典型环节的Bode图

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6-2频域：极坐标图

1 Re
11
二、开环系统的幅相频率特性绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系
统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。例：求如下传递函数的极坐标图。
Gjω ejω T
1 jω T
解： G(jω)可写为：
GjωejωT 1
1jωT
12
其幅值与相角分别为：
GjωejωT 1 1
一、典型环节的极坐标图 1.放大环节
G(jω)=K=U+jV
Gjω = U2 V2 K
G(j)tg1V 0
U
Im
0
K Re
放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。
2
2. 微分环节
G(jω)=jω Gjω =ω
G( j) tg1 90
0
微分环节是一条与虚轴正段相重合的直线。
1 T 2 2
2 T
1 T 2 22 2 T 2j1 T 2 22 2 T 2
Gj
1
1T2 2 2 2T2
G(j)t g1 2T
1T22
显然，当ω=0，和ω=∞时，
G(j01)0
G
Im
G(jω)的虚部是正

的单调增加，而实

部则由1开始单调
递减。
0
0
1
Re

典型环节伯德图

当有n个积分环节串联时，即: 其对数幅频特性为: 相频特性是一条与ω无关，值为-n×900 且与ω轴平行的直线。两个积分环节串联的Bode图如图5-13所示。
是一条斜率为-n×20dB/dec，且在ω=1（弧度/秒）处过零分贝线（ω轴）的直线。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
三惯性环节惯性环节的频率特性是: 其对数幅频特性是: 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性, 即在的低频段时，，与零分贝线重合；在的高频段时是一条斜率为 -20（dB/dec.）的直线。两条直线在处相交，称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图514所示。
其对数幅频特性与惯性环节相同；相频特性与惯性环节相比是以为对称，相角的变化范围是至。Bode如图5-22所示
八滞后环节
滞后环节的频率特性是: 其对数幅频特性和相频特性分别为:
滞后环节伯德图如图5-23 所示。其对数幅频特性与 ω无关，是一条与ω轴重合的零分贝线。滞后相角由式（5-92）计算，分别与滞后时间常数τ和角频率ω成正比。
惯性环节的相频特性为:
对应的相频特性曲线如图5-14所示。它是一条由至范围内变化的反正切函数曲线，且以和的交点为斜对称.
四一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为:
其对数幅频特性是:
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频率为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。相频特性是: 当时，

典型环节的Bode图

控制系统的开环频率特性

目的：掌握开环Bode图的绘制

根据Bode图确定最小相位系统的传递函数重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数

1 开环伯德图手工作图的一般步骤：

1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式，计算各个典型环节的交接频率

2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数ν

3）通过（1,20lgK）绘制斜率为-20vdB/dec低频段4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率

最小相位系统定义：递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。否则就是非最小相位系统。

对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。

非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。

Tf函数用来建立实部或复数传递函数模型或将状态方程、或零级增益模型转化成传递函数形式。sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。输出sys 是储存传递函数数据的传递函数目标。单输入单输出情况下，num和den是s的递减幂级数构成的实数或复数行向量。这两个向量并不要求维数相同。如h = tf([1 0],1)就明确定义了纯导数形式h(s)=s。若要构建多输入多输出传递函数，要分别定义每一个单输入单输出系统的端口的分子与分母。

5-2 典型环节的频率特性

G ( j ω ) = j τω + 1
G ( jω ) = τ 2ω 2 + 1
∠ G ( j ω ) = arctg τω
∠G ( j 0) = 0 0 ω = 0 时， G ( j 0 ) = 1，当 1 1 1 ∠ G ( j ) = 45 0 ) = 2 ，当 ω = 时， G ( j τ τ τ ∠G( j∞) = 900 当 ω = ∞时， G ( j ∞ ) = ∞
将 ω r 代入 ∠G( jω) 得到谐振相移φr为
φr = ∠G( jω r ) = −arctg
1 − 2ξ 2
ξ
= −900 + arcsin
ξ
1−ξ 2
振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 0 < ω < ω r 的范围内，随着ω 的增加， M(ω) 缓慢增大；当 ω = ω r 时， M(ω) 达到最大值 Mr ；当
jφ 特性的极坐标图。它是当角频率ω从0到无穷变化时，矢量 G ( jω ) H ( jω ) e
的矢端在 [G( jω)] 平面上描绘出的曲线。
（一）放大环节（比例环节）
放大环节的传递函数为其对应的频率特性是
其幅频特性和相频特性分别为
G (s) = K
G( jω ) = K
G ( jω ) = K
5-2 典型环节频率特性的绘制

考研复习题典型环节伯德图

(5-79)
(5-80)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω轴）重合，对应的频率范围是0至；第二段折线的起点在处，是一条斜率为-40（dB/dec）的直线，对应的频率范围是至∞ 。两段折线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为。对数幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：
惯性环节的相频特性为:
对应的相频特性曲线如图5-14所示。它是一条由至范围内变化的反正切函数曲线，且以和的交点为斜对称.
四一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为:
其对数幅频特性是:
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频率为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。相频特性是: 当时，
由图5-19可看出，振荡环节的对数幅频特性在转折频率附近产生谐振峰值，这是该环节固有振荡性能在频率特性上的反映。前面已经分析过，谐振频率ωr 和谐振峰Mr分别为:
振荡环节对数幅频率特性图
其中称为振荡环节的无阻尼（ξ=0）自然振荡频率，它也是渐近线的转折频率。由式（581）可知，当阻尼比ξ愈小谐振频率ωr愈接近无阻尼自然振荡频率ωn，当ξ=0时，ωr=ωn
典型环节伯德图
伯德图又叫对数频率特性曲线，是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。两个坐标平面横轴(ω轴)用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数，即L(ω)=20lg|G(jω)|(dB)；对数相频特性的纵轴也是线性分度，它表示相角的度数，即φ(ω)=∠G(jω)(度)。通常将这两个图形上下放臵（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。

如何绘制伯德图.ppt

0 .1
? 40 dB / dec
1
10 ?
? ? n ? 20 lg ?
? G ( j? ) ? ? n ? 90 0
（5-72）度 ? （ ? ）
90 0
是一条斜率为 -n×20dB/dec，且在
00
ω =1（弧度/秒）处过零分贝线（ω
0 .01
0 .1
1
?
轴）的直线。相频特性是一条与 ω ? 90 0
无关，值为 -n×900且与ω 轴平行的 ? 180 0 直线。两个积分环节串联的 Bode图
如图5-13所示。
图5-13 两个积分环节串联的 Bode图
（三）惯性环节
惯性环节的频率特性是
1
G ( j? ) ?
其对数幅频特性是
jT ? ? 1
20 lg G ( j ? ) ? 20 lg
1
1 ? T 2? 2
20 lg G ( j ? ) ? 20 lg K
（5-59）（5-60）（5-61）
?当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方； ?当K=1时，20lgK=0，与横轴重合； ?当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频
率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 dB L(? )

如何绘制伯德图

以横轴（ω 轴）为对称的。
图5-16 一阶微分环节的Bode图
13
（五）振荡环节
振荡环节的频率特性是
G ( j ) 1 (1 T ) j 2T
2 2
（5-79）
2 2 2
其对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg (1 T ) 4 T
1
L( )
dB
40 20 0

-20
-40
( )
0.01
0.1
1
10
100
90o
45o
0 -45o -90o

0.01
0.1
1
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；（2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，可简化计算；
1 T
10
精确特性
0
1 1
1 1 10
1
处的相角
度
100
0

10
渐近特性
1

100
1

为450。比较图 5-16和
5-14，可知，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性是

典型系统波特图

4
(4)可分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加方法得出系统的Bode图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。 (5)由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑的表现出来。在分析和研究系统时，其低频特性很重要，而横轴采用对数分度对于突出频率特性的低频率很方便。
5
二、典型环节的Bode图
(dB)
T
0
1
2
3
4
1 1 11
10 T 5 T
1 1 1 21 2T T T
5 1 10 1 TT
图4－23(b)惯性环节对数幅频特性误差曲线
17
5.一阶微分环节
频率特性为 G( j) j 1
对数幅频特性 20lg G( j) 20lg 22 1 10lg( 22 1) (4-25a)
1.放大环节（比例环节）
频率特性为 G( j) K(K为大于零的常数）
对数幅频特性 20lg G( j) 20lg K
（4-21a）
对数相频特性 () G( j) 00 （4-21b）
6
L() dB 40 20
0 0.01 20 40
() 900 450
00 0.01
对数相频特性 () arctg
(4-25b)
令T
1

称为转折频率或交接频率或转角频率

5.3 对数频率特性(Bode图)

（2）绘制开环对数幅频特性低频段的渐近线。由于低频段渐近线的频率特性为 K ( jω)v ，
所以它就是过点（1 , 20 lg K ）、斜率为 −20v dB/dec 的直线。
（3）在低频段渐近线的基础上，沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就改变一次斜率，
其规律是：遇到惯性环节的转折频率，斜率变化 −20 dB/dec ；遇到一阶复合微分环节的转折频率，斜率变化+ 20 dB/dec ；遇到二阶复合微分环节的转折频率，斜率变化 40 dB/dec ；遇到振荡环节的转折频率，斜率变化 −40 dB/dec ；直到所有转折全部进行完毕。最右端转折频率之后的渐近线斜率应该是 −20(n − m) dB/dec ，其中， n, m 分别为 G(s) 分母、分子
ωn
ωn
ωn
L(ω) ≈ −20 lg1 = 0dB
表明 L(ω ) 的低频段渐近线是一条 0dB 的水平线。当 ω >> 1 时，略去式(5-55)中 L(ω ) 的 ωn
1 和 2ξ ω 项，有 ωn
L(ω ) = −20 lg( ω )2 = −40 lg ω
ωn
ωn
表明 L(ω ) 的高频段渐近线是一条斜率为 − 40dB 的直线。
显然，当ω ωn = 1，即ω = ωn 时，是两条渐近线的相交点，所以，振荡环节的自然
频率ωn 就是其转折频率。

5-3-典型环节频率特性的绘制

1 45 2
G(j) 0 -90
G(j0) 1 0
G
j
1 T
1 45 2
G(j) 0 -90
不难看出，随着频率ω=0→∞变化，惯性环节的幅值
逐步衰减，最终趋于0。相位的绝对值越来越大，但
最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。
Im
1
2
0
0
1
Re
5. 振荡环节
传递函数：G(s)
0
Magnitude (dB)
-10 -20
-30
-40
1010--22
1010--11
110000
Frequency (rad/sec)
101011
二阶因子T
(
j)2
1 2
T
(
j)
1
(T
1)幅频特性与
的关系
Bode Diagram
20
0.1
0.2
10
0
Magnitude (dB)
-10
-20
0 Re
极坐标图一条与虚轴负段相重合的
直线。
0
4. 惯性环节
传递函数：G(s) 1
Ts 1
频率特性：G
jω
1 1 jωT
1
1 ω2T2
ωT j 1 ω2T2
Aω

完整版bode图习题解析

在高频段，? 很大，? T>>1，
L(? ) ? ?20lg? 2T2 ? ?40lg? T
二阶振荡环节幅频特性的 Bode 图可用上述低频段和高频
段的两条直线组成的折线近似表示，两条渐近线交于无阻尼自然频率 ωn
相频特性
? (?
)
?
? ?? ? ? ?
? ?
2?T? arctan 1? ? 2T 2
1 ? j? T1
因子的转折频率
1 T1
，当 ?
?1 T1
时，
分段直线斜率的变化量为 ? 20dB/ dec
1 ? j? T2
因子的转折频率
1 T2
，当 ? ? 1 时，
T2
分段直线斜率的变化量为 20dB / dec
高频渐近线，其斜率为 ? 20(n ? m)dB / dec
n为极点数， m为零点数
K db ? 20 log 10 10 ? 20 db
Step2: Determine the frequency range to be plotted
0.1 ? ? ? 100
Step3: Plot the straight line magnitude approximations.
40
M db
0.05 s)
试绘出系统的开环对数幅频特性。解：系统由八个环节组成：两个积分环节；三个惯性环节；两个一阶微分环节，它们的交接频率分别为是

波德(Bode)图

2
几点说明在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；此外，横坐标一般只标注的自然数值；在对数频率特性图中，角频率变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为decade或简写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率变化的单位。可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于一个单位。
-20 180° 13 Bode图： 5 90° ° 45 0° ° 0.1
()
1
(rad/sec)
6
10
10
惯性环节的Bode图对数幅频特性： L( ) 20log 1 2T 2 对数相频特性： () = - arctgT 低频段( << 1/T )
L( ) 20lg 1 T 2 2 0
2
10
即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。对数相频特性
( ) arctg 2 n
1 n
2
易知： (0) 0
(n ) 90
() 180

典型环节的频率特性

10 100
当K 0时， 1, L( ) 20 log K ; 当 K时，L( ) 0 当有两个积分环节时可见斜率为 7 －40/dec
90
惯性环节的Bode图
K K G( s) G ( j ) ⒊ 惯性环节的频率特性： Ts 1 Tj 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 ①对数幅频特性： L( ) 20log A( ) 20log K 20log 1 T 2 2 ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下： L( ) 20log K ，称为低频渐近线。低频段：当 T 1时， L( ) 20log K 20logT，称为高频渐近线。高频段：当 T 1时， 10倍频程下降这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加 20分贝）。当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为： 20log K 20log K 20logT ，得：
Thursday, March 07, 2019
5
比例环节的bode图
⒈ 比例环节：
G( s ) K ;
G( j ) K
( ) 0 A( ) K ；相频特性：幅频特性： L( ) / dB 对数幅频特性： K 1
20log K 20log K 20log K

53-3 极坐标图(典型环节)

谐振频率
ω r = ω n 1 − 2ξ 2
1 2ξ 1 − ξ 2
谐振峰值 M r =
ξ > 0.707
( β < 45° )
1 − 2ξ 2 < 0 1 − 2ξ = 0
2
ωr, Mr 不存在
ξ = 0.707
( β = 45° )
ωr = 0
Mr = 1
Mr = 1 >1
( 45° < β < 90° )
典型因子(Nyquist) §5.3 典型因子(Nyquist)（6）
(5) 振荡环节 (0 < ξ < 1) 传递函数：传递函数：
2 ωn G(s) = 2 2 S + 2ξωn S + ωn
频率特性：频率特性：
G(jω) =
1+ j 2ξ
ω ω + ( j )2 ωn ωn
1
1
幅频特性：幅频特性：
G(jω) =
相频特性：相频特性：
2 ω2 2 2ω (1− 2 ) + 4ξ 2 ωn ωn ω 2ξ ωn ϕ(ω) = − arctan ω2 1− 2 ωn
1 G(jω) = 《自动控制理论》
2 ω2 2 2 ω (1− 2 ) + 4ξ 2 ωn ωn
ω 2ξ ωn ϕ(ω) = − arctan (5) 振荡环节 (0 < ξ < 1) ω2 1− 2 ωn G( j0) = 1 ϕ（j0 = ∠G( j0) = 0 ，） G( j0) = 1∠0°

典型环节的Bode图

典型环节的B o d e图-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

控制系统的开环频率特性目的：掌握开环Bode图的绘制

根据Bode图确定最小相位系统的传

递函数

重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图

确定最小相位系统的传递函数

1 开环伯德图手工作图的一般步骤：

1）将开环传递函数表示为时间常数表达形

式，计算各个典型环节的交接频率

2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数

3）通过（1,20lgK）绘制斜率为-20vdB/dec

低频段

4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率

最小相位系统定义：递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。否则就是非最小相位系统。

非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。

2 典型环节的伯德图

绘制曲线在MATLAB中实现，利用下述的程序段：

num=[b2 b1 b0];

den=[1 a2 a1 a0];

H=tf(num,den);

bode(H)

margin(H)

hold on

比例环节

传递函数：()

G s K

频率特性：()

G j K

ω=

对数幅频特性：()20lg

L j K

ω=

对数相频特性：()0

ϕω=

典型系统波特图

i 1
幅频特性
相频特性
28
开环幅频特性
n
G( j) A() Ai ()
i1
开环相频特性
n
G( j) () i ()
开环对数幅频特性
i 1
n
n
20 lg G( j) 20 lg A() 20 lg Ai () 20 lgAi ()
20
01
1
10T
T
20
40
()
00
900
1800
10 1 T 40dB / dec
21
L() (dB)
20
01
10T
40
()
00
900
1800
0.05
0.3
0.5
1
10 1
wk.baidu.com

T
T
1.0
0.3
40dB / dec
0.05
第三节对数坐标图的绘制
一、对数坐标图二、典型环节的对数坐标图三、开环系统的对数坐标图
1
一、对数坐标图
一倍频程
0.1 0.2 0.4 0.8 1
2
一个10倍频程
图4-17 Bode图横坐标
(lg)
2
L() dB 40 20