高三数学总复习优秀ppt课件(第42讲)数系的扩充与复数的引入(55页)

⑴ i4 n = 1, i4 n+1 = i ,i4 n+ 2 = 1,i4 n+ 3 = i ，
i n +i n+1 +i n+ 2 +i n+ 3 = 0 ；
⑵ (1 i) 2i ；
2
1i 1i i， i ⑶ 1i 1+i
1 3 ⑷设 i， 2 2 则 ω3 1， ω2 ω ，1 + ω + ω2 0
第42讲
数系的扩充与复数的引入
主要内容
一、聚焦重点
复数的概念及复数的运算．
二、廓清疑点
如何理解复数是一个二维量 ．
三、破解难点
复数模的应用 ．
聚焦重点：复数的概念及复数的运算
基础知识
虚数单位： 新数 i 叫做虚数单位，并规定： （1）i2 = 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，进行四则运 算时，原有的加法乘法运算律仍然成立.
2 m m 6 2 m + 5m + 6 0，且 有意义， m+3 m 2 + 5m + 6 0, 即 解得 m≠－2，且 m≠－3. m + 3， －3 时， 复数 z 为虚数.
求解过程
(3)要使 z 为纯虚数，m 必须满足：
2 m m 6 2 m + 5m + 6 0 且 0， m+3 m 2 + 5m + 6 0, 2 即 m m 6 = 0, 解得 m=3. m + 3 0, ∴当 m=3 时，复数 z 为纯虚数.
是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
1 4 4, 2 3i, 0, + i, 2 3 2i + 5, 6i
思路分析
这是一道考查复数概念的基础题，其基本思路 是，先将所给的复数标准化，即写成 a + bi 的形式， 然后写出实部、虚部等. 思维时要注意，虚部是 b， 而不是 bi.
求解过程
解 所给六个复数的 实部与虚部如下表：
复数的运算法则： 设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a , b, c , d R) 是任意两个 复数，则 (1) z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c ) + (b + d )i (2) z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (a c ) + (b d )i (3) z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd ) + (bc + ad )i z1 a + bi ac + bd bc - ad ( 4) = = 2 + 2 i( z2 0) 2 2 z2 c + di c + d c +d
复数的分类： 对于复数 z = a + bi(a,b ∈ R) ， 当 b = 0时， z 为实数； 当 b ≠ 0 时，z 为虚数，其中，当 a = 0时 z 为纯虚数.
思考：a = 0是复数 z = a + bi(a,b ∈ R) 为纯虚数的充要条 件吗？
经典例题1
例1 写出下列复数的实部与虚部， 并指出哪些
经典例题3
例 3 计算：
(2 + 2i)4 ( 1) ； 5 (1 3i)
( 2) i + i 2 + i 3 +
+i ；
100
2 3 + i 2 2010 ( 3) +( ) . 1 + 2 3i 1 i
思路分析
复数的运算类似多项式的运算， 但有不同于多项 式的运算， 其显著的特征是虚数单位 i 的整数次幂的 周期性. 所以复数的运算要常考虑应用几个结论：
求解过程
解法 2 先求出 m 的取值范围 ( , 3) ( 3,+) ， 然后在这个范围内解决三个小问题，此处略.
回顾反思
此题属基础题， 用到了复数的分类知识. 在对复 数进行分类时要注意， 使实部和虚部均有意义. 如当
z = a + bi (a,b ∈ R) 为实数时，应有虚部 b = 0，还要保
a,b ∈ R ，否则实部未必是 a，虚部未必是 b.
经典例题2
例2 已知 m R ，复数
m2 m 6 z= + ( m 2 + 5m + 6)i ，当 m 为何值时， m+3
(1) z 为实数？(2) z 为虚数？(3) z 为纯虚数？
思路分析
思路 1 紧扣分类！ 思路 2 整体考虑！
求解过程
解法 1 (1)要使 z 为实数，m 必须满足：
2 m m 6 2 m + 5 m + 6 = 0且 有意义， m+3 m 2 + 5m + 6 = 0, 即 解得 m=－2. m + 3 0,
∴当 m=－2 时，复数 z 为实数.
求解过程
（2）要使 z 为虚数，m 必须满足：
复数及复数集： 形如 a + bi(a,b ∈ R)的数叫做复数， 常用字母 z 表 示，即 z = a + bi(a,b ∈ R) ，其中 a,b 分别叫做复数 z 的 实部与虚部.全体复数的集合叫做复数集，记作 C.
问题研究
问题1 复数的分类的应用；
问题2 复数的四则运算法则的应用.
基础知识
求解过程
(2 + 2i)4 解 ⑴ = 5 (1 3i)
24 (1 + i)4 1 3 5 5 ( 2) ( + i) 2 2
24 (2 i )2 = 1 3 2 5 2 ( + i) 2 2
1 3 2( + i) 2 2
． = 1 + i3
4, 0 为实数，2 3i,
所给复数 实部
4 2-3i 0 4 2 0
1 2
虚部
0
－3
0
4 3
1 4 - + i, 2 3
2i + 5, 6i 为
1 4 + i 2 3
虚数， 6i 为纯虚数.
2i + 5
6i
5
0 6
2
回顾反思
如 果 z 写 成 a + bi 的 形 式 ， 那 么 一 定 要 加 注
证实部 a 有意义；当 z = a + bi (a,b ∈ R) 为虚数时，应 有 虚 部 b≠0 ， 还 要 保 证 实 部 a 有 意 义 ； 当
z = a + bi (a,b ∈ R) 为纯虚数时，应有实部 a = 0，还要
保证虚部 b ≠ 0 ，否则容易发生错误，在做题时要特 别小心.
基础知识