有限元分析中的单位问题

有限元分析中的单位问题

大多数有限元计算程序都不规定所使用的物理量的单位，不同问题可以使用不同的单位，只要在一个问题中各物理量的单位统一就可以。但是，由于在实际工程问题中可能用到多种不同单位的物理量，如果只是按照习惯采用常用的单位，表面上看单位是统一的，实际上单位却不统一，从而导致错误的计算结果。比如，在结构分析中分别用如下单位：长度– m；时间– s；质量– kg；力- N；压力、应力、弹性模量等– Pa，此时单位是统一的。但是如果将压力单位改为MPa，保持其余单位不变，单位就是不统一的；或者同时将长度单位改为mm，压力单位改为MPa，保持其余单位不变，单位也是不统一的。由此可见，对于实际工程问题，我们不能按照手工计算时的习惯来选择各物理量的单位，而是必须遵循一定的原则。

物理量的单位与所采用的单位制有关。所有物理量可分为基本物理量和导出物理量，在结构和热计算中的基本物理量有：质量、长度、时间和温度。导出物理量的种类很多，如面积、体积、速度、加速度、弹性模量、压力、应力、导热率、比热、热交换系数、能量、热量、功等等，都与基本物理量之间有确定的关系。基本物理量的单位确定了所用的单位制，然后可根据相应的公式得到各导出物理量的单位。具体做法是：首先确定各物理量的量纲，再根据基本物理量单位制的不同得到各物理量的具体单位。

基本物理量及其量纲：

·质量m；

·长度L；

·时间t；

·温度T。

导出物理量及其量纲：

·速度：v = L/t；

·加速度：a = L/t2；

·面积：A = L2；

·体积：V = L3；

·密度：ρ= m/L3；

·力：f = m·a = m·L/t2；

·力矩、能量、热量、焓等：e = f·L = m·L2/t2；·压力、应力、弹性模量等：p = f/A = m/(t2·L) ；·热流量、功率：ψ= e/t = m·L2/t3；

·导热率：k =ψ/ (L·T) = m·L/(t3·T)；

·比热：c = e/(m·T) = L2/(t2·T)；

·热交换系数：Cv = e/(L2·T·t) = m/(t3·T)

·粘性系数：Kv = p·t = m/(t·L) ；

·熵：S = e/T = m·l2/(t2·T)；

·质量熵、比熵：s = S/m = l2/(t2·T)；

在选定基本物理量的单位后，可导出其余物理量的单位，下面举两个常用的例子。

1 基本物理量采用如下单位制：

·质量m – kg；

·长度L – mm；

·时间– S；

·温度– K (温度K与C 等价)。

各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与kg-m-S 单位制或一些常用单位的关系：·速度：v = L/t = mm/S = 10-3 m/S；

·加速度：a = L/t2 = mm/S2 = 10-3 m/S2；

·面积：A = L2 = mm2 = 10-6 m2；

·体积：V = L3 = mm3 = 10-9 m3；

·密度：ρ= m/L3 = kg/mm3 = 10-9 kg/m3 = 10-6 g/cm3；

·力：f = m·L/t2 = kg·mm/S2 = 10-3 kg·m/S2 = mN (牛)；

·力矩、能量、热量、焓等：e = m·L2/t2 = kg·mm2/S2 = 10-6 kg·m2/S2 = µ J (焦耳)；

·压力、应力、弹性模量等：p = m/(t2·L) = kg/(S2·mm) = 103 kg/(S2·m) = kPa (帕)；

·热流量、功率：ψ= m·L2/t3 = kg·mm2/S3 = 10-6 kg·m2/S3 = µ w (瓦)；

·导热率：k = m·L/(t3·T) = kg·mm/(S3·K) = 10-3 kg·m/(S3·K)；

·比热：c = L2/(t2·T) = mm2/(S2·K) = 10-6 m2/(S2·K)；

·热交换系数：Cv = m/(t3·T) = kg/(S3·K)；

·粘性系数：Kv = m/(t·L) = kg/(S·mm) = 103 kg/(S·mm)；

·熵：S = m·L2/(t2·T) = kg·mm2/(S2·K ) = 10-6 kg·m2/(S2·K )；

·质量熵、比熵：s= L2/(t2·T) = mm2/(S2·K ) = 10-6 m2/(S2·K )；

基本物理量采用如下单位制：

·质量m – g；

·长度L – µm (10 6 m)；

·时间– mS (10–3 S)；

·温度– K (K与C 等价)。

各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与kg-m-S 单位制或一些常用单位的关系：·速度：v = L/t = µm/mS = 10-3 m/S；

·加速度：a = L/t2 = µm/mS2 = m/S2；

·面积：A = L2 = µm2 = 10-12 m2；

·体积：V = L3 = µm3 = 10-18 m3；

·密度：ρ= m/L3 = g/µm3 = 10-21 kg/m3 = 10-12 g/cm3；

·力：f = m·L/t2 = g·µm/mS2 = 10–3 kg·m/S2 = mN (牛)；

·力矩、能量、热量、焓等：e = m·L2/t2 = g·µm2/mS2 = 10 -9 kg·m2/S2 = 10-9 J (焦耳)；

·压力、应力、弹性模量等：p = m/(t2·L) = g/(mS2·µm) = 109kg/(S2·m) = 109Pa (帕) = GPa；·热流量、功率：ψ= m·L2/t3 = g·µm2/mS3 = 10-6 kg·m2/S3 = 10-6 w (瓦)；

·导热率：k = m·L/(t3·T) = g·µm/(mS3·K) = kg·m/(S3·K)；

·比热：c = L2/(t2·T) = µm2/(mS2·K) = 10-6 m2/(S2·K)；

·热交换系数：Cv = m/(t3·T) = g/(mS3·K) = 103 kg/(S3·K)；

·粘性系数：Kv = m/(t·L) = g/(mS·µm) = 106kg/(S·mm)；

·熵：S = m·L2/(t2·T) = g·µm2/(mS2·K ) = 10-9 kg·m2/(S2·K )；

·质量熵、比熵：s = L2/(t2·T) = µm2/(mS2·K ) = 10-6 m2/(S2·K )；