好理解极限思想。
知识目标1,2,3
素质目标1,3,4
学生互动
15’
函数极限的计算
学生完成课堂练习
黑板，练习本
能力目标1,2
素质目标3
课堂小结
5’
1.本节课学习了数列极限的定义；
2.学习了自变量在不同变化趋向下函数极限的定义；
3.学会了求函数在某一点处的左、右极限；
4.最后学习了利用极限四则运算法则求函数极限的不同方法。
4.掌握函数极限概念的本质，体会从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点。
教学过程
教学环节
时间分配
教学内容
教பைடு நூலகம்活动
教学资源
覆盖目标
课程育人
10’
融入数学文化的知识，介绍中国古代极限思想的萌芽以及刘徽的“割圆术”
5’
1.学生课后查找极限思想在实际问题中有哪些应用；
2.布置课后作业，学会利用极限的四则运算法则求函数极限的方法；
3.课后通过习题进一步理解函数极限的定义。
教学反思
极限是高等数学中非常重要的知识点，它是学习高等数学的工具。继续挖掘现实生活中的实例,使学生能更加深刻的体会极限思想，从而有利于数列极限、函数极限的理解和学习，为今后学习微积分的其它内容打下坚实的基础
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
函数的极限
2
理论课
教学内容及学情分析
学生在中学阶段已经学习过数列，这节课主要研究数列随着项数的增加，项的变化趋势，从而得出数列极限的定义。在学习了数列极限的前提下，进而继续学习一般函数极限。极限是高等数学的重要工具，极限思想较抽象，学生理解较困难，因此采用教学动画展示，使学生能较好理解极限思想。
知识目标1,2,3
素质目标1,3,4
学生互动
15’
函数极限的计算
学生完成课堂练习
黑板，练习本
能力目标1,2
素质目标3
课堂小结
5’
1.本节课学习了数列极限的定义；
2.学习了自变量在不同变化趋向下函数极限的定义；
3.学会了求函数在某一点处的左、右极限；
4.最后学习了利用极限四则运算法则求函数极限的不同方法。
4.掌握函数极限概念的本质，体会从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点。
教学过程
教学环节
时间分配
教学内容
教பைடு நூலகம்活动
教学资源
覆盖目标
课程育人
10’
融入数学文化的知识，介绍中国古代极限思想的萌芽以及刘徽的“割圆术”
2函数的极限
无穷小与无穷大内容大纲123无穷小量无穷大量无穷小与无穷大的关系0()()f x x x x →→∞若函数当或时的极限为零，无穷小(infinitesimal)（1）通俗定义（2）严格定义0()().f x x x x →→∞则称为当或时的无穷小要多小有多小.lim sin 0→=x x ，sin 0.x x ∴→函数是当时的无穷小1lim 0→∞=x x，1.x x ∴→∞函数是当时的无穷小(1)lim 0→∞−=n n n ，(1).nn n ⎧⎫−∴→∞⎨⎬⎩⎭数列是当时的无穷小注意：（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.例如无穷大(infinite)（1）通俗定义要多大有多大. 即：绝对值无限增大的变量称为无穷大.（2）严格定义特殊情形：正无穷大，负无穷大．00()()lim ()(lim ())x x x x x x f x f x →→→∞→∞=+∞=−∞或注意：（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.lim ().→=∞x x f x 是极限不存在的一种特殊情形说明（2）0lim ().x x f x →=∞此时，记作“妙不可言”“干脆”11,0,sin ,.x y x x→=例如当时是一个无界变量但不是无穷大11,0,sin ,.x y x x→=例如当时是一个无界变量但不是无穷大,事实上1(1)(0,1,2,3,)22ππ==+取k x k k ()2,2π=π+k y x k ,().k k y x M >当充分大时1(2)(0,1,2,3,)2π''=='取k x k k ,,k k x δ''<当充分大时()2sin 2ππ'''=但k y x k k 0.M =<不是无穷大．无界，11lim .1x x →=∞−例：证明无穷小与无穷大的关系定理在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义：关于无穷大的讨论，可归结为关于无穷小的讨论.225y x =−2125y x =−cos y x =1sec cos ==y x x 余弦函数正割函数课堂小结要想学好数学，须在“仙界”和“世界”之间自如地转换.（与我一起慢慢体会这一点）“仙界”只是一种比喻！期望帮助同学们理解数学知识.纯属虚构、实属巧合！。
第一极限和第二极限公式
第一极限和第二极限公式一、第一极限公式第一极限是数学分析中的重要概念之一，它描述了一个函数在某一点处的极限行为。
第一极限公式是计算函数在某一点处的极限的数学工具，它具有以下形式：lim(x->a) f(x) = L其中，lim表示极限的意思，x->a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数f关于自变量x的表达式，L表示极限的值。
在使用第一极限公式时，需要满足以下条件：1. 函数f在点a的某个邻域内有定义；2. 函数f在点a的某个邻域内存在；3. 函数f在点a的某个邻域内单调。
举例来说，我们来计算以下函数在点x=1处的极限：f(x) = 2x + 1根据第一极限公式，我们有：lim(x->1) (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3因此，函数f(x)在点x=1处的极限为3。
二、第二极限公式第二极限是数学分析中的另一个重要概念，它描述了一个函数在无穷远处的极限行为。
第二极限公式是计算函数在无穷远处的极限的数学工具，它具有以下形式：lim(x->∞) f(x) = L其中，lim表示极限的意思，x->∞表示自变量x趋向于无穷大，f(x)表示函数f关于自变量x的表达式，L表示极限的值。
在使用第二极限公式时，需要满足以下条件：1. 函数f在某个区间上有定义；2. 函数f在该区间上单调。
举例来说，我们来计算以下函数在无穷远处的极限：f(x) = 1/x根据第二极限公式，我们有：lim(x->∞) (1/x) = 0因此，函数f(x)在无穷远处的极限为0。
总结：第一极限和第二极限公式是数学分析中用于计算函数极限的重要工具。
它们分别描述了函数在某一点处和无穷远处的极限行为。
在应用这些公式时，我们需要满足一定的条件，如函数在某个区间上有定义、单调等。
通过正确使用这些公式，我们可以准确地计算函数的极限，进而研究函数的性质和行为。
2-3,2-4无穷小量与无穷大量,极限运算法则
(2)x x 0 实际上是 x 在x0 的某邻域
U ( x 0 , ) 内变化，
0
f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.
3
第三节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
1.无穷小量定义： 极限为零的变量称为无穷小
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0 ). x x a 例如：
0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 例
lim 1 x1
x1
. 而x 2 呢？
1
x1
1 不是无穷大.
11
(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大. 如f (x)
1 x s in 1 x , 当 x 0时 ， 就 不 是 无 穷 大 量 .
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
(n可推广至实数)
注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多 个函数的情形。
17
数列也有类似的四则法则. 即 定理4 设 有 数 列 x n 和 y n , 如 果 lim x n A， y n B , lim
2 x 0
1 x
0， lim
arctan x
x
x
0.
9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如： lim
1 x
x
1 (1 x )
2
0.
三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。 例如： lim
U ( x 0 , ) 内变化，
0
f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.
3
第三节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量
1.无穷小量定义： 极限为零的变量称为无穷小
记作 lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0 ). x x a 例如：
0
(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此 谈及无穷大,一定指明 自变量的变化趋势. 例
lim 1 x1
x1
. 而x 2 呢？
1
x1
1 不是无穷大.
11
(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大. 如f (x)
1 x s in 1 x , 当 x 0时 ， 就 不 是 无 穷 大 量 .
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
(n可推广至实数)
注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多 个函数的情形。
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数列也有类似的四则法则. 即 定理4 设 有 数 列 x n 和 y n , 如 果 lim x n A， y n B , lim
2 x 0
1 x
0， lim
arctan x
x
x
0.
9
性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如： lim
1 x
x
1 (1 x )
2
0.
三、无穷大量
1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函 数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过 程中的无穷大量。记作limf(x)=。 例如： lim
函数的极限(二)极限的性质及运算
如：
如果在 的某个变化过程中， 的绝对值 无限变大，则称 在 的这个变化过程中为无穷大。
定义 如果对于任意给定的无论多么大的正数M，总存在正数 (或正数 )，使得对于适合不等式 (或 )的一切 恒有
成立，则称 当 (或 )时为无穷大，记作 （或 ）
如：
注：(1)无穷大是绝对值无限增大的变量，不是一个很大的常数。
如： 时， 是无穷大， 是无穷小。
，
极限的运算法则
定理Байду номын сангаас设 则
（1）
（2）
（3） （ ）
（4） （ 为正整数）
（5） （ 为正整数， 为偶数时 ）
说明：（1） 换成 的其他变化过程，定理仍成立。
（2）此法则对数列的极限同样适用。
例 1求极限
解
例 2求极限
解
例 3求极限
解
=
例 4求极限
解 因为 ，所以
如：
当令 时，此极限可变形为
例 1求极限
解
例 2求极限
解 令 ，则 时，
例 3求极限
解 （用 ）
例 4求极限
解
例 5求极限
解 令 ，则
例 6求极限
解
例 7求极限
解
例 8求极限
解：
(2) 当 (或 )时，如果 取正值无限增大，则称 当 (或 )时为正无穷大，记作 （或 ）；如果 取负值而绝对值无限增大，则称 当 (或 )时为负无穷大，记作 （或 ）。
（3） 是无穷大还是无穷小与 的变化过程有关。
如： ，当 时为无穷大，而当 →∞时为无穷小。
定理 在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小；反过来，如果 是无穷小且 ，则 是无穷大。
如果在 的某个变化过程中， 的绝对值 无限变大，则称 在 的这个变化过程中为无穷大。
定义 如果对于任意给定的无论多么大的正数M，总存在正数 (或正数 )，使得对于适合不等式 (或 )的一切 恒有
成立，则称 当 (或 )时为无穷大，记作 （或 ）
如：
注：(1)无穷大是绝对值无限增大的变量，不是一个很大的常数。
如： 时， 是无穷大， 是无穷小。
，
极限的运算法则
定理Байду номын сангаас设 则
（1）
（2）
（3） （ ）
（4） （ 为正整数）
（5） （ 为正整数， 为偶数时 ）
说明：（1） 换成 的其他变化过程，定理仍成立。
（2）此法则对数列的极限同样适用。
例 1求极限
解
例 2求极限
解
例 3求极限
解
=
例 4求极限
解 因为 ，所以
如：
当令 时，此极限可变形为
例 1求极限
解
例 2求极限
解 令 ，则 时，
例 3求极限
解 （用 ）
例 4求极限
解
例 5求极限
解 令 ，则
例 6求极限
解
例 7求极限
解
例 8求极限
解：
(2) 当 (或 )时，如果 取正值无限增大，则称 当 (或 )时为正无穷大，记作 （或 ）；如果 取负值而绝对值无限增大，则称 当 (或 )时为负无穷大，记作 （或 ）。
（3） 是无穷大还是无穷小与 的变化过程有关。
如： ，当 时为无穷大，而当 →∞时为无穷小。
定理 在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小；反过来，如果 是无穷小且 ，则 是无穷大。
大学高数2-3极限的运算法则
03
复合函数的极限运算法则
函数的极限与复合函数的极限
函数的极限
当函数在某点的自变量趋于某值时，函数值的极限。
复合函数的极限
对于复合函数$f(g(x))$，当$x$趋于某值时，$g(x)$趋于某值，则$f(g(x))$的极限存在。
复合函数的极限运算法则
乘法法则
若$f(x)$和$g(x)$在某点的极 限都存在，则$f(x) cdot g(x)$ 在该点的极限也存在，且$f(x) cdot g(x) = f(x) cdot g(x)$。
01
02
03
04
加法运算性质
两个无穷小量的和仍为无穷小 量。
减法运算性质
两个无穷小量的差仍为无穷小 量。
乘法运算性质
有限个无穷小量的乘积仍为无 穷小量。
除法运算性质
有限个无穷小量的商仍为无穷 小量，但除数不能为无穷大量 。
05
极限的运算技巧
利用等价无穷小替换求极限
等价无穷小替换是求极限的一种常用方法，通过将复杂的表达式替换为简单的无穷 小量，可以简化计算过程。
在等价无穷小替换中，常用的等价无穷小量包括：当x趋近于0时，sin x ≈ x，tan x ≈ x，e^x - 1 ≈ x，ln(1 + x) ≈ x等。
使用等价无穷小替换求极限时，需要注意替换的准确性和适用范围，以确保结果的 正确性。
利用洛必达法则求极限
01
02
03
洛必达法则是求极限的一种重要 法则，适用于0/0型和∞/∞型的 极限问题。
利用反常函数求极限
总结词
反常函数包括无界函数和无穷大量，求极限时需要注意函数的定义域和性质。
详细描述
对于无界函数和无穷大量，需要分别讨论其类型和性质，利用等价无穷小替换、夹逼准则等方法求极 限。在处理反常函数时，需要注意函数的定义域和性质，以及无穷小与无穷大的关系。
2-2极限2
AB = 2 sin x , AB = 2 x , AB < AB ⇒ sin x < x
结论成立
【证】 ∀ε > 0, 要使 sin x − sin x0 < ε x + x0 x − x0 x − x0 Q sin x − sin x0 = 2 cos ≤ x − x0 sin ≤ 2 sin 2 2 2 ∴取δ = ε > 0, 则当0 < x − x0 < δ 时，有 sin x − sin x0 < ε
x → x0
x → x0
lim f ( x ) = A 的本质是： 的本质是：
函数必须包含在其极限 A 的任意的“邻域”内，只要自 的任意的“邻域” 的适当选取的“邻域” 变量包含在其极限 x0 的适当选取的“邻域”内．
y
y = f (x)
A+ε
A
A−ε
o
x0 −δ
(
δ
x0
δ
x0 +δ
)
x
显然： x x C = C , 显然： lim →
复习
lim an = a : ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
n →∞
lim f ( x ) = A : ∀ε > 0, ∃X > 0, 当 > X ⇒ f ( x ) − A < ε x x →∞
定理1 数列收敛的充要条件 数列收敛的充要条件) 定理 (数列收敛的充要条件 lim an = a ⇔ {an} 的任一子列均收敛于 ⇔ lim a2k −1 = lim a2k = a 的任一子列均收敛于a n →∞
x<0 x≥0
结论成立
【证】 ∀ε > 0, 要使 sin x − sin x0 < ε x + x0 x − x0 x − x0 Q sin x − sin x0 = 2 cos ≤ x − x0 sin ≤ 2 sin 2 2 2 ∴取δ = ε > 0, 则当0 < x − x0 < δ 时，有 sin x − sin x0 < ε
x → x0
x → x0
lim f ( x ) = A 的本质是： 的本质是：
函数必须包含在其极限 A 的任意的“邻域”内，只要自 的任意的“邻域” 的适当选取的“邻域” 变量包含在其极限 x0 的适当选取的“邻域”内．
y
y = f (x)
A+ε
A
A−ε
o
x0 −δ
(
δ
x0
δ
x0 +δ
)
x
显然： x x C = C , 显然： lim →
复习
lim an = a : ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
n →∞
lim f ( x ) = A : ∀ε > 0, ∃X > 0, 当 > X ⇒ f ( x ) − A < ε x x →∞
定理1 数列收敛的充要条件 数列收敛的充要条件) 定理 (数列收敛的充要条件 lim an = a ⇔ {an} 的任一子列均收敛于 ⇔ lim a2k −1 = lim a2k = a 的任一子列均收敛于a n →∞
x<0 x≥0
极限运算法则
极限运算法则 定理1 设 lim f (x) = A, lim g(x) = B, 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
微积分基础(国家开放大学)---第1章---第2节---极限的概念和计算解析
7
x时函数f(x)的极限
描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大 时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A. 则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x) 收敛到A,记为 lim f ( x) A 或 f ( x ) A ( x )
1 例如： lim 0 x x
0 1
8
1
4
1
2
0 1
1 n , n 0 2 (3) lg1, lg 2,, lg n,
n , n 1 1 n (4) 1,1,1,1, 1n 1 ,
n 1
2
1
4
3
2
0 lg 2 lg 3
n , lg n
lg n
1 0
1
n , 不趋于一确定值
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
25
例题与讲解
n
n
n
n个
n
18
sin x 例：求极限 lim ? x x 1 解： lim 0, |sinx|≤1(有界量). x x sin x 1 lim lim sin x 0 (无穷小量与有界量之积) x x x x
例题与讲解
思考：
1 lim x sin ? x 0 x
5
判断下列数列是否收敛：
1 2 3 4 (1) , , , , 2 3 4 5
(2) 1, 8 , 27 , 64 ,
n , , n 1
, n3 ,
1 , , n 1
x时函数f(x)的极限
描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大 时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A. 则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x) 收敛到A,记为 lim f ( x) A 或 f ( x ) A ( x )
1 例如： lim 0 x x
0 1
8
1
4
1
2
0 1
1 n , n 0 2 (3) lg1, lg 2,, lg n,
n , n 1 1 n (4) 1,1,1,1, 1n 1 ,
n 1
2
1
4
3
2
0 lg 2 lg 3
n , lg n
lg n
1 0
1
n , 不趋于一确定值
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
25
例题与讲解
n
n
n
n个
n
18
sin x 例：求极限 lim ? x x 1 解： lim 0, |sinx|≤1(有界量). x x sin x 1 lim lim sin x 0 (无穷小量与有界量之积) x x x x
例题与讲解
思考：
1 lim x sin ? x 0 x
5
判断下列数列是否收敛：
1 2 3 4 (1) , , , , 2 3 4 5
(2) 1, 8 , 27 , 64 ,
n , , n 1
, n3 ,
1 , , n 1
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因为当x≠1时， f (x)=(2x2－2)/(x－1)=2(x＋1)=2x－2,
此时，当x→1时，函数f (x)=2(x+1)的值无限趋近于4 （见图）.
4
y=2x+2
对上面的例子再作进一步地分析．
2
要能使|f(x)－4|任意小，也就是说，
对于任意给定的正数ε（无论多么
-1 1
小），
当x≠1时， 要使
y
y f ( x)
x0 x0 x
f ( x) M .
M A O
M
3. 保号性 定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0) f ( x ) 0.
( f ( x ) 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) ( A) 则在对应的邻域 上 即 0 , 当
§2.2函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第二章
本节内容 :
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、函数极限的性质
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量趋向无穷大（记为x→∞）是指|x|无限增大，
（记为x→+∞） 它包含两方面： 一是x＞0,且|x|无限增大 ，
（记为x→－∞）. 二是x＜0, 且|x|无限增大 ，
解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
y x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x
2
O
x
(3) lim arctan x 不存在. x
2
f ( x) A 的充分必要条件是 定理1 lim x
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
二、自变量趋于有限值时函数的极限
1．当x→x0时，函数f (x)的极限
考察当x→1时，函数f (x)=(2x2－2)/(x－1)的变化趋势，
三、函数极限的性质
性质1(唯一性) lim f ( x ) 存在， 则其极限是唯一的. 若极限 x x
0
性质2(局部有界性) lim f ( x) A, 则存在常数M＞0和δ＞0， 若 x x 使得当 x U x0 , ( x0 , x0 ) 有
0
( x0 , x0 ) 时，
x 1 2 x 1
因此
2
x2 1 lim 2 x 1 x 1
2．函数 f ( x ) 在 x0 处的左右极限
定义5 如果当x从x0的左侧趋于x0 (记作 x x
函数f (x)当 x x 时的左极限， 记为
lim f ( x) A 或者 f x 0 A. 0 x x
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
内容小结
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义及应用 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1 当x→∞时，考察 y f ( x) 1 的变化趋势． x 1 可以看出当当x→∞时， y f ( x) 1 x
的值无限接近于常数1，则称常数1为该函数 当 x→∞时的极限.
定义1
若当x→∞时， 函数f (x)的值无限接近一个常数A， 则称常数A为函数f (x)当x→∞ 时的极限， 记作
A A A
y
y f ( x)
( 0)
x0 x0 x
推论 . 若在
的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
( A 0)
假设 A < 0 , 则由定理 1, 与已知
证: 用反证法.
存在
的某去心邻域 , 使在该邻域内 (同样可证 f ( x) 0 的情形)
则称常数 A 为函数
x x0
在点
当
的某去心邻域内有定义 ,
时的极限, 记作
若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A
lim f ( x) A 或
当 时, 有
即 几何解释: y A A A
O
x0－δ
y f ( x)
y
O
1 y x
x
1
,
因此 注:
两种特殊情况 :
x
lim f ( x) A
0 , X 0 , 当 f ( x) A
时, 有
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
lim f ( x) A
x
或者 f ( x) A (x ).
用精确的“ε－X”数学语言定义 f ( x ) A (x )如下：
定义1′ . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
x X 或x X
0 , X 0 ,
A 为函数
x0
y y=1 O y=x x
lim f ( x) lim x 0. x 0
x 0
f ( x) lim f ( x) 即有 xlim 0 x 0
所以当x→0时， 函数f (x)的极限不存在．
例5. 给定函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 O 1 x y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
x
lim f ( x) A
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
1 例1. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x
故 0 , 欲使 取X 只要 就有
例如，
1
都有水平渐近线 y 0.
1 x
1 x
例2 考察下列极限是否存在：
(1) lim arctan x;
x
(2) lim arctan x;
x
(3) lim arctan x.
x
解 (1) lim arctan x ; x
2
y
2
(2) lim arctan x ;
0
lim f ( x) A 的充分必要条件是 定理2 x x
0
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
x, x 0, 讨论当x→0时， 例4 设 f ( x) 1, x 0. 函数f (x)的极限是否存在．
解
x 0
1 lim 1 lim f ( x )
2
2x 2 f x 4 4 2( x 1) 4 2 x 2 , x 1
2 x 1 ,
只要 x 1
取
2
2
即可．
,
则对于满足不等式 0 x 1
的一切x， 总有不等式|f(x)－4| ＜ε成立．
所以，我们有
定义4 . 设函数
x0 x0+δ x
例1. 证明
证:
f ( x) A
时,
故 0 , 对任意的 0 , 当 总有 因此
例2. 证明 证:
0 , 欲使
取
只要
x x0 时, 必有
, 则当 0
因此
例3. 证明 证:
f ( x) 2
时, 必有
故 0 , 取 , 当
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 2. 设函数 f ( x) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
0
0 )时，
对应的函数f (x)的值无限接近于一个常数A， 则称A为
0
如果当x从x0的右侧趋于x0 (记作 x x 函数f (x)当 x x 时的右极限， 记为
lim f ( x) B 或者 f x 0 应的函数f (x)的值无限接近于一个常数B， 则称B为