北师大版九年级数学下册同步练习题解直角三角形

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北师大版九年级数学下册同步练习解直角三角形

《解直角三角形》同步练习1．在△ABC 中，AB =122，AC =13，cos ∠B =22，则BC 边长为（） A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或172.如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC =12BD ，连接AC ，若tanB =53，则tan ∠CAD 的值（）A ．33B ． 35C ．13D ．153. 等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°4. △ABC 中，∠B =90°，AC =5，tan ∠C =12，则BC 边的长为（）A ．25B ．2C ．5D ．45. 在△ABC 中，AB =5，BC =6，∠B 为锐角且sinB =35，则∠C 的正弦值等于（） A ．56 B ．23C ．31313D ．21313 6. 在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，若BC ：AC =3：4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则tan ∠DBC 的值为（）A ．13B ．12C ．35D ．457. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB =c ，∠A =α，则CD 长为（）◆ 选择题A．c•sin2αB．c•cos2αC．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=35，则AC等于（）A．3 B．9 C．4 D．129.在锐角△ABC中，cosA=35，cosB=1213，BC=13，则△ABC的面积为（）A．652B．30 C．78 D．315810. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=12，cosB=32AC=40，则△ABC的面积是（）A．800 B．8003C．400 D．400311. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（）A.S△ABC＞S△DEF B．S△ABC＜S△DEF C．S△ABC= S△DEF D．不能确定12. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，2C．1，1，3D．1，2，313. 在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）14. 等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）A ．518B ．516C ．1315D ．121315. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBC =23，则AD 的长为（）A ．2B ．4C ．2D ．3216. 已知在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于____________17.如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB =45，EC =2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是________18.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE =6，sinA =35，则菱形ABCD 的周长是___________19.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =15，则AD 的长为________ ◆ 填空题20.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为________21.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值22.如图，在△ABC 中，AC =2，∠A =45°，tanB =12，求BC 的长23.在△ABC 中，若AB =AC =5，BC =8，求sinB 的值24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，求该三角形的面积25.在△ABC 中，∠C =90°，sinA =1213，BC =12，求AC 的长答案与解析1．答案：D解析：解答：◆ 选择题◆ 解答题∵cos∠B=22，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB=122，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12=5=17，故选D。

数学北师大版九年级下册——解直角三角形(知识点+练习)

解直角三角形1、了解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的常见类型与解法；2、会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。

1、解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形。

特别提醒：①解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边。

②在解直角三角形的问题中,除直角外,还需知道其他两个条件,而且至少有一个条件是关于边的。

这是由直角三角形的边角关系决定的。

2、解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型有两种:(1)已知两边(两条直角边或一条直角边和斜边)(2)已知一边和一角(角必须为两锐角之一)特别提醒：(1)在求解直角三角形的有关问题时,要画出图形帮助分析解决问题。

(2)在解直角三角形时,正确选择关系式是关键:①若求边:一般用未知边比已知边,去寻找已知角的某一个三角函数；②若求角:一般用已知边比未知边,去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。

选择关系式常遵循以下原则:一是选择可以直接应用原始数据的关系式;二是选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就避免用除法计算。

(3)对于含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角平分线的长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长,面积等,解决这类问题,我们常用的解题方法是将非基本量转化为基本量,最终达到解直角三角形的目的。

考法1 非直角三角形问题的解法在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高,对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造出直角三角形。

(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的(3)连接对角线,可以把矩形、菱形和正方形转化为含直三角形的图形考法2“双直角三角形”问题的解法双直角三角形是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形。

北师大版九年级数学下册4解直角三角形同步练习题

1.4 解直角三角形1.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（）A.34 B.43C.35D.45第1题图第3题图第4题图 2.在Rt △ACB 中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（） A.6 B.7.5 C.8 D.12.53.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52 AD ,则tan ∠CAD 的值是（）A.2B.2C.3D.5 4.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（） A.43 B.35 C.34 D.455.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=6.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 7.如图,在△ABC 中,∠A=300,∠B=450,AC=32,则AB 的长为．第7题图第8题图8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ． 9.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．10.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900，∠A 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点（AF ＞BF ）．（1）求证：△ACE ≌△AFE ；（2）求tan ∠CAE 的值．北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方2C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.5B.4C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-1218.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由;②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

2020-2021学年九年级数学北师大版下册第一章 1.4 解直角三角形同步练习题(含答案)

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第一章 1.4 解直角三角形同步练习题一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( )A．已知斜边，一锐角B．已知两边C．已知两角D．已知一直角边，一锐角2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是( )A．5sin36° B．5cos36°C．5tan36° D．10tan36°3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝45，则BD的长度为( )A.94B.125C.154D．44．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD.若cos∠BDC＝57，则BC的长是( )A．10 B．8 C．4 D．2 6二、填空题5．如图，已知CD是△ABC的高，且AC＝8，BC＝42，∠B＝45°，则∠α＝_____．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝12，sinA＝13，则a＝_____，b＝_____．(2)若∠A＝30°，a＝8，则∠B＝_____，c＝_____，b＝_____．(3)若a＝15，b＝5，则∠A＝_____，∠B＝_____，c＝_____.(4)若a＝22，c＝4，则∠A＝_____，∠B＝_____，b＝_____.7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝45°，∠ADB＝60°，CD＝2，则AB＝_____．8．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝40°，∠E＝140°，AB＝EF＝5，BC＝DE＝8，则两个三角形面积的大小关系为：S△ABC _____S△DEF(填“＞”“＝”或“＜”)．9．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为_____．10．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____．11．在△ABC中，AB＝2，AC＝10，tanC＝13，则∠B的度数为_____．三、解答题12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，求此直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位)．13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.(1)求sinC的值；(2)求AC边上的高BD的长．14．如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，求AC的长．15．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝35，求点F的坐标．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第一章 1.4 解直角三角形同步练习题一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是(C)A．已知斜边，一锐角B．已知两边C．已知两角D．已知一直角边，一锐角2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是(C)A．5sin36° B．5cos36°C．5tan36° D．10tan36°3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝45，则BD的长度为(C)A.94B.125C.154D．44．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD.若cos ∠BDC ＝57，则BC 的长是(D)A ．10B ．8C ．4D ．2 6二、填空题5．如图，已知CD 是△ABC 的高，且AC ＝8，BC ＝42，∠B ＝45°，则∠α＝60°．6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若c ＝12，sinA ＝13，则a ＝4，b(2)若∠A ＝30°，a ＝8，则∠B ＝60°，c ＝16，b(3)若a ＝15，b ＝5，则∠A ＝60°，∠B ＝30°，c(4)若a ＝22，c ＝4，则∠A ＝45°，∠B ＝45°，b 7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝45°，∠ADB ＝60°，CD ＝2，则AB ＝8．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝40°，∠E ＝140°，AB ＝EF ＝5，BC ＝DE ＝8，则两个三角形面积的大小关系为：S △ABC ＝S △DEF (填“＞”“＝”或“＜”)．9．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14，则sinB 410．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝10，tanC ＝13，则∠B 的度数为45°或135°．三、解答题12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝55°，AC ＝4，求此直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位)．解：根据题意，得∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 在Rt △ABC 中，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9. 在Rt △ABC 中，tanB ＝AC BC，则BC＝ACtanB＝4tan55°≈2.8.13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.(1)求sinC的值；(2)求AC边上的高BD的长．解：(1)过点A作AE⊥BC交BC于点E.∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3.在Rt△AEC中，AE＝92－32＝62，∴sinC＝AEAC＝629＝223.(2)在Rt△BDC中，sinC＝BD BC ，∴BD6＝223.∴BD＝4 2.14．如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，求AC的长．解：过点A作AD⊥BC于点D，设AC＝x，则AB＝2x.在Rt△ACD中，CD＝AD＝AC·sinC＝22x，在Rt△ABD中，AB＝2x，AD＝22x，∴BD＝AB2－AD2＝62x.∴BC＝BD＋CD＝62x＋22x＝6＋2，解得x＝2. ∴AC＝2.15．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝35，求点F的坐标．解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°. ∴∠FEA＋∠AFE＝90°.∵FA∥OG，∴∠FGO＝∠HFG.∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠AFE＝90°.∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO.∴cos∠FEA＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝3 5 .∴在Rt△AEF中，AE＝EF·cos∠FEA＝10×35＝6.∴由勾股定理得AF＝102－62＝8.∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形．∴AH＝OG.∵OG＝17，∴AH＝17.∴FH＝17－8＝9.∵在Rt△FGH中，cos∠HFG＝FHFG＝35，∴FG＝9÷35＝15.∴由勾股定理得HG＝152－92＝12.∴点F的坐标为(8，12)．。

九年级数学下册 1.4 解直角三角形同步练习 (新版)北师大版

1.4 解直角三角形一、选择题(每小题5分,共20分)1．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34B．43C．45D．35图1 图2 图32．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确3．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35B．254..△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

6.小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°的角的正切值是( )A.错误！未找到引用源。

+1B.错误！未找到引用源。

+1C.2.5D.错误！未找到引用源。

7.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A 点测得D 点的俯角β为30°,若旗杆底端G 为BC 的中点,则矮建筑物的高CD 为( ) A.20米B.10错误！未找到引用源。

米C.15错误！未找到引用源。

米D.5错误！未找到引用源。

米二、填空题(每小题5分,共15分)8.从高出海平面55m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号,从灯塔看帆船的俯角为21,帆船距灯塔距离有米 .(精确到1m )9.如图,某飞机于空中A 处探测到目标C ,此时飞行高度1200AC m =,从飞机上看地平面指挥台B 的俯角1631α='.求飞机A 到指挥台B 的距离 .(精确到1m ).10.一座埃及金字塔被发现时,顶部已经荡然无存,但底部未曾受损,是一个边长为130m 的正方形,且每一个侧面与地面成65角,这个金字塔原来有多高 .(精确到1m )？11.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D 都在这些小正方形的顶点上,AB,CD 相交于点P,则tan∠APD 的值是 . 12.如图,在Rt△ACB 中,∠ACB=90°,D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=错误！未找到引用源。

北师大九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步训练含参考答案

北师大九年级数学下册 1.4 解直角三角形同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，）1. 在中，，，，则等于（）△ABC ∠C =90∘AB =15sinA =13BC A.45 B.5C.1D.1 2. 如图，已知中，，．则的值是（）△ABC AB =AC =5BC =8cosBA.1.25B.0.8C.0.6D.0.625 3. 等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为（）2:3A.60∘ B.90∘ C.120∘ D.150∘4. 如图，在菱形中，，，则的长为（）ABCD ∠ABC =60∘AC =4BDA.83B.43C.23D.85. 如图，在中，，，，则的值是（）△ABC AB =2AC =3BC =4tanCA.12B.34C.2D.以上都不是6. 如图所示，已知是等腰底边上的高，且，上有一点，满足，则AD △ABC tan∠B =34ACE AE:CE =2:3的值是（）tan∠ADEA.35B.89C.45D.797. 已知：如图，在中，是边上的一点，且，，，则边上的高△ABC D AB BD =2AD CD =10sin∠BCD =3BC 的长为（）AEA.4.5B.6C.8D.98. 如图，在中，，，垂足为，，，则长为（）Rt △ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB D AB =c ∠a =αCDA.c ⋅sin 2αB.c ⋅cos 2αC.c ⋅sinα⋅tanα D.c ⋅sinα⋅cosα9. 如图，一艘轮船以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯40A 30∘塔．轮船继续向北航行小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向．此时轮船与灯塔的距离为（ B 2C B 60∘）A.海里40B.海里80C.海里60D.海里20 二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分，） 10. 在中，，如果，，那么________．Rt △ABC ∠C =90∘AB =6cosA =23AC = 11. 在中，，，，则________．Rt △ABC ∠C =90∘∠B =30∘AC =5cm AB =cm 12. 如图，在中，，，，，垂足为，则的值是Rt △ABC ∠ACB =90∘AC =8BC =6CD ⊥AB D tan∠BCD ________．13. 在中，，，为锐角且，则的正切值等于________． △ABC AB =5BC =6B sinB =35∠C 14. 如图，在中，斜边上的高，，则________．Rt △ABC AD =3cosB =45AC =15. 如图，在四边形中，，，，连接对角线，则的ABCD AB =3BC =CD =DA =1∠DCB =120∘BD △ABD 面积为________．16. 如图，中，，则________．△ABC ∠A =30∘tanB =3AC =23AB =17. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为，4大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则的值等于________．100αtanα18. 如图，如果绕点按逆时针方向旋转后得到，且，那么的长为________．（不△APB B 30∘△A'P'B BP =2PP'取近似值．以下数据供解题使用：）sin 15∘=6‒24cos 15∘=6+24三、解答题（本题共计 11 小题，每题 6 分，共计66分，）19. 在中，，，，求解直角三角形． Rt △ABC ∠C =90∘a =6∠A =60∘20. 如图，中，，，，求的面积．△ABC ∠B =30∘∠BAC =105∘AB =24△ABC21. 如图，在中，，，．Rt △ABC ∠C =90∘sinA =34BC =6求的长； (1)AC 求的值．(2)cotB22. 如图，矩形中，，求矩形的面积．ABCD AB =6sin∠DCA =4ABCD23. 如图所示，将一副三角尺摆放在一起，连接，求的余切值．AD ∠ADB24. 如图，在中，，，，求的长和的值．Rt △ABC ∠C =90∘AC =221sin∠A =25BC tan∠B25. 如图，，，，，求的四个三角函数值．∠ABC =∠BCD =90∘AB =8sinA =35CD =23∠CBD26. 如图，在中，于，，，，求的长．△ABC AD ⊥BC D ∠BAD =30∘∠ACD =45∘AB =5AC27. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线△ABC AB =AC =5cosB =45P BC B C P 交于点，使．PM AC M ∠APM =∠B求证：；(1)△ABP ∽△PCM 当为直角时，求线段．(2)∠PAM BP28. 如图，在中，，，，动点以每秒个单位长度的速度从点开始，沿Rt △ABC ∠C =90∘AB =10BC =8P 1A 边向点移动，于，于、设点运动时间为秒，和的面积分AB B PD ⊥AC D PE ⊥BC E P t (0<t <10)△PAD △PBE 别为，，S 1S 2当时，求的值；(1)t =1PDBC 在点移动的过程中，是否存在值，使得？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理(2)P t 3S 1+S 2=24t 由．答案1. B 2. B 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. D 9. B 10. 411. 1012. 3413. 3214. 15415.11416. 517. 3418. 6‒219. 解：∵在中，，，，Rt △ABC ∠C =90∘a =6∠A =60∘∴，，．∠B =30∘AC =AB 3=23AB =4320. 解：过作于，则，A AD ⊥BC D ∠ADC =∠ADB =90∘∵，，∠B =30∘AB =24∴，，，AD =12AB =12BD =AB ×cos 30∘=123∠BAD =60∘∵，∠BAC =105∘∴，∠CAD =45∘∴，∠C =45∘=∠CAD ∴，CD =AD =12∴，BC =BD +CD =123+12)∴的面积是，△ABC 12BC ×AD =12×(123+12)×12=723+72即的面积是．△ABC 723+7221. 解：∵在中，，，，(1)Rt △ACB ∠C =90∘sinA =34=BCABBC =6∴，AB =8由勾股定理得：；（2）．AC =AB 2‒BC2=82‒62=27cotB =BCAC =627=37722. 解：由矩形的性质知：，∠D =90∘CD =AB =6在中，Rt △ADC sin∠DCA =4∴，tan∠DCA =43AD =tan∠DCA ×CD =8∴．S 矩形ABCD =AD ×AB =8×6=4823. 解：过点作的延长线的垂线’，垂足为’，A DB AA A 在等腰中，，设，则，Rt △BDC ∠DBC =45∘BD =DC =1BC =2在中，，则，Rt △ABC ∠ACB =30∘AB =BC ⋅tan 30∘=63在’中，’，Rt △AA B ∠ABA =180∘‒(∠DBC +∠ABC)=45∘则’’BA =AA =AB ⋅sin 45∘=33在’中，’’，Rt △AA D DA =BD +A B =33+1则．cot∠ADB =DA'AA'=33+133=3+124. 解：∵在中，，，，，Rt △ABC ∠C =90∘AC =221sin∠A =25sinA =BCAB∴设，则，BC =2a AB =5a ∴，(2a )2+(221)2=(5a )2解得，或（舍去），a =2a =‒2∴，BC =2a =4∴tan∠B =ACBC =2214=212即的长为，．BC 4tan∠B =21225. 解：∵，，，∠ABC =90∘AB =8sinA =35∴设，，BC =3x AC =5x ∴在中，，Rt △ABC AB 2+BC 2=AC 2即，82+(3x )2=(5x )2解得：，x =2故，，BC =6AC =10∵，，，∠BCD =90∘CD =23BC =6∴，BD =43∴，，sin∠CBD =CDBD =2343=12cos∠CBD =BC BD =643=32，tan∠CBD =CDBC =236=33．cot∠CBD =BCCD =623=326. 解：∵在中，于，，△ABC AD ⊥BC D ∠BAD =30∘∴在中，，Rt △ABD cos∠BAD =ADAB =32，AD =523在中，，Rt △ACD ∠ACD =45∘∴，cos 45∘=ADAC ∴．AC =52627. 证明：∵，(1)AB =AC ∴，∠B =∠C ∵，∠APM =∠B ∴，∠APM =∠B =∠C ∵，，∠CMP =∠PAM +∠APM ∠BPA =∠PAM +∠C ∴，∠BPA =∠CMP ∴；△ABP ∽△PCM解：设，作于．(2)BP =x AD ⊥BC D ∵，AB =AC =5∴，BD =CD ∵，cosB =45∴，BD AB=45∴，BD =CD =4∴，AD =3∵，，∠PAD +∠CAD =90∘∠C +∠CAD =90∘∴，∠PAD =∠C 又∵，∠PAC =∠ADP ∴，△APD ∽△CAD ∴，PD AD=ADCD即，4‒x 3=34解得：，即．x =74BP =7428. 解：动点以每秒个单位长度的速度从点开始，沿边向点移动，(1)P 1A AB B 当时，，t =1AP =1∵，，PD ⊥AC PE ⊥BC ∠A +∠APD =90∘∴，∠A =∠BPE ∠APD =∠B ∴△APD ∽△PBE∴PD BC=AP AB =110故当时，；假设存在值，使得，则：t =1PDBC=110(2)t 3S 1+S 2=24，，AP =t PB =10‒t 由题意得，，，sin∠A =cos∠B =45cos∠A =sin∠B =35∴，PD PA=PEPB =45AD PA=BE PB =35∴，，，PD =45tPE =45(10‒t)AD =35tBE =35(10‒t)∵，S 1=12×PD ×AD =625t 2S 2=12×PE ×BE =625(10‒t )2∴3×625t 2+625(10‒t )2=24解得t =5s∴存在秒，使得．t =53S 1+S 2=24。

初中数学北师大版九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)1.4解直角三角形

1.4 解直角三角形一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2 3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21 8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3 9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2 10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4 13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10 14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2 17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．31．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C ＝（用含n的代数式表示）．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为．39．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝，sin2A2+cos2A2＝，sin2A3+cos2A3＝；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．48．（2017•湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．49．（2016•遂宁）已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝；所以，c sin∠B＝b sin∠C，即，，进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．参照利用正弦定理解答下题：如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．50．（2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．1.4 解直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选C．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选D．3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选B．5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选B．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选B．8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝＝AC．∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选A．9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2解：∵AC＝6，∠C＝45°，∴AD＝AC•sin45°＝6×＝6，∵tan∠ABC＝3，∴＝3，∴BD＝＝2，故选A．10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠BEC＝∠C＝72°，∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC．设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝﹣2±2（负值舍去），∴AE＝﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE＝90°，∴cos A＝＝＝．故选C．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图所示：设BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根据题意得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；故选B．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cos B＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4；故选D．13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝6，∴AB＝＝＝10，故选D．14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选C．15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC＝2，BC＝1，则tanα＝＝．故选C．17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选D．18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝或．解：①如图1中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC ＝a，∴tan∠ABC＝＝．②如图2中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB ＝a，∴tan∠ABC＝＝．，故答案为或．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得AC＝＝＝，故答案为21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2＝AB2，∴2BD•DC＝×2BD2，∴DC＝BD，∴tan C＝＝＝．故答案为．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为＜BC＜2．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cos C＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为2．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为75或25．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝17或．解：当∠ADB为锐角时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD＝，∴＝，设AH＝3x，则BH＝4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝202，解得，x＝4，则AH＝12，BH＝16，在Rt△AHD中，HD＝＝5，∴BD＝BH+HD＝21，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCG+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠BCG，∴＝，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD﹣BG＝15，∴CD＝＝17，当∠ADB为钝角时，CD′＝＝，故答案为17或．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S＝x2．解：在Rt△CDE中，tan C＝，CD＝x∴DE＝x，CE＝x，∴BE＝10﹣x，∴S△BED＝×（10﹣x）•x＝﹣x2+3x．∵DF＝BF，∴S＝S△BED＝x2，故答案为S＝x2．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF＝CF＝BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2．故答案为231．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝＝，故答案为．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．解：连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A＝α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝α，∴∠BEC＝2α，∵tanα＝，设DE＝a，∴AD＝3a，AE＝，∴AB＝6a，∴BC＝，AC＝∴CE＝AC﹣AE＝，∴tan2α＝，故答案为．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为21或15．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝17．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝15，∴＝，解得AC＝8，根据勾股定理得，AB＝＝＝17．故答案为17．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE＝，∴O′E＝＝，∴tan BO′E＝，∴tan∠BOD＝3，故答案为3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝2a，NL＝a，∴＝2，∴，∴，∵NL＝LM，∴，∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，故答案为3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为3．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C＝（用含n的代数式表示）．解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴××CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，故答案为；．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为8或24．解：如图1所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝4，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝12，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝8，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为4．解：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO＝30°∴∠BAO＝60°∴∠OQD＝90°﹣60°＝30°∴cos30°＝∴AQ＝＝2∴OQ＝2﹣1＝1则点Q运动的路程为QO＝1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1，∴点Q运动的总路程为+1+2﹣+1＝4故答案为439．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB＝t，OB＝3，又∵tanα＝＝＝，∴t＝．故答案为．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．解：∵AD平分∠BAC，∴＝，∴设BD＝3x，CD＝2x，过AE⊥CD于E，∵AD＝AC，∴DE＝CE＝x，∴BE＝4x，∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，∴32﹣（4x）2＝22﹣x2，∴x＝，∴BE＝，∴cos∠ABC＝，故答案为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为2或2﹣或．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为2或2﹣或，故答案为2或2﹣或．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．解：（1）∵tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）过点作DE⊥AB于点E，∵tan B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵BE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B 点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）解：（1）∵ab sin C＝ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴＝，：同理得＝，∴＝＝；（4分）（2）由题意得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，∴，即，∴，∴AC＝40×0.3＝12；（8分）（3）由题意得∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，由＝＝得＝，∴AC＝6，∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB＝×6×18×0.7≈38．（12分）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．解：＝＝，理由为过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sin B＝，即AD＝c sin B，在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，即＝，同理可得＝，则＝＝．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC＝＝；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝＝，∴AD＝5﹣＝，则＝．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，在Rt△ACH中，tan A＝＝，∴AH＝8，∴AC＝＝10，∴AB＝AH+BH＝8+6．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝1，sin2A2+cos2A2＝1，sin2A3+cos2A3＝1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝1；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．解：（1）sin2A1+cos2A1＝（）2+（）2＝+＝1，sin2A2+cos2A2＝（）2+（）2＝+＝1，。

数学北师大版九年级下册解直角三角形课时练习

解直角三角形课时练习1．★点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是()A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)2．如图Y－40，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比不等于tan A的是()图Y－40A.CDAD B.DBCD C.BCAC D.ADAC3．如图Y－41，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为()图Y－41A.12 B.22 C.32D．14．★锐角A满足2cos(∠A＋10°)＝3，则∠A＝________．5．如图Y－42所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是________m.图Y－426．如图Y－43，气象台测得台风中心在A港口的正东方向500 km的点C 处，正在向西北方向转移，距台风中心300 km的范围内将受其影响，问港口A 是否会受到这次台风的影响？图Y－43参考答案1．B [解析] 由于sin60°＝32，cos60°＝12，所以点M 关于x 轴对称的点的坐标是(－32，－12)．故选B.此类问题容易出现的错误是记错特殊角的三角函数值．2．D3．C [解析] 设BC ＝m ，则AB ＝2m ，根据勾股定理可求得AC ＝3m .sin B ＝AC AB ＝3m 2m ＝32.故选C. 4．20° [解析] ∵cos(∠A ＋10°)＝32，∴∠A ＋10°＝30°，∴∠A ＝20°.此类问题容易出现的错误是没有把A ＋10°看作一个整体．5．10 [解析] 由坡比的定义可知：迎水坡AB 的坡比为1∶3，即BC AC ＝13.又∵BC ＝5，所以AC ＝5 3，所以AB ＝AC 2＋BC 2＝（5 3）2＋52＝10(m)．6．解：过点A 作AB ⊥CM 于点B . 在Rt △ABC 中， ∵sin 45°＝AB AC ，AC ＝500 km ，∴AB ＝500×22＝250 2(km)＞300 km.答：港口A 不会受到这次台风的影响．。

数学北师大版九年级下册解直角三角形(2)

解直角三角形（2）一、基础练习1、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝_________ 2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，－4），则co s ∠OAB 等于_______．3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是______4、课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长为24米，则旗杆AB 的高度约是米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732） 5、河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5m ，迎水斜坡AB 长13m ，那么斜坡AB 的坡度等于。

二、巩固练习6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45 o ，∠C=120 o，AB=8，则CD 的长为7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m ，OE⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE =1213．（1）半径OD ＝_______（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过＝_______才能将水排干。

8、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（精确到0.1）．9、如图，A ，B 是公路L （L 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路L 的距离AC=1km ，B 村到公路L 的距离BD=2km ，B 村在A 村的南偏东45°方向上．（1）求出A ，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．三、提高练习10、如图,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B 离点C 的距离为5，一只O东蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是△的三个顶点均在格点上，请按要11、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC求完成下列各题：Array（1）在网格中找一点D使四边形ABCD是平行四边形（D为格点），连接△的三个内角CD和AD；（2）线段CD的长为；（3）请你在ACD中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是 .（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是。

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课时同步练习题.doc

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】1.4 解直角三角形1.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（）A.34 B.43C.35D.45第1题图第3题图第4题图 2.在Rt △ACB 中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（） A.6 B.7.5 C.8 D.12.53.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52 AD ,则tan ∠CAD 的值是（）A.2B.2C.3D.54.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（） A.43 B.35 C.34 D.455.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=6.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 7.如图,在△ABC 中,∠A=300,∠B=450,AC=32,则AB 的长为．第7题图第8题图8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．10.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．。

九下第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形作业新版北师大版

【点拨】如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°. ∵AH⊥BC， ∴BH＝12BC＝3，∠BAH＝12∠BAC＝30°， ∴∠BAD＋∠DAH＝30°.
∵∠BAC＝60°，∠DAE＝30°，
∴∠BAD＋∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC， ∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝13. 又∵AH＝AB·sin 60°＝6× 23＝3 3， ∴tan∠DAH＝DAHH＝3DH3＝13， ∴DH＝ 3，∴BD＝BH－DH＝3－ 3.
【答案】D
10 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) 【解】如图所示．
(2)若OB＝2，求AB的长．【解】∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2BC. ∵AO＝BC，∴AC＝2AO， ∴OC＝AO，即点 O 为 AC 的中点． ∵OB＝2，∴AC＝2OB＝4， ∴AB＝AC·cos A＝2 3.
(2)sin ∠ADC的值．【解】∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝12BC＝2. ∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE＝1，∴∠ADC＝45°. ∴sin ∠ADC＝ 22.
【点方法】
∠B和∠C均不在直角三角形中，需要作出BC边上的高来构造直角三角形，问题便容易解决．
12 (1)[问题呈现]如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE. 【证明】∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°. ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE. 即∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE.

北师大版初三数学9年级下册第1章 1.4解直角三角形同步优生辅导训练(附答案解析)

北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1C．2﹣D．3．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7B．8C．8或17D．7或174．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．25．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD 的值是．7．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为．8．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为．11．△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC 的长．14．如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．（结果保留根号）16．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．18．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．①求BD和AD的长；②求tan C的值．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C 的值．20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B+cos B 的值．21．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．参考答案1．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选：D．2．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC＝＝＝．故选：A．3．解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选：D．4．解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC＝2，BC＝1，则tanα＝＝．故选：C．5．解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，又∵tan B＝，∴AC＝BC•tan B＝3tan50°．故选：D．6．解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．故答案为．7．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为：2或2﹣或，故答案为：2或2﹣或．8．解：过点A作AD⊥BC于D，如图∵AB＝AC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝＝0.8，∴AD＝5×0.8＝4，则BD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3＝6．故答案为：6．9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以tan B＝，即tan37°＝，所以AC＝32•tan37°＝32×0.75＝24．故答案为：24．10．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．11．解：①如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC＝30°，∴BD＝AB，∵AB＝4，∴BD＝2，∴AD＝2，∵BC＝3，∴CD＝，∴S△ABC＝AC•BD＝×（2+）×2＝2+；②如图2，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，∵∠BAC＝30°，∴BD＝AB，∵AB＝4，∴BD＝2，∵BC＝3，∴CD＝，∴AD＝2，∴AC＝2﹣，∴S△ABC＝AC•BD＝×（2﹣）×2＝2﹣．综上所述，满足条件的△ABC的面积为2+或2﹣．12．解：∵cos B＝，即cos30°＝，∴AB＝＝＝4．故答案为：4．13．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4．在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+4．14．解：∵Rt△ABC中，AC＝12cm，∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝12（cm），∵Rt△ACD中，AC＝12cm，∠DAC＝60°，∴tan∠DAC＝，∴CD＝AC×tan∠DAC＝12×tan60°＝12（cm），∴BD＝CD﹣BC＝（12﹣12）cm．答：另一条直角边没有重叠部分BD的长为（12﹣12）cm．15．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC，在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得：BC＝2（+1）．16．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cos C＝，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC•cos C＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE+CE＝4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD﹣CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝．17．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°∴∠BCD+∠ACH＝90°∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得AC＝CH，∴CH：AC＝1：，∴sin B＝；（2）∵sin B＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．∵∠CAH＝∠B，∴sin∠CAH＝sin B＝＝，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝2，∴BC＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．18．解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝AB＝3，∴AD＝BD＝3；（2）CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝．19．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD•tan∠BAD＝12×＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，∴AC＝＝＝13，∴sin C＝＝．20．解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴tan A＝＝＝，∴AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，∴BC＝＝10，∴sin B＝＝，cos B＝＝，∴sin B+cos B＝+＝．故答案为：21．解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD+DC＝+1。

2018年北师大版九年级下《1.4解直角三角》同步练习含答案

4　解直角三角形知识点 1　已知两边求其他元素　图1－4－11．如图1－4－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝，则∠B 的度数为( )3A ．25° B ．30°C ．45°D ．60°2．菱形ABCD 的对角线AC ＝6 ，BD ＝6，则菱形的四个角的度数分别是3______________．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，c ＝5 ，求这个直角三角形的其他元素．2知识点 2　已知一边、一角求其他元素4．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( )A ．3sin 40°B ．3sin 50°C ．3tan 40°D ．3tan 50°5．[2017·抚顺模拟] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，AC ＝，则BC 等于( )323A . B ．1 C ．2 D ．33图1－4－26．如图1－4－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，则AB 的长为________．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，∠A ＝45°，则a ＝________，b ＝________，∠B ＝________°.(a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边)8．已知Rt △ABC 在直角坐标系中的位置如图1－4－3所示，求A ，C 两点的坐标．图1－4－39．等腰三角形的腰长为2 ，底边长为6，则底角等于()3A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°图1－4－410．如图1－4－4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝，则BC 的长是( )35A ．4 cm B ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．如图1－4－5，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 ，则AB 的长为3________．1－4－5图1－4－612．如图1－4－6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝4 ，则AD ＝________．313．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2 ，b ＝2 ，小王得到下面四个结论：①c ＝426；②tan A ＝；③sin A ＋cos B ＝1；④∠B ＝30°.其中正确的结论是________．(只填序233号)14．如图1－4－7，河流两岸a ，b 互相平行，A ，B 是河岸a 上的两座建筑物，C ，D 是河岸b 上的两点，A ，B 之间的距离为200 m ．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度为________m .1－4－715．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝__________．16．如图1－4－8，一块四边形土地，其中∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝30 m ，CD ＝50 m ，求这块土地的面积．33图1－4－817．如图1－4－9，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．图1－4－918．一副三角板如图1－4－10放置，点C在FD的延长线上，2AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，试求CD的长．图1－4－1019．如图1－4－11所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周长．(精确到1 mm) (参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75)图1－4－11图1－4－1220．如图1－4－12，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O3运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．如果PQ＝，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．1．B 2.60°，120°，60°，120°3．解：∵sin A ＝＝＝，∴∠A ＝45°，a c 55222∴∠B ＝90°－∠A ＝45°，∴∠B ＝∠A ，∴b ＝a ＝5.4．D [解析] ∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，又∵tan B ＝，∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan50°.故选D.AC BC 5．B 6.4 7.5 5 453228．解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵BC ＝＝＝4，AO cos30° 2 332∴点C 的坐标为(4，0)．在Rt △ABD 中，sin30°＝，cos30°＝，而AO ＝2 ，AD AO BD AO 3∴AD ＝AO sin30°＝2 ×＝，3123BD ＝AO cos30°＝2 ×＝3，332∴点A 的坐标为(3，)．39．A10．A [解析] ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8 cm.∵cos ∠BDC ＝＝，∴＝，CD BD 35CD 8－CD 35解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5 cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.11．3＋　[解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，3∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 ，∴CD ＝，33∴BD ＝CD ＝.3由勾股定理得AD ＝＝3，AC 2－CD 2∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋.312．[解析] 在Rt △ABC 中，sin B ＝，AC ＝AB ·sin B ＝4 ×＝2 .AC AB 3123在Rt △ACD 中，∠DAC ＝∠BAC ＝×60°＝30°，1212cos ∠DAC ＝，AD ＝＝＝4.AC AD AC cos ∠DAC 2 3cos30°13．①②③　[解析] 由勾股定理易求c ＝4 ，①正确；tan A ＝＝＝，②正确；2a b 2 22 633sin A ＋cos B ＝＋＝＋＝＋＝1，③正确；tan B ＝＝＝，∴∠B ＝60°，④a c a c 2 24 2 2 24 21212b a 2 62 23错误．14．100　[解析] 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，∵∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，∴∠APB ＝75°.∵∠BAP ＝∠APC ＝75°，∴∠APB ＝∠BAP ，∴AB ＝PB ＝200 m.∵∠ABP ＝30°，∴PE ＝PB ＝100 m.1215.或　[解析] 分两种情况：32 2 33(1)如图①，BD 是AC 边上的中线，BD ＝AC .设AD ＝DC ＝k ，则BD ＝AC ＝2k .在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°，∴BC ＝＝k ，BD 2－CD 23∴tan A ＝＝＝；BC AC 3k 2k 32(2)如图②，AD 是BC 边上的中线，AD ＝BC .设BD ＝DC ＝k ，则AD ＝BC ＝2k .在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC ＝＝k ，AD 2－CD 23∴tan B ＝＝＝.AC BC 3k 2k 32∵∠CAB ＋∠B ＝90°，∴tan ∠CAB ＝＝＝.1tan B 23 2 33综上可知，所求值为或.32 2 33故答案为或.32 2 3316．解：延长CA ，DB 交于点P ，∵∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，∴∠ABP ＝60°，∠ACD ＝60°.在Rt △CDP 中，tan ∠ACD ＝，PD ＝CD ·tan ∠ACD ＝50 ·tan60°＝150(m)．PDCD 3在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝，PA ＝AB ·tan ∠PBA ＝30 ·tan60°＝90(m)，PAAB 3∴S 四边形土地＝S △CDP －S △ABP ＝×50 ×150－×30 ×90＝2400 (m 2)．1231233即这块土地的面积为2400 m 2.317．解：如图，过点B 作BE ⊥MC ，垂足为E ，在Rt △ABC 中，BC ＝＝AB 2－AC 2＝5，132－122sin ∠BAC ＝＝.BC AB 513在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCE ＝BC ·sin ∠BAC ，∴BE ＝5×＝，5132513即点B 到直线MC 的距离是.251318．过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝12 ，2∴BC ＝AC ＝12 .2∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝45°，∴BM ＝BC ×sin45°＝12 ×＝12，222CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝＝4 ，BMtan60°3∴CD ＝CM －MD ＝12－4 .319．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，过点D 作DF ⊥l 于点F .∵∠α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝∠α＝36°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝，BEAB∴AB ＝≈＝40(mm)．BE sin36°240.60在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝，DF AD ∴AD ＝≈＝60(mm)．DF cos36°480.80∴长方形卡片的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．20．4　[解析] 在Rt △AOB 中，∵∠ABO ＝30°，AO ＝1，∴AB ＝2，BO ＝＝22－12.3(1)当点P 从O →B 时，如图①、图②所示，点Q 运动的路程为；3(2)当点P 从B →C 时，如图③所示，这时QC ⊥AB ，则∠ACQ ＝90°.∵∠ABO ＝30°，∴∠BAO ＝60°，∴∠OQD ＝90°－60°＝30°，∴cos30°＝，∴AQ ＝＝2，CQ AQ CQcos30°∴OQ ＝2－1＝1.则点Q 运动的路程为QO ＝1；(3)当点P 从C →A 时，如图③所示，点Q 运动的路程为QQ ′＝2－.3(4)当点P 从A →O 时，点Q 运动的路程为AO ＝1.∴点Q 运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.33。

九年级数学下册第一章1.4解直角同步练习新版北师大版3.doc

课时作业(五)[第一章 4 解直角三角形]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝52°，b ＝12，则a 的值约等于() A ．15.36 B ．16.35 C ．17.36 D ．18.352．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2，则∠B 的度数为链接听课例1归纳总结()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图K －5－1，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sin B 的值为()图K －5－1A.513 B.1213 C.35 D.454.如图K －5－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，下列判断正确的是( )链接听课例1归纳总结图K －5－2A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝2 二、填空题5．2017·广州如图K －5－3，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________．图K －5－36．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝13，AC ＝2，那么BC ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，若△ABC 的面积为5033，则∠A 的度数为________．8．2018·奉贤区一模如图K －5－4，在△ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，垂足为H ，如果AH ＝BC ，那么sin ∠BAC 的值是________．图K －5－49．菱形ABCD 的对角线AC ＝6 3，BD ＝6，则菱形ABCD 的四个角的度数分别是______________．10．如图K －5－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若CD ＝2，AB ＝6，则S △ABD＝________．图K －5－511．如图K －5－6，在直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为(－1，0)，∠ABO ＝30°，线段PQ 的端点P 从点O 出发，沿△OBA 的边按O →B →A →O 运动一周，同时另一端点Q 随之在x 轴的非负半轴上运动，如果PQ ＝3，那么当点P 运动一周时，点Q 运动的总路程为________．图K －5－6三、解答题12．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，c ＝2，求这个三角形的其他元素．13．已知Rt △ABC 在直角坐标系中的位置如图K －5－7所示，求A ，C 两点的坐标．图K－5－714．2017·湘潭某游乐场部分平面示意图如图K－5－8所示，点C，E，A在同一直线上，点D，E，B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数).链接听课例3归纳总结15．如图K－5－9①所示，将直尺摆放在三角尺上，使直尺与三角尺的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°.(1)求∠CEF的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角尺的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长(结果精确到0.01；参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)图K－5－9操作探究题两个城镇A，B与两条公路ME，MF的位置如图K－5－10所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．(1)点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)；(2)设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN＝2(3＋1)km，测得∠CMN＝30°，∠CNM＝45°，求点C到公路ME的距离．图K－5－10详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] A 因为tan B ＝b a＝26＝33，所以∠B ＝30°. 3．[答案] A4．[解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，tan A ＝BCAC ，∴AC ＝BCtan A ＝112＝2， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5. ∵tan A ＝12，tan30°＝33，∴∠A ≠30°. 故选D.5．[答案] 17[解析] ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝158，BC ＝15，∴15AC ＝158，解得AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17. 故答案为17.6．[答案] 4 2[解析] 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴cos A ＝AC AB ＝13.∵AC ＝2，∴AB ＝6，∴BC ＝AB 2－AC 2＝36－4＝4 2. 7．[答案] 60°[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，△ABC 的面积为503 3，∴12AC ·BC ＝503 3，∴AC ＝103 3. ∵tan A ＝BC AC ＝1010 33＝3，∴∠A ＝60°.故答案为60°.8．[答案] 45[解析] 如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AH ＝BC ＝2x ， ∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，根据勾股定理，得AC ＝AH 2＋CH 2＝（2x ）2＋x 2＝5x ，S △ABC ＝12BC ·AH ＝12AC ·BD ，即12·2x ·2x ＝12·5x ·BD ，解得BD ＝4 55x ， ∴sin ∠BAC ＝BD AB ＝4 55x 5x ＝45.9．[答案] 60°，120°，60°，120° 10．[答案] 9 32－3[解析] 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°.∵AB ＝6，∴BC ＝12AB ＝3，AC ＝3BC ＝3 3.又∵CD ＝2，∴AD ＝AC －CD ＝3 3－2，∴S △ABD ＝12AD ·BC ＝12×(3 3－2)×3＝9 32－3.故答案为9 32－3.11．[答案] 412．解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝22－（3）2＝1.因为sin A ＝a c＝32，所以∠A ＝60°，所以∠B ＝30°. 13．解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵BC ＝AOcos30°＝2 332＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．在Rt △ABD 中，sin30°＝AD AB ，cos30°＝BD AB，而AB ＝2 3，∴AD ＝AB sin30°＝2 3×12＝3， BD ＝AB cos30°＝2 3×32＝3， ∴点A 的坐标为(3，3)．14．解：(1)∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°， ∴BE ＝12AE ＝12×80＝40(米)．故旋转木马E 处到出口B 处的距离为40米．(2)∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°，∴∠CED ＝∠AEB ＝60°，∴在Rt △CDE 中，DE ＝CD sin ∠CED ≈341.72＝40(米)，则BD ＝DE ＋BE ≈40＋40＝80(米)．故海洋球D 处到出口B 处的距离约为80米．15．[解析] (1)先根据“直角三角形的两锐角互余”求出∠CDG 的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”求出∠CEF 的度数．(2)根据直尺上的读数求出HB 的长度，再根据∠CBH ＝∠CGD ＝42°，利用42°的余弦值求解．解：(1)∵∠CGD ＝42°，∠C ＝90°， ∴∠CDG ＝90°－42°＝48°.∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG ＝48°.(2)∵点H ，B 在直尺上的读数分别为4，13.4， ∴HB ＝13.4－4＝9.4，∴BC ＝HB cos42°≈9.4×0.74≈6.96. 答：BC 的长约为6.96. [素养提升]解：(1)如图①所示：点C 即为所求．(2)过点C 作CD ⊥MN 于点D .如图②所示：∵在Rt △CMD 中，∠CMN ＝30°，tan ∠CMN ＝CD MD，∴MD ＝CD tan30°＝CD33＝3CD .∵在Rt△CND 中，∠CNM ＝45°，tan ∠CNM ＝CD DN ，∴DN ＝CDtan45°＝CD .∵MN ＝2(3＋1)km ，∴MN ＝MD ＋DN ＝3CD ＋CD ＝2(3＋1)，解得CD ＝2(km)．答：点C 到公路ME 的距离为2 km.。

九年级数学下册 1.4《解直角三角形》典型例题 (新版)北师大版

《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．解（1）；（2）由abB =tan ，知；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ．说明此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴ ．∴．解法二 133330tan =⨯=︒=b a说明本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．例 3 设中，于D ，若，解三角形ABC ．分析 “解三角形ABC ”就是求出的全部未知元素．本题CD 不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：∴在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析分别在两个直角三角形ADC 和BDC中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DC AC 在Rt △BDC 中，221022545sin ==︒=DC BC说明本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。