高一数学正弦、余弦函数的性质1

第一章 三角函数
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，
体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2
正弦函数()sin f x x =性质如下：
（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

– – π
2π
2π- 2π
5π
π- 2π- 5π- O x 1 1-
问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(
)sin 636π
ππ+
=，能否说23
π
是它的周期？
（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，
k Z ∈且0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*
k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+ ）
2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小
的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）
从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()2
6
y x π
=-
，
x R ∈．
解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现，
所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
（3）∵1
112sin(2)2sin[()]2sin()2
62626
x x x π
ππ
ππ-
+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ
为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π
ω
=；
（2）若0ω<，例如：①3cos()y x =-，x R ∈；②sin(2)y x =-，x R ∈； ③12sin()26
y x π
=-
-，x R ∈． 则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||
T πω= 例2先化简，再求函数的周期
①x x y cos sin +=
②x x x x y 22sin sin cos 32cos -+= ③证明函数|cos ||sin |)(x x x f +=的一个周期为2
π
，并求函数的值域； 例3 求下列三角函数的周期：
1︒ y=sin(x+
3
π
) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π)
解：1︒ 令z= x+
3
π
而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) f [(x+2)π+
3π]=f (x+3
π
) ∴周期T=2π 2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]
即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π 3︒令z=
2x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5
π
+2π) =3sin(
5
24π
π++x )=f (x +4π) ∴T=4π 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期T=
ω
π
2
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+
4π)+2cos(3x-6
π) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=23sinxcosx+2cos 2
x-1 解：1︒ y 1=sin(2x+4
π
) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-
6π) 最小正周期 T 2=3
2π ∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2π ∴T=2π
2︒
注意小结这两种类型的解题规律
3︒ y=3sin2x+cos2x ∴T=π 三、巩固与练习
1． y=2cos(
3
4π
+x )-3sin(4π-x )
2． y=-cos(3x+2π)+sin(4x-3
π
) 3． y=|sin(2x+6
π)| 4． y=cos
2θsin 2θ+1-2sin 22
θ 四、小 结：本节课学习了以下内容： 周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
补充：
1．求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+
4π)+2cos(3x-6
π
) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=23sinxcosx+2cos 2x-1 2． 求下列函数的最值： 1︒ y=sin(3x+
4π)-1 2︒ y=sin 2x-4sinx+5 3︒ y=x
x
cos 3cos 3+- 3．函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。

七、课后反思： 题选
求下列函数的周期：
（1）sin(
)32y x π
π
=-
； （2）33cos
cos sin sin 2222
x x x x y =+；
（3）sin cos y x x =+； （4）22cos
sin 22
x x y =-； （5）2cos y x =． 解：（1）24||2T π
π==-，∴周期为4；
（2）333cos cos sin sin cos()cos 222222
x x x x x x
y x =+=-=，∴周期为2π； （3）cos sin sin()4
y x x x π
=-=- ∴周期为2π；
（4）2
2sin
cos cos 22
x x
y x =-=-，∴周期为2π； （5）2
111cos (1cos 2)cos 2222
y x x x ==-=-+，∴周期为π．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再利用公式
2T πω
=进行求解。