直线与圆地位置关系练习题
直线与圆的位置关系经典例题
直线与圆的位置关系经典例题一、点与圆的位置关系结合图形认识直线与圆的位置关系，比较OA 与r 的大小关系若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r小练习：1.在△ABC 中，90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（）（A）D 在圆外（B）D 在圆上（C）D 在圆内（D）无法确定二、直线与圆的位置关系（1）实验创境：用移动的观点认识如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，太阳和海平面就有图中的几种位置关系。
（可让学生用硬币自己操作演示）根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系：、、。
（2）用数量关系判断从以上的一个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：若要判断圆与直线的位置关系，可以将______与_____进行比较大小，由比较的结果得出结论。
典型例题：例1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线MN 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米。
分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点？例2.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，r 为半径作圆，当3,4.2,2===r r r 时，⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系？★①直线l 和⊙O 相交d r ②直线l 和⊙O 相切d r ③直线l 和⊙O 相离d r1、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是2、已知：⊙A 的直径为6，点A 的坐标为)4,3(--，则⊙A 与x 轴的位置关系是；⊙A 与y 轴的位置关系是。
三、切线的判定实验探究：在练习纸上画⊙O ，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过A 点作直线l ⊥OA ，判断直线l 是否与⊙O 相切？为什么？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线；那么，直接从直线和圆的位置上观察，具备什么条件的直线也是圆的切线呢？两个条件缺一不可（1）经过半径外端（2）垂直于这条半径切线判定定理：经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（精练）1直线与圆的位置关系1．（2022·山东滨州）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】D【解析】直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，即2(2)(2)(35)0x m x y m x y -+-++-=，由2020350x x y x y -=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过定点(2,1)A ，又圆22:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，显然点A 在圆C 外，所以直线l 与圆C 可能相离，可能相切，也可能相交，A ，B ，C 都不正确，D 正确.故选：D2（2021·黑龙江）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B3．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）直线()1R y kx k =+∈与圆22(1)(1)4x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线()1R y kx k =+∈恒过定点()0,1，又22(01)(11)14-+-=<，即点()0,1在圆22(1)(1)4x y -+-=内部，所以直线与圆相交；故选：A4．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）直线230kx y k +--=与圆22450x y x +--=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切【答案】C【解析】直线230kx y k +--=即()()320k x y -+-=，过定点()3,2，因为圆的方程为22450x y x +--=，则223243540+-⨯-=-<，所以点()3,2在圆内，则直线与圆相交.故选：C5．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）已知过点(3,1)P 的直线与圆22(1)(2)5x y -+-=相切，且与直线10x my --=垂直，则m =（）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】设过点(3,1)P 的直线为l .（1）当l 的斜率不存在时，直线l ：3x =.圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心到l 的距离为312-=≠，所以不是圆的切线，不合题意.（2）当l 的斜率存在时，直线l ：()13y k x -=-.=k =2.因为l 与直线10x my --=垂直，所以121m⨯=-，解得：m =-2.故选：C6．（2022·全国·高二课时练习）若直线:420l kx y k -++=与曲线y =有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<【答案】C【解析】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，y =可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线24y x =-314k -≤<-.故选：C.7．（2022·贵州遵义·高二期末（文））若直线():100l ax by ab +-=>始终平分圆()()22:124C x y -+-=的周长，则11a b+的最小值为（）A ．322+B ．6C ．7D ．32+【答案】A【解析】圆C 的圆心为()1,2C ，由题意可知，直线l 过圆心C ，则21a b +=，因为0ab >，则0a >且0b >，因此，()1111222332322b a b a a b a b a ba b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b 时，等号成立，故11a b+的最小值为322+.故选：A.8．（2022·广西梧州·高二期末（文））已知对任意的实数k ，直线l ：0kx y k t --+=与圆C ：2210x y +=有公共点，则实数t 的取值范围为（）A ．[3,0)-B ．[3,3]-C ．(,3](0,3]-∞-D ．(,3)[0,3]-∞-【答案】B【解析】由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ，则直线l 过定点(1,)t ，因为直线l ：kx y k t --+0=与圆C ：2210x y +=有公共点，所以定点(1,)t 在圆C 上或圆C 内，可得22110t +≤，解得33t -≤≤，故选：B9．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知直线2y kx =-与圆22(1)1x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，圆心()1,0到直线20kx y --=1，即22441k k k -+<+，解得34k >故选：D10．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点，1<，即2860k k -<，解得304k <<，所以实数k 的取值范围是30,4⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B.2直线与圆的弦长1．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（）A．43130x y +-=B．34150x y +-=C．34150x y +-=或1x =D．43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0，半径为2r =，圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，此时圆心到直线l 的距离为1，合乎题意；②若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心到直线l的距离为1d ==，解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.故选：D.2（2022·贵溪市）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（）A．B．2C．D．与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上，所以截得弦为圆222x y+=，故截得的弦长为.故选：A 3．（2022·江苏·高二）过点（-2，1）的直线中，被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是（）A ．x +y +1=0B ．x +y -1=0C ．x -y +1=0D ．x -y -1=0【答案】A【解析】由题意得，圆的方程为()221(2)5x y -++=，∴圆心坐标为()1,2-．∵直线被圆截得的弦长最大，∴直线过圆心()1,2-，又直线过点（-2，1），所以所求直线的方程为211221y x +-=+--，即10x y ++=．故选：A ．4．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知直线l ：()()121740m x m y m ---+-=，圆C ：2224200x y x y +---=，则（）A ．直线l 恒过定点()1,3B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 被x 轴截得的弦长为D ．当圆C 被直线l 截得的弦最短时，34m =【答案】BD【解析】依题意，直线l ：()()121740m x m y m ---+-=可化为()2740x y m x y --+++-=，由27040x y x y --+=⎧⎨+-=⎩解得3x =，1y =，即直线l 过定点()3,1P ，A 不正确；圆C ：22(1)(2)25x y -+-=的圆心(1,2)C ，半径=5r ，||PC r =<，即点P 在圆C 内，直线l 与圆C 恒相交，B 正确；圆心C 到x 轴的距离2d =，则圆C 被x 轴截得的弦长为==C 不正确；由于直线l 过定点()3,1P ，圆心(1,2)C ，则直线PC 的斜率121312k -==--，当圆C 被直线l 截得的弦最短时，由圆的性质知，l PC ⊥，于是得1221m m -=-，解得34m =，D 正确.故选：BD5．（2022·湖北恩施·高二期末）（多选）已知直线l ：()()221310m x m y m ++---=与圆C ：()()222116x y -++=交于A ，B 两点，则弦长|AB |的可能取值是（）A ．6B ．7C ．8D ．5【答案】BC【解析】由()()221310m x m y m ++---=，得()23210x y m x y +-+--=，令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ，半径4r =，CM ==，则2AB r ≤≤，即8AB ≤≤.故选：BC.6.（2022·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=.（1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明：直线:2()0l m x y --=过定点()2,0，因为224250-⨯-<，所以点()2,0在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交.（2）圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=，则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -，半径为5，且圆心C 到直线l 的距离()22242411m md m m ---==++因为2225213MN d =-=，所以23d =由24231m =+，得33m =±当33m =时﹐直线l 的方程为()323y x =-，倾斜角为6π当33m =-时﹐直线l 的方程为()323y x =--，倾斜角为56π3圆与圆的位置关系1．（2022·西藏）圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2x +y +1＝0的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能【答案】C【解析】圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为(1,2)-，半径5r =圆心(1,2)-到直线2x +y +1＝0的距离2221(2)15521d ⨯+-+==+由555d r =<=，可得圆与直线的位置关系为相交.故选：C2．（2022·陕西渭南）已知圆1C ：()()22321x y -++=与圆2C ：()()227150x y a -+-=-，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 等于（）A ．14B ．34C ．14或45D ．34或14【答案】D【解析】圆1C ：()()22321x y -++=的圆心为()113,2,1C r -=,圆2C ：()()227150x y a -+-=-的圆心为()227,1,50C r a =-()()221237215C C -+--=，因为圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，故圆1C 与圆2C 相内切或外切，故215r -=或215r +=，从而26=r 或24r =，所以2506r a =-=或2504r a =-=，解得：34a =或14a =所以实数a 等于34或14故选：D3．（2022广东）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，表示以1(1,0)C 为圆心，半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=，231=-，故两个圆相内切.故选：A.4．（2022·江西）已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即()222124m m x y 骣琪-++=琪桫，圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆1C 关于直线210x y ++=对称，所以圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上，即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，()()22111x y -++=，圆心()1,1-，半径为1，()()222316x y ++-=，圆心()2,3-，半径为4，5=，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切，故选：B.5．（2022云南）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含【答案】C【解析】由题意可得，圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4，半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，所以2102m-+=（），得m =，所以圆()(222:24C x y -++=的圆心为(2,，半径为2，则两圆圆心距12C C =1252725C C -<<=+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交，故选：C .6．（2022·上海中学东校高二期末）已知圆22:28M x y ax +-=截直线:0l x y -=所得的弦长M 与圆22:(1)4N x y +-=的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】由22:28M x y ax +-=，即()2228y a x a +=+-，故圆心(),0M a ，半径M r =所以点M 到直线:0l x y -=的距离d =故解得：1a =±；所以()1,0M ±，3M r =；又22:(1)4N x y +-=，圆心()0,1N ，2N r =，所以MN ==，且15M N M N r r r r -=<<=+，即圆M 与圆N 相交，故选：B.7．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆221:1O x y +=与圆222:680O x y x y m +-++=外切，则实数m =_________．【答案】9【解析】圆1O 的圆心()10,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()23,4O -，半径2r =125O O =根据题意可得：1212O O r r =+，即51=9m =故答案为：9．8．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆221:(2)(2)1C x y -+-=和圆2222:()(0)C x y m m m +-=>内切，则m 的值为___________．【答案】72【解析】圆1C 的圆心为()2,2，半径为11r =，圆2C 的圆心为()0,m ，半径为2r m =，所以两圆的圆心距()()22202d m =-+-，又因为两圆内切，有()()222021d m m =-+-=-，解得72m =.故答案为：72.9．（2023·全国·高三专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________．【答案】34【解析】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m 由两圆向外切可知()()224030225-+--=+-m ，解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为22431211-==+d ，设圆2C 的半径为R则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为221229342-=-=R d 故答案为：344圆与圆的弦长1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（）A．6B．5C．67813D．123913【答案】D【解析】圆O 的半径3r =，圆1O 的半径14r =，113OO =故在1AOO中，22211111cos sin21313r OO rAOO AOOr OO+-∠===⇒∠=⋅，故1sin21313ABr AOO AB=∠=⇒=．故选：D2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y+=和圆222:40C x y x+-=的公共点为A，B，则（）A．12||2C C=B．直线AB的方程是14x=C．12AC AC⊥D．||2AB=【答案】ABD【解析】圆1C的圆心是()0,0，半径11r=，圆()222:24C x y-+=，圆心()2,0，22r=，122C C∴=，故A正确；两圆相减就是直线AB的方程，两圆相减得1414x x=⇒=，故B正确；11AC=，22AC=，122C C=，2221212AC AC C C+≠，所以12AC AC⊥不正确，故C不正确；圆心()0,0到直线14x=的距离14d=，2AB===，故D正确.故选：ABD3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y xO+-=和圆222:240O x y x y++-=的交点为A ，B ，则有（）A．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C．公共弦AB的长为2D．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为212+【答案】ABD【解析】对于A，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==，半径1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0xy -=的距离为2d =，半径1r =，即P 到直线AB 距离的最大值为12+，故D 正确.故选：ABD4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++-=：．(1)求证：圆1C 与圆2C 相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线60x y +-=上的圆的方程．【答案】(1)证明见解析(2)20x y +-=(3)226620x y x y +--+=【解析】(1)证明：圆2C ：2222140x y x y +++-=化为标准方程为()()221116x y +++=，()21,1C ∴--，4r =圆221:10C x y +=的圆心坐标为()10,0C ，半径为=R，12C C ∴44<，∴两圆相交；(2)解：由圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=，将两圆方程相减，可得2240x y +-=，即两圆公共弦所在直线的方程为20x y +-=；(3)由22222214010x y x y x y ⎧+++-=⎨+=⎩，解得3113x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或，则交点为()3,1A -，()1,3B -，圆心在直线60x y +-=上，设圆心为()6,P n n -，则AP BP ==3n =，故圆心()3,3P ，半径4r AP ==，∴所求圆的方程为()22(3)316x y -+-=．5．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）已知圆1C ：222220x y x y +++-=，圆2C ：22410x y y +--=.(1)证明：圆1C 与圆2C 相交；(2)若圆1C 与圆2C 相交于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)证明见解析；【解析】(1)圆1C 的标准方程为()()22114x y +++=，圆心为()1,1--，半径为2，圆2C 的标准方程为()2225x y +-=，圆心为()0,2∴圆1C 和圆2C =22<，可知：圆1C 和圆2C 相交，得证.(2)由（1）结论，将圆1C 与圆2C 作差，得：直线AB 的方程为2610x y +-=，圆2C 的圆心()0,2到直线AB=，∴AB =6．（2022·江苏·高二单元测试）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.【答案】(1)相交(2)240x y -+=(3)【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=，222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-，半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--，半径2r =12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=5切线问题1．（2022·全国·高二课时练习）设圆221:244C x y x y +-+=，圆222:680C x y x y ++-=，则圆1C ，2C 的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】由题意，得圆()()2212:312C x y -+=+，圆心()11,2C -，圆()()2222:534C x y ++=-，圆心()23,4C -，∴125353C C -<=+，∴1C 与2C 相交，有2条公切线．故选：B ．2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线，则实数a 的取值可能是（）A ．－4B ．－2C ．D ．3【答案】AD【解析】圆心()10,C a ，半径13r =，圆心()2,0C a ，半径21r =．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距d =31>+，解得a <-或a >3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆()()22:211M x y -+-=，圆()()22:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C．20x y -=D．20x y -=【答案】ACD【解析】圆M 的圆心为M （2，1），半径11r =．圆N 的圆心为N （－2，－1），半径21r =．圆心距2d =>，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ，设切线方程为y ＝kx1=，解得k ＝0或43k =，对应方程分别为y ＝0，4x －3y ＝0．另两条切线与直线MN 平行，而1:2MN l y x =，设切线方程为12y x b =+1=，解得2b =±，切线方程为20x y -+=，20x y --=．故选：ACD ．4．（2022·全国·高二专题练习）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=5．（2022·全国·高二专题练习）求过点()13M -，的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】326122633y x ++=+或326122633y x --=+【解析】过点()13M -，的斜率不存在的直线为：1x =-，圆心到直线的距离为1，与圆相交，当斜率存在，设其为k ，则切线可设为()31y k x -=+.2=，解得：33k +=或33k -=.所以切线方程为：326122633y x ++=+或326122633y x --=+.6（2022·广东·中山一中高三阶段练习）已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线，则m 的值为___________.【答案】11-【解析】由22240x y x y m +--+=，得22(1)(2)5x y m -+-=-，所以圆C 的圆心为()1,2C 因为圆22:(2)(2)1D x y +++=，所以圆D 的圆心为()22D ,--，半径为1，因为圆C 与圆D 有三条公切线，所以圆C 与圆D 相外切，即1CD ==+，解得11m =-，所以m 的值为11-.故答案为：11-.7．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=，若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________.【答案】34或14【解析】设圆1C ，圆2C 的半径分别为1r ，2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=，圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-.由两圆相切，得1212C C r r =+或1212C C r r =-.因为11r =，125C C ==，所以215r +=或215r -=，可得24r =或26=r 或24r =-（舍去），因此5016a -=或5036a -=，解得34a =或14a =.故答案为：34或148．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆221x y +=与圆()()22416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________.【答案】35=∴3,0,3a a a =±>∴=又6最值问题1．（2022·广东·高三阶段练习）已知C ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为____．【答案】210x y ++=【解析】C ：222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，则圆心()11C ，，半径2r =．因为四边形MACB 的面积2•2CAMS SCA AM AM ====，要使四边形MACB 面积最小，则需CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，直线CM 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得()0,1M -．则CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=．故答案为：210x y ++=.2．（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知圆22:(4)(3)1C x y -++=和两点(,0)A a -、(,0)(0)B a a >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则a 的最小值为（）A ．1B ．6C ．3D ．4【答案】D【解析】由90APB ∠=︒得点P 在圆222x y a +=上，所以，点P 在圆222x y a +=上，又在圆C 上，所以，两圆有交点，因为圆222x y a +=的圆心为原点O ，半径为a ，圆C 的圆心为()4,3-，半径为1.所以，|1|1a OC a -≤≤+，即|1|5146a a a -≤≤+⇒≤≤所以，a 的最小值为4.故选：D3．（2021·吉林油田高级中学高二开学考试）已知圆P 的方程为22680x y x y ++-=，过点()1,2M -的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A ．B ．10C ．D ．5【解析】圆P 的方程可化为()()223425x y ++-=，则(3,4),5P r -=，因为()()22132425-++-<，故点()1,2M -在圆内，过点()1,2M -的最长弦一定是圆P 的直径，当AB PM ⊥时，AB 最短，此时PM =则AB ==故选：A ．4．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）过点（7，-2）且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是（）A ．()()22515x y -++=B ．()()225113x y -+-=C ．()()224413x y -++=D ．()()221652x y -++=【答案】B【解析】过点()7,2A -作直线2360x y -+=的垂线，垂足为B ，则以AB 为直径的圆为直线2360x y -+=相切的半径最小的圆，其中AB =(),B a b ，则221732360b a a b +⎧⨯=-⎪-⎨⎪-+=⎩，解得：34a b =⎧⎨=⎩，故AB 的中点，即圆心为7342,22+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()5,1，故该圆为()()225113x y -+-=故选：B5．（2022·江苏·高二专题练习）已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ，则||PM 的取值范围是（）A．1,1⎤⎦B．1⎤⎦C．1,1⎤⎦D．1⎤⎦【答案】B【解析】直线1:310(R)l mx y m m --+=∈整理可得，(3)(1)0m x y ---=，即直线1l 恒过(3,1)，同理可得，直线2l 恒过(1,3)，又()110m m ⨯+-⨯=，∴直线1l 和2l 互相垂直，∴两条直线的交点P 在以(1,3)，(3,1)为直径的圆上，即P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=，设该圆心为M ，圆心距||1MC =>，∴两圆相离，1||1PM ∴-+ ，||PM ∴的取值范围是1]．故选：B ．。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.圆与直线相切,正实数b的值为 ( )A．B．C．D．3【答案】B【解析】该圆的圆心坐标为，半径为，由题意知，又，。
【考点】直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
2.过点的直线l与圆有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线l的倾斜角为，当时，直线l的斜率，则直线l的方程可写成：即：，由直线l与圆有公共点，得，，解得，故选D．【考点】１．直线与圆的位置关系；２．点到直线的距离．3.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为(科网 )A．2B．2C．D．【答案】A.【解析】设直线与圆的交点为，，首先由题意知直线的方程为：，然后根据圆心到直线的距离公式计算得，于是可得弦长，即为所求.【考点】直线与圆的位置关系.4.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】x+y=3【解析】由题意，圆的圆心坐标为C（0，1），∵圆上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵，∴，∴直线AB的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．【考点】直线与圆的位置关系．5.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。
【答案】（1）：（或）；（2）或【解析】（1）根据动点P（x，y）满足到定点A（-1，0）的距离与到定点B（1，0）距离之比，建立方程，化简可得曲线C的方程．（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l的方程．试题解析：（1）由题意得|PA|=|PB| 2分;故 3分;化简得：（或）即为所求。
5分;（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。
直线与圆的位置关系练习题及参考答案
直线与圆的位置关系练习题及参考答案一、选择题1. 在平面上，已知点A(4,-2)，圆心O(1,3)，半径R=5. 则点A与圆的位置关系是：A. A在圆内B. A在圆上C. A在圆外答案： A. A在圆内2. 已知直线L的方程为2x - 3y = 6，圆C的方程为x^2 + y^2 = 25.则直线L与圆C的位置关系是：A. 直线L与圆C相切B. 直线L与圆C相交于两点C. 直线L与圆C不相交答案： B. 直线L与圆C相交于两点3. 在平面上，已知两个圆C1与C2，圆C1的半径为3，圆心坐标为(1,1)，圆C2的半径为2，圆心坐标为(-2,-3). 则两个圆的位置关系是：A. 两个圆相交于两点B. 两个圆内切C. 两个圆相离答案： C. 两个圆相离二、填空题1. 已知圆C的半径为2，圆心坐标为(3,5). 则圆心到原点的距离是______.答案： sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(34)2. 在平面上，已知直线L的方程为y = 2x + 1，圆C的半径为4，圆心坐标为(-1,2). 则直线L与圆C的位置关系可以表示为______.答案： (x+1)^2 + (y-2)^2 = 16三、解答题1. 如图所示，在平面上有一个圆C，其圆心坐标为(2,3)，半径为4. 请写出圆C的方程，并确定点A(-3,4)与圆C的位置关系。
解答：圆C的方程为：(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16点A(-3,4)与圆C的位置关系可以通过计算点A到圆心的距离来判断。
点A到圆心的距离为：distance = sqrt((-3-2)^2 + (4-3)^2) = sqrt(25) = 5比较点A到圆C的距离与圆的半径的关系：若 distance < 4，则点A在圆内；若 distance = 4，则点A在圆上；若 distance > 4，则点A在圆外。
因为 distance = 5 > 4，所以点A在圆外。
九年级 直线与圆的位置关系练习(含答案)
直线与圆的位置关系练习(含答案)一．选择题（共19小题）1．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（）A．70°B．40°C．50°D．20°2．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．224．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定5．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．若∠P=20°，则∠B的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为（）A．1 B．C．D．7．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°9．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．1010．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12 B．C．D．11．如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（）A．54°B．36°C．30°D．27°12．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°13．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm14．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（）A．B．C．5 D．15．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（）A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥516．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28°B．33°C．34°D．56°17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（）A．20°B．25°C．40°D．50°18．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P=60°，那么∠AOB 等于（）A．60°B．90°C．120° D．150°19．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）A．25°B．30°C．40°D．50°二．填空题（共16小题）20．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P 点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=．22．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，则OA的长为．23．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为．24．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，﹣1），AB=2．若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点P的坐标为．25．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为．26．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M的坐标为．28．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为．29．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为．30．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），则△AOB的内心与外心之间的距离是．31．P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于Q，则∠PQC=．32．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．33．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=．34．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=40°，则∠ABC的度数为．35．如图，已知⊙O的外切△PCD切⊙O于A、B、E三点，（1）若PA=5，则PB=；（2）若∠P=40°，则∠COD=度．三．解答题（共15小题）36．如图，CD是⊙O的直径，并且AC=BC，AD=BD．求证：直线AB是⊙O的切线．37．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．38．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE（1）证明OE∥AD；（2）①当∠BAC=°时，四边形ODEB是正方形．②当∠BAC=°时，AD=3DE．40．如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．41．如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．42．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．43．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．44．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．45．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D 作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．46．如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．47．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D 作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．48．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．49．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．50．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．直线与圆的位置关系练习参考答案一．选择题（共19小题）1．D；2．A；3．C；4．A；5．D；6．D；7．B；8．C；9．D；10．C；11．D；12．B；13．D；14．A；15．D；16．A；17．A；18．C；19．C；二．填空题（共16小题）20．（0，2.5）；21．1；22．10；23．50°；24．（3，2）；25．2；26．相离；27．（8，10）；28．5；29．80°；30．；31．45°；32．2；33．25°；34．25°；35．5；110；三．解答题（共15小题）36．；37．；38．；39．45；30；40．；41．；42．；43．；44．；45．；46．；47．；48．；49．；50．；。
苏科版九年级数学(上册) 直线与圆的位置关系 一课一练【含答案】
苏科版九年级数学（上册） 直线与圆的位置关系 一课一练一、单选题1．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有ABC 9045C AC AB ︒∠===，，C R C AB 一个公共点，则的取值范围是（ ）R A ．B ．C ．或D ．或125R =34R 03R <<4R >34R < 125R =2．如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，如果∠APB=60°，⊙O 半径是3，则劣弧AB 的长为（ ）A ．B ．πC ．2πD ．4π2π3．在中，，，，以C 为圆心作与AB 相切，则的半径Rt ABC △90C ∠=︒10AB =8AC =C C 长为（）A ．8B ．4C ．9.6D ．4.84．已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．105．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ 5cm 10cm π）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．如图，在中，，点在线段上（不与、重合），若为的ABC 40B C ∠=∠=︒D BCB C O ADC 内心，则不可能是（ ）AOC ∠A ．B ．C ．D ．100︒120︒140︒150︒7．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A ．4B ．6.25C ．7.5D ．98．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC等于（）A ．（∠B+∠C ）B ．90°+∠AC ．90°-∠AD ．180°-∠A1212129．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C，若⊙O 的半径为1，则BC 的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 10．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 在⊙O上，且BC=CD ，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 延长线于E ，交AB 延长线于F 点．若AB=4ED ，则cos ∠ABC 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．12131415二、填空题11．如图，⊙O 的半径OC =5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A 、B 两点，AB =8cm ，则l沿OC 所在直线向下平移 __________cm 时与⊙O 相切．12．如图，已知，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作，当30AOB ∠=︒M ________cm时，与OA 相切.OM =M 13．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若ABCD AB O C F AB E的周长为，则直角梯形周长为___________．CDE ∆12ABCE 14．如图，已知Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，∠ACB =90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC上的动点，且∠CPQ =90°，则线段CQ 的取值范围是____．15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若以C 为圆心，R 为半径作的圆与直线AB 相切,则R=______.16．已知⊙O的半径OA＝5cm，延长OA到B，AB＝2cm，以OB为一边作∠OBC＝45°，那么BC所在直线与⊙O的位置关系是_____．17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是_______°．18．等腰直角△ABC中, ∠C=90度，斜边AB=6,则此三角形的内心与外心之间的距离是_________.三、解答题19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm．20．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．21．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．22．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝5，sin ∠BAC ＝，点I 为三角形ABC 的内心，AB ＝BC ，求AI 的45长．23．如图，以平行四边形的顶点为圆心，长为半径作，分别交于两点，ABCD A ABA ,BC AD ,E F 交的延长线于点．BA G （1）求证：；EF FG =（2）连接，若，求的度数．AE 140EAG ︒∠=D ∠24．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．25．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为 ACE，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；AC（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．26．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD 增加条件AD ∥BC 而成为梯形，梯形的中位线长为m ，其他条件不变，试用m 表示梯形的周长．27．如图，都为⊙O 的切线，切点分别为，且．52,,,APB PA PB DE ︒∠=,,A B F 6PA =（1）求的周长；PDE △（2）求的度数．DOE ∠28．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，以点D 为圆心，DA 为半径的⊙D 与AB 相交于点E.(1)判断直线BC 与⊙D 的位置关系，并证明你的结论.(2)若AC＝3，BC＝5，求BE的长.答案1．D如图，过点作于点．C CD AB ⊥D ，．9045ACB AC AB ︒∠=== ，，3BC ∴=①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时C R AB CD R =．1112225CD AB AC BC R CD ⋅=⋅∴==，②当时，圆与边也只有一个公共点．34R < AB 综上，或．34R < 125R =故选D．2．C解：连接OA ，OB ．则OA ⊥PA ，OB ⊥PB∵∠APB=60°∴∠AOB=120°∴劣弧AB 的长是：120π32π.180⨯=故选C ．3．D解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵，，，90C ∠=︒10AB =8AC =∴，6BC ==∵S △ABC ，1122AC BC CD AB =⋅=⋅∴，4.8AC BC CD AB ⋅==则以C 为圆心CD 为半径作与AB 相切.C 故选D.4．C根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径.5．B解：∵圆的周长为10πcm ，∴圆的半径为5cm ，∵圆心到直线l 的距离为5cm ，∴d=r ，∴直线与圆相切，∴直线l 和这个圆的公共点的个数为1个．故选：B ．6．A∵中，，ABC 40B C ∠=∠=︒∴∠BAC=180º﹣∠B﹣∠C=100º，∵为的内心，O ADC ∴∠OAC=∠DAC ，∠ACO=∠ACB=20º，1212∴∠AOC=180º﹣∠OAC﹣∠ACO=160º﹣∠DAC ，12∵点在线段上（不与、重合），D BC B C ∴0º﹣∠DAC﹣100º，即0º﹣∠DAC﹣50º，12∴110º﹣∠AOC﹣160º，故∠AOC 不可能是100º，故选：A ．7．A∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O 为△ABC 内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O 的半径为r ，∴OE=OF=r ，∴S 四边形AEOF =r²，连接AO ，BO ，CO，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴，11()22AB AC BC r AB AC ++=⋅∴r=2，∴S 四边形AEOF =r²=4，故选A.8．C设⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∠BOD ＝∠EOD ，∠COD ＝∠FOD ，1212∴∠EOF ＝180°－∠A ，∴∠BOC ＝∠BOD ＋∠COD＝(∠EOD ＋∠FOD )12＝∠EOF12＝×(180°－∠A )12＝90°－∠A ．12故选C ．9．D连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即 解得：x即BC222)3x x =+故选：D10．A连接OC 、AC，∵CE ⊥AD ，∴∠EAC+∠ECA=90°，∵OC=OA ，∴∠OCA=∠OAC ，又∵BC=CD ，∴∠OAC=∠EAC ，∴∠OCA=∠EAC ，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴EF 是⊙O 的切线，∴∠ECD=∠EAC ，又∵BC=CD ，∴∠EAC=∠BAC ，∴∠ECD=∠BAC ，又∵AB 是直径，∴∠BCA=90°，在△BAC 和△DCE 中，∠BCA=∠DEC=90°，∠ECD=∠CAB ，∴△CDE ∽△ABC ，∴ ＝，CDDE A B B C 又∵AB=4DE ，CD=BC ，∴，=14BC AB BCAB∴BC=AB ，12∴cos ∠ABC= =．BC AB 12故选：A ．11．2∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2 =4，OA =5，∴OH =3．∴需要平移5-3=2cm ．故答案是：2．12．4解：如图，过M 作MN ⊥OA 于点N ，∵MN=2cm ，，30AOB ∠=︒∴OM=4cm ，则当OM=4cm 时，与OA相切.M 故答案为4.13．212设正方形ABCD 的边长为a则，AB BC CD AD a ====90BAD ABC D ∠=∠=∠=︒由圆的切线的判定得：AD 、BC 均为圆O 的切线由切线长定理得：,AE FE FC BC a===的周长为CDE 12，即12DE CE CD ∴++=12DE FE FC CD +++=，即12DE AE BC CD ∴+++=12AD BC CD ++=，解得312a ∴=4a =设，则AE x =3,3DE AD AE x CE FE FC x =-=-=+=+在中，，即Rt CDE △222CD DE CE +=2223(3)(3)x x +-=+解得34x =315,344AE CE x ∴==+=则直角梯形周长为ABCE 1532133442AB BC CE AE +++=+++=故．21214．≤CQ ≤12．203∵Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，∠ACB =90°，∴AB =13，①当半圆O 与AB 相切时，如图，连接OP ，则OP ⊥AB ，且AC =AP =5，∴PB =AB ﹣AP =13﹣5=8；设CO =x ，则OP =x ，OB =12﹣x ；在Rt △OPB 中，OB 2=OP 2+OB 2，即(12﹣x )2=x 2+82，解之得x =，103∴CQ =2x =；203即当CQ =且点P 运动到切点的位置时，△CPQ 为直角三角形．203②当＜CQ ≤12时，半圆O 与直线AB 有两个交点，当点P 运动到这两个交点的位置时，△CPQ 为直203角三角形；③当0＜CQ ＜时，半圆O 与直线AB 相离，即点P 在AB 边上运动时，均在半圆O 外，∠CPQ ＜90°，203此时△CPQ 不可能为直角三角形；∴当≤CQ ≤12时，△CPQ 可能为直角三角形．203故≤CQ ≤12．20315．2.4解：过C 作CD ⊥AB 于D.∵ AB 2＝AC 2＋BC 2，AC ＝3，BC ＝4，∴ AB 2＝32＋42＝25，∴ AB ＝5，根据三角形面积，得AC ·BC ＝CD ·AB∴CD ＝2.4.∵直线AB 和⊙C相切，∴ R ＝CD ＝2.4.16．相交过O 作OC ⊥BC ，在Rt △OBC 中，∠B=45°，OB=5+2=7，∴5，∴BC 所在直线与⊙O 的位置关系是相交，故答案为相交．17．135∵AB 是⊙O 的直径∴=90ACB ∠︒∴90CAB CBA ∠+∠=︒∵I 是△ABC 的内心∴IA 、IB 是角平分线∴()1452IAB IBA CAB CBA +=+=︒∠∠∠∠∴()180135AIB IAB IBA =︒-+=︒∠∠∠故135．18．3如图，∵AB=6，AC=BC ，∠ABC=90°∴CO 1= AO 1= BO 1=3AC=BC=∵O 2是内心，∴11()22AB CDAB AC BC r ⋅=++∴-3即O 1O 2-3故-319．（1）相离（2）相切（3）相交∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，∴AB ＝5cm.作CD ⊥AB 于D , 则 AC ·BC ＝ AB ·CD , CD ＝ cm.(1) ∵CD ＝2.4cm ＞r ＝2cm, ∴直线AB 与⊙C 相离.(2) ∵CD ＝2.4cm ＝r ＝2.4cm, ∴直线AB 与⊙C 相切.(3) ∵CD ＝2.4cm ＜r ＝3cm, ∴直线AB 与⊙C 相交.20．BC 、AC 的长分别是10cm 、cm.解：∵圆O 内切于△ABC ，∴∠ABO=∠CBO ，∠BCO=∠ACO ，∵∠ACB=90°，∴∠BCO=×90°=45°，12∵∠BOC=105°，∴∠CBO=180°−45°−105°=30°，∴∠ABC=2∠CBO=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB=×20=10cm ，1212∴==∴BC 、AC 的长分别是10cm 、21．S=(a+b+c)r12如图，设△ABC 与⊙O 相切与点D 、E 、F ．连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ．则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ．∵S △AOB =AB•OD=cr ，同理，S △OBC =ar ，S △OAC =br ．12121212∵S △ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC ，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r1212121222．AI .连结CI ，BI ，且延长BI 交AC 于点F ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ，IE ⊥AB 于点E .∵AB ＝BC ＝5，点I 为△ABC 的内心，∴BF ⊥AC ，AF ＝CF .在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAC ＝，∴BF ＝4.∴AF＝3，∴AC ＝6.∵点I 是△ABC 的内心，45BF AB ＝IE ⊥AB ，IF ⊥AC ，IG ⊥BC ，∴IE ＝IF ＝IG .∴S △ABC ＝AB ＋AC ＋BC )·IF ＝AC ·BF ，∴IF ＝1212，∴AI.6436562AC BF AB AC BC ⨯ ＝＝＋＋＋＋23．（1）详见解析；（2）70°（1）证明：连接．AE∵四边形是平行四边形，ABCD ，//AD BC ∴，，EAF AEB ∴∠=∠GAF B ∠=∠，AE AB = ，B AEB ∴∠=∠，EAF GAF ∴∠=∠.EF FG ∴=（2）解：为的直径，，GB A 140EAG ︒∠=，40BAE ︒∴∠=，70B AEB ︒∴∠=∠=∵四边形是平行四边形，ABCD ．70D B ︒∴∠=∠=24．（1）r=3cm. (2) r=（a+b-c ）．12（1）如图,连接OD ，OF ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=9cm ；根据勾股定理=15cm ；四边形OFCD 中，OD=OF ，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；则四边形OFCD 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE ，CD=CF ，BE=BF ；则CD=CF=（AC+BC-AB ）；12即：r=（12+9-15）=3cm ．12（2）当AC=b ，BC=a ，AB=c ，由以上可得： CD=CF=（AC+BC-AB ）；12即：r=（a+b-c ）．则⊙O 的半径r 为：（a+b-c ）．121225．（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．解：（1）连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，连接OF，AF，AC∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四边形OACF为菱形．26．（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.(1)AB+CD=AD+BC证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，即AB+CD=AD+BC(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m27．（1）12；（2）64°解：（1）∵PA 、PB 、DE 都为⊙O 的切线，∴DA=DF ，EB=EF ，PA=PB=6，∴DE=DA+EB ，∴PE+PD+DE=PA+PB=12，即△PDE 的周长为12；（2）连接OF，∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、F 三点，∴OB ⊥PB ，OA ⊥PA ，∠BOE=∠FOE=∠BOF ，∠FOD=∠AOD=∠AOF ，1212∵∠APB=52°，∴∠AOB=360°-90°-90°-52°=128°，∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF ）=∠BOA=64°．121228．(1)直线BC 与⊙D 相切，理由见解析；(2)BE=1.(1)直线BC 与⊙D 相切，理由：过D 作DF ⊥BC 于F ，∴∠CFD ＝∠A ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴DA ＝DF ，∴直线BC 与⊙D 相切；(2)∵∠BAC ＝90°，AC ＝3，BC ＝5，∴AB 4，在Rt △ACD 与Rt △FCD 中,AD DF CD CD =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △FCD(HL)，∴CF ＝AC ＝3，∴BF ＝2，∵BF 是⊙D 的切线，∴BF 2＝BA•BE ，∴.22214BF BE AB ===。
沪科版数学九年级下 直线和圆的位置关系经典题型汇编(含答案)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯沪科版九年级数学直线和圆的位置关系经典题型汇编一、选择题1.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )A. 0≤b<2 2B. －22≤b≤2 2C. －23<b<2 3D. －22<b<2 22.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A. 5B. 6C. 7D. 8第2题第3题3.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠B的度数为( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的度数为( )A. 29°B. 32°C. 42°D. 58°第4题第5题5. 如图，直线AD是⊙O的切线，A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( )A. 54°B. 36°C. 30°D. 27°6. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线垂直于边AD所在的直线于点M.若∠ABC ＝55°，则∠ACD的度数为( )A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°第6题第7题7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则O是△ABC的( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点8.如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的度数为( )A. 114°B. 122°C. 123°D. 132°第8题 第11题9.已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( ) A.32 B. 32C. 3D. 2 3 10. 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆的半径为( ) A. 2 B. 2 2 C.22D. 1 11.如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( ) A. 65 B. 85 C. 75 D. 23512.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P＝30°，则AC 的长度是( )A. 5 3B. 5 2C. 5D. 52第12题第13题13.如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD<90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径为( )A. 5B. 6C. 2 5D. 3 2 二、 填空题14.如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________°.第14题第15题15. (2017·齐齐哈尔)如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C ，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于点D ，连接OD.若∠A ＝50°，则∠COD 的度数为________．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A ，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD ＝30°，则∠BOD ＝________°.第16题第17题17. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为D ，AB ＝BC ＝2，则∠AOB ＝________°. 18. 如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径为________．第18题第19题19.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，点O 在AB 上，OB ＝2，以OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，则弦BE 的长为________ .20.如图，∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以点O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以点O 2为圆心、O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以点O 3为圆心、O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以点O 10为圆心、O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径是________．第20题 第21题21.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ，连接BD.(1) AF ，EF 所在直线的位置关系是________； (2) 若AC ＝6，CF ＝2，则⊙O 的半径为________．22. 如图，⊙C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC ＝5，P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A ，B ，且OA ＝OB ，∠APB ＝90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．第22题第23题第24题23. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是________．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是(3，0)，(0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心、PB 长为半径的⊙P 随点P 运动．当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，点P 的坐标为____________________．三、 解答题25.已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT ＝50°，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D.(1) 如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；(2) 如图②，当BE ＝BC 时，求∠CDO 的大小．第25题26. 如图，⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A 作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，∠P＝30°.(1) 求弦AC的长；(2) 求证：BC∥PA.第26题27.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．第27题28.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第28题29. 如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1) 求证：AP＝AB；(2) 若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．第29题30. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1) 求证：∠A＝∠ADE；(2) 若AD＝16，DE＝10，求BC的长．第30题31.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.(1) 判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．第31题32.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．第32题33. 如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C.(1) 若点A 的坐标为(0，6)，点N 的坐标为(0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标； (2) 若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．第33题34如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交CB 的延长线于点E ，垂足为F.(1) 判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若⊙O 的半径R ＝5，tan C ＝12，求EF 的长．第34题35. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1) 求证：CA ＝CN ；(2) 连接DF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝210，求⊙O 的直径．第35题36.如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA ＝PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆． (1) 求证：AB 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，求⊙O 的半径． 第36题参考答案一、 1. D 2. D 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. C 9. C 10. A 11. B 12. A 13. C二、 14. 50 15. 80° 16. 120 17. 60 18. 5 19. 2 20. 2921. (1) AF ⊥EF (2) 5 22. 4 23. 2 2 24. (0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5，9－352三、 25. (1) 如图①，连接AC.∵ AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴ AT ⊥AB.∴ ∠TAB ＝90°.∵ ∠ABT ＝50°，∴ ∠T ＝90°－∠ABT ＝40°.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ ∠CAB ＝90°－∠ABC ＝40°.∴ ∠CDB ＝∠CAB ＝40° (2) 如图②，连接AD.∵ 在△BCE 中，BE ＝BC ，∠EBC ＝50°，∴ ∠BCE ＝∠BEC ＝65°.∴ ∠BAD ＝∠BCD ＝65°.∵ OA ＝OD ，∴ ∠ODA ＝∠OAD ＝65°.∵ ∠ADC ＝∠ABC ＝50°，∴ ∠CDO ＝∠ODA －∠ADC ＝65°－50°＝15°第25题26. (1) 连接OA.∵ PA 是⊙O 的切线，OA 为⊙O 的半径，∴ ∠PAO ＝90°.∵ 在Rt △PAO 中，∠P ＝30°，OA ＝5，∴ OP ＝2OA ＝10，PA ＝OP 2－OA 2＝5 3.∵ AC ⊥PB ，∴ 12OP ×AD ＝12PA ×OA ，即12×10×AD＝12×53×5，解得AD ＝532.∵ AC ⊥PB ，PB 过圆心O ，∴ AD ＝DC.∴ AC ＝2AD ＝5 3 (2) ∵ AC ⊥PB ，∠P ＝30°，∴ ∠PAC ＝60°.∵ 在Rt △PAO 中，∠P ＝30°，∴ ∠AOP ＝60°.∴ ∠BOA ＝180°－∠AOP ＝120°.∴ ∠BCA ＝12∠BOA ＝60°.∴ ∠PAC ＝∠BCA.∴ BC ∥PA27. (1) ∵ OB ＝OD ，∴ ∠ABC ＝∠ODB.∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB.∴ ∠ODB ＝∠ACB.∴ OD ∥AC.∵ DE 是⊙O 的切线，OD 是半径，∴ DE ⊥OD.∴ DE ⊥AC (2) 过点O 作OH ⊥AF 于点H ，则∠ODE ＝∠DEH ＝∠OHE ＝90°，∴ 四边形ODEH 是矩形．∴ OD ＝EH ，OH ＝DE.设AH ＝x.∵ DE ＋AE ＝8，OD ＝10，∴ AE＝10－x ，OH ＝DE ＝8－(10－x)＝x －2.在Rt △AOH 中，由勾股定理，知AH 2＋OH 2＝OA 2，即x 2＋(x －2)2＝102，解得x 1＝8，x 2＝－6(不合题意，舍去)．∴ AH ＝8.∵ OH ⊥AF ，∴ AH ＝FH ＝12AF.∴ AF ＝2AH ＝2×8＝1628. (1) 连接OB.∵ PA ，PB 是⊙O 的切线，∴ OA ⊥AP ，OB ⊥BP.又∵ OA ＝OB ，∴ PO 平分∠APC (2) ∵ OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴ ∠CAP ＝∠OBP ＝90°.∵ ∠C ＝30°，∴ ∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°.∵ PO 平分∠APC ，∴ ∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°.∴ ∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°.又∵OD ＝OB ，∴ △ODB 是等边三角形．∴ ∠OBD ＝60°.∴ ∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°.∴ ∠DBP ＝∠C.∴ DB ∥AC29. (1) ∵ OC ＝OB ，∴ ∠OCB ＝∠OBC.∵ AB 是⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB.∴ ∠OBA ＝90°.∴ ∠ABP＋∠OBC ＝90°.∵ OC ⊥AO ，∴ ∠AOC ＝90°.∴ ∠OCB ＋∠CPO ＝90°.又∵ ∠APB ＝∠CPO ，∴ ∠APB ＝∠ABP.∴ AP ＝AB (2) 过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵ 在Rt △OAB 中，OB ＝4，AB ＝3，∴ OA ＝32＋42＝5.∵ AP ＝AB ＝3，∴ OP ＝2.∴ 在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2 5.∵ OC ⊥OA ，OH ⊥BC ，∴ S △COP ＝12PC ·OH＝12OC ·OP.∴ OH ＝OC ·OP PC ＝455.∴ 在Rt △CHO 中，CH ＝OC 2－OH 2＝855.∵ OH ⊥BC ，OH 过圆心O ，∴ CH ＝BH.∴ BC ＝2CH ＝1655.∴ BP ＝BC －PC ＝1655－25＝65530. (1) 如图，连接OD.∵ DE 是切线，∴ ∠ODE ＝90°.∴ ∠ADE ＋∠BDO ＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°.∵ OD ＝OB ，∴ ∠B ＝∠BDO.∴ ∠A ＝∠ADE (2) 如图，连接CD.∵ ∠ADE ＝∠A ，∴ AE ＝DE.∵ BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴ EC 是⊙O 的切线．∴ ED ＝EC.∴ AE ＝EC.∵ DE ＝10，∴ AC ＝2DE ＝20.∵ AE ＝DE ＝CE ，∴ ∠A ＝∠EDA ，∠EDC ＝∠ECD.∵ ∠A ＋∠EDA ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°，∴ ∠ADE ＋∠EDC ＝12×180°＝90°.∴ 在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12.∵ BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BDC ＝90°.设BD ＝x ，在 Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122；在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202.∴ x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，即BD ＝9.∴ 在Rt △BDC 中，BC ＝122＋92＝15第30题31. (1) 直线DE 与⊙O 相切 理由：如图，连接OD.∵ OD ＝OA ，∴ ∠A ＝∠ODA.∵ EF 是BD 的垂直平分线，∴ EB ＝ED.∴ ∠B ＝∠EDB.∵ ∠C ＝90°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°.∴ ∠ODA ＋∠EDB ＝90°.∴ ∠ODE ＝180°－90°＝90°，即OD ⊥DE.∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 直线DE 与⊙O 相切．(2) 如图，连接OE.设DE ＝x ，则EB ＝ED ＝x ，CE ＝8－x.∵ ∠C ＝∠ODE ＝90°，∴ OC 2＋CE 2＝OE 2＝OD 2＋DE 2.∵ AC ＝6，AO ＝2，∴ OC ＝4.∴ 42＋(8－x)2＝22＋x 2，解得x ＝4.75.∴ DE ＝4.75第31题32. (1) 如图，连接OB ，OD.∵ E 是弦BD 的中点，∴ BE ＝DE ，BD ＝2BE.∵ OB ＝OD ，∴ OE ⊥BD ，∠BOF ＝∠DOF ，即∠BOD ＝2∠BOF.∵ ∠BOD ＝2∠A ，∴ ∠BOF ＝∠A.∵ ∠DBC ＝∠A ，∴ ∠BOF ＝∠DBC.∵ 在Rt △BEO 中，∠DBO ＋∠BOF ＝90°，∴ ∠DBO ＋∠DBC ＝90°，即∠CBO ＝90°.∴ CB ⊥OB.∵ OB 是⊙O 的半径，∴ BC 是⊙O 的切线 (2) ∵ ∠CBO ＝90°，OB ＝6，BC ＝8，∴ OC ＝62＋82＝10.∵ BE ⊥OC ，∴ S△OBC ＝12OC ·BE ＝12OB ·BC.∴ BE ＝OB ·BC OC ＝6×810＝4.8.∴ BD ＝2BE ＝9.6 第32题33. (1) ∵ 点A 的坐标为(0，6)，点N 的坐标为(0，2)，∴ ON ＝2，AN ＝4.∵ NB ∥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴ NB ⊥y 轴．∴ ∠ANB ＝90°.∵ 在Rt △ANB 中，∠ABN ＝30°，∴ AB ＝2AN ＝8.∴ 由勾股定理，可知NB ＝AB 2－AN 2＝4 3.∴ 点B 的坐标为(43，2) (2) 如图，连接MC ，NC.∵ AN 是⊙M 的直径，∴ ∠ACN ＝90°.∴ ∠NCB ＝90°.在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴ CD ＝12NB ＝ND.∴ ∠CND ＝∠NCD.∵ MC ＝MN ，∴ ∠MCN ＝∠MNC.∵ ∠ANB ＝∠MNC ＋∠CND ＝90°，∴ ∠MCN ＋∠NCD ＝90°，即∠MCD ＝90°.∴ MC ⊥CD.∵ MC 是⊙M 的半径，∴ 直线CD 是⊙M 的切线第33题34. (1) DE 与⊙O 相切 理由：如图，连接OD.∵ OC ＝OD ，∴ ∠C ＝∠ODC.∵ AB ＝BC ，∴ ∠C ＝∠A.∴ ∠ODC ＝∠A.∴ OD ∥AB.∵ DE ⊥AB ，∴ DE ⊥OD.∵ OD 是⊙O 的半径，∴ DE 与⊙O 相切． (2) 如图，连接BD ，过点D 作DH ⊥BC 于点H.∵ BC 为⊙O 的直径，∴ ∠CDB ＝90°.∴ tan C ＝BD CD ＝12.不妨设BD ＝k ，则CD ＝2k ，BC ＝BD 2＋CD 2＝5k.∵ BC ＝2R ＝10，∴ k ＝25，即BD ＝25，CD ＝4 5.∵ 在Rt△CDB 中，S △CDB ＝12BC ·DH ＝12CD ·BD ，∴ DH ＝CD ·BD BC ＝4.∴ 在Rt △OHD 中，OH ＝OD 2－DH 2＝3.∵ DE ⊥OD ，DH ⊥BC ，∴ ∠ODE ＝∠OHD ＝90°.∵ ∠DOH ＝∠EOD ，∴ △DOH ∽△EOD.∴ OD OE ＝OH OD ，即5OE ＝35.∴ OE ＝253.∴ EB ＝OE －OB ＝253－5＝103.∵ OD ∥AB ，即BF ∥OD ，∴ △BFE ∽△ODE.∴ BF OD ＝BE OE ，即BF 5＝103253.∴ BF ＝2.∴ 在Rt △BFE 中，EF ＝EB 2－BF 2＝83第34题35. (1) 如图，连接OF.∵ OF ＝OA ，∴ ∠OAN ＝∠OFN.∵ ME 与⊙O 相切与点F ，∴ OF ⊥ME ，即∠OFN ＋∠MFN ＝90°.∵ CD ⊥AB ，∴ ∠OAN ＋∠ANH ＝90°.∴ ∠MFN ＝∠ANH.又∵ ME ∥AC ，∴ ∠MFN ＝∠NAC.∴ ∠ANH ＝∠NAC.∴ CA ＝CN (2) ∵ ∠DFA ＝∠ACH ，cos ∠DFA ＝45，∴ cos ∠ACH ＝45.∵ CD ⊥AB ，∴ 在Rt △AHC 中，设AC ＝5a ，则HC ＝4a ，AH ＝AC 2－HC 2＝3a.由(1)知，CA ＝CN ，∴ NH ＝a.在 Rt △AHN 中，利用勾股定理，得AH 2＋NH 2＝AN 2，即(3a)2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2.∴ AH ＝6，HC ＝8.如图，连接OC ，在Rt △OHC 中，利用勾股定理，得OH 2＋HC 2＝OC 2.设⊙O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得R ＝253.∴ 2R＝503，即⊙O 的直径为503第35题36. (1) 如图，连接OP ，OA ，OD ，设OP 交AD 于点E.∵ PA ＝PD ，∴ AP ︵＝DP ︵，∠AOP ＝∠DOP.∵ OA ＝OD ，∴ OP ⊥AD ，AE ＝DE.∴ ∠1＋∠OPA ＝90°.∵ OP ＝OA ，∴ ∠OAP ＝∠OPA.∴ ∠1＋∠OAP ＝90°.∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ 易证∠1＝∠2.∴ ∠2＋∠OAP ＝90°，即∠OAB ＝90°.∴ OA ⊥AB.∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AB 是⊙O 的切线 (2) 如图，连接BD ，交AC 于点F.∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ DB 与AC 互相垂直平分．∵ AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，∴ AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF ＝22.∴ DF ＝2 2.∴ 在Rt △AFD 中，AD ＝AF 2＋DF 2＝2 6.∴ AE ＝ 6.∵ ∠1＝∠2，∴ 在Rt △PAE 中，tan ∠1＝PE AE ＝22.∴ PE ＝ 3.设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R.在Rt △OAE 中，由OA 2＝OE 2＋AE 2，得R 2＝(R －3)2＋(6)2，解得R ＝332.∴ ⊙O 的半径为332第36题一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
点和直线及圆的位置关系40题带详细解析
一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔 〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔 〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔 〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔 〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔 〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔 〕A．3B．C．D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔 〕A．60°B．30°C．45°D．90°8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔 〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞49．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔 〕A．5B．6C．7D．8二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=．11．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=°．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=；〔2〕当OA=2时，AP=．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=°．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为．26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=度．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．2021年11月07日189****3288的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔 〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上【解答】解：A、同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故本选项错误；B、能够重合的弧是等弧，正确；C、三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故本选项错误；D、菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故本选项错误．应选：B．2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔 〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为〔﹣3，4〕，∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔 〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；应选：C．4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔 〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，∴∠B=80°，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=100°，应选：C．5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔 〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定【解答】解：圆O的直径为10，OP=6，∴该圆的半径为5，∴点P在圆O外，应选：A．6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔 〕A．3B．C．D．4【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=3，∴AB=3，应选：B．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔 〕A．60°B．30°C．45°D．90°【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，应选：B．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔 〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．应选：B．9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔 〕A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD==12，BM===13，∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．应选：D．二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC= 4 ．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AD=DB，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∴BC=2DE=2×2=4．故答案为：411．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 〔5，2〕 ．【解答】解：由图象可知B〔1，4〕，C〔1，0〕，根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，设D〔a，2〕，根据勾股定理得：DA=DC〔1﹣a〕2+22=42+〔3﹣a〕2解得：a=5，∴D〔5，2〕．故答案为：〔5，2〕．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC= 2．【解答】解：连接OC∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°∵OB=OC，OD⊥BC∴BD=CD，∠BOD=∠COD=60°∵BO=2，∠BOD=60°，OD⊥BC∴OD=1，BD=OD=∴BC=2故答案为213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为﹣6 ．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，∴OB==，∴BE=OB﹣OE=﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为 6+2．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴〔2+GH〕2+〔〕2=62解得GH=〔舍去〕或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为 2 ．【解答】解：∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆周上〔P在△ACB部〕，连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB=6，∴OB=3，∵BC=4，∴由勾股定理得：OC=5，∴CP=5﹣3=2，故答案为：2．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为 5．【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=60°，∵PB=AB，∴∠POB=60°，OB⊥AP，则AH=PH=OP×sin∠POH=，∴AP=2AH=5，故答案为：5．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为 10．【解答】解：作OH⊥BC于H，则BH=HC，由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC，∵∠BAC+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠OBC=30°，∴BH=OB×cos∠OBH=5，∴BC=2BH=10，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是﹣4 ．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB〔直角三角形斜边中线等于斜边一半〕，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为：﹣4．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB= 40 °．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 1.5 ．【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC 的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，∵⊙B的半径为2，∴BP1=2，AP1=5+2=7，∵C1是AP1的中点，∴AC1=3.5，AQ=5﹣2=3，∵C2是AQ的中点，∴AC2=C2Q=1.5，C1C2=3.5﹣1.5=2，即⊙D的半径为1，∵AD=1.5+1=2.5=AB，∴OD=AB=2.5，∴OC=2.5﹣1=1.5，故答案为：1.5．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R= 1 ．【解答】解：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC的切圆半径R===1．故答案为1．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为 40° ．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB= 60° ；〔2〕当OA=2时，AP= 2．【解答】解：〔1〕∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．〔2〕如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C= 40 °．【解答】解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为 40 ．【解答】解：∵*2﹣17*+60=0，∴*=5或*=12∴AD=5，BE=12，∵⊙O是△ABC的切圆，∴AD=AF=5，BE=BF=12，又设⊙O的半径为r，∴AC=5+r，BC=12+r，AB=17∴由勾股定理可知：〔5+r〕2+〔12+r〕2=172，∴解得：r=3或r=﹣20〔舍去〕∴AC=8，BC=15，∴△ABC的周长为：8+15+17=40故答案为：40；26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C= 45 度．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC= 110° ．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵⊙O与△ABC的三边相切，∴点O是△ABC的心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=70°，∴∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=110°，故答案为：110°．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是 4．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，AP=OA=4，∵∠AOP=∠C+∠OAC=60°，而∠C=∠OAC，∴∠C=30°，∴AC=AP=4．故答案为4．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 30° 【解答】解：连接OD，如图，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，∴∠ADP=90°﹣60°=30°．故答案为30°．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACO和△BAD中，，∴△ACO≌△BAD〔ASA〕，∴AO=AD，∵AO=OD，∴AO=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°，∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，∴AD=DC，∵CD=2，∴AD=2，∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，∴OE=，故答案为：．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；〔2〕解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．【解答】证明：〔1〕连接OD，如图1所示．∵OA=OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AE∥OD．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE．〔2〕过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE=DM．在△DAE和△DAM中，，∴△DAE≌△DAM〔SAS〕，∴AE=AM．∵∠EAD=∠MAD，∴=，∴CD=BD．在Rt△DEC和Rt△DMB中，，∴Rt△DEC≌Rt△DMB〔HL〕，∴CE=BM，∴AE+CE=AM+BM=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．【解答】解：〔1〕证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．〔2〕在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．【解答】解：〔1〕直线DP与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵AC是∠EAB的平分线，∴∠EAC=∠OAC∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠ACO=∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切线；〔2〕作CH⊥AB于H，如图，∵AC是∠EAB的平分线，CD⊥AD，CH⊥AB，∴CH=CD=4，∴OH==3，∵OC⊥CP，∴∠OCP=∠CHO=90°，而∠COP=∠POC，∴△OCH∽△OPC，∴OC：OP=OH：OC，∴OP==，∴PB=OP﹣OB=﹣5=．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【解答】〔1〕证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB〔SAS〕，∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；〔2〕解：由〔1〕可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，∴S △OCE=•OD•CE=×4×8=16．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC∵∠C=90°，∴∠ODC=90°∴OD⊥AC∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线〔2〕过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O 的弦，且OM⊥BE∴BM=EM∵∠ODC=∠C=∠OMC=90°∴四边形ODCH为矩形，则OM=DC=4∵OB=5∴BM==3=EM∴BE=BM+EM=6．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，如图，∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°，∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD，∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF，∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；〔2〕解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=OE=，∴CD=2CE=．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．〔2〕解：连接CD．∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=*，在Rt△BDC中，BC2=*2+62，在Rt△ABC中，BC2=〔*+8〕2﹣102，∴*2+62=〔*+8〕2﹣102，解得*=，∴BC==．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【解答】解：〔1〕∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；〔2〕在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4．在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：〔8﹣r〕2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．。
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】A【解析】圆心坐标为（-3，-1），半径r=1，弦长为2等于直径长，所以直线过圆心，因此-3m-n+2=0即3m+n=2，，当且仅当n=3m时取“=”，答案选A.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.基本不等式2.如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到直线的距离__________.【答案】.【解析】由于C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，进而得∠B=60°，所以∠DCA=60°，又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，∴AD＝AC•sin∠DCA＝．故应填入：.【考点】圆的切线的性质定理．3.直线l：y＝x－1被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为．【答案】【解析】根据圆半径、圆半弦长及圆心到直线距离构成一个直角三角形得：弦长为其中，所以弦长为【考点】点到直线距离4.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为(科网 )A．2B．2C．D．【答案】A.【解析】设直线与圆的交点为，，首先由题意知直线的方程为：，然后根据圆心到直线的距离公式计算得，于是可得弦长，即为所求.【考点】直线与圆的位置关系.5.已知动圆()（1）当时，求经过原点且与圆相切的直线的方程；（2）若圆恰在圆的内部，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】（1）时，。
圆心为半径为2。
讨论直线的斜率是否存在，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，可得直线的方程。
（2）圆的圆心，半径为4。
圆的圆心，半径为，圆在圆的内部，等价于圆内含于圆即，注意讨论的正负去绝对值，从而可解得的范围。
（1）当直线的斜率不存在时，方程为,（3分）当直线的斜率存在时,设方程为，由题意得所以方程为（6分）（2）,由题意得，得（9分）当时，解得，当时，解得【考点】1直线与圆的位置关系；2两圆位置关系。
初三数学中考复习直线与圆的位置关系专题训练题含答案
2019 初三数学中考复习直线与圆的位置关系专题训练题1. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( B )A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r应满足( A ) A．r＝2或 5 B．r＝2 C．r＝ 5 D．2≤r≤53．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为( C )A.32B.32C. 3 D．234．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( A )A．20° B．35° C．40° D．55°5. 如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( B )A．3次 B．5次 C．6次 D．7次6. 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处，若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( C )A．3 B．4 C．2＋ 2 D．227．如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为__123°__．8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是．9．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d，我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m，如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：当d＝3时，m＝__1__；当m ＝2时，d的取值范围是__1＜d＜3__.10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为__122°__．11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为3．12．如图，直线y＝－34x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B；点Q是以C(0，－1)为圆心，1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是5．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 随点P 运动，当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，P 点的坐标为__(0，0)或(23，1)或(32． 14．如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E.(1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，∴BD ︵＝CD ︵.∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.(2)连结CD ，∵BD ︵＝CD ︵，∴CD＝BD ＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝BD2＋CD2＝42，∴△ABC 外接圆的半径＝12×42＝2 2. 15．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG∥AE 交BA 的延长线于点G.(1)求证：CG 是⊙O 的切线；(2)求证：AF ＝CF ；(3)若∠EAB＝30°，CF ＝2，求GA 的长．解：(1)证明：连结OC ，可得OC⊥AE，又CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG 是⊙O 的切线．(2)证明：连结AC ，延长CD ，交⊙O 于Q ，∵CD⊥AB，∴AC ︵＝AQ ︵.又AC ︵＝CE ︵，∴AQ ︵＝CE ︵，∴∠ACD＝∠CAF，∴AF＝CF.(3)在Rt△ADF 中，∠DAF＝30°，FA ＝FC ＝2，∴DF＝12AF ＝1，∴AD＝3DF ＝3.∵AF∥CG，∴DA∶AG＝DF∶CF，即 3∶AG＝1∶2，∴GA＝2 3.16．如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连结BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM 平分∠ACD，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝1时，求MN 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°.又∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDB＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB ，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM 平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM ＝1，∴DN＝DM ＝1，∴MN＝DM2＋DN2＝ 2.17．如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上(异于B ，F)一点，⊙O 的切线MA 与FB 的延长线交于点M ；P 为AM 上一点，PB 的延长线交⊙O 于点C ，D 为BC 上一点且PA ＝PD ，AD 的延长线交⊙O 于点E.(1)求证：BE ︵＝CE ︵；(2)若ED ，EA 的长是一元二次方程x2－5x ＋5＝0的两根，求BE 的长；(3)若MA ＝62，sin∠AMF＝13，求AB 的长． 解：(1)证明：连结OA ，OE 交BC 于点T ，∵AM 是切线，∴∠OAM＝90°，∴∠PAD＋∠OAE＝90°.∵PA＝PD ，∴∠PAD＝∠PDA＝∠EDT.∵OA＝OE ，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠EDT＋∠OEA＝90°，∴∠DTE＝90°，∴OE⊥BC，∴BE ︵＝CE ︵.(2)∵ED，EA 的长是一元二次方程x2－5x ＋5＝0的两根，∴ED·EA＝5.∵BE ︵＝EC ︵，∴∠BAE＝∠EBD.∵∠BED＝∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴BE AE ＝DE EB，∴BE2＝DE·EA＝5，∴BE＝ 5. (3)作AH⊥OM 于点H ，在Rt△AMO 中，∵AM＝62，sin∠M＝13＝OA OM，设OA ＝m ，OM ＝3m ，∴9m2－m2＝72，∴m＝3，∴OA＝3，OM ＝9.易知∠OAH＝∠M，∴sin∠OAD＝OH AO ＝13，∴OH＝1，AH ＝22，BH ＝2，∴AB＝AH2＋BH2＝（22）2＋22＝2 3.。
6.5 直线与圆的位置关系(同步练习)(解析版)
6.5 直线与圆的位置关系
同步练习
故C 到:3410l x y +-=的距离为22381
234+-=+，
故所求弦长为2223225-=．
故选：C
1．圆()2211x y ++=与直线230x y ++=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法d 与r 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆()2
211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1， 所以圆心到直线230x y ++=的距离22351512d -+=
=<+， 所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
2．直线33
y x =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是( ) A ．相交但直线不过圆心 B ．相切
C ．相离
D ．相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d ，和圆的半径r 比较即可得到此圆与直线的位置关系．
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为()1
0，，半径1r =，直线为30x y -=， ∴()1
0，到直线30x y -=的距离112
13d r ==<+， ∴圆与直线的位置关系为相交， 又圆心()1
0，不在直线33y x =上， 故选：A ． 能力进阶。
直线与圆的位置关系练习(含参考答案)
直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值解析 由y ＝kx ＋1知直线过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2y ＝0得x 2＋(y －1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别 为（ ）A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4 解析 因为直线y ＝k x 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝k x与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4. 答案 A4．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为 ． 解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0. 答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m ＜3)的一条弦AB 的中点为P (0,1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (－1,2)，则CP ⊥AB ，直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.6．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 ．解析 由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝07．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，求实数a 的值.解析：圆C ∶x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.8．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2， 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎨⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析 选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.10．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．答案 A11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1（0<θ<π2）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝ .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1的距离d ＝1.而圆的半径r ＝5，且r －d ＝5－1>1，∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案：412．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于 ．解析 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y轴的交点A 的坐标为(0，3)．由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 3413．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是 ．解析 法一 如图所示，|OP |＝|OA |sin ∠OP A＝2，易得P 为CD 中点，故P (2，2)． 法二 设P (x ，y )，由法一可得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，故P (2，2)．答案 (2，2)14．半径为5的圆C 过点A )4,2(-，且以)3,1(-M 为中点的弦长为34，求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=，依题意，2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为：22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求下列各式的最大值与最小值：（1）y x； （2）y －x ； （3）(x +1)2＋y 2．解析 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y +x 可看作是直线y ＝-x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝-x＋b 与圆相切时，纵截距b取得=，解得b ＝2±6.所以y +x 的最大值为2＋6，最小值为2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方，由平面几何知识知，在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．3=，所以x 2＋y 2的最大值是(3＋3)2＝12＋63，x 2＋y 2的最小值是(3－3)2＝12－6 3.16．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．（1）若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；（2）求四边形QAMB 面积的最小值；（3）若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
初三数学数学直线与圆的位置关系拔高练习(个人精心整理,含答案)
直线与圆的位置关系 姓名：________一．选择题1.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO 等于( ) A.70° B.64° C.62° D.51°2.如图，已知PA 切⊙O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O•逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为（ ） A．．3.如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A.900－∠P B.900－21∠P C.1800－∠P D.450－21∠P4、如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ） A 、MN=334 B 、若MN 与⊙O 相切，则C 、若∠MON=90°，则MN 与⊙O 相切 D 、l 1和l 2的距离为25、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是（ ） A 、20≤<x B 、22≤≤-x C 、11≤≤-x D 、2>x6、如图，在Rt △ABC 中，BC=3cm ，AC=4cm ，动点P 从点C 出发，沿C→B→A→C 运动，点P 在运动过程中速度始终为1cm/s ，以点C 为圆心，线段CP 长为半径作圆，设点P 的运动时间为t （s ），当⊙C 与△ABC 有3个交点时，此时t 的值不可能是（ ）A 、2.4B 、3.6C 、6.6D 、9.67、如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3，-2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标是（ ） A ．（-4,0） B.（-2,0） C.（-4,0）或（-2，0） D.（-3,0）二．填空题8、如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P点，O 1O 2=8．若将⊙O 1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 次 OCDBA9、如图，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切于点O ．若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是10、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，且AB ＞AD+BC ，AB 是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为11、如图，在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是12、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，以腰AB 为直径作圆，已知AB=10，AD=M ，BC=M+4，要使圆与折线BCDA 有三个公共点（A 、B 两点除外），则M 的取值范围是 13、如图，已知点A 的坐标为（3，3）），AB 丄x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数)0(>=k xky 的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB=3BD ，以点C 为圆心，CA 的45倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是 （填”相离”，“相切”或“相交“）．14、如图，△ABC 为等边三角形，AB=6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿着A→C→B→A 的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第 秒．15、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ___ ． 16、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 ．17、如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ．已知BC=10，AD=4．那么直线CE 与以点O 为圆心，25为半径的圆的位置关系是 ． 18、如图，半圆的圆心与坐标原点重合，圆的半径为1，直线L 的解析式为y=x+t ．若直线L 与半圆只有一个交点，则t 的取值范围是 ；若直线L 与半圆有交点，则t 的取值范围是 ．19、如图，直线l 经过边长为10的正方形中心A ，且与正方形的一组对边平行，⊙B 的圆心B 在直线l 上，半 径为r ，AB=7，要使⊙B 和正方形的边有2个公共点，那么r 的取值范围是 ．20、△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如图，现在△ABC 内作一扇形，使扇形半径都在△ABC 的边上，扇形的弧与△ABC 的其他边相切，则符合条件的扇形的半径为 ．三．计算题21、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以3cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s 的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ． （1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ ∥BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？22、如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考： 如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一：在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二：将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转． （1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值； （2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=43，cos41°=43，tan37°=43．）23、如图，已知半圆O的直径DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．（1）当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？t为何值时，△ABC的边AB与半圆O相切？（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．24、如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F，AE=3。
直线与圆的位置关系练习题
专项训练：直线与圆的位置关系一、单选题1．直线截圆所得的弦长为A ．B ．C ．D ． 2．直线2x +y −5=0与圆(x −1)2+(y +2)2=6的位置关系是A ． 相切B ． 相交但不过圆心C ． 相交且过圆心D ． 相离3．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＋0关于直线2ax ＋by ＋2＋0(a ＋b ＋R)对称，则ab 的取值范围是A ． (−∞,14]B ． [0,14]C ． [−14,0]D ． (−∞,−14] 4．若直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :(x +2)2+(y −1)2=2相切,则直线l 与圆D :(x −2)2+y 2=3的位置关系是A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 不确定5．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2√2，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ． [π12，π4]B ． [π12，5π12]C ． [π6，π3]D ． [0，π2] 6．“k =0”是直线x −ky −1=0与圆(x −2)2+(y −1)2=1相切的＋ ＋A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件7．已知集合A ={(x,y )|x 2+y 2=1 }，集合B ={(x,y )|x +y +a =0 }，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是（ ）A ． −√2<a <√2B ． −√2≤a ≤√2C ． 1<a ≤√2D ． a ≥√28．已知圆C:x 2+y 2=1，直线l:y =k(x +2)，在[−1,1]上随机选取一个数k ，则直线l 与圆C 有公共点的概率为A ． 12B ． √22C ． √33D ． √369．已知直线l ＋y ＋x ＋m 与曲线y ＋√1−x 2有两个公共点,则实数m 的取值范围是A ． (＋2,2)B ． (＋1,1)C ． [1,√2)D ． (＋√2,√2)10．设圆x 2＋y 2＋2x ＋2√3y －5＝0与x 轴交于A ,B 两点,则|AB |的长是A ． √6B ． 2√6C ． 2√3D ． 311．圆O:x 2+y 2=1与圆C:x 2+y 2−2x +2ay +a 2=0都关于直线y =2x +b 对称,则圆C 与y 轴交点坐标为A ． (0,−2)B ． (0,2)C ． (0,−4)D ． (0,4)12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线y =34x −52和圆x 2+y 2−4x +2y −20=0的位置关系是 A ． 相交且过圆心 B ． 相交但不过圆心C ． 相离D ． 相切13．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x ＋2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为A ． (＋√3＋√3)B ． [＋√3＋√3]C ． (＋√33＋√33)D ． [＋√33＋√33]14．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x −1)2+y 2=1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为A ． (−√3,√3)B ． [−√3,√3]C ． (−√33,√33)D ． [−√33,√33] 15．（题文）若在区间[−√2,2]上随机取一个数k ，则“直线y =kx +√3与圆x 2+y 2=2相交”的概率为A ． 3−2√24B ． 3−2√2C ． 2−√2D ． 2−√2316．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x =−1相切，若动圆C 与直线y =x +2√2+1总有公共点，则圆C 的面积为（ ＋A ． 有最大值8πB ． 有最小值2πC ． 有最小值3πD ． 有最小值4π17．已知直线l ：y =k(x +4)与圆(x +2)2+y 2=4相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3x −4y −6=0的距离的最大值为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 518．直线y ＋kx ＋3与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＋4相交于M ＋N 两点，若|MN |≥2√3，则k 的取值范围是( )＋A ． [−34,0]B ． (＋∞＋−34]＋[0＋＋∞)19．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 20．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ． []0,1B ． []1,1-C ．D ． 21．从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值（ ）A ．B ．C ．D ． 22．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为，则a 等于A ．2B ．6C ．2或6D 23．直线y −1=k(x −3)被圆(x −2)2+(y −2)2=4所截得的最短弦长等于（ ）A ． √3B ． 2√3C ． 2√2D ． √524．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A ．B ． 2C ．D ． 25．过点P(2,1)且被圆x 2+y 2−2x +4y =0截得弦长最长的直线l 的方程为（ ）．A ． 3x −y −5=0B ． 3x +y −7=0C ． x −3y +5=0D ． x +3y −5=26．已知圆(x －2)2－(y －1)2－16的一条直径通过直线x －2y －3－0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ． 3x －y －5－0B ． x －2y －0C ． x －2y －4－0D ． 2x －y －3－027．已知直线l 过圆x 2＋(y ＋3)2＋4的圆心＋且与直线x ＋y ＋1＋0垂直＋则直线l 的方程为( )A ． x ＋y ＋2＋0B ． x ＋y ＋2＋0C ． x ＋y ＋3＋0D ． x ＋y ＋3＋028．经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y -+=D ．210x y ++=二、填空题29．经过A (0,＋1)和直线x ＋y ＋1相切,且圆心在直线y ＋＋2x 上的圆的方程是______.30．圆心为()1,0，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____．31．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则y x 的最大值为________． 32．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．三、解答题33．已知圆C ＋x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋3＋0,(1)若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线l 的方程；(2)若点P (x,y )是圆C 上的动点,求t =2x −y 的取值范围.34．已知抛物线C －y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.－1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.参考答案1．D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程(x−1)2+(y−2)2=2，可知圆心，半径，则圆心到直线3x−4y=0的距离为＋所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】由条件求得圆心到直线2x+y-5=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【详解】=√5，圆（x-1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，-2）、半径为√6，圆心到直线2x+y-5=0的距离为√5小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab ，将表示出的b 代入ab 中，得到m 关于a 的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m 的最大值，即为ab 的最大值，即可写出ab 的取值范围．【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a ，则设m=ab=a （1-a ）=-a 2+a ，∴当a =12时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(−∞,14]． 故选：A ．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．4．A【解析】【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率k ，再根据圆D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.【详解】因为直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :(x +2)2+(y −1)2=2相切，所以√k 2+1=√2，解得k =±1，因为k <0，所以k =−1，所以l 的直线方程为x +y −1=0，圆D 的圆心(2,0)到直线的距离d =√2=√22<√3，所以直线l 与圆D 相交,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.5．B【解析】【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2√2；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则圆心到直线的距离应小于等于√2，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为(x−2)2+(y−2)2=(3√2)2，∴圆心坐标为（2，2），半径为3√2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则圆心到直线的距离应小于等于√2，∴√a2+b2≤√2，∴(ab )2+4(ab)+1≤0，∴−2−√3≤ab ≤−2+√3，k=−ab，∴2−√3≤k≤2+√3，直线l的倾斜角的取值范围是[π12，5π12]，故选：B．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．6．C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到k的值，即可得到结论.【详解】由圆(x−2)2+(y−1)2=1，可得圆心为(2，1)，半径r=1．∵直线x−ky−1=0与圆(x−2)2+(y−1)2=1相切，∴√1+k2=1，∴k=0，∴“k=0”是直线x−ky−1=0与圆(x−2)2+(y−1)2=1相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．B【解析】【分析】A表示圆上的点，B表示直线直线上的点，要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然有交点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径即可求得a的取值范围【详解】A表示圆x2+y2=1上的点，圆心为（0,0），半径为1，B表示直线x+y+a=0上的点要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然相交，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径：故有：d＝√22√2≤1，解得：−√2≤a≤√2,故选：B.【点睛】本题考查了集合中的一种类型——点集，通常与平面几何相联系，从集合间的关系转化为直线与圆的位置关系，关键是理解A∩B≠Φ的概率为1与直线与圆必然相交的关系．8．C【解析】【分析】由有公共点这一条件，判断出直线和圆的位置关系，进而求得k的取值范围；由几何概型概率求解方法，可求得有公共点的概率值。
直线与圆的位置关系拓展练习(A)
直线与圆的位置关系拓展练习(A)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.“-2≤a≤2”是“直线y=x+a与圆x2+y2=4相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2√2,则实数a的值为()A.0或4B.0或3C.-2或6D.-1或√33.[2021·重庆万州区高二期中] 若圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-1=0所得的弦长为2√2,则这个圆的方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=164.平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是()A.x+2y+5=0或x+2y-5=0B.x+2y+2√5=0或x+2y-2√5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.x-2y+√5=0或x-2y-√5=05.[2021·山东青岛高二期中] 若过原点的直线l与圆x2-4x+y2+3=0有两个交点,则l的倾斜角的取值范围为()A.(-π3,π3 )B.(-π6,π6 )C.[0,π6)∪(5π6,π)D.[0,π3)∪(2π3,π)6.若直线l过点A(0,a),斜率为1,圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则a的值为()A.3√2B.±3√2C.±2D.±√27.直线x+√3y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是()A.直线与圆相切B.直线与圆相交但不过圆心C.直线与圆相离D.直线过圆心8.(多选题)[2021·山东师大附中高二期中] 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若△ABC满足AC=BC,顶点A(1,0),B(-1,2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列结论正确的是()A.圆M上的点到原点的最大距离为3+√2B.圆M上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为√2C.若点(x,y)在圆M上,则yx+1的最小值为-√2D.若圆M与圆x2+(y-a)2=2有公共点,则a∈[-3,3]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是.10.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线l的方程是.11.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.12.若曲线C:y=1+√4-x2与直线l:y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x被圆所截得的弦长为2√7,求此圆的方程.14.(10分)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船,正以北偏西α(α为锐角)角的方向航行,速度为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域都会受其影响.(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值?(2)若轮船的航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续多长时间?15.(5分)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两条直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两条直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0,圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则b的取值范围为()A.√2,3√22B.(0,√2)C.0,3√22D.√2,3√22∪3√22,+∞16.(5分)2020年是中国传统的农历“鼠年”,现用3个圆构成“卡通鼠”的形象.如图L2-5-1,A(0,-2)是☉A的圆心,且☉A过原点;点B,C在x轴上,☉B,☉C的半径均为1,☉B,☉C均与☉A相切.直线l过原点.图L2-5-1(1)若直线l与☉B,☉C均相切,则☉A截直线l所得的弦长为;(2)若☉A,☉B,☉C截直线l所得的弦长均等于m,则m=.17.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l:x-√3y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程.(2)是否存在定点S,使得对于经过点S的直线L,当L与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求点S的坐标;若不存在,说明理由.2.5.1直线与圆的位置关系(B)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知直线l过点P(3,0),圆C:x2+y2-4x=0,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.l与C的位置关系不确定2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线l:x-y-5=0所得的弦长等于()A.5B.√6C.√6D.123.已知直线2x-y+3=0与圆C:x2+y2+ay-1=0相切,则实数a的值为()A.-1B.4C.-1或2D.-1或44.[2021·安徽宣城六校高二期中] 已知过点M(2,-4)的直线l与圆C:(x-1)2+(y+2)2=5相切,且与直线ax-2y+3=0垂直,则实数a的值为()A.4B.2C.-4D.-25.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍,则m等于()A.6B.8C.11D.96.[2021·重庆江津中学高二阶段性考试] 直线过点P(0,2),且被圆x2+y2=4所截得的弦长为2,则直线的斜率为()B.±√2A.±32D.±√3C.±√337.若函数f(x)=√16-x2-x-m有零点,则实数m的取值范围是()A.[-4√2,4√2]B.[4,4√2]C.[-4,4]D.[-4,4√2]8.(多选题)[2021·河北唐山遵化高二期中] 已知圆x2+y2-2x-4y+a-5=0上有且仅有两个点到直线3x-4y-15=0的距离为1,则实数a的可能取值为()A.-15B.-6C.0D.1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,C为圆心.若△ABC为等边三角形,则a 的值为.10.已知直线l:x+y+4=0与圆C:x2+y2+2mx-6y+1=0,若直线l将圆C分割成面积相等的两部分,则m=.ax,圆C:(x-a)2+y2=1(a>0),若直线l与圆C相切于点A,则a=,点A 11.已知直线l:y=√22的坐标为.12.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆C所作的切线长的最小值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.(1)若直线l过点P,且圆C的圆心到直线l的距离为1,求直线l的方程;(2)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程.14.(10分)[2021·山东聊城高二期中] 圆O:x2+y2=4,点P为直线l:x+y-8=0上一动点,过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.(1)若点P的坐标为(2,6),求直线PA,PB的方程;(2)求证:直线AB恒过定点Q,并求出该定点Q的坐标.15.(5分)若圆C:x2+y2=m(m>0)与图L2-5-2中阴影部分(含边界)表示的平面区域有公共点,则m的取值范围为()图L2-5-2,5B.[√2,5]A.√22,25D.[2,25]C.1216.(5分)直线y=x+m与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若∠MON≥2π,则m的取值范围3是.17.(10分)已知某地有一个半径为3 km的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东,B向北,A出村后不久改变前进方向,斜着沿切于村落圆周的方向前进,后来恰好与B相遇,设A,B两人的速度一定,其比为3∶1,问A,B两人在何处相遇.参考答案<2,即-2√2<a<2√2,所以“-2≤a≤2”是“直线1.A[解析] 若直线y=x+a与圆x2+y2=4相交,则√2y=x+a与圆x2+y2=4相交”的充分不必要条件.故选A.2.A [解析] 由圆的方程,可知圆心坐标为(a ,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2√2,所以圆心到直线的距离d=√22−(2√22)2=√2.又d=√2,所以|a-2|=2,解得a=0或a=4.3.B [解析] 设圆的半径为r ,∵圆心到直线x-y-1=0的距离d=√2=√2,∴2√r 2−d 2=2√r 2−2=2√2,解得r 2=4,∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.4.B [解析] ∵切线和直线x+2y+1=0平行,∴可设切线方程为x+2y+b=0.由已知得,圆心坐标为(0,0),半径R=2,∵所求直线和圆相切,∴圆心到直线的距离d=√5=2,解得b=2√5或b=-2√5,故切线方程为x+2y+2√5=0或x+2y-2√5=0,故选B .5.C [解析] 圆的方程x 2+y 2-4x+3=0可化为(x-2)2+y 2=1,该圆的圆心为(2,0),半径r=1.设过原点的直线l 的方程为y=kx ,则圆心(2,0)到直线l 的距离d=|2k|√k 2+1<1,所以-√33<k<√33,则直线l 的倾斜角的取值范围是0,π6∪5π6,π.6.D [解析] 由圆的方程x 2+y 2=4,可知圆心坐标为(0,0),半径为2,结合题意可设直线l 的方程为x-y+a=0.因为圆x 2+y 2=4上恰有3个点到直线l 的距离等于1,所以圆心到直线的距离等于1,即√2=1,解得a=±√2,故选D .7.A [解析] 直线按顺时针方向旋转30°后,所得直线方程为√3x+y=0,由圆的方程可知圆心坐标为(2,0),半径r=√3.圆心到直线√3x+y=0的距离d=√3=r ,所以直线与圆相切. 8.BD [解析] 依题意知,“欧拉线”即为线段AB 的垂直平分线,可求得“欧拉线”的方程为x-y+1=0,因为“欧拉线”与圆M 相切,所以r=√2=2√2.对于选项A,易知圆M 上的点到原点的最大距离为3+2√2,故选项A 错误;因为圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=√2=√2,结合图形知,圆M 上存在三个点到直线x-y-1=0的距离为√2,故选项B 正确;易知yx+1表示圆M 上的点与点(-1,0)连线的斜率,过点(-1,0)作圆M 的两条切线,切线的倾斜角分别为45°和135°,所以y x+1的最小值为-1,故选项C 错误;两圆的圆心分别为(3,0),(0,a ),半径分别为2√2,√2,因为两圆有公共点,所以2√2-√2≤√32+a 2≤2√2+√2,即-7≤a 2≤9,解得-3≤a ≤3,故选项D 正确.故选BD . 9.x-y-3=0 [解析] 设圆心为C ,则C (1,0),由圆的性质有PC ⊥AB ,直线PC 的斜率k 1=−1−02−1=-1,因为k 1·k AB =-1,所以直线AB 的斜率为1,又直线AB 过点P (2,-1),所以直线AB 的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.10.x+y-√2=0 [解析] 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y=x+1,所以k ·1=-1,所以k=-1,设直线l 的方程为y=-x+b (b>0),即x+y-b=0,所以圆心到直线的距离为√2=1,所以b=√2.故所求直线方程为x+y-√2=0.11.(x+1)2+y 2=2 [解析] 方程x-y+1=0中,令y=0,得x=-1,所以直线x-y+1=0与x 轴的交点为(-1,0).因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r=√2=√2,所以圆C 的方程为(x+1)2+y 2=2.12.512<k ≤34[解析] 由题意得,曲线C :x 2+(y-1)2=4(y ≥1)表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分,左端点为A (-2,1),而直线l :y=k (x-2)+4过定点P (2,4),当直线l 与半圆相切时,√k 2+1=2,解得k=512.又k AP =34,所以512<k ≤34.13.解:因为圆与y 轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,所以设圆的方程为(x-3b )2+(y-b )2=9b 2.又因为直线y=x 被圆所截得的弦长为2√7,所以|3b−b|√22+(√7)2=9b 2,解得b=±1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.14.解:(1)以A 为坐标原点,正东方向为x 轴的正方向,正北方向为y 轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则受风暴影响的区域边界的曲线方程为x 2+y 2=1802.设过点B (200,0)的直线方程为y=k (x-200),k<0,即kx-y-200k=0,令圆心A (0,0)到直线的距离d=√k 2+1=180,化简得19k 2=81,得k=-√19(舍去正值),此时轮船恰不被风暴影响,∴tan(90°+α)=-√19,∴-1tanα=-√19,∴tan α=√199,∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为√199. (2)若轮船的航行方向为北偏西45°,则航行所在直线的方程为x+y=200,圆心A 到该直线的距离d=√2=100√2,圆截直线所得的弦长为2×√1802−(100√2)2=40√31,则轮船被风暴影响的时间为40√3140=√31(h).15.D [解析] 圆C 的标准方程为(x+1)2+y 2=b 2,由两直线平行得a (a+1)-6=0,解得a=2或a=-3.又当a=2时,直线l 1,l 2重合,∴舍去,∴两条平行直线的方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0.由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y 2=b 2相切,得b=3√2=3√22;由直线x-y+3=0与圆(x+1)2+y 2=b 2相切,得b=2√2=√2.当两条直线都与圆相离时,b<√2.∴当位置关系是“平行相交”时,b 满足{b >√2,b ≠3√22,∴b 的取值范围是√2,3√22∪3√22,+∞.故选D .16.(1)4√55(2)43 [解析] (1)根据条件得到☉B ,☉C 的圆心坐标分别为(-√5,0),(√5,0).设公切线l的方程为y=kx (k ≠0)且k 存在,则√5k|√1+k 2=1,解得k=±12,故公切线方程为y=±12x ,则A 到直线l 的距离d=4√55,故☉A截直线l 所得的弦长为2×√22−(4√55)2=4√55.(2)设直线l 的方程为y=kx (k ≠0)且k 存在,则☉B ,☉C ,☉A 的圆心到直线l 的距离分别为d 1=√5k|√1+k 2,d 2=√5k|√1+k 2,d 3=√1+k 2,则m 2=4(1-d 12)=4(1-d 22)=4(4-d 32),即有1-(√5k|√1+k 2)2=4-(√1+k 2)2,解得k 2=18,则m 2=4×(4−41+18)=169,所以m=43.17.解:(1)由题意得,原点到直线l :x-√3y-4=0的距离d=√1+3=2,故圆的方程为x 2+y 2=4.(2)存在定点S (1,0),使得∠AMO=∠BMO 恒成立,如图所示.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m ,设直线AB 与圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +m,x 2+y 2=4,消去y ,得(1+k 2)x 2+2kmx+m 2-4=0,于是{x 1+x 2=−2km1+k 2,x 1x 2=m 2−41+k 2.由∠AMO=∠BMO ,得k AM +k BM =0,由M (4,0),可得2kx 1x 2+(m-4k )(x 1+x 2)-8m=0,所以2k×m 2−41+k 2+(m-4k )−2km 1+k 2-8m=0,化简得m=-k ,此时直线AB 的方程为y=kx-k ,易知直线AB 恒过定点S (1,0).当直线AB 的斜率不存在时,由圆的对称性知直线L 过S (1,0)时也满足∠AMO=∠BMO.综上,存在定点S (1,0),使得∠AMO=∠BMO 恒成立.2.5.1 直线与圆的位置关系(B)1.A [解析] 将圆的一般方程化为标准方程得(x-2)2+y 2=4,所以圆心C (2,0),半径r=2,又P (3,0)与圆心的距离d=√(3−2)2+02=1<2=r ,所以点P 在圆C 内,又直线l 过点P ,所以直线l 与圆C 相交.故选A .2.B [解析] 圆的方程可化为(x-2)2+(y+2)2=2,则圆的半径r=√2,圆心(2,-2)到直线l 的距离d=√2=√22,所以直线l 被圆截得的弦长为2√r 2−d 2=2×√2−12=√6.3.D [解析] 圆C :x 2+y 2+ay-1=0的标准方程为x 2+y+a 22=1+a24,可知圆心坐标为0,-a 2,半径R=√1+a 24.∵直线2x-y+3=0与圆C 相切,∴|a 2+3|√22+(−1)2=√a 24+1,化简得a 2-3a-4=0,解得a=4或a=-1.故选D .4.C [解析] 因为点M (2,-4)的坐标满足圆(x-1)2+(y+2)2=5的方程,所以M 在圆上,又过点M (2,-4)的直线与圆(x-1)2+(y+2)2=5相切,且与直线ax-2y+3=0垂直,所以切点与圆心的连线与直线ax-2y+3=0平行,所以直线ax-2y+3=0的斜率为a 2=−4+22−1=-2,所以a=-4.5.D [解析] 圆C :x 2+y 2+2x-2y-6=0的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为2√2,由题意可知,圆心到直线的距离d=|1+m|5=2.因为m>0,所以m=9.6.C [解析] 设所求直线方程为y=kx+2,即kx-y+2=0,∴圆心到直线的距离d=√k 2+1,∴2√4−d 2=2√4−4k 2+1=2,解得k=±√33.故选C .7.D [解析] 由题意可知,若f (x )=√16−x 2-x-m 有零点,则直线y=x+m 与曲线y=√16−x 2有交点,如图所示.当直线y=x+m 与半圆相切时,有√2=4,得m=4√2;当直线y=x+m 过点A (4,0)时,m=-4.故-4≤m ≤4√2.故选D .8.BC [解析] 圆的标准方程是(x-1)2+(y-2)2=10-a ,圆心坐标为(1,2),半径r=√10−a (a<10).圆心到已知直线的距离d=√32+(−4)2=4,则圆心到与直线3x-4y-15=0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5.由题意得3<√10−a <5,解得-15<a<1.故选BC .9.±√3 [解析] 根据题意得,圆C 的标准方程为x 2+(y-3)2=3,其圆心坐标为(0,3),半径r=√3.直线y=ax 与圆C :x 2+y 2-6y+6=0相交于A ,B 两点,若△ABC 为等边三角形,则圆心C 到直线y=ax 的距离d=r cos 30°=32,则有√1+a 2=32,解得a=±√3.10.7 [解析] 圆C 的方程可化为(x+m )2+(y-3)2=8+m 2,圆心C (-m ,3).因为直线l 将圆C 分割成面积相等的两部分,所以l :x+y+4=0过圆心(-m ,3),所以-m+3+4=0,解得m=7. 11.√2(√22,√22)[解析] 因为直线l 与圆C 相切,所以√22a 2√a 22+1=1,即a 4-a 2-2=0,又a>0,所以a=√2,所以过圆心C 且与直线l 垂直的直线的方程为y=-(x-√2).由{y =x,y =−(x −√2),得A√22,√22.12.4 [解析] 由已知可得,圆C 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2.由已知可知圆心(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,得b=a-3,由点(a ,b )向圆C 所作的切线长d 的平方d 2=(√(a +1)2+(b −2)2)2-2,又b=a-3,所以d 2=2a 2-8a+24=2(a-2)2+16,故当a=2时,切线长d 取得最小值4.13.解:(1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y-0=k (x-2),即kx-y-2k=0.易知圆C 的圆心为C (3,-2),半径r=3.由√k 2+1=1,得k=-34,所以直线l 的方程为y=-34(x-2),即3x+4y-6=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.综上,直线l 的方程为3x+4y-6=0或x=2.(2)因为|CP|=√5,点C 到直线MN 的距离d=√r 2−|MN|24=√5,所以d=|CP|=√5,所以点P 恰为MN 的中点.故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x-2)2+y 2=4.14.解:(1)当切线的斜率存在时,设切线方程为y-6=k (x-2),即kx-y-2k+6=0.由√1+k2=2,解得k=43,即切线方程为4x-3y+10=0.当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=2,满足题意.综上所述,所求的切线的方程为4x-3y+10=0或x=2.(2)证明:根据题意,点P 为直线x+y-8=0上一动点,设P (8-m ,m ),因为PA ,PB 是圆O 的切线,所以OA ⊥PA ,OB ⊥PB ,所以AB 是圆O 与以PO 为直径的圆的公共弦.由于以PO 为直径的圆的方程为x-4-m22+y-m22=4-m22+m 22,即x 2-(8-m )x+y 2-my=0①,又圆O 的方程为x 2+y 2=4②,所以①-②,得(8-m )x+my-4=0,即m (y-x )+8x-4=0,则该直线必过点Q 12,12.15.C[解析] 当直线x+y=1与圆C相切时,m=12;当圆C经过点A时,m=25.故m的取值范围为12,25.故选C.16.[-2√2,2√2][解析] 由题意可知,圆O是圆心为坐标原点,半径r=4的圆,直线方程为x-y+m=0,圆心O到直线x-y+m=0的距离d=√2,因为∠MON≥2π3,所以d≤4cosπ3=2,即√2≤2,即|m|≤2√2,解得-2√2≤m≤2√2.因此,实数m的取值范围是[-2√2,2√2].17.解:由题意,以村落的中心为原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,如图所示,设A,B两人的速度分别为3v km/h,v km/h.设A出发a h在P处改变方向,又经过b h到达相遇点Q,则P(3av,0),Q(0,(a+b)v),则|PQ|=3bv,|OP|=3av,|OQ|=(a+b)v.在Rt△OPQ中,|PQ|2=|OP|2+|OQ|2,得5a=4b,所以k PQ=0−v(a+b)3av−0=-34,设直线PQ的方程为y=-34x+t,由PQ与圆x2+y2=9相切,得√42+32=3,得t=154,故A,B两人在正北方向离村落中心154km处相遇.。
初三数学数学直线与圆的位置关系拔高练习(个人精心整理,含答案)
直线与圆的位置关系 姓名：________一．选择题1.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO 等于( ) A.70° B.64° C.62° D.51°2.如图，已知PA 切⊙O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O•逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为（ ） A．．3.如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A.900－∠P B.900－21∠P C.1800－∠P D.450－21∠P4、如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ） A 、MN=334 B 、若MN 与⊙O 相切，则C 、若∠MON=90°，则MN 与⊙O 相切 D 、l 1和l 2的距离为25、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是（ ） A 、20≤<x B 、22≤≤-x C 、11≤≤-x D 、2>x6、如图，在Rt △ABC 中，BC=3cm ，AC=4cm ，动点P 从点C 出发，沿C→B→A→C 运动，点P 在运动过程中速度始终为1cm/s ，以点C 为圆心，线段CP 长为半径作圆，设点P 的运动时间为t （s ），当⊙C 与△ABC 有3个交点时，此时t 的值不可能是（ ）A 、2.4B 、3.6C 、6.6D 、9.67、如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为（-3，-2），⊙A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标是（ ） A ．（-4,0） B.（-2,0） C.（-4,0）或（-2，0） D.（-3,0）二．填空题8、如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P点，O 1O 2=8．若将⊙O 1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 次 OCDBA9、如图，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切于点O ．若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是10、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，且AB ＞AD+BC ，AB 是⊙O 的直径，则直线CD 与⊙O 的位置关系为11、如图，在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是12、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，以腰AB 为直径作圆，已知AB=10，AD=M ，BC=M+4，要使圆与折线BCDA 有三个公共点（A 、B 两点除外），则M 的取值范围是 13、如图，已知点A 的坐标为（3，3）），AB 丄x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数)0(>=k xky 的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB=3BD ，以点C 为圆心，CA 的45倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是 （填”相离”，“相切”或“相交“）．14、如图，△ABC 为等边三角形，AB=6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿着A→C→B→A 的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第 秒．15、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ___ ． 16、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA=DE ，则AD 的取值范围是 ．17、如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 切线AD ，BA ⊥DA 于点A ，BA 交半圆于点E ．已知BC=10，AD=4．那么直线CE 与以点O 为圆心，25为半径的圆的位置关系是 ． 18、如图，半圆的圆心与坐标原点重合，圆的半径为1，直线L 的解析式为y=x+t ．若直线L 与半圆只有一个交点，则t 的取值范围是 ；若直线L 与半圆有交点，则t 的取值范围是 ．19、如图，直线l 经过边长为10的正方形中心A ，且与正方形的一组对边平行，⊙B 的圆心B 在直线l 上，半 径为r ，AB=7，要使⊙B 和正方形的边有2个公共点，那么r 的取值范围是 ．20、△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如图，现在△ABC 内作一扇形，使扇形半径都在△ABC 的边上，扇形的弧与△ABC 的其他边相切，则符合条件的扇形的半径为 ．三．计算题21、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以3cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s 的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ． （1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ ∥BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？22、如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考： 如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一：在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二：将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转． （1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值； （2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=43，cos41°=43，tan37°=43．）23、如图，已知半圆O的直径DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．（1）当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？t为何值时，△ABC的边AB与半圆O相切？（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．24、如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F，AE=3。
直线和圆的位置关系练习题(附答案
直线和圆的位置关系练习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)1．已知⊙O 的半径为10cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ，那么这条直 线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， 下列结论中，错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（ ） A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（ ）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C ，作弦CD⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动第5题图 第6题图 第7题图CBB3题图） 4题图）28．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD =20，则△ABC 的周长为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 213510．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN第9题图 第10题图 第11题图二、填空题：(每小题5分，共30分)11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上的一点，点D 平分BC ⌒，DE=2cm ，则AC=_____． 第13题图 第14题图 第15题图 15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°，∠P =35°，则∠Q=________．AP DBABCDEO BDACEFABCDEOABC DQPDCBAP第3页 共4页 2006-5-1三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ，PB=5cm ，PC=3cm ，求⊙O 的直径．18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．19．AB 、CD 是两条平行弦，BE//AC ，交CD 于E ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ， 求证：AC 2=PC ·CE ．20．点P 为圆外一点，M 、N 分别为AB⌒、CD ⌒的中点，求证： PEF 是等腰三角形．P421．ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点，求证：BE ·AD=BC ·CD ．22．已知∆ABC 内接于⊙O ，∠A 的平分线交⊙O 于D ，CD 的延长线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BC CD 22=．23．如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ，直线CB 交⊙O 2于D ，直线DA 交⊙O 1于E ，求证：CD 2 = CE 2＋DA ·DE ．E A B D C第5页 共4页 2006-5-1参考答案基础达标验收卷 一、选择题：二、填空题：1. 相交或相切2. 13. 54. 35°5.251+ 6. 66 7. 2 8. 10 9. 3 10. 6三、解答题：1. 解：如右图，延长AP 交⊙O 于点D . 由相交弦定理，知PC PB PD PA ··=. ∵P A =2cm ，PB =5cm ，PC =3cm ， ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A ，AP ⊥MN ， ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明：如图，连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB =90°.又∵CE =BE ，∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ，∴∠4=∠2. ∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径，∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证明：如图2，连结OQ ，则CQ ⊥OQ .∵PQ =PO ，∠QPC =60°， ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA =90°.∴∠CBA =90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060，∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ，∴9=+=AB PB PA . 5. 解：（1）连结OC ，证∠OCP =90°即可. （2）∵∠B =30°，∴∠A =∠BGF =60°.N A6∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ，∴12=AB ，33=FD ，3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时，结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立，只要证明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线；BA DB CD ·2；︒=∠90ACB ；AB =2BC ；BD =BC 等. 2. （1）①∠CAE =∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC +∠CAE =90°，④∠C =∠F AB ，⑤∠EAB =∠F AB . （2）证明：连结AO 并延长交⊙O 于H ，连结HC ，则∠H =∠B . ∵AH 是直径，∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ，∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线，其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O ，连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°，OA =OB ，∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长，再乘以2，就是锅的直径.（2）如右图，MCD 是圆的割线，用直尺量得MC 、CD 的长，可求得MA 的长.∵MA 是切线，∴MD MC MA ·2=，可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线，DA 是割线，BD =6，AD =10，由切割线定理， 得DA DE DB ·2=. ∴6.310622===DA DB DE . （2）设是上半圆的中点，当E 在BM 上时，F 在直线AB 上；E 在AM 上时，F 在BA 的延长线上；当E 在下半圆时，F 在AB 的延长线上，连结BE . ∵AB 是直径，AC 、BD 是切线，∠CEF =90°， ∴∠CAE =∠FBE ，∠DBE =∠BAE ，∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ，Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =，AE BE AC BF =. 根据AC =AB ，得BD =BF .。
版直线及圆位置关系练习题带答案
直线和圆的地点关系练习题班别：____________ 姓名：_____________座号：_____成绩：_____________一、选择题：(每题5分，共50分，每题只有一个正确答案) 1．已知⊙O 的半径为10cm ，假如一条直线和圆心 O 的距离为10cm ，那么这条直线和这个圆的地点关系为（ ） A.相离 B.相切 C.订交 D.订交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）OA.70°B.35°C.20°D.10°3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ， B以下结论中，错误的选项是（ ）A CA.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD.PA 2PC·POAC1 POC2（第3题图）BAOBP（第4题图）4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延伸线交于 P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ）5 3 5 3 C.10D.5A.3B.6C5．已知AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 订交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（）DA.正弦B.余弦C.正切D.余切PA B⌒6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，）OAB 的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于（° °° ° 8．心里与外心重合的三角形是（ ）A.等边三角形B.底与腰不相等的等腰三角形C.不等边三角形D.形状不确立的三角形BEAC O9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，假如AD=20，则△ABC 的周长为（）351DDBA.20B.30C.40D.FP2A二、填空题：(每题5分，共30分)ABCEC11．⊙O 的两条弦 AB 、CD 订交于点P ，已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD=1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 的延伸线上的点，连接PC ，交⊙O 于F ，假如PF=7，FC=13，且PA ︰AE ︰EB=2︰4︰1，则CD=_________．13．从圆外一点 P 引圆的切线 PA ，点A 为切点，割线 PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知 PA=12，PD=8，则S ABP :S DAP__________．第1页 共4页4．⊙的直径，是⊙上的一点，点均分⌒，DE=2cm，则AC=_____．O AB=10cm C O D BC1ACDC EDA BB OEAOB DPP15．如图，AB是⊙O的直径，∠E=25°，∠DBC=50°，则∠CBE=________．B16．点A、B、C、D在同一圆上，AD、BC延伸线订交于点Q，AB、CA DQDC延伸线订交于点P，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P.若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径．MD P O NB18．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上.求证：PE是⊙O的切线．APOB E C第2页共4页19．AB、CD是两条平行弦，BE//AC，交CD于E，过A点的切线交DC的延伸线于P，求证：AC2=PC·CE．A BOP C E D20．点P为圆外一点，⌒⌒PEF是等腰三角形．M、N分别为AB、CD的中点，求证：PBMDE F NCA21．ABCD是圆内接四边形，过点C作DB的平行线交AB的延伸线于E点，求证：BE·AD=BC·CD．DCA B E22．已知ABC内接于⊙O，∠A的均分线交⊙O于D，CD的延伸线交过B点的切线于E．求证：CD2DE．BC2CEAOCBDE第3页共4页23．如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过A作⊙O2的切线交⊙O1于C，直线CB交⊙O2于D，直线DA交⊙O1于E，求证：CD2=CE2＋DA·DE．EAO1O2DBC参照答案基础达标查收卷一、选择题：题号12345678910答案B C B D D A A B C C二、填空题：1.订交或相切2.13.54.35°15667.28.10 5. 6.2三、解答题：1.解：如右图，延伸AP交⊙O于点D.由订交弦定理，知PA·PD PB·PC.PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，2PD=5×3.∴PD=7.5.AD=PD+PA=7.5+2=9.5.MN切⊙O于点A，AP⊥MN，∴AD是⊙O的直径.∴⊙O的直径是9.5cm.C MAPO ND B证明：如图，连接OP、BP.AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°.又∵CE=BE，∴EP=EB.∴∠3=∠1.OP=OB，∴∠4=∠2.BC切⊙O于点B，∴∠1+∠2=90°.3+∠4=90°.又∵OP为⊙O的半径，AO P43∴PE是⊙O的切线.3.（1）△QCP是等边三角形.21CB E第4页共4页明：如 2，OQ ，CQ ⊥OQ.PQ=PO ，∠QPC=60°，∴∠POQ=∠PQO=60°.∴∠C=90 30 60.∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°.∴△QCP 是等三角形 .2）等腰直角三角形.3）等腰三角形.解：（1）PC 切⊙O 于点C ，∴∠BAC=∠PCB=30°.又AB ⊙O 的直径，∴∠BCA=90°.∴∠CBA=90°.（2）∵ P CBA PCB 60 30 30PCB ，∴PB=BC.又BC1AB163，2 2PAPBAB9.解：（1）OC ，∠OCP=90°即可.2）∵∠B=30°，∴∠A=∠BGF=60°.∴∠BCP=∠BGF=60°.∴△CPG 是正三角形.∴PG CP 43.∵PC 切⊙O 于C ，∴PD ·PE=PC 2(43)2 48. 又∵BC6 3，∴AB 12，FD33，EG3.PD23.PDPE2383103.∴以PD 、PE 根的一元二次方程2103x480.（3）当GBC 中点，OD ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG=∠BAC ⋯⋯，BG 2 BE ·BO 建立.要此建立，只需明△BFC ∽△BGO 即可，凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都能够. 能力提升1.CD 是⊙O 的切；CD 2DB ·BA ；ACB 90；AB=2BC ；BD=BC 等.（1）①∠CAE=∠B ，②AB ⊥EF ，③∠BAC+∠CAE=90°，④∠C=∠FAB ，⑤∠EAB=∠FAB.2）明：AO 并延交⊙O 于H ，HC ，∠H=∠B.∵AH 是直径，∴∠ ACH=90°.∵∠B=∠CAE ，∴∠CAE+∠HAC=90°.∴EF ⊥HA.又∵OA 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切.3.D.4. 作出三角形两个角的均分，其交点就是小亭的中心地点 .5. 略.6.（1）假沿所形成的的心 O ，OA 、OB.MA 、MB 与⊙O 相切，∴∠OAM=∠OBM=90°.又∠M=90°，OA=OB ，∴四形OAMB 是正方形.∴OA=MA.量得MA 的，再乘以 2，就是的直径.（2）如右，MCD 是的割，用直尺量得 MC 、CD 的，可求得MA 的.BM∵MA 是切，∴MA2MC ·MD，可求得MA 的.C同上求出的直径. DA7. 60°.（1）∵BD 是切，DA 是割，BD=6，AD=10，第5页 共4页由切割线定理，得DB2DE·DA.∴DEDB262DA .10∴2）设是上半圆的中点，当E在BM上时，F在直线AB上；E在AM上时，F在BA的延伸线上；当E在下半圆时，F在AB的延伸线上，连接BE.∵AB是直径，AC、BD是切线，∠CEF=90°，∴∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE，∠CEA=∠FEB.Rt△DBE∽Rt△BAE，Rt△CAE∽Rt△FBE.∴DB BE，BF BE.BA AEAC AE依据AC=AB，得BD=BF.第6页共4页。
27.4 直线与圆的位置关系(作业)(解析版)
27.4 直线与圆的位置关系（作业）一、单选题1．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．2．（2020·上海大学附属学校九年级三模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线；B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线．【答案】B【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可．【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合，故选：B．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大．3．（2020·上海九年级一模）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内【答案】D【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．4．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．5．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【答案】C【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项错误；B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项错误；C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项正确；D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查切线的意义和性质，掌握切线的性质是解题的关键.6．（2020·上海九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）A．4＜OC≤133B．4≤OC≤133C．4＜OC143£D．4≤OC143£【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝133；即可得出结论．【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝133；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤133；故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．7．（2020·上海九年级专题练习）在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<【答案】D【分析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．8．（2020·上海九年级专题练习）已知⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，⊙O 1的半径等于5，O 1 O 2=3,那么O 2A 的长等于（ ）A ．2B ．3C ．8D ．2或8【答案】D【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解.【详解】根据题意可知分两种情况讨论：①O 1A ＞O 2A ，∵O 1A =5，O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A-O 1 O 2=2①O 2A ＞O 1A ，∵O 1A =5，O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A+O 1 O 2=8故选D.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论.9．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）如图，O e 的半径为4，点A ，B 在O e 上，点P 在O e 内，3sin APB 5Ð=，AB PB ^，如果OP OA ^，那么OP 的长为( )A ．53B ．3C ．95D ．43【答案】D【分析】如图，连接OB ，作BM OP ^交OP 的延长线于M ，作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形，推出A 、O 、P 、B 四点共圆，根据圆周角定理得到BOP BAP ÐÐ=，根据三角函数的定义设BM 4k =，OM 3k =，根据勾股定理得到4k (5=负根已经舍弃)，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接OB ，作BM OP ^交OP 的延长线于M ，作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形，AOP ABP 90ÐÐ==o Q ，A \、O 、P 、B 四点共圆，BOP BAP ÐÐ\=，3sin APB 5Q Ð=，4tan BAP 3Ð\=，4BM tan BOM tan BAP 3OM ÐÐ===，设BM 4k =，OM 3k =，在Rt OMB V 中，222(4k)(3k)4+=，解得4k (5=负根已经舍弃)，16BM 5\=，12OM 5=，4BN MN BM 5=-=，MBP BPM 90o Q ÐÐ+=，MBP ABN 90ÐÐ+=o ，BPM ABN ÐÐ\=，BMP ANB 90ÐÐ==o Q ，BMP \V ∽ANB V ，PB PM AB BN\=，4PM 435\=，16PM 15\=，4OP OM PM 3\=-=．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．二、填空题10．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）在Rt ABC V 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，若以点C 为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，那么BC 的长等于_____．【答案】【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得CD AB ^，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得45B Ð=°，然后在Rt BCD V 中，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，设圆与斜边AB 的切点为点D ，连接CD ，则2CD cm=由圆的切线的性质得：CD AB^90,C AC BCÐ=°=Q Rt ABC \V 是等腰直角三角形，45B Ð=°Rt BCD \V 是等腰直角三角形2,CD BD cm BC \====故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握理解圆的切线的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级一模）两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为__________．【答案】2【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R＋r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3−1＝2．故答案为：2．【点睛】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．12．（2020·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为______.【答案】12 5【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD.【详解】设切点为D，连接CD，如图所示∵∠C=90º，AC=3，BC=4，∴AB5 ===又∵⊙C与斜边AB相切，∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径∴1122ABCS BC AC AB CD =×=×△∴125 CD=故答案为12 5 .【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.13．（2019·上海九年级其他模拟）在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =43. 若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于________.【答案】3或5【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．【详解】解：分两种情况考虑：（i）如图1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝43＝ADBD，设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝1，∴BD＝3，AD＝4，在Rt△BDO中，OD1=，BD＝3，则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；（ii）如图2所示，AO＝AD−OD＝4−1＝3；综合上述，OA的长为3或5．故答案为：3或5．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．三、解答题14．（2020·上海九年级二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM 、ON 、MN ，求证：MN OM AB OA=．【分析】（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；（2）联结OB ，OM ，ON ，MN ，首先证明BOM AON @V V ，然后再证明NOM BOA V :V ，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，如图所示：∵AO 平分∠BAC ．∴OD ＝OE ．222222,AD AO OD AE AO OE =-=-Q ，AD AE \=．,OD AB OE AC ^^Q ，2,2AB AD AC AE \==，∴AB ＝AC ；（2）联结OB ，OM ，ON ，MN ，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴MN OM AB OA=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。
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专项训练：直线与圆的位置关系一、单选题1．直线截圆所得的弦长为A．B．C．D．2．直线与圆的位置关系是A．相切B．相交但不过圆心C．相交且过圆心D．相离3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是A．B．C．D．4．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不确定5．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．，B．，C．，D．，6．“”是直线与圆相切的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知集合，集合，若的概率为1，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知圆，直线，在上随机选取一个数，则直线与圆有公共点的概率为A．B．C．D．9．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点,则实数m的取值范围是A．(－2,2)B．(－1,1)C．[1,)D．(－,)10．设圆x2＋y2＋2x＋2y－5＝0与x轴交于A,B两点,则|AB|的长是A．B．2C．2D．311．圆与圆都关于直线对称,则圆C与y轴交点坐标为A．B．C．D．12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线和圆的位置关系是A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相离D．相切13．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为A．(－，)B．[－，]C．(－，)D．[－，]14．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为A．B．C．D．15．（题文）若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为A．B．C．D．16．动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积为（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值17．已知直线：与圆相交于，两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为A．2B．3C．4D．518．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是( )．C ．D ．19．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ． 2B ． 2C ． 2或2-D ． 2或2- 20．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ）A ． []0,1B ． []1,1-C ． ,22⎡-⎢⎣⎦ D ． ⎡⎢⎣⎦21．从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值（ ）A ． 2B ． 2C ． 4D ． 12-22．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为，则a 等于A ．2B ．6C ．2或6D ．23．直线 被圆 所截得的最短弦长等于（ ）A ．B ．C ．D ．24．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A ．B ． 2C ．D ． 25．过点 且被圆 截得弦长最长的直线 的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．26．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ． 3x ＋y －5＝0B ． x －2y ＝0C ． x －2y ＋4＝0D ． 2x ＋y －3＝027．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ． x ＋y －2＝0B ． x －y ＋2＝0C ． x ＋y －3＝0D ． x －y ＋3＝028．经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y -+=D ．210x y ++=二、填空题29．经过A (0,－1)和直线x ＋y ＝1相切,且圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程是______.30．圆心为()1,0，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____．31．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则y x 的最大值为________． 32．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．三、解答题33．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0,(1)若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线l 的方程；(2)若点 是圆C 上的动点,求 的取值范围.34．已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.参考答案1．D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】由条件求得圆心到直线2x+y-5=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【详解】圆（x-1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，-2）、半径为，圆心到直线2x+y-5=0的距离为，小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a，则设m=ab=a（1-a）=-a2+a，∴当时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是．故选：A．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．4．A【解析】【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，再根据圆的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.【详解】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以的直线方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.5．B【解析】【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，，故选：B．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．6．C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论.【详解】由圆，可得圆心为，，半径．∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．B【解析】【分析】A表示圆上的点，B表示直线直线上的点，要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然有交点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径即可求得a的取值范围【详解】A表示圆x2+y2=1上的点，圆心为（0,0），半径为1，B表示直线x+y+a=0上的点要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然相交，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径：故有：d＝≤1，解得：,故选：B.【点睛】本题考查了集合中的一种类型——点集，通常与平面几何相联系，从集合间的关系转化为直线与圆的位置关系，关键是理解A∩B≠Φ的概率为1与直线与圆必然相交的关系．8．C【解析】【分析】由有公共点这一条件，判断出直线和圆的位置关系，进而求得k的取值范围；由几何概型概率求解方法，可求得有公共点的概率值。
【详解】因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离小于等于半径直线，圆心,所以解得根据几何概型概率的求法，所以【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的判定，几何概型概率的简单应用，属于基础题。
9．C【解析】【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【详解】画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当＜时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选：C．【点睛】正确求出直线与切线相切时的m的值及其数形结合等是解题的关键．10．B【解析】【分析】令y=0可得x2+2x﹣5=0，利用弦长公式，即可得出结论．【详解】令y=0可得x2+2x﹣5=0，所以|AB|==2．故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了学生数形结合的数学思想的运用．【解析】【分析】由圆与圆都关于直线对称,则两圆圆心，，都在直线上，从而得到结果.【详解】圆与圆都关于直线对称,则两圆圆心，，都在直线上，所以，，所以圆C方程为：，令x=0 得y=2，所以圆C与y轴交点坐标为故选：B【点睛】本题考查了圆的对称性，考查了直线与圆相交的位置关系，属于基础题.12．A【解析】将化简为，易知圆心为，，半径，将，代入到中，得，即满足直线方程，故直线与圆相交且过圆心.故选A．13．D【解析】如图，BC＝1，AC＝2，∴∠BAC＝30°，∴－≤k≤.选D.点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值或值域问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点有关代数式的最值或值域的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．14．D【解析】设直线的方程为，代入圆的方程中，整理得，，解得，故选D.15．C【解析】若直线与圆相交，，解得或，又所求概率，故选C．16．D【解析】【分析】设出动圆圆心坐标与半径，根据条件找出半径与圆心满足的关系式，再利用动圆C与直线总有公共点，列出某个量的不等式，求出其取值范围，从而求出圆的半径的取值范围,作出正确选择.设圆心为，半径为，，即，即，∴圆心为，，圆心到直线的距离为，∴或，当时，，∴.【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、转化与化归思想及运算求解能力，转化与化归思想是解题的关键.17．C【解析】设，直线与圆组方程组，（）消y得，所以为参 ，消参得 ，圆心N(-3,0)到直线的距离，所以最大值为d+r=4,选C.【点睛】解析几何问题，看是否能转化为几何问题，如本题先求出点M 的轨迹方程，注意参数方程变普通方程的消参过程及x,y 范围。