二次函数的图象与性质课时训练2

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人教版数学九年级上册22 二次函数y=ax2的图象和性质(第二课时)课件

2．抛物线 y＝12x2，y＝x2，y＝－x2 的共同性质是：①都是开口向上；②都以点
(0,0)为顶点；③都以 y 轴为对称轴；④都关于 x 轴对称．其中正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6
3．已知二次函数 y＝x2，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而__增__大____.(填“增大”或“减
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解：设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝ax2(a≠0)．将(100,1000)代入，得 1000＝ 10 000a.解得 a＝110.故 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝110x2.设 z 与 x 之间的函数解析
式为 z＝kx＋b，则1b0＝0k3＋0. b＝20，
解得k＝－110， b＝30.
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(1)如图 1，当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2 开口向上，顶点坐标为(0,0)，对称轴为 y 轴．在对称轴的左侧(即 x＜0)，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧(即 x＞0)，y 随 x 的增大而增大．当 x＝0 时，y 取最小值，最小值为 0.
图1
图2
(2)如图 2，当 a＜0 时，抛物线 y＝ax2 开口向下，顶点坐标为(0,0)，对称轴为 y
轴．在对称轴的左侧(即 x＜0)，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧(即 x＞0)，y
随 x 的增大而减小．当 x＝0 时，y 取最大值，最大值为 0.
5
基础过关
1．自由落体公式 h＝12gt2(g 为常量)，h 与 t 之间的关系是( C )
A．正比例函数
B．一次函数
C．二次函数
D．以上答案都不对
9
能力提升
• 1式0一．定已正知确抛的物是线(y＝ax)2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系 • A．y1＞0C＞y2 B．y2＞0＞y1 • C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 • 11．【内蒙古呼和浩特中考】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在

初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。

通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。

只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。

教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。

当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。

但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。

如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。

探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。

只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。

要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。

结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。

《课时3_二次函数y=ax^2+k的图象和性质_》基础训练

《课时3 二次函数的图像和性质》基础训练知识点1 二次函数y=+k的图象和性质1.二次函数y=2+1的图象大致是（）A. B.C. D.2.下列关于抛物线y=-2+2的说法正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 顶点坐标为（-1，2）C. 在对称轴的右侧，y随的增大面增大D. 在对称轴的左侧，y随的增大而增大3.与抛物线y=-2-1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是（）A. y=-2-1В. y=C.D. y=4.抛物线y=2x2-1在y轴右侧的部分是（填“上升”或“下降”）的.5. 二次函数y=3x2-3的图象开口向顶点坐标为，对称轴为当x>0时，y随x的增大而，当x＜0时，y随的增大而因为=3＞0，所以y有最值，当x = 时，y的最值是6. 抛物线上有两点A（1，），B（3，），则.（填“>""<"或“="）7. 填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.知识点2 抛物线y=+k与y=x的关系8.（教材P33练习变式）函数y=+1与y=的图象的不同之处是（）A. 对称轴B. 开口方向C. 顶点D. 形状9.如果将抛物线向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为10，在同一平面直角坐标系中画出二次函数，的图象.（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线可由抛物线向平移个单位长度得到.易错点求函数值的范围时忽视顶点处的取值11.对于二次函数，当时，y的取值范围是参考答案1. B2. D3. B4. 上升5. 上（0，-3）y轴增大减小小0 小-36. <7 . 略8. C9.10. （1）解：图略，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，3）.（2）上311.。

2212 二次函数的图象和性质(解析版)

22.1.2二次函数的图象和性质夯实双基，稳中求进二次函数y=ax 2的图象与性质题型一：二次函数y=ax 2的图象与性质【例题1】（2021·湖南九年级二模）已知抛物线2y ax =（0a >）过()12,A y -，()21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是（） A ．120y y >> B ．210y y >>C ．120y y >>D ．210y y >>【答案】C【详解】∵抛物线2(0),y ax a =>()12,A y ∴-关于y 轴对称点的坐标为)1(2,y ．又0,012,a ><<210y y ∴<<．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．知识点管理归类探究 1变式训练【变式1-1】（2021·江苏中考真题）已知二次函数2(1)y a x =-，当0x >时，y 随x 增大而增大，则实数a 的取值范围是（） A ．0a > B ．1a > C ．1a ≠ D ．1a <【答案】B【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．【详解】∵二次函数2(1)y a x =-的对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 增大而增大， ∵二次函数2(1)y a x =-的图象开口向上， ∵a -1＞0，即：1a >，故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．【变式1-2】（2021·古浪县第四中学九年级月考）抛物线y=-x 2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________．【答案】y 轴 (0，0)【分析】形如y =ax 2的抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为原点．【详解】解：抛物线y =-x 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）．故答案为：y 轴；（0，0）．【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数()20y ax a =≠，它的对称轴是y 轴，顶点是原点．【变式1-3】（2021·西安高新一中实验中学九年级其他模拟）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．【答案】321a a a >>．【分析】抛物线的开口方向由a 的符号决定，开口大小由a 的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．【详解】解：∵二次函数y 1=a 1x 2的开口最大，二次函数y 3=a 3x 2的开口最小，而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数， ∵321a a a >>，故答案为：321a a a >>．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a 的值决定是解题的关键．二次函数y=ax 2+k 的图象与性质题型二：二次函数y=ax 2+k 的图象与性质【例题2】（黑龙江省哈尔滨市2021年中考数学真题）二次函数232y x =-的最小值为________．【答案】-2【分析】由二次函数232y x =-可直接求解．【详解】解：由二次函数232y x =-可得：开口向上，有最小值， ∵二次函数232y x =-的最小值为-2；故答案为-2．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2020·广西南宁市·九年级期中）二次函数y =2x 2﹣x ，当x _____时y 随x 增大而增大，当x _____2时，y 随x 增大而减小．【答案】x ＞14 x ＜14【分析】首先确定二次函数的对称轴，然后据对称轴及开口方向判断其增减性即可．【详解】解：∵二次函数y =2x 2﹣x 中对称轴为112224b x a -=-=-=⨯，开口向上， ∵当x ＞14时y 随x 增大而增大，当x ＜14时，y 随x 增大而减小，故答案为：x ＞14，x ＜14．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握求二次函数开口方向，对称轴，顶点坐标的方法是解决问题的关键．【变式2-2】抛物线213y x =-的顶点是（） A ．(1,3)- B ．(3,1)-C ．(1,0)D ．(0,1)【答案】D【分析】根据题目中的抛物线解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线y =1-3x 2=-3x 2+1， ∵该抛物线的顶点坐标为（0，1），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式2-3】（2020·全国九年级课时练习）在同一坐标中，一次函数y ＝﹣kx +2与二次函数y ＝x 2+k 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，排除D ；根据A 、C 可知，k ＜0，故选A. 【详解】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D ；根据A 、C 可知，抛物线交y 轴于负半轴，所以k ＜0，故选A.【点睛】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.二次函数y=a （x -b ）2的图象与性质题型三：二次函数y=a （x -b ）2的图象与性质【例题3】（2021·安徽九年级期中）关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（） A ．开口向上B ．最高点是（2，0）C ．对称轴是直线x ＝﹣2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【答案】B【分析】根据二次函数图象的性质逐一判断即可．【详解】解：A 、该二次函数开口向下，故本项说法错误；B 、二次函数开口向下，在2x =处取得最大值0y =，所以本项正确；C 、该二次函数的对称轴是2x =，故本项说法错误；D 、当2x >时y 随x 的增大而减小，故本项说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质；熟知二次函数图象的性质与表达式之间的关系式解题的关键．变式训练3【变式3-1】若点()()()1233,,2,,1,A y B y C y ---三点在抛物线2(1)(0)y a x a =+>的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（） A ．213y y y >> B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．231y y y >>【答案】A【分析】先求出二次函数抛物线y =a （x +1）2（a ＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解．【详解】解：∵二次函数y =a （x +1）2中a ＞0， ∵开口向上，对称轴为x =-1， ∵-3＜-2＜-1， ∵y 1＞y 2＞y 3．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式3-2】）关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（） A ．开口向上B ．最低点是(2,0)C ．可以由2y x =-向左平移2个单位得到D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大【答案】D【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．【详解】解：2(2)y x =--中，-1＜0， ∵开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点，可以由2y x =-向右平移2个单位得到，当2x <时，y 随x 的增大而增大， ∵说法正确的是D ，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．【变式3-3】（2021·江苏中考真题）在函数2(1)y x =-中,当x ＞1时,y 随x 的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【分析】根据其顶点式函数2(1)y x =-可知,抛物线开口向上,对称轴为1x = ,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,可得到答案．【详解】由题意可知: 函数2(1)y x =-,开口向上,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,又∵对称轴为1x =, ∵当1x >时,y 随的增大而增大, 故答案为:增大．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大,在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小是解题的关键．二次函数y=a （x -h ）2+k 的图象与性质题型四：二次函数y=a （x -h ）2+k 的图象与性质【例题4】（2021·河南）设()12,A y ，()23,B y ，()34,C y -是抛物线()231=-+y x k 图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y >>【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：∵抛物线()231=-+y x k 的开口向上，对称轴是直线x =1， ∵当x >1时，y 随x 的增大而增大，∵()34,C y -关于直线x =1的对称点是()36,y ， ∵2<3<6，4∵321y y y >>．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．变式训练【变式4-1】（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）二次函数y ＝（x ＋3）2﹣5的顶点坐标是（） A ．（3，﹣5） B ．（﹣3，﹣5）C ．（﹣3，5）D ．（3，5）【答案】B【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝（x ＋3）2﹣5， ∵二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）．故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．【变式4-2】点(,)P a b 在抛物线2(1)1y x =--+上，若01a <<，关于a ，b 的数量关系，下列描述正确的是（） A ．a b < B ．b a <C ．b a =D ．无法确定【答案】A【分析】将P 代入抛物线表达式，从而得到-a b (1)a a =-，根据a 的范围得到结果的符号，即可比较．【详解】解：∵(,)P a b 在2(1)1y x =--+上， ∵2(1)1a b --+=，∵-a b 2(1)1a a =+--2a a =-(1)a a =-， ∵01a << ∵10a -<， ∵(1)0a a -<， ∵0a b -<， ∵a b <．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，不等式的性质，解题的关键是利用作差法，求出a -b 的符号进行比较．【变式4-3】（2020·全国九年级课时练习）抛物线y=2(x -1)2+c 过(-2，y 1)，(0，y 2)， (52，y 3)三点，则122,,y y y 大小关系是( ) A ．231y y y >> B ．123y y y >> C ．213y y y >> D ．132y y y >>【答案】D【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(52，y 3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y 1，y 2，y 3的大小关系，从而可以解答本题．【详解】解：∵y=2(x -1)2+c ，2>0， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，∵当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；(52，y 3)关于直线x=1的对称点是(12-，y 3)，∵-2<12-<0<1∵y 1＞y 3＞y 2，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．【真题1】（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为______________________________．【答案】(1，8)【分析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．【详解】解：由二次函数性质可知，()2y a x h k =-+的顶点坐标为(h ，k ) ∵23(1)8y x =-+的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8)【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．【真题2】（2021·浙江中考真题）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）链接中考A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6）， ∵函数有最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．【真题3】（2021·辽宁阜新市中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(), 10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确 ∵(), 10B -∵A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．满分冲刺【拓展1】（2020·江苏中考真题）下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，∵该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；∵该函数的图象一定经过点(0,1)；∵当0x >时，y 随x 的增大而减小；∵该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图象上，其中所有正确的结论序号是__________．【答案】∵∵∵【分析】∵两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；∵求出当0x =时，y 的值即可得；∵根据二次函数的增减性即可得；∵先求出二次函数22()1y x m m =--++的顶点坐标，再代入函数21y x =+进行验证即可得．【详解】当0m >时，将二次函数2y x =-的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象；当0m <时，将二次函数2y x =-的图象先向左平移m -个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象∴该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同，结论∵正确对于22()1y x m m =--++当0x =时，22(0)11y m m =--++=即该函数的图象一定经过点(0,1)，结论∵正确由二次函数的性质可知，当x m ≤时，y 随x 的增大而增大；当x m >时，y 随x 的增大而减小则结论∵错误22()1y x m m =--++的顶点坐标为2(),1m m +对于二次函数21y x =+当x m =时，21y m =+即该函数的图象的顶点2(),1m m +在函数21y x =+的图象上，结论∵正确综上，所有正确的结论序号是∵∵∵故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．【拓展2】（2020·宁县南义初级中学九年级月考）已知函数()()22(1)13{(5)13x x y x x --≤=--＞，若使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k的值为_______．【答案】3【分析】首先在坐标系中画出已知函数22113{513x xyx x--≤=--（）（）（）（＞）的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．【详解】函数22113{513x xyx x--≤=--（）（）（）（＞）的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∵k=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．。

浙江中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练二次函数的图象与性质(二)

课时训练(十四)二次函数的图象与性质(二)|夯实基础|1.抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.32.若二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=73.[ 019·淄博]将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是 ()A.a>3B.a<3C.a>5D.a<54.如图K14-1,已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A(3,2),与x轴交于点B(2,0),若0<y1<y2,则x的取值范围是()图K14-1A.0<x<2B.0<x<3C.2<x<3D.x<0或x>35.[ 019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-2所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()图K14-2A.1个B.2个C.3个D.4个6.[ 019·泸州]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x<-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()A.a<2B.a>-1C.-1<a≤D.-1≤a<27.[ 019·湖州]已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是()图K14-38.[ 019·广元]如图K14-4,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是.图K14-49.[ 019·雅安]已知函数y=-0)- ≤0)的图象如图K14-5所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.图K14-510.[ 019·达州]如图K14-6,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B.①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;②若点M(-2,y1),点N1,y2,点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m;④点A关于直线x=1的对称点为C,点D,E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为+.其中正确判断的序号是.图K14-611.[ 019·荆门]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1<m<3,n<0),下列结论:①abc>0;②3a+c<0;③a(m-1)+2b>0;④a=-1时,存在点P使△PAB为直角三角形.其中正确结论的序号为.12.[ 018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.13.如图K14-7,抛物线l:y=-1(x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=(k>0,x>0)于点P,且OA·MP=12.(1)求k的值;(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与抛物线l的对称轴之间的距离;(3)把抛物线l在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标.图K14-714.[ 019·杭州]设二次函数y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是实数).(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=1时,y=-1.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示)..(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x1<x2<1时,求证:0<mn<11|拓展提升|15.[ 018·杭州]四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c为常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是 ()A.甲B.乙C.丙D.丁16.如图K14-8所示,将二次函数y=x2-m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+b的图象记为y2,则以下说法:(1)当m=1,且y1与y2恰好有三个交点时,b有唯一值为1;(2)当b=2,且y1与y2恰有两个交点时,m>4或0<m<;(3)当m=b时,y1与y2至少有两个交点,且其中一个为(0,m);(4)当m=-b时,y1与y2一定有交点.其中正确说法的序号为.图K14-817.如图K14-9①,抛物线y=-x2+mx+n交x轴于点A(-2,0)和点B,交y轴于点C(0,2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标;(3)如图②,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.图K14-918.[ 019·仙桃]在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x-1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上.(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;(2)当a=-1,二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为-4,求m的值;(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.【参考答案】1.C2.D3.D4.C5.C[解析]①∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴->0,∴b<0.∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①错误;②当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,∵-=1,∴b=-2a,把b=-2a代入a-b+c>0中得3a+c>0,故②正确;③当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴a+c<-b.∵a-b+c>0,∴a+c>b,∴|a+c|<|b|,∴(a+c)2<(-b)2,即(a+c)2-b2<0,所以③正确;④∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴x=1时,函数的最小值为a+b+c,∴a+b+c≤am2+mb+c,即a+b≤m(am+b),所以④正确.故选C.6.D[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,∵抛物线与x轴没有公共点,∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0,解得a<2.∵抛物线的对称轴为直线x=--=a,抛物线开口向上,而当x<-1时,y随x的增大而减小, ∴a≥-1,∴实数a的取值范围是-1≤a<2.7.D[解析]由得1110故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1,a+b)和-,0.对于D选项,从直线过第一、二、四象限可知:a<0,b>0.又∵|a|>|b|,∴a+b<0.从而(1,a+b)在第四象限,因此D选项不正确,故选D.8.-6<M<6[解析]∵y=ax2+bx+c过点(-1,0),(0,2),∴c=2,a-b=-2,∴b=a+2.∵顶点在第一象限,a<0,∴->0,b>0,a+2>0,a>-2,∴-2<a<0,M=4a+2b+c=4a+2(a+2)+2=6a+6,∴-6<M<6.9.0<m<1[解析]由y=x+m与y=-x2+2x得x+m=-x2+2x,整理得x2-x+m=0,当有两个交点时,b2-4ac=(-1)2-4m>0,解得m<1,当直线y=x+m经过原点时与函数y=-0)-0的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m的取值范围为0<m<1.10.①③④[解析]由题意得,m+2=-x2+2x+m+1,化简得x2-2x+1=0,∵b2-4ac=0,∴抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,①正确;由图可得:y1<y3<y2,故②错误;y=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m,故③正确;当m=1时,抛物线解析式为y=-x2+2x+2,∴A(0,2),C(2,2),B(1,3).作点B关于y轴的对称点B'(-1,3),作点C 关于x轴的对称点C'(2,-2).连结B'C',与x轴、y轴分别交于点D,E.则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C'+BC.此时,四边形BCDE的周长最小.为+,故④正确.11.②③[解析]将A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)代入解析式y=ax2+bx+c,∴对称轴x=-1=-,∴-=m-1,a(m-1)=-b.∵1<m<3,∴ab<0.∵n<0,∴a<0,∴b>0.∵a-b+c=0,∴c=b-a>0,∴abc<0,①错误;②易知当x=3时,y<0,∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0,②正确;③a(m-1)+2b=-b+2b=b>0,③正确;④a=-1时,y=-x2+bx+c=-x2+bx+b+1,∴P,b+1+,若△PAB为直角三角形,则△PAB为等腰直角三角形,∴b+1+=+1,∴b=-2,∵b>0,∴不存在点P使△PAB为直角三角形.④错误.故答案为②③.12.解:(1)证明:联立两个函数表达式,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连结AO,BO,联立两个函数表达式,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=1·OC·|x A|+1·OC·|x B|=1·OC·|x A-x B|=1×1×2=.13.解:(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OA·MP=12,得2x·y=12,即xy=6,∴k=xy=6.(2)当t=1时,令y=0,得0=-1(x-1)(x+3).∴x1=1,x2=-3.由点B在点A的左边,得B(-3,0),A(1,0),∴AB=4.∵抛物线l的对称轴为直线x=-1,而点M的坐标为1 0,∴直线MP与抛物线l的对称轴之间的距离为.(3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴抛物线l的对称轴为直线x=t-2,直线MP为直线x=.当t- ≤,即t≤ 时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;就是G的最高点.当t-2>,即t>4时,抛物线l与直线MP的交点-1814.解:(1)乙求得的结果不正确,理由如下:∵当x=0时,y=0;当x=1时,y=0,∴二次函数图象经过点(0,0),(1,0),∴x1=0,x2=1,∴y=x(x-1)=x2-x,当x=1时,y=-1,∴乙求得的结果不正确.(2)对称轴为直线x=1.当x=1时,y=-1-),∴函数的最小值为-1-).(3)证明:∵二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点,∴m=x1x2,n=1-x1-x2+x1x2,∴mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1-1)(x2-)=-x1-12+1-x2-12+1.∵0<x1<x2<1,并结合函数y=x(1-x)的图象,.∴0<-x1-12+1≤1,0<-x2-12+1≤1,且-x1-12+1与-x2-12+1不能同时取1,∴0<mn<11 15.B[解析]甲:-=1,b=-2;乙∶1-b+c=0;丙:-=3,4c-b2=12;丁:4+2b+c=4.若甲错:10- 1 由乙、丁得1代入丙,不成立,不合题意;若乙错:- 1 由甲、丁得代入丙,成立,符合题意;若丙错:10由甲、丁得代入乙,不成立,不符合题意; 若丁错:10- 1由甲、乙得代入丙,不成立,不合题意. 16.(2)(3)[解析]根据题意,y1=-或) --)(1)中,当m=1时,由于y1与y2恰好有三个交点,故有两种可能:一是直线y=x+b过点(-1,0)且与抛物线y=-x2+1相交,解得b=1;二是直线y=x+b与抛物线y=-x2+1有且仅有1个交点,且与抛物线y=x2-1有两个交点,解得b=,故(1)不正确.(2)中,要使y1与y2恰有两个交点,有两种情况:一是直线y=x+2与y=-x2+m没有交点,令x2+x+2-m=0,由12-4(2-m)<0,得m<,则0<m<;二是直线y=x+2与x轴的交点横坐标x满足-<x<,即-<-2<,解得m>4,故(2)正确.(3)中,由得两个交点(0,m),(-1,m-1),故(3)正确.(4)中,直线y=x-m恒过点(0,-m),将x=代入y=x-m,得y=-m,显然不一定大于或等于0,即y1与y2不一定有交点,故不正确.17.解:(1)将A(-2,0),C(0,2)的坐标代入抛物线的解析式y=-x2+mx+n,得--0解得1∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2.(2)由(1)知,该抛物线的解析式为y=-x2-x+2,易得B(1,0),依据S△AOM=2S△BOC列方程可得:1·AO×|y M|=2×1×OB×OC,∴1×2×|-a2-a+2|=2,∴a2+a=0或a2+a-4=0,解得a=0或-1或-1 1 ,∴符合条件的点M 的坐标为:(0,2)或(-1,2)或-1 1,-2或-1- 1,-2.(3)设直线AC 的解析式为y=kx+b ,将A (-2,0),C (0,2)代入,得 - 0解得 1∴直线AC 的解析式为y=x+2,设N (x ,x+2)(- ≤x ≤0) 则D (x ,-x 2-x+2),ND=(-x 2-x+2)-(x+2)=-x 2-2x=-(x+1)2+1, ∵-1<0,∴x=-1时,ND 有最大值1.18.[解析](1)先求出直线的解析式,然后由二次函数解析式与一次函数解析式得到一元二次方程,利用根的判别式Δ≥0 求出a 的取值范围;(2)对自变量的取值范围在对称轴的左、右两侧进行分类,结合增减性求出m 的值;(3)抛物线经过(0,-1)这一定点,将抛物线分开口向上和开口向下两种情况求出a 的取值范围. 解:(1)将A (-3,-3),B (1,-1)的坐标代入 y=kx+b 中,得:- 1 解得 1∴直线l 的解析式为:y=1x-. ∵抛物线C 与直线l 有交点, ∴ax 2+2x-1=1 x-有实数根, 整理得2ax 2+3x+1=0, ∴Δ=9-8a ≥0 ∴a ≤98,∴a 的取值范围是a ≤98且a ≠0.(2)当a=-1时,抛物线为:y=-x 2+2x-1=-(x-1)2,对称轴为直线x=1, 当m ≤x ≤m+2<1时,y 随x 的增大而增大, 当x=m+2时,函数y 有最大值-4, ∴m=1(舍去)或-3.当1<m ≤x ≤m+2时,y 随x 的增大而减小, 当x=m 时,函数y 有最大值-4, ∴m=-1(舍去)或3. 综上所述m= 3. (3)9≤a<98或a ≤-2.[解析]当a<0时,对称轴为直线x=-1,-1>0,11 将B (1,-1)代入y=ax 2+2x-1,得a=-2,∴当a ≤-2时,抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点; 当a>0时,对称轴为直线x=-1 ,-1 <0,将A (-3,-3)代入y=ax 2+2x-1,得a= 9,∴当 9≤a<98时,抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点. 综上所述,抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点时, 9≤a<98或a ≤-2.。

中考数学总复习课时训练(专题(13)二次函数的图象与性质(一)附详细解析参考答案

课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。

《二次函数y=x^2,y=-x^2的图象与性质》基础训练

课时1二次函数y=x 2，y=－x 2的图象与性质知识点1二次函数y=x 2的图象与性质1.已知正方形的边长为xcm ，则它的面积y(cm 2)与边长x(cm)的函数图象为()2.已知二次函数y= x 2的图象经过两点(1，y 1)，2y 2），则y 1，y 2的大小关系是()=y 2 B. y 1＞y 2 ＜y 2 D.无法确定3.关于函数y=x 2，下列说法正确的是()的值随着x 的增大而增大的值随着x 的增大而减小C.函数有最小值D.无论x 取何值，y=x 2的值总为正4.根据二次函数y=x 2的图象填空：(1)在对称轴的左侧，y 随x 的增大而____；(2)图象的开口向____，图象有最____点；(3)当x=____时，函数有最____值，是____.5.若点A(2，m)在二次函数y=x 2的图象上，则m=____，点A 关于x 轴的对称点B 的坐标是____，点A 关于y 轴的对称点C 的坐标是____，B ，C 两点中在抛物线y=x 2上的点是____.识点2二次函数y=－x 2的图象与性质6.二次函数y=－x 2图象的顶点坐标是____，若点(a ，－4)在其图象上，则a 的值是____.7.下列各点中，在二次函数y=－x 2图象上的点是() A.(236) B.(－3，6) C.(－3，12) D.(23，－12)8.抛物线y=－x 2不具有的性质是()A.开口向下B.对称轴是y 轴C.与y 轴不相交D.最高点是原点9.已知点(－2，m)，B(3，n)都是抛物线y=－x 2图象上的点，则m 与n 的大小关系是____.10.已知函数2m 4m 5(m 2)x +++是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的m 的值.(2)当m为何值时，抛物线有最高点求出这个最筒点的坐标.11.已知点M(－2，m)在拋物线y=－x2上，过点M作M N∥x轴，交拋物线于另一点N，求△MON的面积.知识点3二次函数y=x2与y=－x2的图象的异同12.关于二次函数y=x2与y=－x2的图象，以下说法正确的有.(填序号)①两图象都关于x轴对称；②两图象都关于y轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点(－1，l)在抛物线y=x2上，也在抛物线y=－x2上.参考答案【解析】根据正方形面积公式可知，函数表达式为y=x 2，其中x ＞0.故选C.【解析】对于二次函数y=x 2，当x ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大，因为1以y 1＜y 2.故选C.技巧点拨：比较函数y=x 2的图象上若干个点的纵坐标的大小，其步骤是：首先，确定这些点的横坐标的大小；其次，判断这些点是在图象对称轴的左边还是右边；最后，根据函数7=/的图象的增减性进行判断.【解析】对于函数y=x 2，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故A ，B 错误；当x=0时，y=0，函数有最小值，故D 错误，C 正确.故选C.4.(1)减小；(2)上低；(3)0 小 0(2，－4) (－2，4) C6.(0，0) ±2【解析】二次函数y=－x 2图象的顶点坐标是(0，0)，∵点(a ，－4)在其图象上，∴－a 2=－4，解得a=±2.【解析】当y=－2=－12，故点，－12)在二次函数y=－x 2的图象上.故选D.【解析】抛物线y=－x 2与y 轴相交于坐标原点(0，0).故选C＞n(解析】当x=－2时，m=－4，当x=3时，n=－9，所以m ＞n.10.【解析】(1)根据题意得，2m ＋20m 4m 52≠++=⎧⎨⎩，解得m 2m 3或m=-1≠-=-⎧⎨⎩，即当m=－3或m=－1时，函数y=(m ＋2)2m ＋4m ＋5x 是关于x 的二次函数.(2)∵抛物线有最高点，∴m ＋2＜0，∴m ＜－2，结合(1)可知m=－3.此时二次函数的表达式为y=－x 2，其图象的最高点的坐标是(0，0).11.【解析】将点M(－2，m)代入抛物线y=－x 2，得m=－4，∴点M(－2，－4). ∵MN∥x 轴，点M ，N 在抛物线上，∴点M ，N 关于y 轴对称，∵N(2，－4)，MN=4，∴S △MON =12×4×4=8. 12.②③④【解析】因为二次函数y=x 2的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，0)，二次函数y=－x 2的图象开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，0)，所以②③④正确，①不正确；把点(－1，1)分别代人y=x 2和y=－x 2验证，可知点(－1，1)在抛物结y=x 2上，不在抛物线y=－x 2上，⑤不正确.名师点睛：(1)对于二次函数的研究，一般从图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及函数增减性、最大(小)值等方面展开；(2)二次函数y=x2和y=－x2的图象关于x轴对称.。

苏科版九年级数学下册5-2 二次函数图像及性质同步课时提优训练【含答案】

苏科版九年级数学下册5.2 二次函数图像及性质同步课时提优训练一、单选题y=−x2+ax x y x a1.二次函数，若为正整数，且随的增大而减小，则的取值范围是（）a>3a<3a≤2a≥2A. B. C. D.y=ax2+bx+c x=1abc<02.如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：①；②2a+b=0a−b+c=0am2+bm≥a+b；③；④．其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是( )A. -6B. -5C. -2D. -14.若二次函数y=x2+2x+k的图象经过点(1，y1)，(-2，y2)，则y1与y2的大小关系为( )A. y1>y2B. y1=y2C. y1<y2D. 不能确定5.如图，已知抛物线L1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，将该抛物线向右平移n（n＞0）个单位长度后得到抛物线L2，L2与x轴交于C、D两点，记抛物线L2的函数表达式为y＝f（x）．则下列结论中错误的是（）A. 若n＝2，则抛物线L2的函数表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5B. CD＝4C. 不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3D. 对于函数y＝f（x），当x＞n时，y随x的增大而减小6.将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（）A. 先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B. 先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C. 先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D. 先向左平移4个单位，再向下平移5个单位7.已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0<m<b<n，则y1、y2、y3的大小关系是( )A. y1< y2< y3B. y1 < y3< y2C. y3< y1< y2D. y2< y3< y1y=2(x−1)2+18.将抛物线向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）y=2(x−1)2+3y=2(x+1)2+1y=2(x−1)2−1y=2(x+3)2+1 A. B. C. D.x2x29.如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c 的图象可能是（）A. B. C. D.y=ax2+bx+c x=110.如图，二次函数图象的对称轴是，下列说法正确的是（）a>0c<02a+b=0b2−4ac<0A. B. C. D.二、填空题y=2(x+3)2−311.抛物线的开口方向为向________12.二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是________．y=−3(x+4)2−513.抛物线的顶点坐标是________．y=x214.将抛物线的图象向上平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为________.15.抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线________．y=ax2+bx−1(−2,5)16.将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则8a-4b-11的值是________．y=−x2+2(a+1)x+10≤x≤|a|y a17.二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是________.18.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③4a＋2b≥am2＋bm（m为任意实数）；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；其中正确的结论有________（填序号）.三、综合题19.已知二次函数y=x2+ax+b的图象经过点（3，0），（n，0），最小值为m.（1）用含a的代数式表示m.（2）若b-m=5，求n的值.y=x2+bx+a−1(2+a,m),(2−a,m),(a,n)20.已知抛物线过点（1）求b的值；0<a<2（2）当时，请确定m，n的大小关系；0<a≤x≤2+a a（3）若当时，y有最小值3，求的值.y=x2+(k2+k−6)x+3k k21.已知抛物线（为常数）的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值；y=x2+(k2+k−6)x+3k（2）若点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标.y=x2−6x+522.已知二次函数 .（1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象；（2）当x满足________时，y随的增大而减小；0≤x≤6（3）当时，函数y的取值范围是________；y≥0（4）当时，自变量x的取值范围是________答案解析部分一、单选题1. C解：由二次函数可得：二次项系数，开口向下，对称轴为直线y =−x 2+ax −1<0 ，x =−a 2×(−1)=a 2∵ 为正整数，且随的增大而减小，x y x ∴ ，解得：，a 2≤1a ≤2故C.2. C解：由图象可得：a ＜0，c ＞0，﹣ ＝1，b 2a ∴b ＝-2a ＞0，∴ ；abc <0∴①符合题意，∵﹣ ＝1，b 2a ∴b ＝-2a ，∴ ，2a +b =0∴②符合题意，∵对称轴为直线，x =1∴ ，3+x 2=1解得x =-1,∴（3，0）的对称点为（-1，0）当x =﹣1时，y =a ﹣b +c ，∴a ﹣b +c =0，∴③符合题意，当x ＝m 时，y ＝a +bm +c ，m 2当x ＝1时，y 有最大值为a +b +c ，∴a +bm +c ≤a +b +c ，m 2∴a +bm ≤a +b ，m 2∴④不符合题意，故C ．3. D解：假设点A(-6，y 1)，B(2，y 2)是抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)的两个对称点，∴对称轴为直线x=；−6+22=−2 ∵ y 1>y 2 ， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y 的值越小，∴该抛物线的顶点的横坐标m ＞-2，∴选项中m=-1.故D.4. A解：y=（x+1）2+k-1∴抛物线的对称轴为直线x=-1∴ 点(1，y 1) 的对称点为（-3，y 1）,∵当x ＜-1时y 随x 的增大而减小，-3＜-2，∴y 1＞y 2.故A.5. D解：A ．当n ＝2时，则y ＝﹣（x ﹣2）2+2（x ﹣2）+3＝﹣x 2+6x ﹣5，故A 不符合题意；B ．令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝3或﹣1，故AB ＝3﹣（﹣1）＝4＝CD ，故B 不符合题意；C ．由平移的性质知，平移后抛物线和x 轴交点的坐标为x ＝n +3或n ﹣1，从图象看，不等式f （x ）＞0的解集是n ﹣1＜x ＜n +3不符合题意；D ．平移后抛物线和x 轴交点的坐标为x ＝n +3或n ﹣1，则抛物线的对称轴为直线x ＝（n +3+n ﹣1）12＝n +1，故当x ＞n +1时，y 随x 的增大而减小，故D 符合题意，故D ．6. C解：y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，则抛物线y ＝x 2﹣4x +3的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），所以将抛物线y ＝x 2﹣4x +3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．故C ．7. B解：∵y=x 2－2ax +1∴对称轴为x=a点A 、B 的情况：n>m ，故点B 比点A 离对称轴远，故y 2>y 1；点A 、C 的情况：m<b ，故点C 比点离对称轴远，故y 3>y 1；点B ，C 的情况：b<n ，故点B 比点C 离对称轴远，故y 2 >y 3；∴故y 1<y 3<y 2.故答案为B.8. B解：将抛物线y =2(x -1)2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是y =2(x -1+2)2+1．即y =2(x +1)2+1．故B ．9. A解：由图像可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，k ＜0，则b －k ＞0，可排除选项B 、D ，由图像可知抛物线y ＝a ＋bx ＋c 与直线y ＝kx 有两个不同的交点，则一元二次方程a ＋bx ＋c ＝kx 有两个不等的实数根，即x 2x 2一元二次方程a ＋（b －k ）x ＋c ＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y ＝a ＋（b ﹣k ）x ＋c 的图x 2x 2象与x 轴有两个交点，故A ．10. C解：A 、根据开口向下，所以a ＜0，故A 选项错误，不符合题意；B 、抛物线交y 轴的正半轴，所以c ＞0，故B 选项错误，不符合题意；C 、由对称轴是x ＝1，可得，即，可知2a+b ＝0，故C 选项正确，符合题意；−b 2a =1b =−2a D 、抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故D 选项错误，不符合题意.故C.二、填空题11. 上解：∵y ＝2（x+3）2﹣3，∴ ，抛物线开口向上，a =2>0故上.22. 6解：∵ ，a =−1<0∴抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，最大值是6．故6．13. （-4，-5）解：∵二次函数的解析式为y=-3（x+4）2-5，∴其顶点坐标为：（-4，-5）．14.y =x 2+3解：将抛物线的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么平移后抛物线的函数表达式为y =x 2 ，y =x 2+3故 .y =x 2+315.x =−12解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝， −b 2a ∴抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是x ＝．−a 2a =−12即对称轴是x ＝．−12故x ＝．−1216. -5 解：将抛物线向上平移3个单位长度后，y =ax 2+bx −1表达式为：，y =ax 2+bx +2∵经过点，代入，(−2,5)得：，4a −2b =3则 = =2×3-11=-5.8a −4b −112(4a −2b)−11故-5.17.a ≥−23解：∵二次函数，，y =−x 2+2(a +1)x +1a =−1<0∴函数图象开口向下，对称轴，x =a +1①当，即时，a +1≤0a ≤−1当时，y 随x 的增大而减小，0≤x ≤|a| ，y min =−|a|2+2(a +1)|a|+1=−a 2−2a(a +1)+1=−3a 2−2a +1当时，或，不符合题意；y min =1a =−23a =0②当时，a +1≥|a| 时，y 随x 的增大而增大，x=0时，恒成立，此时都满足题意；a ≥0y min =1a ≥0 时，，，a <0a +1≥−a a ≥−12即当时，y 在随x 的增大而增大，a ≥−120≤x ≤|a|∴x=0时，，符合题意，y min =1则此情况下；a ≥−12③当时，即，当时，，−1<a <−120<a +1<|a|x =0y =1当时，，x =|a|y =−3a 2−2a +1∵ 的最小值为1，y ∴ ，，−3a 2−2a +1≥1−23≤a ≤0此时，−23≤a <−12综上： .a ≥−2318. ①③解：∵抛物线的对称轴为直线x=2∴ −b 2a =2即b+4a=0故①正确观察图象知，当x=-3时，函数值为负，即有9a-3b+c<0∴9a ＋c<3b故②错误∵函数在x=2时取得最大值4a+2b+c∴对任意的实数m ，都有 am 2+bm +c ≤4a +2b +c即 am 2+bm ≤4a +2b故③正确观察图象知，当x>-1时，随自变量的增加，函数值有增有减故④错误三、综合题19. （1）解：把点（3，0）代入，y =x 2+ax +b 得，9+3a +b =0 ∴ .b =−3a −9 m =4(−3a −9)−a 24=−a 24−3a −9（2）解：由，b −m =5 得，−3a −9+a 24+3a +9=5 解得a =±25又∵ ，n +32=−a 2 ∴ .n =−a −3 ∵ ，a =±25 ∴n =±25−320. （1）解：∵ 是抛物线上的两点 (2+a,m),(2−a,m),∴ 关于对称轴对称(2+a,m),(2−a,m)∴x =a +2+2−a 2=2∴−b 2=2∴b =−4（2）解：如图(2+a,m),(a,n),∵是抛物线上两点a=1,a+2=3m=n∴当时，0<a<1m<n由图可知，①当时，1<a<2m>n②当时，0<a≤2x=2（3）解：如图，①当时，在时y取最小值此时y min=a−5令a−5=3a=8则（不合题意，舍）a>2x=a如图②时，在时y取最小值2−4a+a−1=a2−3a−1此时y min=a令a2−3a−1=3解得：a=4,或a=−1(舍)综上所述：a=4y=x2+(k2+k−6)x+3k21. （1）解：∵抛物线的对称轴是y轴，k2+k−6=0k1=−3k2=2∴，解得， .y=x2+(k2+k−6)x+3k∵抛物线与x轴有两个交点，3k<0k<0∴，解得，k=−3∴；y=x2−9（2）解：由（1）知抛物线的表达式为，y=x2−9∵点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或-2.x=2y=−5x=−2y=−5当时，；当时， .(2,−5)(−2,−5)∴点P的坐标为或 .y=x2−6x+5=(x−3)2−422. （1）解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，-4），令x=0，得y=5，令y=0，得x=1或5，∴抛物线与y轴交点为（0，5），与x轴交点为（1，0）、（5，0），∴根据抛物线的上述特征可画出抛物线如下：（2）x<3（3）−4≤y≤5x≤1x≥5（4）或x<3解：（2）由抛物线的增减性可知，当时，y随的增大而减小，故x<3；（3）由抛物线的对称性可知，x=0或6时，y=5，又由抛物线的顶点坐标可知，当0≤x≤6时，y≥-4，∴由二次函数图象可得：当0≤x≤6时，函数y的取值范围是−4≤y≤5，故−4≤y≤5；(x−3)2−4=0（4）令y=0，可得：，解之得：x=1或x=5；∴由抛物线的增减性可知：当y≥0时，自变量x的取值范围是x≤1或x≥5，故x≤1或x≥5.。

人教版九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质课时训练(含答案)

人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质课时训练一、选择题1. 二次函数y＝－x2＋1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C.下列说法中，错误．．的是()A．△ABC是等腰三角形B．点C的坐标是(0，1)C．AB的长为2 D．y随x的增大而减小2. （2020·宿迁）将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2＋53. 如图所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是()A．a1>a2>a3>a4B．a1<a2<a3<a4C．a4>a1>a2>a3D．a2>a3>a1>a44. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋45. (2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根6. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x ＝1D. 抛物线与x 轴有两个交点7. 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或38. 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 二、填空题 9. 抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．10. 若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，则常数b 的值为________．11. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________．12. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y ＝－3x 2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．13. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)14. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论：①abc ＞0；②3a ＋c ＜0；③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确结论的序号为________．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．16. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DE AB＝________．三、解答题17. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．18. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 由解析式y＝－x2＋1可知，图象是以y轴为对称轴的抛物线，它与横轴的交点坐标为(－1，0)，(1，0)，顶点坐标为C(0，1)(选项A，B 正确)；AB＝2(选项C正确)．在对称轴的两侧，函数y随x的增减性不同(选项D错误)．故选D.2. 【答案】D【解析】将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y＝(x－1)2＋2＋3，即y＝(x－1)2＋5，故选D．3. 【答案】A[解析] 开口越大，|a|越小，故a1>a2>a3>a4.故选A.4. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.5. 【答案】C【解析】依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝c a ＋b a ＋1＝1a (a ＋b ＋c )＝－1a＜0．∴x 1－1与x 2－1异号，这说明x 1，x 2中一个大于1，另一个小于1．故选C ．6. 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．7. 【答案】B 【解析】∵二次函数y ＝(x －h )2＋ 1，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝h ，∴二次函数值在x <h 时，y 随x 的增大而减小，在x >h 时，y 随x 的增大而增大，∴①当h ＜1时，在1≤x ≤3中，x ＝1时二次函数有最小值，此时(1－h )2＋ 1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②当1≤h ≤3时，x ＝h 时，二次函数的最小值为1；③当h ＞3时，在1≤x ≤3中，x ＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h )2＋ 1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)，综上所述，h 的值为－1或5.8. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题9. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小增大10. 【答案】－4 [解析] ∵二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，∴x ＝－b 2×2＝1，∴b ＝－4.则b 的值为－4.11. 【答案】712. 【答案】y ＝－3(x －2)213. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．14. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－b a＝m －1. ∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0，∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误．当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确．∴－b a＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形，∴b ＋1＋b 24＝b 2＋1，∴b ＝－2或b ＝0. ∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形，故④错误．故答案为②③.15. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a )．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－b a ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．16. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b b＝3－ 3. 三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点，∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧．又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大，∴m ＜n.18. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2，所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。

苏科版九年级数学下册 5-2二次函数的图像与性质同步课时训练试卷【含答案】

苏科版九年级数学下册 5.2二次函数的图像与性质同步课时训练试卷一、单选题1．不论m 取任何实数，抛物线2()1(0)y a x m m a =+++≠的顶点都（）． A ．在1y x =+直线上 B ．在直线1y x =--上C ．在直线1y x =-+上D ．不确定2．抛物线()213y x =+-（22x -≤≤），如图所示，则函数y 的最小值和最大值分别是（）A ．2-和6B ．3-和6C ．4-和2-D ．1-和23．已知11122(,),(,)P x y P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（） A ．若1211x x ->-，则12y y > B ．若1211x x ->-，则12y y < C ．若1211x x -=-，则12y y =D ．若12y y =，则12x x =4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；①320b c +<；①()m am b b a ++≤；①22()a c b +<；其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知二次函数²8y ax ax =-（a 为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x 的值满足23x ≤≤时，其对应的函数值y 的最大值为3，则a 的值为（）A ．14-B ．14C ．15-D ．156．已知函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（） A ．当a ＝﹣2时，函数图象与x 轴没有交点 B ．若a ＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．不论a 为何值，函数图象必经过（2，﹣1）7．已知二次函数y ＝2x 2+4x ，当﹣3≤x≤1.5时，该函数的最大值与最小值的差是（） A ．92B ．8C ．212D ．2528．函数y ＝﹣2x 2﹣8x +m 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜x 2＜﹣2，则（） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定9．二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（） A ．y 1＝﹣y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1、y 2的大小无法确定10．方程2||2x kx x =+有四个实数解，实数k 的取值范围为（） A ．1＜k ＜3 B ．k ＞3C ．k ＞1D ．0＜k ＜1二、填空题11．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx+c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx+n (m ≠0)与抛物线交于A 、B 两点．下列结论： ①2a +b ＝0；①abc ＞0；①方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根；①抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；①当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；①a +b ≥m (am+b )(m 实数)．其中正确的有___________．12．如图，抛物线24y x x =+与直线22y x =+交于A ，B 两点，将抛物线沿着射线AB平移___________．13．抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是_________．14．抛物线231y x =--向左移2个单位长度，再下平移3个单位长度，则抛物线为________15．函数y ＝﹣(x ﹣1)2﹣7的最大值为_____．16．已知（﹣3，y 1），（﹣2，y 2），（1，y 3）是抛物线y ＝﹣3x 2﹣12x +m 上的点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_____．三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知函数21322y x x =--+（122n x n -≤≤+，且3n ≠）．（1）若点(,1)M n 在该函数图像上，求n 值；（2）若该函数图像上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ．当12x x <时，12y y <恒成立，求n 的取值范围；（3）若该函数最大值与最小值的差为32，求n 的值；（4）以原点为中心，4||n 为边长构造正方形ABCD ，且正方形的边长与坐标轴平行，该函数图像在正方形内部的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出n 的取值范围．18．抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A （1，0）、B （-3，0）两点，顶点纵坐标为-4 （1）求抛物线的解析式；（2）直线l ：y=kx -k （0≤k≤3）与抛物线交于M （x M ，y M ）、N （x N ，y N ），x M ＜x N ， ①求y M 的范围；①点P （x P ，y P ）在抛物线上（x M ＜x P ＜x N ），点Q （x Q ，y Q ）在直线l 上，x P =x Q ，PQ 的长度记为d ．对于每一个k ，d 都有最大值，请求出d 的最大值与k 的函数关系式． 19．已知二次函数222y mx mx =--．（1）求图象的顶点坐标（用m 的代数式表示）．（2）若无论m 取何非零实数，该图象必过两定点，请求出这两个定点的坐标．（3）若0m >，当14x -≤≤时，图象的最高点P 的纵坐标为6，求最低点Q 的坐标．（4）若()()1122,,,A x y B x y 为该图象上的两点，当23x ≥时，有12y y ≥，设11t x t ≤≤+，请直接写出t 的取值范围．20．如图，在直角坐标系中，已知直线142y x =-+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，C 点的坐标为()2,0-．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（2）如果M 为抛物线的顶点，连接AM ，BM ，求ABM ∆的面积．（3）抛物线上是否存在一点P ，使12OBP ACO S S ∆∆=若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A 9．B 10．C 11．①①①① 12．()2,2- 13．-3＜x ＜1． 14．()2324y x =-+- 15．﹣7 16．y 2＞y 1＞y 317．（1）1n =-+2）332n -<≤-；（3）2n =-或322n =-+；（4）142+n -<≤或1n ≤< 【详解】解：（1）把点(,1)M n 代入21322y x x =-=+得， 213122n n --+=解得1n =-±①22n n ≤+， ①2n ≥-故n 的值为：1n =-（2）由题可知，函数的对称轴为11122x =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭①函数图像上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，当12x x <时，12y y <恒成立 ①函数图像上的函数值y 随x 的增大而增大， ①221n +≤-， ①32n ≤-又①122n n -<+， ①3n >- ①332n -<≤-（3）当1x =-时，213(1)(1)222y =----+= 当1x n =-时，22131(1)(1)2222y n n n =----+=-+当22x n =+时，22135(22)(22)26222y n n n n =-+-++=---①当32n ≤-时，22513262222n n n ⎛⎫-----+= ⎪⎝⎭解得2n =-①当0n ≥时，22513262222n n n ⎛⎫-----+=- ⎪⎝⎭解得2n =-±①当302n -<<时，21332222x x -+=-解得11=-x21x =--①11221n n ⎧-=-⎪⎨+≤-+⎪⎩或11221n n ⎧-≥-=⎪⎨+=-+⎪⎩①32n =-+综上所述2n =-或322n =-+（4）①正方形以原点为中心， ①其边长与坐标轴平行，联立21322y x y x x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得，x =联立21322y x y x x =-⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得，2x =-所以，44||+n -<≤故，1n -<≤或1n ≤< 18．（1）223y x x =+-；（2）-4≤y M ≤0；（3）d=14k 2-2k+4 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为212()()(1)(3)(23)y a x x x x a x x a x x =--=-+=+-，函数的对称轴为x=12(1-3)=-1，当1x =-时，2(23)44y a x x a =+-=-=-，解得1a =，故抛物线的表达式为223y x x =+-；（2）①y=kx -k=k(x -1)，当x=1时，y=kx -k=0，故该函数过点（1，0），即点N （1，0），故点N 、A 重合，如图：联立223y x x y kx k⎧=++⎨=-⎩，整理得：x 2+(2-k)x+k -3=0，则x M +x N =k -2，而x N =1，故x M =k -3，当x=k -3时，y=kx -k=k(x -1)=k(k -3-1)=k 2-4k=y M ， ①0≤k≤3，故-4≤k 2-4k≤0，即y M 的范围为-4≤y M ≤0； ①由题意知，PQ①y 轴，设点P 的坐标为（x ，x 2+2x -3），则点Q （x ，kx -k ），则PQ=kx -k -x 2-2x+3=-x 2+(k -2)x+(3-k)， ①-1＜0，故PQ 有最大值，当222b k x a -=-=时， PQ 的最大值为222()(2)()(3)22k k k k --=-+-+-，即d 的最大值为21244d k k =-+．19．（1）（1，2m --）；（2）（0，-2），（2，-2）；（3）（1，-3）；（4）当m ＞0时，3t ≥或2t ≤-；当m ＜0时，12t -≤≤ 【详解】解：（1）在二次函数222y mx mx =--中，顶点坐标为22m m --()()24224m m m⨯---，即（1，2m --）；（2）222y mx mx =--=()222m x x --，令220x x -=，解得：x =0或2，当x =0时，y =-2 当x =2时，y =-2，①两个定点的坐标为（0，-2），（2，-2）；（3）①m ＞0时，抛物线开口向上，()()212y m x m =--+，①抛物线的对称轴为直线x =1，当-1≤x ≤4时，取得最高点P （4，6），当x =4时，代入得：()()26412m m =--+，解得：m =1， ①()213y x =--，即抛物线的最低点为Q （1，-3）；（4）当m ＞0时，函数图像开口向上，对称轴为直线x =1，又①11t x t ≤≤+，当23x ≥时，具有12y y ≥，()()1122,,,A x y B x y 在函数图像上，①3t ≥或2t ≤-；当m ＜0时，函数图像开口向上，对称轴为直线x =1， ①11t x t ≤≤+，当23x ≥时，具有12y y ≥，()()1122,,,A x y B x y 在函数图像上，①13.1(31)t t +≤⎧⎨≥--⎩， ①12t -≤≤，综上所述：当m ＞0时，3t ≥或2t ≤-；当m ＜0时，12t -≤≤．20．（1）213442y x x =-++；（2）5；（3）存在，点P 的坐标为：()1或()1或()1或()1 【详解】解：（1）当x=0时，142y x =-+=4，则A （0，4），当y=0时，142x -+=0，解得x=8，则B （8，0），设抛物线解析式为y=a （x+2）（x -8），把A （0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得14a =-， ①抛物线解析式为1(2)(8)4=-+-y x x ①213442y x x =-++ （2）①213442y x x =-++ ①2125(3)44y x =--+ ①25(3,)4M作MD①x 轴于D ，交AB 于E ，如图，把x=3代入142y x =-+得出52y =； ①25515424EM =-=， ①ABM ∆的面积=AEM ∆的面积+BEM ∆的面积=1115815224EM OB ⨯⨯=⨯⨯=；（3）存在理由如下：①1142422∆=⨯⨯=⨯⨯=ACO S OA OC ， ①12OBP ACO S S ∆∆=， ①11y 8y 422P P OB ⨯⨯=⨯⨯=， ①y 1=P ；①y 1=±P ；①点P 在抛物线上， ①2134=142-++x x 或2134=-142-++x x解得：1x ，2x 3x 4x①点P 的坐标为：()1或()1或()1或()1。

《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学

2.2 二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(+h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。

重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－12x2，y＝－12x2－1的图象，并答复：(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗这两个函数的图象之间有什么关系二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。

问题3：现在你能答复前面提出的问题吗2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗教学要点1．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。

初中数学习题：二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质获奖

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为( )B.√2√2【解析】选C.∵图象经过原点,∴a2-2=0,得a=√2或a=-√2;∵图象开口向下,∴a小于0,∴a=-√2.2.已知一条抛物线的顶点在x轴上,且当x<-1时,y随x的增大而增大,当x>-1时,y随x的增大而减小,又知该抛物线与y轴的交点是(0,-2),则此抛物线的解析式为( )=-2(x+1)2=2(x+1)2=-2(x-1)2=2(x-1)2【解析】选A.根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2.把(0,-2)代入,得-2=a(0+1)2.解得a=-2.所以抛物线的解析式为y=-2(x+1)2.3.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:①对称轴为直线x=2;②当x>0时,y随x的增大而增大;③函数解析式为y=-x2+4x,其中正确的结论有( )个个个个【解析】选C.根据图象可以得到以下信息,抛物线开口向下, ∵与x 轴交于(0,0),(4,0)两点, ∴对称轴为x=2.故①正确;当x>2时,y 随x 的增大而减小,故②错误;由题知{c =0,−b −2=2,∴{c =0,b =4,∴解析式为:y=-x 2+4x.故正确的有①③.【互动探究】若二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如3题图,图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其中1<x 1<2,3<x 2<4,试比较y 1与y 2的大小.【解析】由图知,二次函数图象的对称轴是直线x=2,若点A 的对称点C 的坐标为(x 3,y 3),则2<x 3<3,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小,x 3<x 2,所以y 3>y 2,即y 1>y 2.二、填空题(每小题4分,共12分)4.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c= . 【解析】将(1,2)和(-1,-6)代入y=ax 2+bx+c,得{a +b +c =2,①a −b +c =−6.②①+②,得2a+2c=-4,即a+c=-2. 答案:-2【易错提醒】用待定系数法求解析式,是把三点的坐标代入解析式,求出a,b,c 的值,但本题只有两点的坐标,不能求出a,b,c 的值,可以整体求出a+c 的值.5.若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数解析式为 _____________.【解析】根据题意,设y=a(x-2)2+1,抛物线经过点(1,0),所以a+1=0,a=-1. 因此抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1=-x 2+4x-3. 答案:y=-x 2+4x-36.已知抛物线与x 轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,并经过点M(0,1),则抛物线的解析式为 ___.【解析】设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1), 将点M(0,1)代入,得1=a(0+1) (0-1),解得a=-1,所以抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-1)=-x 2+1. 答案:y=-x 2+1三、解答题(共26分)7.(8分)已知抛物线的顶点为(1,-4),且过点(0,-3),求抛物线的解析式. 【解析】设所求的二次函数为y=a(x-1)2-4, ∵点(0,-3)在抛物线上, ∴a-4=-3,∴a=1,∴所求的抛物线解析式为y=(x-1)2-4 即y=x 2-2x-3.8.(8分)(2013·湖州中考)已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A(3,0),B(-1,0). (1)求抛物线的解析式. (2)求抛物线的顶点坐标.【解析】(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A(3,0),B(-1,0), ∴{−9+3b +c =0,−1−b +c =0.解得:{b =2,c =3,∴抛物线解析式为:y=-x 2+2x+3. (2)∵y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,4).【一题多解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1),由题意知,a=-1,即y=-x 2+2x+3. (2)∵x=-b2a =-22×(−1)=1, y=4ac−b 24a=4×(−1)×3−224×(−1)=4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4). 【知识归纳】巧妙选择二次函数解析式1.已知图象上三点或三对的对应值,通常选择一般式.2.已知图象的顶点坐标(对称轴和最值),通常选择顶点式.3.已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1,x 2,通常选择交点式. 【培优训练】9.(10分)如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点O,交x 轴于点A,其顶点B 的坐标为(3,-√3).(1)求该抛物线的函数解析式及点A 的坐标. (2)在抛物线上求点P,使S △POA =2S △AOB .【解析】(1)∵抛物线的顶点为B(3,-√3), ∴设y=a(x-3)2-√3, ∵抛物线经过原点(0,0), ∴0=a(0-3)2-√3, ∴a=√39. ∴y=√39(x-3)2-√3,即y=√39x 2-2√33x.令y=0,得√39x 2-2√33x=0.解得x 1=0,x 2=6, ∴A 点坐标为(6,0).(2)∵△AOB 与△POA 同底不同高,且S △POA =2S △AOB , ∴△POA 中OA 边上的高是△AOB 中OA 边上的高的2倍, 分析知P 点纵坐标是2√3. ∴2√3=√39x 2-2√33x,x 2-6x-18=0,解得x 1=3+3√3,x 2=3-3√3,∴P 1(3+3√3,2√3),P 2(3-3√3,2√3).。

人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优课时训练(含答案)

人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优课时训练一、选择题1. (2019•哈尔滨)将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-2. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度3.已知二次函数y ＝a (x －1)2＋c 的图象如图，则一次函数y ＝ax ＋c 的图象大致是( )4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：x －1 0 2 3 4 y5－4－3有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上的两点，则x 1<x 2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．55. 2018·潍坊已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为()A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或66.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( )7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④8. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<19. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列说法：①ac>0；②2a＋b>0；③4ac<b2；④a＋b＋c<0；⑤当x>0时，y随x的增大而减小．其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤10. 某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分(如图)，有下列结论：①a<－160；②－160<a<0；③a－b＋c>0；④a<b<－12a.其中正确的是()A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题11.将抛物线y＝－(x＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y＝－(x －1)2.12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数解析式为y＝__________.13. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．14. 如图所示，抛物线y＝ax2－3x＋a2－1经过原点，那么a的值是________．15. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c ＝________．三、解答题16. 如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．17. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．18. (2019·山东东营)已知抛物线24y ax bx +＝﹣经过点()()20,40AB ，-，，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为,D M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优课时训练-答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．2. 【答案】B[解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.3.【答案】B [解析]根据二次函数的图象开口向上，得a ＞0，根据c 是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选B.4. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．5. 【答案】B[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或 6.6. 【答案】B 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°.(1)当0≤x≤2时，点P在AB边上，△BDP是等腰直角三角形，∴PD＝BD＝x，y＝12x2(0≤x≤2)，其图象是抛物线的一部分；(2)当2＜x≤4时，点P在AC边上，△CDP是等腰直角三角形，∴PD＝CD＝4－x，∴y＝12BD·PD＝12x(4－x)(2＜x≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B的图象能大致反映y与x之间的函数关系．7. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a＋b－c<0，故③错误．④当x＝1时，y＝a＋b＋c，由图可得，当x＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以由对称性可知，当x＝1时，y<0，即a＋b＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.8. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc->⎧⎨++<⎩，解得c<-2，故选B．9. 【答案】C[解析] ①由图象可知：a>0，c<0，∴ac<0，故①错误；②由对称轴可知：－b2a<1，∴2a＋b>0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac>0，即4ac<b2，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a＋b＋c<0，故④正确；⑤当x>－b2a时，y随着x的增大而增大，故⑤错误．故选C.10. 【答案】B[解析] 用排除法判定．易知c＝2.4.把(12，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，可得144a＋12b＋2.4＝0，即12a＋15＋b＝0.由图象可知a<0，对称轴为直线x ＝－b 2a ，且0<－b2a <6， ∴b>0，∴12a ＋15<0，∴a<－160，即①成立，②不成立，故不可能选C 与D. ∵－b2a <6，∴b<－12a. ∵a<0，b>0，∴a<b<－12a ，∴④正确，而a －b ＋c 的取值不确定， ∴③不正确．故选B.二、填空题11. 【答案】右 3 12. 【答案】a(1＋x)213. 【答案】±1014. 【答案】－1[解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.15. 【答案】0[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.三、解答题16. 【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋4. ∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4，即此抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，此时PA ＋PB 的值最小．设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3， ∴直线AE 的解析式为y ＝7x －3.当y ＝0时，x ＝37，∴当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．17. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ，所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278，所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．18. 【答案】(1)∵抛物线4y ax bx +-＝经过点()()2,0,40A B -，， 424016440a b a b +-=⎧∴⎨--=⎩，解得1,21a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2142y x x --＝；(2)如图1，连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中40x -＜＜，四边形ABPC 的面积为S ，由题意得0,4C -（），AOCOCPOBPS SSS∴++＝()1124422x =⨯⨯+⨯⨯-2114422x x ⎛⎫+⨯⨯--+ ⎪⎝⎭，24228x x x ---+＝，2412x x -+＝-，()2216x ++＝．10﹣＜，开口向下，S 有最大值，∴当2x ＝-时，四边形ABPC 的面积最大，此时，4y ＝-，即()2,4P --．因此当四边形ABPC 的面积最大时，点P 的坐标为()2,4--． (3)()2211941222y x x x =+-=+-， ∴顶点91,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．如图2，连接AM 交直线DE 于点G ，此时，CMG 的周长最小．设直线AM 的解析式为y kx b +＝，且过点20A （，），91,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11 / 11 20,92k b k b +=⎧⎪∴⎨-+=-⎪⎩∴直线AM 的解析式为332y x =-．在Rt AOC中，AC ==． D 为AC的中点，12AD AC ∴==ADE AOC ∽，ADAEAO AC ∴=，2=5AE ∴＝，523OE AE AO ∴--＝＝＝，()30E ∴-，，由图可知()1,2D -设直线DE 的函数解析式为y mx n =+，2,30m n m n +=-⎧∴⎨-+=⎩解得：12,32m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线DE 的解析式为1322y x =--．1322,332y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得：34,158x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩315,48G ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．。

中考数学总复习第三单元函数课时训练二次函数的图象和性质二

课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2018·毕节]将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+52.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2018的值为()A.2015B.2016C.2017D.20193.[2017·枣庄]已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大4.若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m≤2B.m<-2C.m>2D.0<m≤25.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的解为()A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=56.二次函数y=ax2+bx的图象如图K15-1,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()图K15-1A.-3B.3C.-6D.97.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-2所示,则|a-b+c|+|2a+b|=()图K15-2A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a8.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是.9.[2018·淮安]将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是.10.[2017·株洲]如图K15-3,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0),点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>√5-1.以上结论中,正确的结论序号是.图K15-311.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点..(2)若该抛物线的对称轴为直线x=52①求该抛物线所对应的函数表达式;②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?|拓展提升|12.[2018·永州]如图K15-4①,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)如图K15-4②,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M,N(点M,N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积.图K15-413.[2018·怀化]如图K15-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式和直线AC的表达式.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-5参考答案1.A2.D[解析] ∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),∴m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴m2-m+2018=1+2018=2019.3.D[解析] 将a=1代入原函数表达式,令x=-1,求出y=2,由此得出A选项不符合题意;将a=-2代入原函数表达式,得y=-2x2+4x-1,令y=0,根据根的判别式Δ=8>0,可得出当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,即B选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零,可得出a的取值范围,由此可得出C选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,即可得出D选项符合题意.4.A[解析] 由题意可知Δ=4-4(m-1)≥0,∴m≤2,故选A.=2,解得m=-4,∴关于x的方程x2+mx=5可化为5.D[解析] ∵二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,∴-m2x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.6.B[解析] ∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,=-3,即b2=12a.∴a>0,-m24m∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,∴m的最大值为3., 7.D[解析] 根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,a>0,又抛物线过坐标原点,∴c=0.∵抛物线的对称轴为直线x=-m2m <1,解得-2a<b<0,∴|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,∴|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.∴0<-m2m8.m>1[解析] 根据抛物线y=x2+2x+m与x轴没有公共点可知,方程x2+2x+m=0没有实数根,∴判别式Δ=22-4×1×m<0,∴m>1. 9.y=x 2+210.①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上,∴a>0,由抛物线经过A (-1,0),B (0,-2),对称轴在y 轴的右侧可得{m -m +m =0,m =−2,-m 2m >0,由此可得a-b=2,b<0,故a=2+b<2,综合可知0<a<2.将a=b+2代入0<a<2中,得0<b+2<2,可得-2<b<0. 当|a|=|b|时,因为a>0,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1,故原函数为y=x 2-x-2,当y=0时,即有x 2-x-2=0,解得x 1=-1,x 2=2,x 2=2>√5-1. 故答案为①④.11.解:(1)证明:y=(x-m )2-(x-m )=x 2-(2m+1)x+m 2+m , ∵Δ=(2m+1)2-4(m 2+m )=1>0,∴不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.(2)①∵x=--(2m +1)2=52,∴m=2,∴抛物线所对应的函数表达式为y=x 2-5x+6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=x 2-5x+6+k.∵抛物线y=x 2-5x+6+k 与x 轴只有一个公共点, ∴Δ=25-4(6+k )=0,∴k=14,即把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.12.解:(1)设所求二次函数的表达式为y=a (x-1)2+4,∵抛物线与y 轴交于点E (0,3),∴a (0-1)2+4=3,解得a=-1,∴所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x 2+2x+3.(2)存在一点G ,使得EG+FG 最小. ∵抛物线的顶点A 的坐标为(1,4),∴与点E (0,3)关于抛物线对称轴x=1成轴对称的点为E'(2,3).如图①,连接E'F ,设直线E'F 的函数表达式为y=kx+b , ∴{2m +m =3,m =−3,解得{m =3,m =−3,即y=3x-3, 当x=1时,y=0,即点G (1,0),使得EG+FG 最小.(3)如图②,连接AN ,BN ,过点N 作NT ∥y 轴交AB ,x 轴分别于点S ,T. 在y=-x 2+2x+3中,当y=0时,x 1=-1,x 2=3, 则B (3,0).∵A (1,4),B (3,0),∴AB=2√5. 设直线AB 的函数表达式为y=mx+t ,∴{m +m =4,3m +m =0,解得{m =−2,m =6,即y=-2x+6. 设N (n ,-n 2+2n+3),则S (n ,-2n+6),∴NS=-n 2+4n-3. ∵S △ABN =S △ANS +S △BNS ,∴12AB ·MN=12NS ·(3-1),∴MN=√55(-n 2+4n-3)=-√55(n 2-4n+3)=-√55(n-2)2+√55,∴当n=2,即N (2,3)时,MN 最大,为√55.∵PN ⊥AB ,∴设直线PN 的函数表达式为y=12x+c ,且N (2,3),∴c=2,则y=12x+2, ∴点P (0,2),∴S △OPN =12OP ·x N =12×2×2=2.13.[解析] (1)利用待定系数法求抛物线和直线的表达式.(2)根据轴对称确定最短路线问题,作点D 关于y 轴的对称点D 1,连接BD 1,BD 1与y 轴的交点即为所求的点M ,然后求出直线BD 1的表达式,再求解即可.(3)可分两种情况(①以C 为直角顶点,②以A 为直角顶点)讨论,然后根据两直线垂直的关系求出P 点所在直线的表达式,将直线和抛物线的表达式联立求出点P 的坐标.解:(1)将点A (-1,0)和B (3,0)的坐标代入抛物线y=ax 2+2x+c 中,可得{m -2+m =0,9m +6+m =0,解得{m =−1,m =3,∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3. 令x=0,则y=3,∴点C 的坐标为(0,3). 设直线AC 的表达式为y=kx+b , 则{-m +m =0,m =3,解得{m =3,m =3.∴直线AC 的表达式为y=3x+3.(2)如图,作点D 关于y 轴的对称点D 1,连接BD 1交y 轴于点M ,则点M 即为所求.由抛物线表达式可得D 点的坐标为(1,4),则D 1的坐标为(-1,4). 设直线BD 1的表达式为y=k 1x+b 1,则{3m 1+m 1=0,-m 1+m 1=4,解得{m 1=−1,m 1=3,则直线BD 1的表达式为y=-x+3,令x=0可得y=3,则点M 的坐标为(0,3). (3)存在.如图①,当△ACP 以点C 为直角顶点时,易得直线CP 的表达式为y=-13x+3. 由{m =−13m +3,m =−m 2+2m +3,得{m 1=0,m 1=3(舍去){m 2=73,m 2=209, ∴P 点坐标为73,209.如图②,当△ACP 是以点A 为直角顶点时,易得直线AP 的表达式为y=-13x-13.由{m =−13m -13,m =−m 2+2m +3,得{m 1=−1,m 1=0(舍去){m 2=103,m 2=−139, ∴P 点坐标为103,-139. 综上,符合条件的点P 的坐标为73,209或103,-139.。

2.2 二次函数的图象与性质第2课时课时训练题(含答案)

第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质基础导练1．抛物线y ＝x 2―3x +2不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C .第三象限D ．第四象限2．如图所示的是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x =－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a +b ＝0；③a -b +c ＝0；④5a <b ．其中正确的结论是( )A .②④B ．①④C .②③D ．①③3．二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则下列结论正确的（） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞04．二次函数 y =2(x －3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3，5）B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5）C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3，5)D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3，－5）5．二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则点（b c，a ）在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是．7．已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c 的对称轴是x ＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为．能力提升8．已知二次函数y ＝－4x 2－2mx +m 2与反比例函数24m y x+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m 的值是．9．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac _____0（“＜”“＞”或“=”）10．如图所示，某地下储藏室横截面呈抛物线形．已知跨度AB =6米，最高点C 到地面的距离CD ＝3米．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）在储藏室内按如图2 - 62所示的方式摆放棱长为l 米的长方体货物箱，则第二行最多能摆放多少个货物箱?11．如图所示，抛物线y ＝x 2―2x －3与x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于A ，C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A ，B 两点的坐标及直线AC 的解析式；（2）点P 是线段AC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE 长度的最大值．参考答案1．C 2．B 3．D 4．B 5．D6．－27．y ＝－12x 2 +2x +528．－79．<10．解：(1)以AB 所在的直线为x 轴，点D 为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的解析式为y ＝ax 2+c ．将A (－3，0)，C (0，3)代入解析式，得190,,33, 3.a c a c c ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得故所求抛物线的解析式为2133y x =-+． (2)当y =2时，213x -+3＝2，解得x ＝．因为－(l ＝，而，所以第二行最多能摆放3个货物箱．11．15．解：(1)令y ＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A (－l ， 0)，B (3，0)．将点C 的横坐标x ＝2代入y =x 2－2x －3，得y =－3，∴C (2，―3)，∴直线AC 的解析式为y ＝－x －1．(2)设点P 的横坐标为x (－1≤x ≤2)，则P ，E 的坐标分别为P (x ，－x －1)，E (x ，x 2－2x －3)．∵点P 在点E 的上方，∴PE ＝－x －1－(x 2－2x －3) =－(x －12)2+94 ,∴PE 的最大值为94．。

人教版九年级数学上册课件：22.1二次函数的图像和性质(第二课时)

（填“上下”或“左右”）
练一练
抛物线y 2(x 3)2 的开口_向_上___；顶点坐
标为_（_-3_，__0 _）__；对称轴是__x_=_- 3___；当x＝－3时，y有最__小___值是_y_=_0__.
归纳小结
1、填表
抛物线
上
轴对称
h0 h
00 0
左右
2、学习反思： ______________________________ ______________________________ _______.
2
的开口向下，对称轴是经过（ 1 ，0 ）且与 x 轴垂
直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（ 1 ，0 ）.
练一练
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象
y 1 x2 , y 1 (x 2)2
2
2
, y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出他们的开口方向、对称轴和顶点.
• 练一练
y 1 x2 开口向上、对称轴y轴、顶点坐标（0,0）
y
1
(
2
x
2)2
开口向上、对称轴x=-2、顶点坐标（-2,0）
y 21 (x 2)2 开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考抛物线 y 1 x2与抛物线 y 1 x 12，
有什么关系？
分析：1、抛物线 y a(x h)2 特点：
（1）当 x＞0时，开口向上；当 x<0时，开口向下；
（2）对称轴是直线
x=h ；
（3）顶点坐标是
(h,0)
.
分析：
2、抛物线 y a(x h)2与 y ax2 形状相同，位置不同，y a(x h)2是由 y ax2 平移得到的.

22.1.3 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教学设计

3.探究规律
在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题：
(1)抛物线y＝－ x2，y＝－ (x＋1)2，y＝－ (x－1)2的形状和大小之间有什么关系？
(2)把抛物线y＝－ x2向左平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－ (x＋1)2.
(3)把抛物线y＝－ x2向右平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－ (x－1)2.
2.布置作业：
教材第35页练习.
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1.二次函数y＝ax2向右平移h个单位长度得y＝a(x－h)2.
2.二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质：
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
【变式训练】
1.关于抛物线y＝－2(x－1)2说法正确的是(B)
A.顶点坐标为(－2，1)
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C.当x＝0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x＝－2
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x－1和二次函数y＝－ (x－1)2的图象大致是(A)
A B C D
1.学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程，提高了思维能力.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？
教学说明：梳理二次函数的图象和性质，并与其他函数的图象和性质进行比较；总结函数图象的平移规律.

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2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2的图象与性质【教学目标】(一)教学知识点能够利用描点法作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质；比较两者的异同.(二)能力训练要求：经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.〔三〕情感态度与价值观：通过学生自己的探索活动，到达对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.【重、难点】重点：会画y=ax2的图象，理解其性质。

难点：描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系。

【导学流程】一、自主预习〔用时15分钟〕我们在教学了正比例函数、一次函数、反比例函数的定义后，都借助图像研究了它们的性质.而上节课我们所学的二次函数的图象是什么呢？本节课我们将从最简单的二次函数y=x2入手去研究3.学生自主教学，完成预习题1.作函数y=x2的图象回忆作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.(1)观察y= x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：〔图象是未知的，所以应根据自变量的取值，x为任何实数，选取一些有代表性、方便计算的x值，如：几个负整数、0、几个正整数〕(2)在直角坐标系中描点．〔按x的值从小到大，从左到右描点〕(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．〔能用直线连接吗？〕二、展示交流〔用时15分钟〕对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．6.教师精讲点拨：二次函数y=x2的图象是抛物线.〔1〕抛物线的开口向上；〔2〕它的图象有最低点，最低点的坐标是〔0，0〕；〔3〕它是轴对称图形，对称轴是y轴。

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