12.2 斜边、直角边 第4课时同步练习(含答案)
12.2三角形全等的判定第4课时斜边、直角边(HL)教案2021-2022学年人教版数学八年级上册
12.2 三角形全等的判定第4课时斜边、直角边（HL）一、教学目标1.掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”（即“HL”）．2.会运用“HL”解决一些简单的实际问题和推理证明问题.二、教学重难点重点“斜边、直角边”的探究及其运用.难点灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，并注意“HL”与其他判定方法的区别与联系.重难点解读“HL”是直角三角形特有的判定方法，对于一般三角形不适用.“HL”实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不适用，因此在“HL”使用过程中要突出直角三角形这个条件.三、教学过程活动1 旧知回顾1.如图，在Rt△ABC中，直角边是________，________，斜边是________.2.我们学过的判定两个三角形全等的方法有：________，________，________，________.活动2 探究新知1.教材第41页思考.提出问题：（1）判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点.（2）对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？2.教材第42页 探究5.提出问题：（1）你能画出Rt △A ′B ′C ′吗？怎么画？用什么方法？（2）将画好的Rt △A ′B ′C ′剪下，比一比，看一看，它能否与Rt △ABC 重合？（3）根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？ 活动3 知识归纳提出问题：（1）判定两个直角三角形全等的特殊方法是什么？它对一般的三角形是否适用？（2）归纳判定两个直角三角形全等的方法.1． 斜边 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ HL ”.2.判定两个直角三角形全等的方法有 SSS ， SAS ， ASA ， AAS ，HL .HL 只适用于 直角三角形 ，对于一般三角形不适用.活动4 典例赏析及练习例 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD=CB.求证：AD ∥BC.【答案】证明：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD=∠CDB=90°（垂直的定义）.在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，,,AD CB BD DB ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）.∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.练习：1.下列语句中不正确的是（ C ）A.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等B.有两边对应相等的两个直角三角形全等C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等D.有一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF，下列结论错误的是（ D ）A.DF∥AEB.∠C=∠BC.CF=BED.∠A+∠D=90°活动5 课堂小结1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形.2.证明两个直角三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意SSA 和AAA不能判定两个三角形全等.四、作业布置与教学反思。
《用“HL”证直角三角形全等》第4课时练习题
C)
90° ． 11．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝_______
12．(2016·镇江)如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO的度数是多少？
5．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝
AC，FD＝CD.求证：AD＝BD. 解：在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵CD＝FD，AC ＝BF，∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，∴AD＝BD
知识点2：直角三角形全等判定方法的选用
6．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( D A．两条直角边分别对应相等 B．斜边和一锐角分别对应相等 C．斜边和一条直角边分别对应相等 )
八年级上册人教版数学 第十二章 全等三角形
12．2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”证直角三角形全等
直角边 分别相等的两个直角三角形全等，可简写成 1．斜边和一条_________ HL ”． 斜边、直角边 ”或“_______ “_______________ 2．判定两个直角三角形全等的方法．(填简写形式) SSS ；(2)________ SAS ；(3)______ ASA ； (1)_______ (4)_________ AAS ；(5)_______ HL ． 练习1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据 AB＝AC “HL”判定，还需要加条件_______________ ；若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定． __________
人教版八年级上册12.2第4课时利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等同步练习
人教版八年级上册12.2第4课时利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等同步练习第4课时利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等一，选择题1.下列说法不正确的是( ).A.一个锐角和其对边对应相等的两个直角三角形全等B.两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等C.两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等D.斜边对应相等的两个直角三角形全等2．在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C =∠C ′=90°，∠A =∠B ′，AB =B ′A ，则下列结论中正确的是（）A.AC =A ′C ′B.BC =B ′C ′C.AC =B ′C ′D.∠A =∠A ′3．下列结论错误的是( )A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D ．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等4．两个直角三角形全等的条件是（）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.一条斜边和一直角边对应相等5．如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A ．B ．ABC ADC △≌△CB CD =BAC DAC =∠∠C ．D ．6．如图所示，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 交D 点，E 、F 分别是DB 、DC 的中点，则图中全等三角形的对数是（）A.1B.2C.3D.47.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件不能判定△ABC 和△DEF全等的是( ).A.AB=DE ,AC=DFB.AC=EF ,BC=DFC.AB=DE ,BC=EFD.∠C=∠F ,BC=EF8.如图,已知AB=AC ,AD=AE ,AF ⊥BC 于点F ,则图中全等三角形共有( ).A.1对B.2对C.3对D.4对二，填空题9．如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， AE ＝AF ，请找出一对全等的三角形：．BCA DCA =∠∠90B D ==?∠10．如图，已知AC ⊥BD ，BC =CE ，AC =DC .试分析∠B +∠D = .11．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与分别是的中点，可证得，理由是，于是是的中点．12.如图,M 是BC 上一点,过点M 作MD ⊥AB 于点D ,且MC=MD.如果AC=8 cm,AB=10 cm,那么 BD= cm .13.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等.已知∠ABC=32°,则∠DFE 的度数是 .GF GE E F ，，AD BC ，Rt AGE △≌G14.如图,AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE,求证:AB∥DE.15.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足为点E,F.求证:BE=CF.16.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是点E,F,那么CE=DF吗?17(1)如图①,点A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC.若AB=CD,试证明BD平分EF;(2)若将图①变为图②,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由.① ②参考答案1.D 根据三角形全等的条件去验证.选项D 中只有斜边对应相等,不符合直角三角形全等的条件.2．C 3．D 4．D 5．C 6．D 7.B8.D △ABD ≌△ACE ,△ADF ≌△AEF ,△ABF ≌△ACF ,△ABE ≌△ACD.9．10．90°11．，HL ，12.2 在Rt △AMC 和Rt △AMD 中,∴Rt △AMC ≌Rt △AMD.∴AC=AD=8 cm .又AB=10 cm, ∴BD=2 cm .13.58° 在Rt △ABC和Rt △DEF 中,∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL).∴∠DFE=∠ACB=90°-32°=58°.14.证明∵C 是BE 的中点,∴BC=CE.∵AD ⊥BE ,∴∠ACB=∠DCE=90°.Rt Rt ADE ADF △≌△Rt Rt AGE BGF △≌△AB在Rt△ACB和Rt△DCE中,∴Rt△ACB≌Rt△DCE(HL).∴∠B=∠E.∴AB∥DE.15.证明在△AED和△AFD中,∴△AED≌△AFD.∴DE=DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.16.解CE=DF.理由如下:在Rt△ABC与Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.在△ACE和△BDF中,∴△ACE≌△BDF(AAS).∴CE=DF.17.分析先证明两个直角三角形全等,再由全等三角形的对应边相等和对应角相等的性质,推出EG与FG所在的三角形全等.(1)证明∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.在△BFG和△DEG中,∴△BFG≌△DEG(AAS).∴FG=EG,即BD平分EF.(2)解结论仍然成立.理由如下:∵AE=CF,∴AF=CE.∵BF⊥AC,DE⊥AC,AB=CD,∴Rt△ABF≌Rt△CDE.∴BF=DE,易证△BFG≌△DEG.∴FG=EG,即结论仍然成立.。
人教版初中初二八年级数学上册 12.2 第4课时 “斜边、直角边” 精品导学案
第十二章 全等三角形12．2 全等三角形的判定第4课时 “斜边、直角边”学习目标：1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题．3．在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理．重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题． 难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．一、知识链接1．我们学过的判定三角形全等的方法有 ． 2．如图，AB ⊥BE 于C ，DE ⊥BE 于E ．（1）若⊥A =⊥D ，AB =DE ，则⊥ABC 与⊥DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）； （2）若⊥A =⊥D ，BC =EF ，则⊥ABC 与⊥DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）； （3）若AB =DE ，BC =EF ，则⊥ABC 与⊥DEF （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）．二、新知预习如图，已知AC =DF ，BC =EF ，⊥B =⊥E ． （1）⊥ABC 与⊥DEF 全等吗？（2）若⊥B =⊥E =90°，猜想Rt⊥ABC 是否全等于Rt⊥DEF ．动手画一画．三、我的疑惑_______________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分1．复习引入 （见幻灯片3-6）一、要点探究探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即⊥B=⊥E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定⊥ABC⊥⊥DEF吗？作图探究：任意画出一个Rt⊥ABC，使⊥C=90°．再画一个Rt⊥A ′B ′C ′，使⊥C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt⊥A′B′ C′ 剪下来，放到Rt⊥ABC上，它们能重合吗？知识要点：文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：在Rt⊥ABC和Rt⊥A′B′C′中，'','',AB A BBC B C=⎧⎨=⎩⊥Rt⊥ABC⊥Rt⊥A′B′C′(HL)．判一判：判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一条直角边和斜边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）课堂探究教学备注配套PPT讲授2．探究点新知讲授（见幻灯片7-21）典例精析例1：如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ﹦BD ，求证：BC ﹦AD ．【变式1】如图，⊥ACB =⊥ADB =90°，要证明⊥ABC ⊥⊥BAD ，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由． （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）【变式2】如图，AC 、BD 相交于点P ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D ，AD =BC ．求证：AC =BD ．【变式3】如图：AB ⊥AD ，CD ⊥BC ，AB =CD ，判断AD 和BC 的位置关系．例2：如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角⊥ABC 和⊥ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE ．求证：BC ＝BE ．方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．PDCBACADB教学备注A B D C例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角⊥B和⊥F的大小有什么关系？二、课堂小结直角三角形判定简称图示符号语言斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”或“HL”在Rt⊥ABC和Rt⊥A1B1C1中，⊥Rt⊥ABC⊥Rt⊥A1B1C1(HL)．注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中．1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等2．如图，在⊥ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3．如图，⊥ABC中，AB=AC，AD是高，则⊥ADB与⊥ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）．4．如图，在⊥ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE．求证：⊥EBC⊥⊥DCB．当堂检测教学备注配套PPT讲授3．课堂小结（见幻灯片29）4．当堂检测（见幻灯片22-28）⎩⎨⎧==,'',''CAACBAAB5．如图，AB =CD ，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，AE =CF ．求证：BF =DE ．【变式1】如图，AB =CD ，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，AE =CF ．求证：BD 平分EF ．【变式2】如图，AB =CD ，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，AE =CF ．想想：BD 平分EF 吗?能力拓展6．如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10 cm ，BC ＝5 cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？参考答案自主学习一、知识链接1．SSS 、SAS 、ASA 、AAS 2．（1）全等 ASA （2）全等 AAS （3）全等 SAS 二、新知预习 （1）不一定全等 （2）全等 三、我的疑惑 课堂探究二、要点探究探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 问题 可以 作图探究 重合判一判 （1）AAS （2）× （3）AAS （4）SAS （5）HL例1 证明：⊥AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，⊥⊥C 与⊥D 都是直角． 在Rt⊥ABC 和Rt⊥BAD 中，,,AB BA AC BD =⎧⎨=⎩⊥ Rt⊥ABC ⊥Rt⊥BAD (HL)．⊥ BC ﹦AD ．【变式1】（1）AD =BC HL （2）BD =AC HL（3）∠DAB =∠CBA AAS （4）∠DBA =∠CAB AAS【变式2】 证明：连接AB ．∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠D =∠C =90°． 在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，,,AB BA AD BC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD 和Rt △BAC （HL ），∴AC =BD ．【变式3】 解：连接BD ．∵AB ⊥AD ，CD ⊥BC ，∴∠A =∠C =90°． 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，,BD DBAB CD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）．∴∠ADB =∠CBD ．∴AD ∥BC ．例2 证明：⊥AD ，AF 分别是两个钝角⊥ABC 和⊥ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ， ⊥Rt⊥ADC ⊥Rt⊥AFE (HL)．⊥CD ＝EF ．⊥AD ＝AF ，AB ＝AB ，⊥Rt⊥ABD ⊥Rt⊥ABF (HL)． ⊥BD ＝BF ．⊥BD －CD ＝BF －EF ，即BC ＝BE ． 例3 解：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，,,BC EF AC DF =⎧⎨=⎩⊥Rt⊥ABC ⊥Rt⊥DEF (HL)．∴∠B =∠DEF (全等三角形对应角相等)．∵∠DEF +∠F =90°，∴∠B +∠F =90°． 当堂检测1．D 2．A 3．全等 HL4．证明：⊥BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，⊥⊥BDC =⊥BEC =90 °． 在Rt⊥EBC 和Rt⊥DCB 中，,,CE BD BC CB =⎧⎨=⎩⊥Rt⊥EBC ⊥Rt⊥DCB (HL)．5．证明：⊥BF⊥AC，DE⊥AC，⊥⊥BF A=⊥DEC=90 °．⊥AE=CF，⊥AE+EF=CF+EF．⊥AF=CE．在Rt⊥ABF和Rt⊥CDE中，,,AB CDAF CE=⎧⎨=⎩⊥Rt⊥ABF⊥Rt⊥CDE(HL)．⊥BF=DE．【变式1】证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴⊥BF A=⊥DEC=90 °．∵AE=CF，∴AF=CE．又∵AB=CD，∴Rt⊥ABF⊥Rt⊥CDE(HL)．∴BF=DE．在△GBF和△GDE中，,,,BFG DEGBGF DGEBF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF≌△GDE（AAS）．∴EG=FG．∴BD平分EF．【变式2】解：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴⊥BF A=⊥DEC=90 °．∵AE=CF，∴AF=CE．又∵AB=CD，∴Rt⊥ABF⊥Rt⊥CDE(HL)．∴BF=DE．在△GBF和△GDE中，,,,BFG DEGBGF DGEBF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF≌△GDE（AAS）．∴EG=FG．∴BD平分EF．能力拓展6．解：（1）由题意知∠C＝∠QAP＝90°．当P运动到AP＝BC时，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵AB＝PQ，BC＝AP，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5 cm．（2）当P运动到与C点重合时，AP＝AC．在Rt△ABC与Rt△PQA中，∵AB＝PQ，AC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，∴AP＝AC＝10 cm．综上，当AP＝5 cm或10 cm时，△ABC和△APQ全等．。
12.2 第4课时 “斜边、直角边”1
第4课时“斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF＝CE，AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL”判定线段相等如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt△ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
12.2 第4课时 “斜边、直角边” 初中数学人教版八年级上册课件
使用 方法
_斜__边__和__一__条__直__角__边___分别相 等的两个直角三角形全等
在_直__角___三角形中
只须找除直角外的两个条件即 可(两个条件中至少有一个是一 对边相等)
当堂练习 1. 如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为 AB = 5，DC = 10. 两个木箱之间恰好可以放进一个 等腰直角三角板( AE = DE，∠AED = 90°)，点 B， C，E 在水平地面上，点 A 和点 D 分别与木箱的顶 端重合，两个木箱之间的距离等于___1_5___.
找任意一条直角边“HL”
链接中考
1. (新余校考) 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别
为 D、E，BE、CD 相交于点 O，如果 AB = AC，求
证：AO 平分∠CAB.
证明：∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°.
C
B
在△ACD 和△ABE 中，
O
∠ADC＝∠AEB，
E
D
角三角形全等？为什么？ 1. 斜边和一个锐角分别相等
B C B′ C′ AAS 或 ASA (角度转化)
2. 一条直角边和一锐角分别相等 ASA 或 AAS
3. 两直角边分别相等 SAS
4. 斜边和一条直角边分别相等
合作探究
任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个
Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把
AB＝AB，∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. AD＝AF，∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
3. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点 运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
12.2 第4课时 “斜边、直角边”1
第4课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
人教版八年级数学上12.2第4课时“斜边、直角边”精选练习1.docx
初中数学试卷马鸣风萧萧第4课时 “斜边、直角边”一、选择题:1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( )A. 30°B. 60°C. 30°和60°之间D. 以上都不对3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个12A BCD第2题图 第5题图 第7题图 第8题图7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==︒∠∠BAEFCD8. 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°二、填空题:9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_______时，△ABC≌△APQ．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.第17题图第18题图三、解答题:19. 如图，,于点，，平分交于点，请你写出图中=⊥=∠AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.BAE CD23. 已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?B AE MFC D第4课时 斜边、直角边（HL ）一、选择题1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.C8.A二、填空题9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP=DP 或AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ． 12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500三、解答题19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Rt ADB △和Rt ADC △中，,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2) ∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A=∠A ，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD=AE ．（2）互相垂直，在Rt △ADO 与△AEO 中，∵OA=OA ，AD=AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO=∠EAO ， 即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB=AC ， ∴OA ⊥BC ．22.证明：∵BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E∴∠ADB=∠AEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 和△CAE 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE(AAS) ∴BD=AE,AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE23. 解：(1)EM=FM(2)作EH ⊥AM,垂足为H,FK ⊥AM,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH=AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK=AD 得EH=FK在Rt △EHK 与Rt △FKM 中,Rt △EHM ≌Rt △FKM 得EM=FM.。
2020年八年级数学上册第十二章12.2 第4课时 “斜边、直角边”
证明两个三角形全等的基本模型
在这些图形中要注意寻找隐含的条件：如公共边， 对顶角，直角……
例 (教材P42例5变式)如图，已知AD，AF分别是 两个钝角△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝ AE.求证：BC＝BE.
分析：根据“HL”证Rt△ADC≌ Rt△AFE，得CD＝EF，再根据 “HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得 BD＝BF，最后证明BC＝BE.
知识要点1 利用“斜边、直角边”判定三角形 全等
斜边 和一条 直角边 对应相等的两个直角三角形 全等．可简写成“斜边、直角边”或“ HL ”． 在实际证明中可根据条件灵活运用“SSS”“SAS” “ASA”“AAS”或“HL”来判定直角三角形全 等，不要只拘泥于“HL”．
要使两个三角形全等，至少需要三个 条件，其中必有 边 相等的条件，且 证明两个三 三个条件必满足一定的对应关系，如 角形全等的 条件 下列两种情况就不能判定两个三角形 全等：①三对量不是对应关系；② “AAA”和“SSA”不能判定全等.
2．(教材 P39 练习 T1 变式)如图，两根长度为 12 米 的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面 上的两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离 BD 与 CD 的大小关系是( C ) A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
3．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，要使△ABD ≌△ACD ，若 根据 “HL”判 定 ，还需 要添加 条 件 AB＝AC ；若添加条件∠B＝∠C，则可直接 用“ AAS ”判定．
4．(教材 P43 练习 T2 变式)如图，已知 CE⊥AB， DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD. 证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠CEA＝∠DFB＝90°. 在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中， ∵AC＝BD，CE＝DF， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)． ∴∠A＝∠B. ∴AC∥BD.
12.2.4三角形全等的判定——斜边直角边(同步课件)-人教版初中数学八年级上册
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
A
B
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， AB = A′B′，
BC = B′C′， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
A
C
B′
A′
C′
特别提醒：在做题时往往在相等的边或角上
在 △GBF 和 Rt△GDE 中，
D
BF＝DE
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
∴△GBF≌△GDE (AAS)
∴GF=GE，即BD平分EF.
如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求 DE的长．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
B
F
C
E
D
如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
B
FC AEG
∴BF＝DE
如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE.
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
【最新】人教版八年级数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边”精选练习2含答案.doc
第4课时 “斜边、直角边”一、选择题1．在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C =∠C ′=90°，∠A =∠B ′，AB =B ′A ，则下列结论中正确的是（ ） A.AC =A ′C ′B.BC =B ′C ′C.AC =B ′C ′D.∠A =∠A ′2．下列结论错误的是( )A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D ．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等3．两个直角三角形全等的条件是（ ）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.一条斜边和一直角边对应相等4．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠5．如图所示，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 交D 点，E 、F 分别是DB 、DC 的中点，则图中全等三角形的对数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题6． 如图，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ， AE ＝AF ，请找出一对全等的三角形： ．7．如图，已知AC ⊥BD ，BC =CE ，AC =DC .试分析∠B +∠D = . A B C D （第4题）8．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF 与GE E F ，， 分别是AD BC ，的中点，可证得Rt AGE △≌ ，理由是 ，于是G 是 的中点．三、解答题9．如图，已知AD AF ，分别是两个钝角ABC △和ABE △的高，如果AD AF =，AC AE =． 求证：BC BE =．参考答案1．C 2．D 3．D 4．C 5．D6．Rt Rt ADE ADF △≌△ 7．90° 8．Rt Rt AGE BGF △≌△，HL ，AB9．根据“HL ”证R t R t A D C A F E △≌△，CD EF ∴=，再根据“HL ”证R t R t A B D A B F △≌△，BD BF ∴=，BD CD BF EF ∴-=-，即BC BE =．A DCB EAB C F ED G。
人教版八年级上册数学 12.2第4课时 “斜边、直角边”《直角三角形全等的判定》参考教案
三角形全等的判定（四）直角三角形全等的判定教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学过程Ⅰ．提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）Ⅱ．导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角α利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c①作∠MCN=∠α=90°，②在射线CM上截取线段CB=a，③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，α④连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）（二）巩固练习：1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。
12.2.4全等三角形的判定(第4课时HL)八年级数学上册(人教版)
情境引入
人教版数学八年级上册
上节课我们学习了什么方法可以判定两个三角形全等？ 三条边分别相等的三角形全等（SSS）． 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？ 我们继续探索三角形全等的条件.
D FE
A
B
课堂检测
人教版数学八年级上册
2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速
度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，
EB⊥AB.D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：相等，理由如下：AC=BC.
∵同时出发，同时到达，且速度相同，
∴AE=DF∥CD．
AC=A′C′， BC=B′C′，
B┐
C
A′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）.
提醒：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两
个三角形符号前面要加上“Rt”.
┐
B′
C′
典例精析
人教版数学八年级上册
例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证：BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
1.如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF， AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF AB=CD ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴∠ABC=∠DCB．
小试牛刀
人教版数学八年级上册
2.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：BC=DC． 证明：连接AC.
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12.2 第4课时斜边、直角边（HL）
度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。
一、选择题:
1. 两个直角三角形全等的条件是( )
A.一锐角对应相等;
B.两锐角对应相等;
C.一条边对应相等;
D.两条边对应相等
2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=30°，则∠2的度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 30°和60°之间
D. 以上都不对
3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的
依据是( )
A. AAS
B.SAS
C.HL
D.SSS
4. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和
△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF
B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF
D.∠C=∠F,BC=EF
5. 如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( )
A.5对;
B.4对;
C.3对;
D.2对
6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )
①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
1
2
A
B
C
D
第2题图第5题图第7题图第8题图
7. 如图，已知AB AD
=，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC
△≌△的是（）A．CB CD
=B．BAC DAC
=
∠∠C．BCA DCA
=
∠∠D．90
B D
==︒
∠∠
8. 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．∠B=45°
二、填空题:
9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字
母表示为“___________”.
10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.
11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不
能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________
12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点
O，则有△________≌△________，其判定依据是_______________________，还有△________≌△________，其判定依据是___________________________．
第11题图第12题图第13题图
13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若
BF=AC，则∠ABC=_______
第14题图第15题图第16题图
B
A
E
F
D
14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD =AE ，那么图中有 对全等三角形.
15.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =4，PQ =AB ，点P 与点Q 分别在AC 和AC 的垂线AD 上移动，则当AP =_______时，△ABC ≌△APQ ． 16.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直
线的垂线BD ，CE ，若BD =4cm ，CE =3cm ，则DE =________cm .
17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC =EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑
梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC +∠DFE =__________度
18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m .
第17题图 第18题图
三、解答题:
19. 如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．
全等三角形，并选取其中一对加以证明．
20.在△ABC 中,AB =CB ,∠ABC =90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE =CF . (1)求证: Rt △ABE ≌Rt △CBF ;(2)若∠CAE =30º,求∠ACF 度数.
21. 如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA
，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于
D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.
B
A
E C
D
23. 已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连
结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.
(1)用圆规比较EM与FM的大小.
(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?
B A
E M
F
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
6.C
7.C
8.A 二、填空题
9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP =DP 或AB =CD 或∠A =∠C 或∠B =∠D ． 12.ABC ,DCB ,HL ,AOB ,DOC ,AAS . `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500 三、解答题
19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、
BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）.
（2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：
,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.
在Rt ADB △和Rt ADC △中，
,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.
20.解：（1）∵∠ABC =90°,∴∠CBF =∠ABE =90°.
在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,
∵AE =CF , AB =BC , ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (HL ) (2) ∵AB =BC , ∠ABC =90°, ∴ ∠CAB =∠ACB =45°. ∵∠BAE =∠CAB －∠CAE =45°－30°=15°.
由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =15°, ∴∠ACF =∠BCF +∠ACB =45°+15°=60°. 21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，
∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD =AE ． （2）互相垂直，
在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA =OA ，AD =AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO =∠EAO ， 即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB =AC ， ∴OA ⊥BC ．
22.证明：∵BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E
∴∠ADB =∠AEC =90° ∵∠BAC =90°
∴∠ABD +∠BAD =∠CAE +∠BAD ∴∠ABD =∠CAE 在△ABD 和△CAE 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE (AAS ) ∴BD =AE ,AD =CE ∵AE =AD +DE ∴BD =CE +DE 23. 解：(1)EM =FM
(2)作EH ⊥AM ,垂足为H ,FK ⊥AM ,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH =AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK =AD 得EH =FK
在Rt△EHK与Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM
得EM=FM.
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