考研数学三(线性代数)-试卷15.doc

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考研试题(线性代数部分)

05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（）。

（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（）。

（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。

三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【】二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ．（数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023数三考研真题试卷

2023数三考研真题试卷数三考研真题试卷是针对中国高等教育中数学三科目的模拟考试材料，通常包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计等部分。

以下是一份模拟的2023年数三考研真题试卷内容：一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值出现在哪个点？A. \( x = 0 \)B. \( x = 2 \)C. \( x = 4 \)D. \( x = -2 \)2. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。

A. 2B. 4C. -2D. -43. 设随机变量\( X \)服从正态分布\( N(0, 1) \)，求\( P(X > 1) \)。

A. 0.1587B. 0.3173C. 0.8413D. 0.6827...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \)等于______。

2. 设\( A \)为\( n \times n \)的正交矩阵，证明\( \det(A) \)等于______。

...（此处省略其他填空题）三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \)。

2. 给定函数\( f(x) = \ln(1 + x) \)，求其在区间\( [0, 1] \)上的最大值和最小值。

...（此处省略其他解答题）四、综合题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其生产成本\( C(x) \)与生产量\( x \)之间的关系为\( C(x) = 10x + 30 \)，产品售价为\( p = 50 \)。

04184 线性代数(经管类)习题集及答案

西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分习题一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（）成立。

A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（）。

考研数三真题试卷

考研数三真题试卷考研数学三（简称“数三”）是中国研究生入学考试中数学科目的一种，主要面向理工科考生。

数三的真题试卷通常包含选择题、填空题、解答题等多种题型，旨在考察考生的数学基础知识、运算能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。

# 试卷结构数三试卷一般包含以下几个部分：1. 选择题：这部分题目通常考察基本概念和计算能力，考生需要从四个选项中选择正确答案。

2. 填空题：考生需要在空白处填入正确的数值或数学表达式。

3. 解答题：这部分题目要求考生给出详细的解题过程，考察考生的逻辑推理和证明能力。

# 考试内容数三的考试内容通常包括但不限于以下几部分：- 高等数学：包括微积分、级数、多元函数微分学、偏微分方程等。

- 线性代数：涉及矩阵运算、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量等。

- 概率论与数理统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律和中心极限定理等。

# 真题示例选择题：1. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则根据中值定理，至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

这种说法是否正确？填空题：2. 若矩阵A为3×3的正交矩阵，则|A|=______。

解答题：3. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是增函数。

# 复习建议1. 系统复习：按照教材和考试大纲，系统复习高等数学、线性代数和概率论与数理统计的知识点。

2. 练习真题：通过历年的考研数三真题，熟悉考试题型和难度，提高解题速度和准确率。

3. 强化训练：对于自己的薄弱环节，进行专项训练，提高解题技巧和方法。

4. 模拟考试：定期进行模拟考试，检验复习效果，及时调整复习策略。

希望以上内容能够帮助考生更好地准备考研数学三的考试。

记住，持续的努力和正确的复习方法是成功的关键。

祝所有考生考试顺利！。

2024研究生入学考试数学三

有关“研究生入学考试”数学三的考试内容
有关“研究生入学考试”数学三的考试内容如下：
研究生入学考试数学三的考试内容主要包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。

具体来说，高等数学部分占总分的约56%，线性代数部分占总分的约22%，概率论与数理统计部分占总分的约22%。

在高等数学部分，主要考察极限、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程等方面的知识和能力。

在线性代数部分，主要考察行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等方面的知识和能力。

在概率论与数理统计部分，主要考察随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征等方面的知识和能力。

总体来说，研究生入学考试数学三的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的分析能力。

同时，考生还需要掌握各种题型的解题方法和技巧，以便在考试中灵活应对各种题目。

2015【考研数学三】真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16) (本题满分10 分)计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21) (本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案(1)【答案】(D)【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选(D).(2)【答案】(C)【考查分析】本题考查曲线的拐点.【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(3)【答案】(B)【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，选(B).(4)【答案】(C)【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；选项(C)，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得把，，代入上式，得所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，，且相互独立，从而. (15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即，分母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II) .【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大.23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)(II) 由题意得(20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知，(21)【答案】(I) .(II)，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I) 则即.即整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为当时，的基础解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I) ，. (II) .【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I) 记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II) .【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I) .令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II) 似然函数当时，，取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.。

2015年考研数学三真题与答案详细讲解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则( )【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A)(B)(D) 【答案】(C)【解析】ABCD为正项C.(5)穷多解的充分必要条件为( )【答案】(D)故选（D）(6) 设二次型( )【答案】(A)选（A ） (7) ,则: ( )【答案】(C)(C) .(8)值,( )【答案】(B)(B) .二、填空题：小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(10)(11)(12)3，则(13)设3E为3阶单位矩阵，则【答案】(14)【答案】指定位置上.解答应写出文字三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分).【答案】【解析】法一：则有，法二：由已知可得得c；求进一步，b值代入原式(16)(本题满分10 分)【答案】(17)(本题满分10分)MC(I)(II)试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略【解析】(I). (II)(I)中的定价模(18)(本题满分10 分)4，表达式.此为可分离变量的微分方程,(19)(本题满分10分)（I（II求导公式.【解析】（I（II）由题意得(20) (本题满分11分)(I)(II)3【解析】(II)由题意知(21) (本题满分11 分)(I)（II.【解析】A(22) (本题满分11 分),直到第2个大于3(I)(II)【答案】；【解析】(I)3(II) 法一:分解法:,.注：Ge表示几何分布)法二:直接计算(23) (本题满分11 分).(I) (II).【答案】；【解析】(I)；(II).文档容由金程考研网整理发布。

考研数学三(线性代数)模拟试卷99(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷99(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E一A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E一A可逆，E+A不可逆正确答案：C 涉及知识点：线性代数2．A是4阶实对称矩阵，A2+2A=0，r(A)=3，则A相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：用排除法由于A2+2A=0，A的特征值满足λ2+2λ=0，因此只可能是0或一2．于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是0或一2．AB中的矩阵的特征值中都有2因此不可能相似于A，都可排除．又r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是3，C中矩阵的秩为2，也可排除．知识模块：线性代数填空题3．设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=一48，则λ=________．正确答案：一1解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=一6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=一1．知识模块：线性代数4．A是3阶矩阵，特征值为1，2，2．则｜4A-1一E｜=__________．正确答案：3解析：A一1的特征值为1，1／2，1／2．4A一1一E的特征值为3，1，1，｜4A一1一E｜=3 知识模块：线性代数5．A是3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且｜A｜=0，则r(A)=________．正确答案：2解析：A的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是A的特征值，为3个互不相等数．其中有一个为0(因为｜A=0)，则r(A)=2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6．已知3阶矩阵A满足｜A+E｜=｜A—E｜=｜4E一2A｜=0，求｜A3一5A2｜．正确答案：条件说明一1，1，2是A的特征值．得出A3－5A2的3个特征值：记f(x)=x3－5x2，则A3－5A2的3个特征值为f(一1) =一6，f(1)=一4，f(2)=一12．｜A3－5A2｜=(一4)×(一6)×(一12)=一288．涉及知识点：线性代数7．设α=(1，2，一1)T，β=(一2，1，一2)T，A=E一αβT．求｜A2－2A+2E｜．正确答案：用特征值计算．βTα=2，于是αβT的特征值为0，0，2，从而A的特征值为1，1，一1，A2－2A+2E的特征值为1，1，5．于是｜A2-2A+2E｜=1×1×5=5．涉及知识点：线性代数8．设α=(1，0，一1)T，A=ααT，求｜aE—An｜．正确答案：利用特征值计算．ααT的特征值为0，0，2．An的特征值为0，0，2n．aE—An的特征值为g，g，a一2n．｜aE—An｜=a2(a—2n)．涉及知识点：线性代数9．计算正确答案：记矩阵则所求为｜A｜．A=B+cE，而于是B的特征值为0,0，0，ab+a2b2+a3b3+a4b4从而A的特征值为c，c，c，a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c．则｜A｜=c3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c) 涉及知识点：线性代数10．已知n阶矩阵A满足A3=E．(1)证明A2—2A一3E可逆．(2)证明A2+A+2E可逆．正确答案：通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A3=E，A的特征值都满足λ3=1．(1)A2一2A一3E=(A一3E)(A+E)，3和一1都不满足λ3=1，因此都不是A的特征值．于是(A一3E)和(A+E)都可逆，从而A2一2A一3E可逆．(2)设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2+A+2E 的特征值λi2+λi+2，i=1，2，…．n．由于λi3=1，λi或者为1，或者满足λi2+λi+1=0．于是λi2+λi+2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2+A+2E 可逆．涉及知识点：线性代数11．设n阶矩阵A满足A4+2A3一5A2+2A+5E=0．证明A一2E可逆．正确答案：由定理5．1的推论的①，A一2E可逆2不是A的特征值．因为A4+2A3一5A2+2A+5E=0，所以A的特征值都是方程λ4+2λ3一5λ2+2λ+5=0．的根．显然2不是这个方程的根，从而不是A的特征值．涉及知识点：线性代数12．设B=U一1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．正确答案：本题可先求出B+2E(先求A*，再求B，再求B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大．一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算．①求特征值．A=C+E，其中则c的特征值为0，0，6，从而A 的特征值为1，1，7．｜A｜=1×｜×7=7．根据定理5．5的②，A*的特征值为7，7，1．B～A*，从而B和A*特征值完全一样，也是7，7，1．用定理5．5的①，B+2E的特征值为9，9，3．②求特征向量．A*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B+2E与B对应特征值(指7与9，1与3)的特征向量也一样，根据定理5．8的④，A*η=λη298λU一1η=λU一1η．于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量，用U-1左乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B+2E 的属于9的特征向量．A的属于1的特征向量，即(A—E)X=0的非零解．求得(A —E)X=0的基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，一1)T．于是A的属于1的特征向量的为c2η1+c2η2，c2，c2不全为0．求出ξ=U一1η1=(一1，1，0)T，ξ2=U一1η2=(1，1，一1)T，则B+2E的属于9的特征向量为c1ξ1+c2ξ2，c2，c2不全为0．同理，A的属于7的特征向量用U一1左乘后就是B+2E 的属于3的特征向量．求出A的属于7的特征向量(即(A一7E)X=0的非零解)为cη，c不为0，其中η=(1，1，1)T，记ξ=U一1η=(0，1，1)T，则B+2E的属于9的特征向量为cξ，c≠0．涉及知识点：线性代数13．设A和B都是可相似对角化的n阶矩阵，证明A和B相似A和B的特征值完全相同．正确答案：“→”是相似的重要性质．“←”设A和B的特征值完全相同．记全部特征值为λ1，λ2，…，λn，构造对角矩阵A，使得其对角线是的元素依次λ1，λ2，…，λn．由于A和B都是可相似对角化，有A一A，和B～A，再从相似关系的传递性，得到A—B．涉及知识点：线性代数14．已知3阶矩阵有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．正确答案：(1)求a．A的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：①2是二重根，即2是λ2一8λ+18+3a的根，即4一16+1 8+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6．②2是一重根，则λ2一8λ+18+3a有二重根，λ2一8λ+18+3a=(x一4)2，求出a=一2／3．此时三个特征值为2，4，4．(2)讨论A是否相似于对角化矩阵．①当a=一2时，对二重特征值2，考察3一r(A 一2E)是否为2 7即r(A一2E)是否为1②当a=一2／3时，对二二重特征值4，考察3一r(A一4E)是否为2?即r(A一4E)是否为1 涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性的无关3维列向量组，满足Aα1=α1+2α2+2α3，Aα2=2α1+α2+2α3，Aα3=2α1+2α2+α3．15．求A的特征值．正确答案：用矩阵分解：A(α1，α2，α3)=(α1+2α2+2α3，2α1+α2+2α3，2α1+2α2+α3)=(α1，α2，α3)B，这里从α1,α2,α3线性无关的条件知道，(α1,α2,α3)是可逆矩阵．于是A相似于B．的秩为1，其特征值为0，0，6．得B的征值为一1，一1，5．则A的征值也为一1，一1，5．涉及知识点：线性代数16．判断A是否相似于对角矩阵?正确答案：B是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数17．求A的特征值．判断a，b取什么值时A相似于对角矩阵?正确答案：A的特征值0，5，b．①如果b≠0和5，则A的特征值两两不同，A相似于对角矩阵．②如果b=0，则A的特征值0，0，5．此时A相似于对角矩阵特征值0的重数2=3一r(A)r(A)=1a=0．于是a=0且b=0时A相似于对角矩阵；a≠0且b=0时A不相似于对角矩阵；③如果b=5，则A的特征值0，5，5．此时而r(A一5E)=2，特征值5的重数2＞3一r(A一5E)，A不相似于对角矩阵．涉及知识点：线性代数已知18．求x，y正确答案：A与B相似，从而有相同的特征值2，2，y．2是二重特征值，于是A与B相似从而tr(A)=tr(B)，于是1+4+5=2+2+y．得y=6．涉及知识点：线性代数19．求作可逆矩阵U，使得U一1A U=B．正确答案：求属于2的两个线性无关的特征向量：即求(A一2E)X=0的基础解系：得(A一2E)X=0的同解方程组x1=一x2+x3，得基础解系η1=(1，一1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于6的一个特征向量：即求(A一6E)X=0的一个非零解：得(A一6E)X=0的同解方程组得解η3=(1，一2，3)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数20．问k为何值时A可相似对角化?正确答案：求A的特征值：于是A的特征值为1(一重)和一1(二重)．要使A可对角化，只需看特征值一1．要满足3一r(a+E)=2，即r(A+E)=1，得k=0，涉及知识点：线性代数21．此时作可逆矩阵U，使得U一1A U是对角矩阵．正确答案：求属于一1的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0的基础解系：得(A+E)X=0的同解方程组2x1+x2一x3=0得基础解系η1=(1，0，2)T，η2=(0，1，1)T．求属于1的一个特征向量，即求(A—E)X=0的一个非零解：得(A—E)X=0的同解方程组得解η3=(1，0，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数已知a是一个实数．22．求作可逆矩阵U，使得U一1AU是对角矩阵．正确答案：先求A的特征值．A的特征值为a+1(二重)和a—2(一重)．求属于a+1的两个线性无关的特征向量，即求[A一(a+1)E]X=0的基础解系：得[A一(a+1)E]X=0的同解方程组x1=x2+x3，得基础解系η1=(1，1，0)T，η2=(1，0，1)T．求属于a一2的一个特征向量，即求[A一(a一2)E]X=0的一个非零解：得[A一(a一2)E]X=0的同解方程组得解η3=(一1，1，1)T．令U=(η1，η2，η3)，则涉及知识点：线性代数23．计算｜A—E｜．正确答案：A—E的特征值为a(二重)和a一3，于是｜A—E｜=a(a—3)．涉及知识点：线性代数24．设α，β都是n维非零列向量，A=αβT．证明：A相似于对角矩阵βTα≠0．正确答案：A的特征值为0，0，…，0，βTα．由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于1的特征值0，检查其重数是否等于n—r(A—0E)=n一r(A)=n—1．当βTα=0时，0的重数是n，A不能相似对角化．当βTα≠0时，0的重数是n—1，A可相似对角化．涉及知识点：线性代数设A为3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．25．求作矩阵B，使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B．正确答案：已经用矩阵分解求出涉及知识点：线性代数26．求A的特征值．正确答案：由于α1,α2,α3线性无关，(α1,α2,α3)是可逆矩阵，并且(α1,α2,α3)一1A(α1,α2,α3)=B，因此A和B相似，特征值相同．B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 涉及知识点：线性代数27．求作可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．正确答案：先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，一1，0)T，(0，2，一1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵令P=(α1，α2，α3)D=(α1一α2，2α2一α3，α2+α3)，则涉及知识点：线性代数28．已知n阶矩阵A满足(A—aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．正确答案：首先证明A的特征值只能是a或b．设A是A的特征值，则(λ—a)(λ一b)=0，即λ=a或λ=b．如果6不是A的特征值，则A一6E可逆，于是由(A一aE)(A一bE)=0推出A—aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A一bE｜=0．设η1，η2，…，ηt是齐次方程组(A一6E)X=0的一个基础解系(这里t=n一r(A一bE))，它们都是属于b的特征向量．取A一bE 的列向量组的一个最大无关组γ1，γ2，…，γk，这里k=r(A一6E)．则γ1，γ2，…，γk是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ1，γ2，…，γk；η1，η2，…，ηt，因此A可对角化．涉及知识点：线性代数29．A是n阶矩阵，数a≠b．证明下面3个断言互相等价：(1)(A一aE)(A 一6E)=0．(2)r(A—aE)+r(A一bE)=n．(3)A相似于对角矩阵，并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0．正确答案：不妨设a和b都是A的特征值．(因为如果a不是A的特征值，则3个断言都推出A=bE．如果b不是A的特征值，则3个断言都推出A=aE)(1)→(2)用关于矩阵的秩的性质，由(A一aE)(A一bE)=0．得到：r(A一aE)+r(A一bE)≤n，r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n，从而r(A 一aE)+r(A一bE)=n．(2)→(3)记ka，kb分别是a，b的重数，则有ka≥n—r(A 一aE)①kb≥n一r(A一bk)②两式相加得n≥ka+kb≥n—r(A一aE)+n—r(A一bE)=n，于是其中“≥”都为”=”，从而①和②都是等式，并且ka+kb=n．ka+kb=n，说明A的特征值只有a和b，它们都满足(λ一a)(λ一b)=0．①和②都是等式，说明A相似于对角矩阵．(3)→(1)4的特征值满足(λ一a)(λ一b)=0，说明A的特征值只有cz和6．设B是和A相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a或b，于是(B一aE)(B一bE)=0．而(A一aE)(A一bE)相似于(B一aE)(B一bE)，因此(A—aE)(A一bE)=0．涉及知识点：线性代数30．构造正交矩阵Q．使得QTAQ是对角矩阵正确答案：(1)先求特征值A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，一1)T，单位化得属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，一1，0)T，单位化得属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解，得AX=0的同解方程组求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ=Q一1AQ=(2)先求特征值A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解，得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2—2x4=0，显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，一1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c=4，即α2=(4，一1，1)T．再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)T，令γ3=α3／‖α3‖=(1，2，一2)T／3．作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)．则涉及知识点：线性代数设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．31．求A的特征值和特征向量．正确答案：条件说明A(1，1，1)T=(3，3，3)T，即α0(1，1，1)T是A的特征向量，特征值为3．又α1，α2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α1，α2线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0．属于3的特征向量：cα0，c≠0．属于0的特征向量：c1α1+c2α2 c1，c2不都为0．涉及知识点：线性代数32．求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．正确答案：将α0单位化，得对α1，α2作施密特正交化，得作Q=(η0，η1，η2)，则Q是正交矩阵，并且涉及知识点：线性代数33．求A及[A一(3／2)E]6．正确答案：建立矩阵方程A(α0，α1，α2)=(3α0，0，0)，用初等变换法求解：得由得于是[A一(3／2)E]6=(3／2)6E．涉及知识点：线性代数34．正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．正确答案：Q-1AQ=QTAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)T也是A的特征向量．(1，2，1)T和(2，5+a，4+2a)T相关，得a=一1，并且(1，2，1)T的特征值为2．A的特征值为2，5，一4．下面来求它们的单位特征向量．是属于2的单位特征向量．则(1，一1，1)T是属于5的特征向量，单位化得则(1，0，一1)T是属于一4的特征向量，单位化得则Q=(α1，α2，α3)，(不是唯一解，例如(α1，α3，α2)，(α1，一α2，一α3)，(α1，一α3，一α2)等也都适合要求．) 涉及知识点：线性代数35．设3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3，η1=(一1，一1，1)T和η2=(1，一2，一1)T分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A．正确答案：属于3的特征向量和η1，η2都正交，从而是齐次方程组的非零解．解此方程组，得η4=(1，0，1)T构成它的一个基础解系．于是属于3的特征向量应为(k，0，k)T．k≠0．建立矩阵方程A(η1，η2，η3)=(η1，2η2，3η3)，用初等变换法解得涉及知识点：线性代数3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E．36．求B的特征值和特征向量．正确答案：记f(x)=x5一4x3+1，则B的特征值为f(1)=一2，f(2)=1，f(一2)=1．α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值一2．B的属于一2的特征向量为cα1，c≠0．B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1一x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为c1α2+c2α3，c1，c2不全为0．涉及知识点：线性代数37．求B．正确答案：B(α1，α2，α3)=(一2α1，α2，α3)．解此矩阵方程得涉及知识点：线性代数。

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )A．A的任意m个列向量必线性无关．B．A的任意一个m阶子式不等于零．C．若矩阵B满足BA=O，则B=O．D．A通过初等行变换，必可以化为[ImO]的形式．正确答案：C解析：1 由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．2 由于r(Am×n)=m，故存在可逆矩阵Pm×n，使得AP=[Im O]用右乘两端，得记n×m矩阵Q=P，则有AQ=Im，于是用Q右乘题设等式BA=O两端，得BAQ=O，即BIm=O，亦即B=O．知识模块：线性代数2．齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O，则( )A．λ=－2且|B|=0B．λ=－2且|B|≠0C．λ=1且|B|=0D．λ=1且|B|≠0正确答案：C解析：1 设B按列分块为B=[β1 β2 β3]，则由题设条件，有O=AB=[A β1Aβ2 Aβ3]所以Aβj=0(j=1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Ax=0存在非零解，从而有=(λ－1)2=0得λ=1另一方面，必有|B|=0，否则|B|≠0，则B可逆，于是由给AB=O 两端右乘B－1，得A=O，这与A≠O矛盾，故必有|B|=0．因此C正确．2 同解1一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当λ=1时有|A|==0，故C正确．知识模块：线性代数3．设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且A 的秩r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于AX=b的通解等于AX=b的特解与AX=0的通解之和，故只要求出AX=0的基础解系，即得AXb的通解．因为r(A)=3，故4元齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4－r(A)=1，所以AX=0的任一非零解就是它的基础解系．由于α1及1／2(α2+α3)都是Ax=b的解．故α1－(α2+α3)=1／2[2α1－(α2+α3)]是AX=0的一个解，从而ξ=(2，3，4，5)T也是AX=0的一个解，由上述分析知考是AX=0的一个基础解系，故Ax=b的通解为X=α1+cξ，因此C正确．知识模块：线性代数4．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAN=0，必有( )A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：若向量X满足方程组AX=0，两端左乘AT，得ATAX=0，即X也满足方程组ATAX=0，故AX=0的解都是ATAX=0的解．反之，若X满足ATAX=0，两端左乘XT，得ATATAX=0，即(AX)T(AX)=0，或‖AX‖2=0，故AX=0，即X也满足方程组AX=0，故ATAX=0的解都是AX=0的解由以上两方面，说明方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解的，故A正确．知识模块：线性代数5．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组( ) A．AX=α必有无穷多解．B．AX=α必有惟一解．C．=0仅有零解．D．=0必有非零解．正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An ×n的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解．于是知D正确．知识模块：线性代数6．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：1 注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)(AB)＜m(r(AB)=m)．当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解．可以举例说明备选项A、B都不对．故只有D正确．2 B为n×m 矩阵，当n＜m时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，从而知当n＜m时，齐次线性方程组ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．知识模块：线性代数7．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B解析：由A*≠O知A*至少有一个元素Aij=(－1)ijMij≠0，故A的余子式Mij≠0．而Mij为A的n－1阶子式，故r(A)≥n－1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n－1，因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n－r(A)=n －(n－1)=1，只有B正确．知识模块：线性代数8．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：首先，由A[1／2(η2+η3)]=β，知1／2(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2－η1及η3－η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2－η1，η3－η1]及矩阵的秩为2，知向量组η2－η1，η3－η1，线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3－r(A)=3，r(A)=0．A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2－η1，η3－η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2－η1)+k2(η3－η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．知识模块：线性代数填空题9．设其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)．则线性方程组ATX=B的解是_______．正确答案：(1，0，…，0)T．解析：因为a1，a2，…，an两两不相等，故范德蒙行列式|A|=(ai－aj)≠0，所以方程组ATX=B的系数行列式|AT|=|A|≠0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为X=(1，0，…，0)T．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc

考研数学三（线性代数）历年真题汇编1(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关．B.任意r个行向量都线性无关．C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出．3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例．B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D.A中至少有一行(列)的元素全为0．4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量．B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00）A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α37.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。

考研数学三线性代数(行列式)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数（行列式）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=( )A．0。

B．a2。

C．一a2。

D．na2。

正确答案：A解析：按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为一a，从而行列式的值为零，故选A。

知识模块：行列式2．四阶行列式的值等于( )A．a1a2a3a4一b1b2b3b4。

B．a1a2a3a4+b1b2b3b4。

C．(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。

D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。

正确答案：D解析：方法一：将此行列式按第一行展开，原式=a1=(a1a4—b1b4)(a2a3一b2b3)，故选D。

方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即原式=由拉普拉斯展开可知，原式=(a1a4一b1b4)(a2a4一b2b3)，故选D。

知识模块：行列式3．设A=，且|A|=m，则|B|=( )A．m。

B．一8m。

C．2m。

D．一2m。

正确答案：D解析：方法一：故选D。

方法二：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|。

由行列式的性质知|B|=一2|A|=一2m，故选D。

知识模块：行列式4．α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=( )A．9。

B．6。

C．3。

D．1。

正确答案：B解析：方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α2+α1,α3+α2，β1+β2| =2 |α1+α2+α3，α3，一α1,β1+β2|=2|α2，－α3，α1,β1+β2|=2|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|A|+|B|)=6。

考研数学三线性代数线性方程组-试卷1_真题-无答案

考研数学三线性代数（线性方程组）-试卷1(总分58,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5(2)x3，x5(3)x1，x5(4)x2，x3那么正确的共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A. 4个．B. 3个．C. 2个．D. 1个．3. 已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A. (1，-1，3)TB. (2，1，-3)TC. (2，2，-5)TD. (2，-2，6)T4. 设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A. r=nB. r≥n．C. r＜n．D. r＞n．5. 已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( )A. B.C. D.6. 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是( )A. B.C. D.7. 三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A. B.C. D.8. 设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A. 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B. 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C. 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D. 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．2. 填空题1. 设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____2. 设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______3. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______4. 方程组有非零解，则k=_______5. 设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____6. 已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

303数学三大纲

303数学考研大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克拉默法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

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考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(二)(总分：108.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.设矩阵A的秩为t，则秩r(A T A)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________2.已知（分数：2.00）填空项1:__________________3.已知三阶矩阵A的特征值是（分数：2.00）填空项1:__________________4.设A是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵，且满足A2+2A-3E=0，那么矩阵A的三个特征值是______．（分数：2.00）填空项1:__________________5.已知α(a，1，1)T是矩阵A=（分数：2.00）填空项1:__________________6.设α=(1，-1，a)T是（分数：2.00）填空项1:__________________7.设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且Aα1=α1，Aα2=-α3，Aα3=α2+2α3则矩阵A的三个特征值是______．（分数：2.00）填空项1:__________________8.已知α是3维列向量，αT是α的转置，若矩阵ααT相似于（分数：2.00）填空项1:__________________9.已知A是三阶方阵，其特征值分别为1，2，一3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A11+A22+A33=______．（分数：2.00）填空项1:__________________10.设（分数：2.00）填空项1:__________________11.已知A是三阶实对称矩阵，特征值是1，3，-2，其中α1=(1，2，-2)T，α2=(4，-1，a)T分别是属于特征值λ=1与λ=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量是______．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设A是三阶实对称矩阵，存在正交阵Q=[ξ1，ξ2，ξ3]，使得Q-1AQ=Q T AQ=，则矩阵B=A-ξ1（分数：2.00）填空项1:__________________13.设α=(1，-1,a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______．（分数：2.00）填空项1:__________________14.已知矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________15.已知A是四阶实对称矩阵，秩r(A)=3，矩阵A满足A4-A3-A2-2A=O则与A相似的对角矩阵是______．（分数：2.00）填空项1:__________________16.已知矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________17.A是三阶矩阵，ξ，α，β是三个三维线性无关的列向量，其中Ax=0有解ξ，Ax=β有解α，Ax=α有解β，则A～______．（分数：2.00）填空项1:__________________18.设f(x1，x2)=（分数：2.00）填空项1:__________________19.已知三元二次型f(x1，x2，x3)=（分数：2.00）填空项1:__________________20.二次型f(x1，x2，x3，x4)=（分数：2.00）填空项1:__________________21.已知二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x12+2x22+ax23+4x1x3+2tx2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=y12+2y22+7y32，则t=______．（分数：2.00）填空项1:__________________22.若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________23.设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________24.已知矩阵与二次型x T Bx=（分数：2.00）填空项1:__________________25.已知（分数：2.00）填空项1:__________________26.设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，保证kE+A是正定阵，则k的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________27.设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______．（分数：2.00）填空项1:__________________28.设两个相互独立事件A与B至少有一个发生的概率为（分数：2.00）填空项1:__________________29.已知事件A与B相互独立，P(A)=a，p(B)=b．如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________30.已知事件A、B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A，B至少有一个不发生的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________31.10个同规格的零件中混入3个次品，现进行逐个检查，则查完5个零件时正好查出3个次品的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________32.设A，B，C是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等．即P(A∪B∪C)的最大值为______．（分数：2.00）填空项1:__________________33.已知甲袋有3个白球，6个黑球，乙袋有5个白球，4个黑球．先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________34.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那么至少答对一道题的概率α=______；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率β=______．（分数：2.00）填空项1:__________________35.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________36.已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________37.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于（分数：2.00）填空项1:__________________38.某种产品由自动生产线进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为0.1．那么两次调整之间至少生产3件产品的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________39.袋中有8个球，其中3个白球5个黑球，现随意从中取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止．否则将4个球放回袋中，重新抽取4个球，直到出现2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则PX=k=______(k=1，2，…)．（分数：2.00）填空项1:__________________40.假设X服从参数为λ的指数分布，对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为（分数：2.00）填空项1:__________________41.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间(1，2)内的概率达到最大，则λ=______．（分数：2.00）填空项1:__________________42.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布．系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作．那么到48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为______．（分数：2.00）填空项1:__________________43.设随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0，设其分布函数F(x)的曲线的拐点坐标必为______．（分数：2.00）填空项1:__________________44.已知X的概率密度f(x)=（分数：2.00）填空项1:__________________45.假设随机变量X的密度函数f(x)=(x∈R,b，c为常数)在x=1处取最大值，则概率（分数：2.00）填空项1:__________________46.设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率分布密度f Y(y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________47.从1，2，…，N(N＞3)这N个数中任取三个数，记这三个数中中间大小的数为X，则随机变量X的分布律PX=k= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________48.设随机变量X的概率分布PX=k)=，k=1，2，…．其中a为常数，X的分布函数为F(x)，已知F(b)=（分数：2.00）填空项1:__________________49.设X是服从参数为2的指数分布的随机变量，则随机变量Y=X-（分数：2.00）填空项1:__________________50.设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，其分布函数为F(x)，则有F(μ+xσ)+F(μ-xσ)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________51.设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数Y=1-e-X的分布函数为F Y(y)，则F Y(（分数：2.00）填空项1:__________________52.已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ2)，如果Pmax(X，Y)＞μ=a(0＜a＜1)，则Pmin(X，Y)≤μ等于______．（分数：2.00）填空项1:__________________53.设X～N(μ，σ2)，Y～N(2μ，)，X与Y相互独立，已知PX-Y≥1=（分数：2.00）填空项1:__________________54.假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立且都服从0-1分布：PX i-1=p，PX i=0=1-p(i=1，2，3，4，0＜p＜1)，已知二阶行列式的值大于零的概率等于（分数：2.00）填空项1:__________________。