第五版普通物理11-2,11-3毕奥—萨伐尔定律及其应用

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11-2毕奥萨法尔定律

0 2
I'
I dl
I
Idl r
其中：
0 4 107 NA2 真空磁导率 r : 指Idl 到待求场点的矢径
r
0 I d l r dB 4 r3 P
毕奥-萨伐尔定律
叠加原理
B d B
L
B总 Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
x y z x y z
B dB
x

x
B
y

dB B dB
y z

z
dB dB i dB j dB k BBi B jBk
x y z x y z
B dB
x

x
B
y

dB B dB
y z

zபைடு நூலகம்
若载流体具有某种对称性，P点的合场强在某个方向上的投影可能为0，所以有时可以直接判断上式三个积分中有一个或者多个积分为0。
0 3

L

0
L
3
Biot-savart’s law 讨论
• 问：一个静止的点电荷能在它周围空间任一点激起电场，一个线电流元是否也能在它周围空间任一点激起磁场？
Biot-savart’s law 讨论

毕奥-萨伐尔定律及其应用

dB 0 Idl sin
4 r2
上式中，μ0称为真空导电率，其值为μ0＝4π×10–7N·A–2磁感应强度dB的方向垂直于Idl和r所组成的平面，并沿Idl×r的方向。即当右手弯曲，四指从Idl方向沿小于π的角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向。也就是说，dB、Idl、r这3个矢量的方向符合右手螺旋法则，如下图所示。因此，可将上式写成
在载流线圈的中心O处（x＝0）的磁感应强度的大小为
B 0I
2R
若x R，即场点P在远离原点O的x轴上，则 R2 x2 3/2 x3
由式（8-7）可得
B
0 IR 2
2x3
由于线圈电流的面积为S ＝πR2，于是上式可写成
B
0 IS
2x3
在此，我们引入磁矩m来描述载流线圈的性质。定义m＝IS ＝ISen，en是圆电流平面的正法线单位矢量，它与电流I的流向遵守右手螺旋定则。在国际单位制中，磁矩的单位为安·米2 （A·m2）。
物理学
毕奥－萨伐尔定律及其应用
1.1 毕奥－萨伐尔定律
1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔通过实验得到了长直载流导线周围磁场与电流的定量关系。在此基础上，数学家拉普拉斯将毕奥和萨伐尔的实验结果归纳成数学公式，总结出电流元产生磁场的基本规律——毕奥－萨伐尔定律。
毕奥–萨伐尔定律指出：电流元Idl在真空中某点P所产生的磁感应强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元和从电流元到P点的矢径r之间的夹角的正弦成正比，与电流元到点P的距离r的平方成反比，即

毕奥——萨伐尔定律在极坐标系中的表达式及其应用

毕奥——萨伐尔定律在极坐标系中的表达式及其应用萨伐尔定律是一条重要的物理学定律，它表明在极坐标系中，线性磁场与磁力线紧密联系。在此定律的影响下，较小的磁场并非总是比较複杂的磁力线模式。萨伐尔定律的具体表达式是：Bθ=-∂Φ/∂z，其中Bθ为放射状波函数，Φ为磁力函数。

萨伐尔定律在极坐标系中能广泛地应用于物理领域，作用涉及磁场跃迁、电离层静电场、星际磁力场等各方面。比如，针对电离层的放射现象，在极坐标系中，萨伐尔定律可用来量化磁力线紊乱程度，即把磁力线画化为一条定义其强度大小的简单曲线；在星际磁力场中，萨伐尔定律可用来量化磁场并推导出磁矩变化规律，磁场和磁矩变化会受连续性和格林函数影响。

总之，萨伐尔定律是一条重要且关键的物理学定律，它对于我们研究物理领域有重要意义。在极坐标系中，萨伐尔定律的表达式为Bθ=-∂Φ/∂z，且其应用远不止这里所述，而是渗透于各个新兴学科中，通过它可以深入了解物理性质，探索出许多未知的现象。

大学物理：11-2,3 毕奥-萨伐尔定律

R2
*o
B0
=
μ0I
4R2
− μ0I
4R1
− μ0I
4 π R1
练习.亥姆霍兹圈：两个完全相同的 N 匝共轴密绕
短线圈，其中心间距与线圈半径 R 相等，通同向平
行等大电流 I。求轴线上 o1 , o2 之间任一点P 的磁
场.
N匝
R
N匝
R
R
BP
=
μ0 NIR2
2[( R2 + ( R + x)2 ]32
∫ B = μ0I θ2 sin θdθ 4 π a θ1
=
μ0
4π
I（cos a
θ1
−
cos
θ
）
2
Bv 的方向沿 x 轴的负方向.
z
D θ2
无限长载流长直导线的磁场
B
=
μ0 I（cos
4πa
θ1
−
cos
θ
）
2
I
o
θ1 → 0 B = μ0 I
x θ1
Bv
+
P
y
θ2 →π
2πa
C
B = μ0I
2πa
r E
=
1
4π ε0
r qxi ( R2 + x2
)3 2
r B

11-3 毕奥-萨伐尔定律

多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
8
运动电荷的磁场
电流激发磁场实际上是由大量定向运动的电荷
所激发的。以电荷为q、速度为
的正电荷作研 v
究对象，在电流元中其电流密度 j = nqv
0 Idl r 0 nSdlqv r d B dB 3 4π 4π r 3 r
N Idl O

l
r
r l a
2 2 2
2 2 2 2
a
P
a (1 cot ) a csc
B dB
I
1
M
2
2
× P
0 I sin dl
4π r
2
0 I sin a csc d 2 2 4π a csc

sin d 4π a
B
R
l
l
1
x1
op
2
x
x2
R
B dB
0 nI
2
R
x1
x2
R dx
2
2
dx
x
2 3/ 2

I
12
选坐标如图示
l

11-2毕奥-萨伐尔定律

毕奥萨伐尔定律
§11-2 毕奥萨伐尔定律一、毕奥萨伐尔(Biot-savart)定律
dE
∝
dq r2
dB
∝
I dl r2
I dl 电流元
实验指出：
I dB
I dl
a
r
.P
dB ∝ I dl sina
r2 在真空及SI制中：
a = ( I dl , r )
dB
=
μo
4π
I dl sina
r2
dB
=
μo
4π
I dl sina
r2
μo
真空中的磁导率
μ o = 4π × 10 7 ( H. m 1 ) 或 ( 亨利.米 1 )
用矢量形式表示的毕奥萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥萨伐尔定律
2 ( x 2 +R2 )3 2
B
=
μ oI
2R
3.引入磁矩后，圆电流轴线处的磁感应强度可表示为：
B=
μ
2π
o
(
p m
x 2 +R2 )3

11-3毕奥-萨伐尔定律及应用

(1) x = 0 载流圆线圈的圆心处如果由N匝圆线圈组成如果由匝圆线圈组成 B =
0 NI
2R
0 I 2πR B= = 2R 4π R2
0I
I
(2)一段圆弧在圆心处产生的磁场一段圆弧在圆心处产生的磁场
B=
(3) x >> R
0I φ
2R 2π 4π R
=
0 IRφ
2
φ
0 pm B= 2π x3
a r= sinθ l = acot(π θ ) = acotθ
dl = acsc θdθ
2
B=ຫໍສະໝຸດ Baidu
=
4πa ∫θ
4πa
0I
θ2
1
sinθdθ
0I
(cosθ1 cosθ2 )
上页下页
讨论
B=
4πa
0I
(cosθ1 cosθ2 )
Idl
B
(1) 无限长直导线
θ1 →0
θ2 →π
B=
2πa
0I
方向:右螺旋法则方向:
I=qnυds
Idl =qnυdsdl =qυ.ndsdl
在电流元Idl 内运动的带电粒子数为: 在电流元内运动的带电粒子数为 dN=ndsdl. . 一个运动电荷产生的磁场: 一个运动电荷产生的磁场:
o qυ × r B= 2 4π r

11.2_毕奥-萨伐尔定律及应用

µ0 Idl sin θ
2
r
dB
P *
I
r
θ
Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度磁感强度叠加原理
B = ∫ dB = ∫
µ0 I dl × r0
4π r
2
1
毕奥—萨伐尔定律 11.2 毕奥萨伐尔定律
第十一章稳恒磁场毕奥—萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律
dB =
µ0 Idl × r0
4π
1
r
2
∫ (R
3
R 2 dx
2
x = R cot β 2 dx = − R csc βdβ
+x
2
2 3/ 2
)
R + x = R csc β
2 2 2 2
∫β
β2
1
R csc β d β µ0 nI β 2 =− 3 3 ∫β1 sin β d β 2 R csc β d β 22
毕奥—萨伐尔定律 11.2 毕奥萨伐尔定律讨论
z
D
θ2
B
B=
（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0
B=
µ0 I
I
o
x
C
θ1 → 0 θ2 →π
µ0I
2 π r0
θ1
P y
10
+

普通物理目录(程守洙第五版)

大学普通物理（第五版）目录（程守洙）

第一篇力学

第一章质点的运动

§1.1质点参考系运动方程

§1.2位移速度加速度

§1.3圆周运动及其描述

§1.4曲线运动方程的矢量形式

§1.5运动描述的相对性伽利略坐标变换第二章牛顿运动定律第二章牛顿运动定律

§2.1牛顿第一定律和第三定律

§2.2常见力和基本力

§2.3牛顿第二定律及其微分形式

§2.4牛顿运动定律应用举例

§2.5牛顿第二定律积分形式之一：动量定理

§2.6牛顿第二定律积分形式之二：动能定理

§2.7非惯性系惯性力

阅读材料A 混沌和自组织现象第三章运动的守恒定律

第三章运动的守恒定律

§3.1保守力成对力作功势能

§3.2功能原理

§3.3机械能守恒定律能量守恒定律

§3.4质心质心运动定理动量守恒定律火箭飞行

§3.5碰撞

§3.6质点的角动量和角动量守恒定律

§3.7质点在有心力场中的运动

§3.8对称性和守恒定律

阅读材料B 宇宙的膨胀第四章刚体的转动

第四章刚体的运动

§4.1刚体的平动、转动和定轴转动

§4.2刚体的角动量转动动能转动惯量

§4.3 力矩刚体定轴转动定律

§4.4定轴转动的动能定理

§4.5刚体的自由度刚体的平面平行运动

§4.6定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

§4.7进动第五章相对论基础

第五章相对论基础

§5.1伽利略相对性原理经典力学的时空观

§5.2狭义相对论基本原理洛伦兹坐标变换式

§5.3相对论速度变换公式

§5.4狭义相对论时空观

§5.5狭义相对论动力学基础

§5.6广义相对论简介

阅读材料C 超新星爆发和光速不变性第六章气体动理论

第二篇热学

第六章气体动理论

11、2毕萨定律及其应用

I
0 I 0 I Bo 2R 4R
（下一页）
概念电场
定律
方法
结论磁场
q 点电 E r0 2 荷: 4 0 r
电流元:
长直电流:
0 Idl r0 dB 4 r2
带电直线:
E 2 0 a
xq
0 I B 2a
2
带电 E 3 2 2 2 圆环: 4 0 ( x R )
sin a cos r d sec μ o I dl sina dB
l d tan 2 dl d sec d
dl l
α
Idl
r β1 β2 d
β
dB
B =μ o I d
π 4
β
β2
1
μ o I ( sinβ sinβ ) cosβ d = 4 d β 2 1 π
讨论
I1 I 2 20 A
I1
过图中矩形的磁通量
BA
r2
A
I2
l
r3
I 解： I1 、 2 在A点的磁场
d 0 I1 B1 B2 d 40cm 2 d 2 方向 2.0 105 T BA B1 B2 4.0 105 T 方向
r1
（下一页）

d m B dS Bldr I1 0 I1 0 I2 B 2r 2 (d r )

第五版普通物理112113毕奥—萨伐尔定律及其应用

第五版一般物理习题

11-2,11-3 毕奥—萨伐尔定律及其应用

选择题

两条无穷长载流导线，间距 0.5 厘米，电流 10A，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场

强度大小为

（A ）0（B）20000 T（C）40000T（D）4000 T

[]

答案： A

通有电流 I 的无穷长直导线弯成如下图的 3 种形状，则 P、Q、O 各点磁感觉强度的大小关系为

（A）B P＞B Q＞B O（B）B Q＞B P＞B O

（C）B

Q ＞

B O

＞

B P

（ D）

B O

＞ B ＞

B P

[]

答案： D

在一个平面内，有两条垂直交错但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如下图。问哪个地区中有些点的磁感觉强度可能为零

（ A ）仅在象限1（B ）仅在象限2（ C）仅在象限1、 3（ D）仅在象限2、 4

[]答案： D

无穷长直导线通有电流I，右边有两个相连的矩形回路，分别是S1和 S2，则经过两个矩形回路 S1、 S2的磁通量之比为：

（A）1：2（B）1：1（C）1：4（D）2：1

[]答案：（ B）

边长为 a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度

（A）与 a 没关（ B ）正比于 a 2（ C）正比于a（D ）与a 成反比

[]答案： D

边长为 l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab、 cd 与正方形共面，在这两种状况下，线圈在此中心产生的磁感觉强度的大小分别为

（A）B10，B2 0（B）B1

2 2 0 I 0，B2l

（C）B1220I

0（D）B1

220I220I

， B2，B2

l l l

11-2.3 毕奥-萨伐尔定律及其应用

判断下列各点磁感强度的方向和大小. 例判断下列各点磁感强度的方向和大小
8 2
d 1、5 点： B = 0 、
3、7点：dB 、点 +3
+
=
µ 0 Id l
4π R
2
7
Idl
R
6 5
2、4、6、8 点：、、、
+4
dB =
µ 0 Idl
4π R
sin 450 2
毕奥—萨伐尔定律及其应用 §11-2.3 毕奥萨伐尔定律及其应用毕奥---萨伐尔定律萨伐尔定律应用举例二毕奥萨伐尔定律应用举例载流长直导线的磁场. 例1 载流长直导线的磁场
µ0
r
2
毕奥—萨伐尔定律及其应用 §11-2.3 毕奥萨伐尔定律及其应用
第十一章稳恒磁场
B=
µ0 I
4 π r0
∫θ
θ2
1
sin θ d θ =
（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0
µ0 I
B 的方向沿 x 轴的负方向. 轴的负方向
无限长载流长直导线的磁场无限长载流长直导线的磁场. 载流长直导线的磁场
µ 0 IR
2x
3
2
， B=
µ 0 IS
2π x
3
毕奥—萨伐尔定律及其应用 §11-2.3 毕奥萨伐尔定律及其应用（1）） I （2 ） R o （3） I ） R o R B x 0 µ0 I o B0 = （4））

2020年高中物理竞赛—磁学篇(进阶版)11-2 毕萨定律及应用(共21张PPT)

•
dr
I2
l
2r 2 (d r )
方向 •
Φm= ∫d Φm
r1
r2 d r3
[ r1 r2 0 I1
0I2
d 40cm
]ldr
r1 2r 2 (d r)
0 I1l ln r1 r2 0 I 2l ln d r1
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106Wb
（下页作业）
Bye bye!
在与电流元重合的方向上，磁场为零；
2. 关于dB 的方向：垂直于电流元和矢径构成的平面。
（下一页）
二、毕奥---萨伐尔定律的应用
计算各种电流分布产生的磁场的磁感强度
基本步骤：
1）任取电流元Idl, 求出其在 ==场点 P 产生的磁感dB的 ==大小与方向； 2）分析 dB方向是否变化 : ==若不变,直接积分; ===若变化, 则要将dB适当=
B
0I 4a
(cos1
cos2 )
? B
0I 4a
(cos1
cos2 )
0 0
（下一页）
•无限长载流直导线
1 0 2
B 0I 2a
B
•半无限长载流直导线
讨
1 2 2
B 0I 4a
I
论 •直导线延长线上
dB

第五版普通物理112113毕奥—萨伐尔定律及其应用

所以
（2分）
两个图形中P点的磁感应强度之比
（2分）
半径为R的木球上密绕有细导线，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有N匝，如图所示。设导线中通有电流I，求在球心O处的磁感应强度。
解：取坐标系如图。
（2分）
它们在O点产生的磁感应强度：
（2分）
根据，，
有（3分）
O点磁感应强度：
（3分）
(A)30°(B)60°(C)120°(D)210°
[ ]
答案：A
四条相互平行的载流长直导线电流强度均为I，方向如图所示。设正方形的边长为2a，则正方形中心的磁感应强度为
（A）（B）（C）0（D）
[ ]
答案：C
一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I。若作一个半径为、高的圆柱形曲面，轴与载流导线的轴平行且相距，则在圆柱侧面S上积分为
（A），因为
（B），因为，
（C），因为虽然，但
（D），因为虽然，但
[ ]
答案：D
如图所示，一条长导线折成钝角，导线中通有电流I，则O点的磁感应强度为
（A）0（B）（C）（D）
[ ]
答案：A
如图所示，一条长导线折成钝角，导线中通有电流I，则在PO延长线上离O点距离为l的A点处的磁感应强度为
则圆心O点处的磁感应强度大小。

§11-2、3 毕奥—萨伐尔定律

∫
β2
β1
R 3 csc 2 β d β µ0 nI β 2 =− sin β d β 3 3 ∫ 2 β1 R csc β d β
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讨论
µ0 nI (cos β 2 − cos β1 ) B= 2
R
x
dx
x
2
++ ++++ +++ ++ ++ +
解由圆形电流磁场公式
µ 0 IR B= 2 2 3/ 2 （ 2 x +R）
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β1
β
x1
o p
++ + + + + + + + + + + + + +
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例题：亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。解设两个线圈的半径为R，各有N匝，每匝中的电流均为 I，且流向相同（如图）。两线圈在轴线上各点的场强方向均沿轴线向右，在圆心 O1 、 O2 处磁感应强度相等，大小都是

11-2.3 毕奥-萨伐尔定律及其应用

若
l R
B 0 nI
§11-2.3 毕奥—萨伐尔定律及其应用 (2) 无限长的螺线管
第十一章稳恒磁场
（3）半无限长螺线管
B 0 nI
或由 1 π , 2 0 代入
π 1 , 2 0 2
1 B 0 nI 2
0 nI
x
0 nI cos 2 cos 1 B 2
R
o * p
dx
x
x
++ ++++ ++ +++ ++ +
解由圆形电流磁场公式
B
0 IR
2
2 2 3/ 2
（x R ） 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
§11-2.3 毕奥—萨伐尔定律及其应用
第十一章稳恒磁场
1

x1
o p
2
x2
++ + + + + + + + + + + + + +
x
2 R x 2 0 nI x 2 R dx B dB 2 x1 R 2 x 2 3 / 2
例2 圆形载流导线的磁场. 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.