初中数学-实数
九年级数学复习——实数
初中数学知识复习 第一讲：实数 一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0，a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
【初中数学】上海初中数实数的概念知识点
【初中数学】上海初中数实数的概念知识点【—实数的概念】知识要领：包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。
实数概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母r或r^n表示。
而r^n表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以表示为无限小数。
小数点右边是一个无限的数字序列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际应用中，实数通常近似于一个有限的小数点（小数点后保留n个数字，n是一个正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数通常用浮点数来表示。
1)相反数(只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数)实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2）绝对值（数字轴上的数字a与原点0之间的距离）实数a的绝对值为：a①a为正数时，a=a(不变)② 当a为0时，a=0③a为负数时，a=-a(为a的绝对值)（任何数字的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负值。
）3)倒数(两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数)实数a的倒数是：1/a(a≠0)4）数字轴定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点o及单位长度oe，它就成为数直线，或称数轴。
（1）数字轴的三个元素：原点、正方向和单位长度。
(2)数轴上的点与实数一一对应。
知识归纳：在数学上，实数直观地定义为与数轴上的点对应的数。
实数最初只被称为实数。
后来，虚数的概念被引入。
最初的数字被称为“实数”——意思是“实数”。
八年级数学 实数
一、基础测试1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥>二、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______【例2】327 的平方根是_________【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020=（Ｂ）331-=- （Ｃ） （Ｄ）【例5】（2010A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等，开方开不尽010 001…等；某些三角函数，如sin60o ，cos45 o等。
初中数学概念实数教案模板
---一、教学目标1. 知识与技能：- 了解实数的概念，掌握实数的分类。
- 理解有理数和无理数的定义，能区分和识别它们。
- 掌握实数与数轴的关系，能够利用数轴表示实数。
2. 过程与方法：- 通过实例分析和小组讨论，培养学生的逻辑思维和归纳能力。
- 通过实际问题解决，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学学习的兴趣和好奇心。
- 增强学生的数学思维和科学探究精神。
---二、教学重难点1. 教学重点：- 实数的概念和分类。
- 有理数和无理数的区分。
- 实数与数轴的关系。
2. 教学难点：- 理解无理数的概念和性质。
- 实数与数轴的对应关系。
---三、教学准备1. 教学材料：数轴图、实物教具（如直尺、圆规等）、多媒体课件。
2. 学生准备：复习有理数的相关知识，预习实数的概念。
---四、教学过程（一）导入新课1. 复习提问：提问学生有关有理数的基础知识，如整数、分数、正负数等。
2. 提出问题：引导学生思考数的概念的发展，引出实数的概念。
（二）新课讲授1. 实数的概念：- 讲解实数的定义，即实数包括有理数和无理数。
- 通过实例讲解有理数和无理数的区别。
2. 实数的分类：- 有理数：整数和分数。
- 无理数：不能表示为分数的数，如π、√2等。
3. 实数与数轴的关系：- 讲解实数与数轴上的点一一对应的关系。
- 通过实例展示如何利用数轴表示实数。
（三）巩固练习1. 练习题目：让学生完成一些关于实数的分类、比较大小和表示实数的练习题。
2. 小组讨论：让学生分组讨论实数的性质和应用。
（四）总结归纳1. 总结本节课所学内容，强调实数的概念、分类和与数轴的关系。
2. 引导学生思考实数在数学和生活中的应用。
---五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固实数的概念和分类。
2. 查阅资料，了解实数在数学史上的地位和应用。
---六、教学反思1. 教学过程中，关注学生的理解和掌握程度，及时调整教学策略。
初中数学 实数运算
初中数学实数运算初中数学实数运算实数运算是初中数学中的重要一环，它涉及到复数、数列、指数、对数等多个领域，其中包括基本的加减乘除、绝对值、平方根等运算。
以下是一些实数运算的基本概念，以及其相关内容，以供参考。
1. 加减乘除运算这是最基本的一类运算，它们是基本的四则运算，可以用来进行复杂的运算，如多项式求和、积、差、商等。
此外，还可以用来计算分数、小数和小数之间的转换。
2. 平方根平方根是一种特殊的数学运算，它可以计算一个数的平方根，它的符号表示为“√”，它的计算可以用不等式的方法进行，也可以使用公式计算。
3. 绝对值绝对值是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“| |”，用于计算一个数的绝对值，它可以用来判断一个数是否为正数或负数。
4. 数列数列是指一组有规律的数，可以用来描述某一种现象的变化规律。
常见的数列有等差数列、等比数列等，可以用来计算数列的和、积、差以及项数等。
5. 指数指数是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“^”，它可以用来表示一个数的指数，可以用来计算一个数的幂次方，也可以用来计算一个数的底数。
6. 复数复数是一种特殊的数，它可以用来表示一个实数的平方根，它的符号表示为“i”，它可以用来计算复数的和、积、差以及幂次方等。
7. 对数对数是一种特殊的数学运算，它的符号表示为“log”，它可以用来计算一个数的对数，可以用来解决复杂的数学问题，如多项式求和、差、积以及指数等。
以上就是初中数学实数运算的基本概念，它们可以用来解决复杂的数学问题，为学生提供了一种更加全面的认识。
实数运算需要学生具备良好的基础知识，以及较强的抽象思维能力，从而能够更好地理解和掌握初中数学实数运算的知识。
初中数学：实数知识清单
初中数学：实数知识清单实数的概念1．无限不循环小数叫做无理数．2．有理数和无理数统称为实数．实数可以进行以下分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪-⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限不循环小数负无理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数思考：3.1416不是π吗？为什么是有理数呢？平方根和开平方1．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中表示a 的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”，a 的负平方根，读作“负根号a0=．4．平方根的性质：（1）当0a >时，2a =，(2a =．（2）当0a ≥a =；当0a <a =-．立方根和开立方1．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，记作”，读作“三次根号a ”中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根．3．立方根的性质：（1）3a=．a=．n次方根1．如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数．2．n次方根的表示：（1）实数a（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用表示，负n次方根用“”表示．说明：当2n=时，在中省略n．（3）负数没有偶次方根．（4）零的n0=．用数轴上的点表示实数1．每一个实数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示．2．实数的绝对值与相反数：（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是a -．3．实数的大小比较：（1）负数小于零，零小于正数．（2）两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．（3）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．4．数轴上两点之间的距离：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离AB a b =-．实数的运算1．设0a >，0b >，可知：（1）222ab =⋅=．=．=2．近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．3．对于一个近似数制定保留几个有效数字，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．实数的概念⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数或者：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数零负有理数实数正无理数无理数负无理数1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类： 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
4
3 0.13
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3
5
64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3
0.13
3 0. 6 4
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
七年级数学第六章实数
实数
七年级数学第六章实数
目录：
1.算术平方根 2.平方根 3.立方根 4.有理数 5.无理数 6.实数定义 7.实数的运算 8.实数的大小比较
七年级数学第六章实数
1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于 2 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是 0 。
记作：0 0
七年级数学第六章实数
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方 根）．
注意：计算过程中要多保留一位!
七年级数学第六章实数
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之
间不仅可以进行加 减 乘 除 乘方运算，
又增加了非负数的开平方运算，任意实数
可以进行开立方运算。进行实数运算时， 有理数的运算法则及性质等同样适用。
七年级数学第六章实数
练习：
2 3 3 2 5 3 3 2
不 要 遗 漏
解: (3 y ) 4 9 4 3 y 9
2
解:
2 3 27 ( x ) 125 3
2 3 125 (x ) 3 27 2 5 x 3 3
2 3 125 x 3 27
1 2 y 2 或y 3 3 3
2 y 3 3
x 1
浙教版初中数学实数教案
浙教版初中数学实数教案一、教学内容本节课选自浙教版初中数学七年级下册第十二章“实数”第一课时。
内容包括实数的定义、分类及运算规则，具体涉及教材第十二章第一节“实数的概念”，包括有理数与无理数的定义，实数的性质，以及实数的加、减、乘、除基本运算。
二、教学目标1. 让学生理解实数的概念，掌握有理数与无理数的区别和联系。
2. 使学生掌握实数的性质，能够进行简单的实数运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：实数的概念及无理数的理解，实数的运算。
重点：实数的定义，实数的性质，实数的运算规则。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学PPT。
学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如测量长度、面积等，引出实数的概念。
2. 基本概念：讲解实数的定义，区分有理数与无理数，阐述实数的性质。
a. 有理数的定义与性质b. 无理数的定义与性质c. 实数的定义与性质3. 实数运算：讲解实数的加、减、乘、除运算规则，通过例题进行讲解。
a. 实数加法运算b. 实数减法运算c. 实数乘法运算d. 实数除法运算4. 随堂练习：布置一些实数运算的题目，让学生当堂完成，并及时给予反馈。
5. 应用拓展：给出一些实际问题，让学生运用实数知识解决问题。
六、板书设计1. 实数的定义2. 有理数与无理数的区别与联系3. 实数的性质4. 实数的运算规则5. 例题及解答过程七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：a. 有理数：0.333…，无理数：π，2.1211211121112…b. （1）5.32；（2）3.3；（3）6π；（4）1.6八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解实数的概念、性质和运算，让学生掌握了实数的基本知识。
课后反思如下：1. 加强学生对实数概念的理解，特别是无理数的认识。
2. 增加实数运算的练习，提高学生的实际运算能力。
3. 拓展延伸：让学生了解实数在生活中的应用，如科学计算、工程技术等领域，激发学生的学习兴趣。
初中数学知识点实数总结手写
初中数学知识点实数总结手写一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括所有的有理数和无理数。
有理数可以表示为两个整数的比，即分数形式，而无理数则不能表示为分数形式。
实数具有完备性，即任何实数序列都有一个极限，这个极限也是实数。
实数可以分为以下几类：1. 有理数：包括整数和分数，可以表示为a/b的形式，其中a和b都是整数，b≠0。
2. 无理数：不能表示为分数形式的数，如√2、π等。
3. 正实数：大于0的实数。
4. 负实数：小于0的实数。
5. 零：既不是正数也不是负数的特殊实数，用0表示。
二、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。
2. 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的，即运算结果仍然是实数。
3. 交换律：实数的加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a*b=b*a。
4. 结合律：实数的加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a*b)*c=a*(b*c)。
5. 分配律：实数的乘法对加法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
三、实数的运算1. 加法：两个实数相加，和仍然是实数。
例如，3+4=7。
2. 减法：两个实数相减，差值是实数。
例如，7-4=3。
3. 乘法：两个实数相乘，积是实数。
例如，3*4=12。
4. 除法：实数相除，商是实数，但除数不能为零。
例如，12÷4=3。
5. 乘方：实数的乘方是将实数自身乘以指定次数。
例如，2的3次方是2*2*2=8。
6. 开方：求一个实数的平方根或其它次方根。
例如，√9=3，因为3*3=9。
四、实数的比较1. 正实数大于零和所有负实数。
2. 零大于所有负实数。
3. 负实数小于零和所有正实数。
4. 两个负实数中，绝对值大的数实际上更小。
五、实数的应用实数在日常生活中有广泛的应用，如计算价格、测量距离、统计数据等。
在数学的其他领域，如代数、几何、三角学和微积分中，实数也是不可或缺的基础。
八年级数学上册《实数》优秀教学案例
（五）作业小结
为了巩固学生对实数的理解和应用，我会布置以下作业：
1.完成课本相关习题，巩固实数的概念和运算规则。
2.选取一个生活中的实例，运用实数知识解决实际问题，并撰写解题过程。
3.撰写学习心得，总结自己在实数学习中的收获和不足。
小组合作是本案例的又一亮点。通过合理分组，学生能够在互动交流中共享知识和经验，提高自己的沟通能力和协作能力。此外，小组合作学习有助于培养学生的集体荣誉感，激发他们的团队精神，使他们在合作中共同成长。
（四）注重反思与评价，提高学生的自我认知和自信心
本案例强调学生的自我反思，帮助他们总结实数学习中的收获和不足。这种教学策略有助于学生更加清晰地认识到自己的学习方法和策略，从而在今后的学习中进行调整和优化。同时，多元化的评价方式关注学生的努力和进步，提高他们的自信心和自我效能感。
在导入新课的环节，我将利用学生已有的知识经验，从有理数入手，逐步过渡到实数的学习。首先，我会提出一个简单的问题：“我们已经学过有理数，那么有理数可以表示所有的数吗？”通过这个问题，引导学生回顾有理数的概念及其局限性，进而引出实数的定义。
（二）讲授新知
在讲授新知的环节，我会按照以下步骤进行：
1.实数的定义：介绍实数的概念，包括有理数和无理数，让学生理解实数是包含有理数和无理数的数集。
（五）教学内容与过程系统化，构建完整的知识体系
本案例在教学内容与过程的设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则。从实数的定义、分类、运算规则，到实数在实际生活中的应用，系统地讲解了实数的知识。这种设计有助于学生形成完整的知识体系，提高他们的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
初中数学实数知识总结
第一章 实数一． 实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数实数：有理数与无理数的统称。
有理数：整数和分数的统称。
（正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
）无理数：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等 正数：比0大的实数。
正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。
负数：比0小的实数。
负数前面常有一个符号“-”，不可以省略不写，负数与正数表示意义相反的量。
0：即不是正数也不是负数，正负以0为界。
二. 实数的倒数、相反数和绝对值数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度（1）在直线上任取一个点表示0这个点叫做 原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，1、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
2、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
3、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
【初中数学】初中数学实数的重要知识点结构
【初中数学】初中数学实数的重要知识点结构【—实数的】以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数，在初中课本上实数的定义就不同了。
实数有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母r或r^n表示。
而r^n表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以表示为无限小数。
小数点右边是一个无限的数字序列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际应用中，实数通常近似于一个有限的小数点（小数点后保留n个数字，n是一个正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数通常用浮点数来表示。
1)相反数(只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数)实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2）绝对值（数字轴上的数字a与原点0之间的距离）实数a的绝对值为：a①a为正数时，a=a(不变)② 当a为0时，a=0③a为负数时，a=-a(为a的绝对值)（任何数字的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负值。
）3)倒数(两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数)实数a的倒数是：1/a(a≠0)4）数字轴定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点o及单位长度oe，它就成为数直线，或称数轴。
（1）数字轴的三个元素：原点、正方向和单位长度。
(2)数轴上的点与实数一一对应。
无论如何，实数可以分为有理数和无理数，代数数和超越数，或正实数，负实数和零。
初中资料数学中实数包括0吗
数学中实数包括0吗实数是包括0和负数的。
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
1.封闭性：实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。
2.有序性：实数集是有序的，即任意两个实数、终将必定会满足并且只满足下列三个关系之一ab。
3.传递性：算子大小具有传递性，即若a;d，且b;c，则有a;c。
4.与数轴对应：任一实数都对应与数轴上的独有一个点;反之，数轴上的每一个点也都独有的表示一个实数。
于是，实数集与数轴上的点有着一一对应的关系。
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上为的实数，点相对应的数。
实数和数轴上才的点一一对应。
有理数：由整数和分数共同组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
无理数：在数学中，上界是所有不是有理数字的实数，也称为无穷的不循环小数，不能写作两整数之比。
1.加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把一定值相加。
异号相加，取一定值大的加数的符号，并用较大的较大值减去较小的较大值。
互为相反数的两个数相加得0。
一个数同0相加减，仍得这个数。
2.有理数的加减乘除法则：减去一个数等于加上这个数的反函数。
3.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把一定值相乘。
任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=04.有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把一定值相除。
0除以任何一个不为0的数，都得0。
初中数学实数学习技巧
初中数学实数学习技巧学习初中数学实数时，以下是一些有效的学习技巧：1.理解定义和性质：首先，确保你清楚实数的定义和性质。
实数是包括有理数和无理数的数的集合，它们可以在数轴上表示。
理解实数的性质，如稠密性、有序性、阿基米德性质等，这将有助于你更深入地理解实数。
2.掌握实数与数轴的关系：数轴是实数的一个重要工具，它可以帮助你直观地理解实数的大小和位置。
学会在数轴上表示实数，并理解实数与数轴上的点的对应关系。
3.学习实数的运算：实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
掌握这些运算的法则和技巧，特别是无理数的运算。
注意运算的顺序和符号，以及结果的化简。
4.进行大量的练习：通过做大量的练习题来巩固对实数概念和运算的理解。
从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升自己的解题能力。
5.关联和对比：将实数与有理数、整数、小数等其他数学概念进行对比和关联，找出它们之间的异同点，加深对实数知识的理解。
6.理解无理数的概念：无理数是实数中不能表示为两个整数之比的数，如π和根号2。
理解无理数的定义和性质，以及它们在数轴上的表示。
7.利用估算和近似值：在实际问题中，我们经常需要用到实数的估算和近似值。
学会使用四舍五入、有效数字等方法进行估算和近似计算。
8.总结归纳：将学习到的实数知识和技巧进行归纳整理，形成自己的知识体系。
这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。
9.参加讨论和求助：与同学或老师讨论实数相关的问题，通过交流和分享来加深对实数知识的理解。
遇到难以解决的问题时，及时向老师或同学求助。
10.持续复习：定期复习实数的概念和运算，确保你能够长期记忆和应用它们。
在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。
遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中的实数知识，提高解题能力。
《初中数学实数》课件
理解实数减法在数学中的重要性和应用，能够运用实数减 法解决实际问题。
详细描述
实数减法在数学中有广泛的应用，如计算差值、速度、加 速度等。通过掌握实数减法的运算法则和性质，可以更好 地解决实际问题。
实数的乘法运算
总结词
理解实数乘法的意义和性质，掌握实数乘法的运算法则 。
详细描述
实数的乘法运算与普通乘法运算类似，但需要考虑正负 数相乘的情况。实数乘法的意义是表示两个数在数轴上 的倍数关系，具有结合律和交换律。
实数的开方运算
04
平方根的定义和性质
平方根的定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根。例如，4的平方根是±2 。
平方根的性质
一个正数的平方根有两个值，一个正数和一个负数；0的平方根是0；负数没有 实数平方根。
立方根的定义和性质
立方根的定义
如果一个数的立方等于a，那么这个 数就是a的立方根。例如，8的立方 根是2。
无限性也是数学和物理学中许 多重要概念的基础，如无穷大 、无穷小等。
实数的运算
03
实数的加法运算
总结词
理解实数加法的意义和性质，掌握实数加法的运算法则 。
详细描述
实数的加法运算与普通加法运算类似，但需要考虑正负 数相加的情况。实数加法的意义是表示两个数在数轴上 的位移，具有结合律和交换律。
总结词
01
02
03
长度测量
实数可以用来表示物体的 长度，例如身高、体重等 。
时间计算
用实数表示时间，例如秒 、分、小时等。
货ห้องสมุดไป่ตู้计算
用实数表示货币，例如元 、角、分等。
实数在数学中的运用
代数运算
实数可以用于代数运算， 例如加、减、乘、除等。
初二数学上册第二章实数
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；5.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
6.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
实数教案初中数学苏教版
实数教案初中数学苏教版教学目标：1. 理解实数的定义及分类，掌握实数的性质和运算规则。
2. 能够正确识别和运用实数进行数学问题的求解。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学内容：1. 实数的定义及分类2. 实数的性质和运算规则3. 实数在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入实数的概念，让学生回顾已学的有理数和无理数。
2. 提问：实数包括哪些类型？实数与有理数、无理数的关系是什么？二、实数的定义及分类（15分钟）1. 介绍实数的定义：实数是包括有理数和无理数的所有实数集合。
2. 解释实数的分类：有理数和无理数。
3. 举例说明实数的分类，如整数、分数、小数等。
三、实数的性质和运算规则（15分钟）1. 实数的性质：a. 实数具有大小和方向，可以用数轴表示。
b. 实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质。
c. 实数满足交换律、结合律、分配律等运算规则。
2. 实数的运算规则：a. 加法运算：两个实数相加，结果仍为实数。
b. 减法运算：实数减去另一个实数，结果仍为实数。
c. 乘法运算：两个实数相乘，结果仍为实数。
d. 除法运算：除以非零实数，结果仍为实数。
四、实数在实际问题中的应用（15分钟）1. 引入实际问题，如长度、面积、体积等。
2. 展示如何用实数表示实际问题中的量。
3. 举例说明实数在实际问题中的应用，如计算面积、体积等。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些有关实数的练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用实数解决实际问题。
六、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结实数的定义、分类、性质和运算规则。
2. 强调实数在实际问题中的应用重要性。
教学评价：1. 课堂讲解清晰，学生能够理解实数的定义及分类。
2. 学生能够掌握实数的性质和运算规则，并能够运用到实际问题中。
3. 学生能够完成有关实数的练习题，并能够灵活运用实数解决实际问题。
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3
实数与数轴的关系：
实数和数轴上的点一一对应。
相 反 数
（1）只有符号不同的数，如a与-a叫做互为 相反数。零的相反数是零。 （2）数轴上表示相反数的两个点，分别在原 点的两旁，并且距离原点的距离相等。 （3）两个相反数的和为零。和为零的两个数 互为相反数。
( a b) 与 ( b a) 互 为 相 反 数 ， ( a b) 与 ( a b) 互 为 相 反 数 。
2
（2） 3 4 25 5
7 9 3 （3） 1 16 16 4
2
2
2
2 2 ４ ２ （ 4） （ ）＝ ＝ 3 ９ ３
23 49 7 （ 5） 4 2 ＝ 36 36 6
4 2 5 （ 6） 36 - 6 - 6 - 15 25 5 2
x 1 0,y x 0 x 1,y 1.
2x y 14 2 14 16 4.
例 3： 已 知 2x y y 8 0， 求 x y 的 值 。
3
3
解： 2x y 0, y 8 0, 且 2x y y 8 0
3 3
3
3
2x y 0,y 8 0 y 2, x 4 x y 2 4 8.
3
3
例 4： 若 2a 1的 平 方 根 是 3 ， 且 3a 2b 1的 平 方 根 是 3， 求 4a b的 平 方 根 。
解： 2a 1的平方根是 3 2 a 1 （ 3 ） 3
实数的分类（二）
正 整 数 正 有 理 数 正 实 数 正 分 数 正 无 理 数 实 数零 负 整 数 负有理数 负 实 数 负分数 负 无 理 数
实数与数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长
度的直线叫做数轴。
（ 7） 13 5 6 8 12 10 12 10 120
2 2
2
2
2
2
例2: 若 x 1 y x 0，求 2x y 14的值。
解： x 1 0, y x 0, 且 x 1 y x 0 x 1 0, y x 0
正数有两个平方根，它 们互为相反数；
零的平方根就是零本身 ；负数没有平方根。
( 2) 算 术 平 方 根 ： 数 正 a的 正 平 方 根 叫 a的 算术平方根； 零 的 算 术 平 方 根 就 是本 零身 。
( 3) 表 示 ： 正 数 a的 平方根记为 a ； 算 术 平 方 根为 记 a。
初中数学
实 数
知 识 小 结:
有理数:整数和分数统称有理数。 无理数：无限不循环小数叫无理数。 （表现形式—无限不循环小数、化简 后含π的数、开方开不尽的数。） 实数：有理数和无理数统称实数。
实数的分类（一）
正 整 数 整 数0 负 整 数 有 理 数 实 数 分 数正 分 数 负 分 数 正 无 理 数 无 理 数 负 无 理 数
绝 对 值
（1）几何定义：一个实数的绝对值就是数轴 上表示这个数的点到原点的距离。 （2）代数定义：
如 果 a 0 ， 那 么 a a； 如 果 a 0 ， 那 么 a a ； 如 果 a 0 ， 那 么 a 0。
( 3) 绝对值的非负性 ： a 0。
倒 数
（1）两个数乘积为1，两数互为倒数。 （2）零没有倒数。
22 8 , ,1 .41 4 , 正有理数： 7 π 3 , , 8 , 0.3 13 3 1 33 31 , 正无理数： 3
3
例3：把下列各数分别 填入相应的集合里： π 22 3 7 3 8 ，3 ， 3 .1 4 1 5 ，， ， 2 ， ， 8， 5 ， 3 7 9 0 .3 1 3 3 1 3 31 3 ， 0 .0 2 0 2 0 2 ， 1 .4 1 4 。
例1：已知m 1 2，求m的值。
解：由题意得 m 1 2 或 m 1 2 解 得 m 3 或 m 1 。
例2：数轴上表示a、 b、c三个数的点 位置如图，化简： a b a c b c。
b C O
a
解：由图可知b c 0a 则 a b 0 ,a c 0 ,b c 0 . 故 原 式 ( a b ) ( a c ) ( b c ) 2a.
注意：算术平方根的非 负性，即 a 0( a 0) .
熟练记忆：1 ~ 20的平方。
立ห้องสมุดไป่ตู้方 根
3 （1）立方根：如果x a，则x 叫a的立方根 。
正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 零的立方根就是零本身 ；。
( 2) 表示：数a的立 方根记为 a。
3
熟练记忆：1 ~ 10的立方。
7 负有理数： 3 . 1 4 1 5 , ,0 . 0 20 2 , 9 负无理数： 2 , 5 ,
3
平方根
2 （1）平方根：如果x a，则x 叫a的平方根 。
例1：求下列各式的值 。 （ 1 ） 2 5 6 7 （ 3）1 16
2
（2） 3 4 2 2 （ 4 ）（ ） 3
2
2
23 4 （5） 4 2 （6） 36 36 25 （ 7）13 5 6 8
2 2 2 2
解 ： （ 1）256 16 16