2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)

武汉大学数学与统计学院
2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题
一、（42分）试解下列各题：
1、计算30arctan lim
1
x x x x
e →--. 2、求解微分方程096=+'-''y y y 的通解。

3
、计算-+⎰
121
(1)d x x x .
4、计算
+∞-⎰
x e x .
5、求曲线⎧=
⎪
⎨
⎪=⎩
⎰⎰
11
cos d sin d t t u
x u
u
u y u u
自1=t 至2π=t 一段弧的长度。

6、设2
132
y x x =
++，求()
n y . 二、（8分）已知xy
u e =，其中()y f x =由方程22
d cos d y x t
e t t t =
⎰
⎰
确定，求d d u x
.
三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1n
n n
x x n x =+
=+ ，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞
.
四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。

并说明此结论的几
何意义。

五、（15分）已知函数32
4x y x
+=，求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥）上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为
1
12
，试求：（1）曲线()y y x =的方程；（2）切点B 的坐标；（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

七、（7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0''>f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0ξ=f .
武汉大学数学与统计学院
2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案
一、 （42分）试解下列各题：
1、解：3
2320001
1arctan arctan 11lim
lim lim 33
1
x x x x x x x x
x x x e →→→-
--+===- 2、解：方程的特征方程为：2
690r r -+=，其特征根为321==r r ， 故方程的通解为：x e x c c y 321)(+= 3、解：原式=1
202x dx ⎰ =
2
3
4、解：00022()x t
x t t e dx te dt td e +∞
+∞+∞
=---==-⎰⎰⎰00
2[]22t t te e dt +∞
-+∞
-=-+=⎰ 5
、解：s =
/1π=⎰/2
1
1ln 2
dt t ππ
==⎰
6、解：1112
y x x =
-
++ ()(1)((1)![(1)(2)
]
n n
n n y n x x -+
-+
=-+-+ 二、（8分）解：
=()xy du dy
e y x dx dx
+ ，方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=
故有2
22=(2cos )xy y du e y x x e dx
-+ 三、（8分）解：0n x >, 211
02
x x -=
>，因此21x x > 设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n n n x x x x x x -+--=+
-+++1
10(1)(1)
n n n n x x x x ---=>++ n x ∴单调增加，且111
112211n n n n x x x x ---=+
=-<++,故lim n n x →∞存在
设lim n n x a →∞
=，则: 11a a a =+
+ 解得
a =因为a 非负，
∴lim n n x →∞=四、（8分）证：设函数()f x 在区间(,)a b 内()0f x '>，12,(,)x x a b ∀∈，且12x x <，函数()f x 在12[,]x x 上可
导，由拉格朗日中值定理得:
212112()()()(),(,)f x f x f x x x x ξξ'-=-∈，由于2121()0,0()()f x x f x f x ξ'>->⇒>
由12,x x 的任意性，()f x 在(,)a b 上单调增加。

当()f x 在(,)a b 上导数为正时，函数曲线()y f x =在(,)a b 上切
线的斜率为正，即切线与x 轴正向夹角为锐角。

五、（15分）解：定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 3
8
1y x '=-
令0y '=⇒驻点2x = ，不可导点0x =
4
24
''0y x =
> 1）
故单调增加区间为：(,0),(2,)-∞+∞ ，单调减少区间为：(0,2) 极小值为：(2)3f =，无极大值。

2）下凸区间为：(,0),(0,)-∞+∞ ，无拐点，由32
04lim x x x →+=∞，故0x =为函数图形的铅直渐近线。

又33
()4lim lim 1x x f x x x x →∞→∞+== 324
lim[()]lim[]0
x x x f x x x x →∞→∞+-=-=
故y x =为函数图形的斜渐近线。

六、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：2y x =
或解微分方程：特征方程为21200,1r r r r -=⇒==，故对应齐次方程的通解为12x y c c e =+，由于10r =，
所以微分方程的特解设为*(),*2,*2y x ax b y a y ax b '''=+==+，从而有：2(2)221,0a ax b x a b -+=-⇒==，故212x y c c e x =++为微分方程的通解，又22x y c e x '=+，由题设知12(0)0,(0)00,0y y c c '==⇒==，所以微分方程满足初值条件的解为2y x =，即曲线方程为：2y x = （2）设切点B 的坐标为2(,)a a ，则过点B 的切线斜率为2x a
y a ='
=，于是切线方程为22()y a a x a -=-，和x 轴
交点为(,0)2
a
，由220
1221212
a a a
a A x dx ⋅=
-==⎰，得a =1，因此切点坐标为(1,1)。

（3）11
2210
2
(21)V y dx x dx ππ=--⎰⎰1
1
420
12
(21)30x dx x dx πππ=--=⎰⎰
七、（7分）证：因为()()0''>f a f b ，不妨设()0,()0''>>f a f b ，于是有：()()
lim ()0+
→-'=>-x a
f x f a f a x a
所以存在10δ>，使当11(,)δ∈+x a a 时，有11()()
0->-f x f a x a
，由10->x a 有1()()0
>=f x f a
又因为()()lim ()0-
→-'=>-x b f x f b f b x b 所以存在20δ>，使当22(,)δ∈-x b b 时，有22()()0->-f x f b x b
，由
20-<x b 有2()()0<=f x f b ，取12,δδ足够小，使12δδ+<-a b 又因为()f x 在[,]a b 上连续，由介值定理，
在12(,)(,)⊂x x a b 内至少存在一点ξ，使()0ξ=f 。