[苏教版]必修4平面向量的坐标表示及运算
苏教版高中数学必修四课件平面向量的坐标表示与运算.pptx
小结反思
OA a (x1, y1),OB b (x2 , y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
作业 课本P75习题2.3-------1 , 4
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题2：在平面直角坐标系中，向量 OM 的 长度与方向是如何确定的？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题3：这样一来，向量 OM 就可以用哪个 点的坐标来表示？反之，若点 M 的坐标 是 (4,3) ，则点 M (4,3) 对应的向量是什么？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
量 i, j作为基底，则
a xi y j
数学应用
例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，
| OA | 4 3, xOA 600 ，求向量 OA 的坐
标。OA (2 3,6)
y
A
B
600
x
O
变式:若∠XOB=1500 ,OB=2,则向量 OB的
坐标是____(__3_,1_) .
构建数学 当向量用坐标表示时，向量的和、差以
数学应用 例3 已知 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ), ,P是直线 P1P2 上
一点,且 P1P PP2 ( 1) ,求点P的坐标;
及向量的数乘也都可以用坐标来表示；
a (x1, y1),b (x2 , y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
构建数学
高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算课件 苏教版必修4
的坐标为(－10，10)，则 5 秒后点 P 的坐标为( )
栏
A．(－2，4)
B．(－30，25)
目 链
C．(10，－5)
D．(5，－10)
接
解析：由已知O→P＝(－10，10)，设运动后到点 Q，则P→Q＝5(4， －3)＝(20，－15)，那么点 Q 的坐标为(20－10，10－15)＝(10，－5)．接Biblioteka C．2，－1 D．－1，2
解析：∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)． ∴λ2λ1＋1＋2λ32λ＝2＝3，4，即λλ12＝＝－2. 1，
答案：D 方法指导：本题实际上就是平面向量基本定理的坐标表示的一种 展示，解决问题的方法通常采用待定系数法．
2．3.2 平面向量的坐标运算
栏 目 链 接
1．理解平面向量的坐标表示． 2．掌握平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示．
典例剖析
栏 目 链 接
利用向量的坐标表示求点的坐标
点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 v＝(4，－3)(即点 P 的
运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点 P
答案：C
变式训练
1．已知A→B＝(5，－3)，C(－1，3)，C→D＝2A→B，则点 D 的坐标
为( )
栏 目
A．(11，9) B．(4，0)
链 接
C．(9，3) D．(9，－3)
解析：设 D(x，y)，∵C(－1，3)，
∴C→D＝(x＋1，y－3)．
又∵A→B＝(5，－3)，C→D＝2A→B，
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苏教版高中数学必修4课件第2章2.3-2.3.2平面向量的坐标运算精选ppt课件
存在唯一实数 λ，使 ka＋b＝λ(2a－3b)．
由(3k－10，－2k＋9)＝λ(36，－31)，
3k－10＝36λ，
所以
解得
－2k＋9＝－31λ.
k＝－23，λ＝－13.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 k＝－23时，ka＋b 与 2a－3b 平行，
这时 ka＋b＝－23a＋b. 因为 λ＝－13＜0，所以－23a＋b 与 2a－3b 反向．
x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以点 D 的坐标为－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
规律方法 1．求一个点的坐标：可利用已知条件，求出该点相对 应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐 标． 2．求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终 点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
题型 3 平行向量的坐标表示问题 [典例 3] 已知 a＝(3，－2)，b＝(－10，9)，当 k 为 何值时，ka＋b 与 2a－3b 平行？平行时它们是同向还是 反向？ 解：法一：ka＋b＝k(3，－2)＋(－10，9)＝(3k－10， －2k＋9)，2a－3b＝2(3，－2)－3(－10，9)＝(36，－31)． 当 ka＋b 与 2a－3b 平行时，
法二：由法一知 ka＋b＝(3k－10，－2k＋9)， 2a－3b＝(36，－31)， 因为(ka＋b)∥(2a－3b)， 所以(3k－10)×(－31)－36×(－2k＋9)＝0. 解得 k＝－23.
此时
ka
＋
b
＝
－63－10，43＋9
＝
－336，331
＝
－
1 3
(36，－31)＝－13(2a－3b)．
苏教版高中数学必修四2.1.2 平面向量基本定理与平面向量坐标表示 课件2
数对实数 λ1 、λ2 ，使 a =λ1e1 +λ2e2
2.已知向量a, b 不共线,实数x,y满足:
2xa (3 y)b (1 3y)a xb ,则x=__,y=___
3.若 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基 底,且 a 3e1 4e2,b 6e1 ke2 不能作为基底,则 k的值为_____
判断下列命题的是否真命题，并说明理由
1、e1 、e2 是平面内的一组向量，则平面内任一向
量 a 都可以表示为 a =λ1e1 +λ2e2 ，其中λ1、λ2 R
2、e1 、e2 是平面内的一组基底，若实数 λ1、λ2 使
λ1e1 +λ2e2 = 0 ，则 λ1 =λ2 = 0
3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向
3
a
2
A
A1 c=-2 i-3 j=(-2,-3)
j
1 1
234
d=2 i-3 j=(2,-3)
-4 -3 -2 -1O -1i
-2cຫໍສະໝຸດ -3x 同理 b=-2 i+3 j=(-2,3)
d
-4 -5
例1: 如图2-3-6,已知O是坐标原点,点A 在第一象限, OA 4 3 ,∠XOA=60O
求向量 OA的坐标
a a 设内任e1意, e一2个是向平量面, 内两能个否不用共e线1,的e2向量来, 表示是呢这？个平面
M
C
e2
a
a
e2
e1
存在唯一一对
O
e1
N
OC
ON
OM
λ1 、 λ2 使: a 1e1 2e2
高一数学苏教版必修四教学案29平面向量坐标表示1
§29 平面向量的坐标表示一、教学目标：掌握平面向量的坐标表示及坐标的线性运算。
二、教学重难点：平面向量的坐标表示及坐标的线性运算三、新课导航:1.在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个___________作为基 底,i j ，对任一向量a 有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+，则实数对(),x y 叫向量a 的直角坐标，记为a =_____________2.设1122(,),(,)a x y b x y ==，那么-=a b=a λ____________3.若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB4.预习自测:(1)已知→a =（3，2），→b =（0，-1），则-2→a +4→b = ，4→a +3→b =(2)直角坐标系中，已知点(23),(32)-A B ，，,则AB =(3)点(1,2),(3,2)A B ,向量)43,(--+=y x y x 与AB 相等，则x=四、合作探究活动1 已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，43,60︒=∠=OA xOA ,求向量OA 的坐标.活动2 已知(1,3),(1,3),(4,1),(3,4)--A B C D ,求向量,,,OA OB AO CD 的坐标活动3 已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），点P 是直线P 1P 2上的一点，且P 1＝λ2PP （λ≠－1），求点P 的坐标．五、知识网点六、反思§29 平面向量坐标表示作业班级 姓名 学号 日期 得分1．若向量(1,2),(2,1),==-a b ，则32-=a b _______________2．已知(6,1)=AB ，→BC =（-2,4）,→CD =(-2,-3),则→AD =3.已知向量)1,2(-=表示该向量的有向线段的起点(1,5)A 的坐标，则它的终点B 的 坐标是4. 已知作用在坐标原点的三个力)1,3(),5,2(),4,3(321=-==F F F ，则作用在原点的 合力321F F F ++的坐标为5.已知平行四边形ABCD 的顶点)6,5(),1,3(),2,1(C B A ---，则顶点D 的坐标为6．已知)3,1()2,1(),0,0(-B A O ，且OB OB OA OA 3,211==，那么点1A 的坐标 为 ，点1B 的坐标为 ，向量11B A 的坐标为7.已知)5,4()2,1(),0,0(B A O ，t +=，求当2,2,21,1-=t 时，其对应P 的 坐标，并在平面内画出这些点。
苏教版高中数学必修四课件向量平行的坐标表示
平行?并确定此时它们是同向还是反
向.
例2已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0), (3,4),(-1,2),(1,1),是否存在常数t,使
成立O?A解释tO你B所 得OC
结论的几何意义.
巩固练习：P752，3
课堂小结
平行向量的坐标表示
设向量 a (x1, y1),b (x2 , y2 )(a 0)
一般地,
设向量 a (x1, y1),b (x2 , y2 )(a 0)
如果那a么∥ b
x1 y2 x2 y1 0
反过来,如果 x1 y2 x2 y1 0
那么. a ∥ b
巩固练习：P751
例1已知,当a 实(1数,0),b (2,1)
为何值时,向量与k a b a 3b
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
向量平行的坐标表示
复习：（1）平面向量的坐标表示；
分别与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j作 为基底 任一向量a，用这组基底可表示为
有且只有一对实数x、y，使得 a=xi+yj．
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y)
（2）平面向量的坐标运算。
(1)若a (x1, y1),b (x2, y2),则 a b (x1 x2 , y1 y2 ),
a b (x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1) ( R)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB (x2 x1, y2 y1)
练习题评讲： P734，5，6
观察P71例2向量OA与CD你能发现什么结论？ 两向量相等，两向量坐标相同
江苏必修4平面向量的基本定理和坐标运算
平面向量的基本定理和坐标运算一、基础知识：1．两个向量共线定理：向量b 与()a a 0≠共线的充要条件是_____________________________________2．平面向量基本定理：如果12e ,e 是___________的两个非零向量，对于平面内的任一向量a ，存在_____的一对实数12,λλ，使1122a=e +e λλ，称12e ,e 为表示平面内所有向量的一组______。
3．平面向量的坐标运算设()()1122a x y b x y →→==，，，，则()()1112a b x y y y →→±=±，，=___________()11a x y λλ→=，=________若()()1122A x y B x y ，，，，则AB →=_______，||AB →=__________，就是A B 、两点间的距离公式。
设()()1122a x y b x y →→==，，，()0a ≠， 则a b ⇔______________________________4、高考动向：高考中常以填空题的形式考查向量坐标运算(共线向量)及平面向量基本定理，难度为中低档，向量的坐标运算有可能与其他知识(如三角、解析几何)综合考查，在知识的交汇点处命题。
二、基础训练：1、若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同。
2、已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______2、(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线3、若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______4、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______6、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-7、已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ______ A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线8、已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如//c d 则A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向9、若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=___________A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b10.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是________________11.已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．12.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
苏教版学高中数学必修四平面向量平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算讲义
学习目标核心素养（教师独具）１．掌握向量的坐标表示．（重点）２．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．（重点）３．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．（易混点）通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝x i＋y j.我们把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝（x，y）．思考１：如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是３0°，且|a|＝４，以向量i，j为基底，如何表示向量a？[提示] a＝２错误!i＋２j.思考２：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A（１,１），则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝（１,１），则向量a的位置确定了吗？[提示] 对于A点，若给定坐标为A（１,１），则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝（１,１），此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．二、平面向量的坐标运算１．已知向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２）和实数λ，那么a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２），a—b ＝（x１—x２，y１—y２），λa＝（λx１，λy１）．２．已知A（x１，y１），B（x２，y２），O为坐标原点，则错误!＝错误!—错误!＝（x２，y２）—（x，y１）＝（x２—x１，y２—y１），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．１思考３：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a＝x１i＋y１j，b＝x２i＋y２j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a—b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？[提示] a＋b＝（x１＋x２）i＋（y１＋y２）j，a—b＝（x１—x２）i＋（y１—y２）j，λa＝λx１i＋λy１j.１．思考辨析（１）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．（）（２）向量的坐标就是向量终点的坐标．（）（３）设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a±b＝（x１±x２，y１±y２）．（）[答案] （１）×（２）×（３）√２．若A（２，—１），B（—１,３），则错误!的坐标是（）Ａ．（１,２）Ｂ．（—１，—２）Ｃ．（—３,４）Ｄ．（３，—４）[答案] C３．若a＝（—１,２），b＝（３,４），则a＋b＝________；a—b＝________；３a＝________；—５b ＝________.（２,6）（—４，—２）（—３,6）（—１５，—２0）[a＋b＝（２,6），a—b＝（—４，—２），３a＝（—３,6），—５b＝（—１５，—２0）．]平面向量的坐标表示【例１】在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝４，|b|＝３，且∠AOx＝４５°，∠OAB＝１0５°，分别求向量a，b的坐标．思路点拨：借助三角函数的定义求a，b的坐标．[解] 设a＝（a１，a２），b＝（b１，b２），由于向量a相对于x轴正方向的转角为４５°，所以a１＝|a|cos ４５°＝４×错误!＝２错误!，a２＝|a|sin ４５°＝４×错误!＝２错误!.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为１２0°，所以b１＝|b|cos １２0°＝３×错误!＝—错误!，b２＝|b|sin １２0°＝３×错误!＝错误!.故a＝（２错误!，２错误!），b＝错误!.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.１．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝２，|b|＝３，|c|＝４，分别求它们的坐标．[解] 设a＝（a１，a２），b＝（b１，b２），c＝（c１，c２），则a１＝|a|cos ４５°＝２×错误!＝错误!，a２＝|a|sin ４５°＝２×错误!＝错误!；b１＝|b|cos １２0°＝３×错误!＝—错误!，b２＝|b|sin １２0°＝３×错误!＝错误!；c１＝|c|cos（—３0°）＝４×错误!＝２错误!，c２＝|c|sin（—３0°）＝４×错误!＝—２．因此a＝（错误!，错误!），b＝错误!，c＝（２错误!，—２）．平面向量的坐标运算【例２】已知平面上三个点A（４,6），B（7,５），C（１，8），求错误!，错误!，错误!＋错误!，２错误!＋错误!错误!.思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解．[解] ∵A（４,6），B（7,５），C（１,8），∴错误!＝（３，—１），错误!＝（—３,２），错误!＋错误!＝（0,１），２错误!＋错误!错误!＝（6，—２）＋错误!＝错误!.平面向量坐标的线性运算的方法：１若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.２若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.３向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.２．已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），且错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，求M，N的坐标和错误!的坐标．[解] 因为A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），所以错误!＝（１,8），错误!＝（6,３）．设M（x，y），则错误!＝（x＋３，y＋４）．由错误!＝３错误!得（x＋３，y＋４）＝３（１,8），即错误!解得错误!即M（0,２0）．同理可得N（9,２），所以错误!＝（9，—１8）．向量的坐标与点的坐标[探究问题]１．点的坐标与向量的坐标有何区别？提示：（１）向量a＝（x，y）中间用等号连结，而点的坐标A（x，y）中间没有等号．（２）平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．（３）在平面直角坐标系中，符号（x，y）可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点（x，y）或向量（x，y）．２．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？提示：不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．【例３】已知点O（0,0），A（１,２），B（４,５）及错误!＝错误!＋t错误!，试问：（１）当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？（２）四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由．思路点拨：（１）由已知点的坐标表示出向量错误!，错误!的坐标，从而知道错误!的坐标，即点P的坐标，然后分类讨论即可．（２）若四边形OABP为平行四边形，则错误!＝错误!.[解] （１）错误!＝（３,３），错误!＝错误!＋t错误!＝（１＋３t,２＋３t），则P（１＋３t,２＋３t）．若P在x轴上，则２＋３t＝0，所以t＝—错误!；若P在y轴上，则１＋３t＝0，所以t＝—错误!.（２）因为错误!＝（１,２），错误!＝（３—３t,３—３t），若OABP是平行四边形，则错误!＝错误!，所以错误!此方程组无解；故四边形OABP不可能是平行四边形．１．（变条件）若P在第三象限，求t的取值范围．[解] 由本例解知，若P在第三象限，则错误!解得t<—错误!，所以t的取值范围为错误!.２．（变条件）t为何值时，P在函数y＝—x的图象上？[解] 由P点坐标（１＋３t,２＋３t）在y＝—x上，得２＋３t＝—１—３t，解得t＝—错误!.即t＝—错误!时，P在y＝—x的图象上．已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.教师独具１．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算．２．本节课要重点掌握以下问题（１）向量的坐标表示．（２）向量的坐标运算.１．下列说法正确的是（）１向量的坐标即此向量终点的坐标；２位置不同的向量其坐标可能相同；３一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；４相等的向量坐标一定相同．Ａ．１３Ｂ．２４Ｃ．１４Ｄ．２３B[向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是２４．]２．若a＝（２,１），b＝（１,0），则３a＋２b的坐标是________．（8,３）[３a＋２b＝３（２,１）＋２（１,0）＝（6,３）＋（２,0）＝（8,３）．]３．已知向量错误!＝（３，—２），错误!＝（—５，—１），则向量错误!错误!的坐标是________．错误![∵错误!＝错误!—错误!＝（—５，—１）—（３，—２）＝（—8,１），∴错误!错误!＝错误!.]４．已知点A（—１,２），B（２,8）及错误!＝错误!错误!，错误!＝—错误!错误!，求点C，D及错误!的坐标．[解] 设C（x１，y１），D（x２，y２），由题意可得错误!＝（x１＋１，y１—２），错误!＝（３,6），错误!＝（—１—x２,２—y２），错误!＝（—３，—6）．∵错误!＝错误!错误!，错误!＝—错误!错误!，∴（x１＋１，y１—２）＝错误!（３,6）＝（１,２），（—１—x２,２—y２）＝—错误!（—３，—6）＝（１,２），则有错误!和错误!解得错误!和错误!∴C，D的坐标分别为（0,４）和（—２,0）．因此错误!＝（—２，—４）．。
高中数学必修四(苏教版)2.3《向量的坐标表示》ppt课件
向量的坐标运算
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)
那若每么两个起个向点向量不量都在相有原等唯点则一的这的向两坐量个标的向.坐量标的是
什对么应呢坐？标每也个相向等量;反有之几对个应坐坐标标呢?
相等的两个向量一定是相等向量. j
O
a
X
每个向量都有唯一的坐标. i
如果a (x1, y1),b (x2, y2 ),
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处,其终点 的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标， 记a=（x，y）。
yA a
a
ox
归纳总结
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向
相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
那么a b x1 x2 ,且y1 y2
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB 的坐标.
从向量运算的角度
AB OB OA
平面向量的坐标运算2 高中数学 必修四 苏教版 Word版
2.3.2 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．预习交流1如何理解向量的坐标表示？ 提示：(1)向量用坐标表示，为表示向量a 提供了另一种方法，使向量a 与有序实数对(x ，y )建立了一一对应关系；(2)向量用坐标表示，为向量运算数量化、代数化奠定了基础；(3)点的坐标与向量坐标的关系．点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点的坐标都有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等；(4)符号(x ，y )在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P (x ，y )或者向量a ＝(x ，y )，注意前者没有等号，后者有等号．2．平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2向量的坐标是其终点的坐标吗？提示：不一定．若OP →是以原点为始点，P 点为终点的向量，其坐标为点P 的坐标；由于向量具有平移性，当AB →的起点不是原点时，其坐标不是终点B 的坐标．3．向量平行的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .预习交流3如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．预习交流4(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(x ，－1)，且a ∥b ，则x ＝__________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为__________．提示：(1)13(2)⎝⎛⎭⎫2，72一、向量的坐标表示在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．思路分析：利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2，b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332，c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23，c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为__________．答案：(10，－5)解析：由速度向量v ＝(4，－3)可知点P 的运动方向，每秒移动的距离为42＋(－3)2＝5个单位，如图所示，结合图象易知P (10，－5)．2．已知向量a 与x 轴的正方向成60°角，且|a |＝2，求a 的坐标．解：设OP →＝a ，坐标为(x ，y )． 如图，若a 在第一象限，则∠POP ′＝60°，|OP →|＝2，∴x ＝|OP →|cos 60°＝2×12＝1，y ＝2sin 60°＝2×32＝ 3.∴P (1，3)，a 的坐标为(1，3)． 若a 在第四象限，则x ＝2cos(－60°)＝2×12＝1，y ＝2sin(－60°)＝－32×2＝－3，∴P (1，－3)．∴a ＝(1，－3)． 综上，a ＝(1，－3)或a ＝(1，3)．(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 惟一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)将平面图形放置在直角坐标系中，必须说明“以点×为坐标原点，以××所在的直线为x 轴，建立直角坐标系”，当坐标系建立的方法不同时，各点坐标也有所不同，但不影响最终结论的成立．二、平面向量的坐标运算(1)设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，3a,2a ＋3b 的坐标；(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →；BC →－2AB →.思路分析：题目(1)中分别给出了两向量的坐标，欲求a ，b 的和，差或数乘向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．题目(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．解：(1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)． (2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)．∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝⎝⎛⎭⎫5，292； BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝__________.答案：(－1,2)解析：12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)．(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 三、向量共线的坐标运算已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值．思路分析：先利用向量的线性运算求a ＋b,4b －2a ，然后利用向量共线时的坐标关系或利用向量共线定理a ＋b ＝λ(4b －2a )求解．解：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为__________．答案：12解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以，u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， 又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.2．O 是坐标原点，OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．解：依题意，得AB →＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)，BC →＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)，A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线，所以(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或k ＝11． 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________. 答案：(7,3)2．已知A (－5，－1)，B (3，－2)，则－12AB →的坐标为__________．答案：⎝⎛⎭⎫－4，123．已知A (3，－1)，则OA →所在直线与x 轴所夹的锐角为__________． 答案：30° 解析：易知点A 在第四象限，作AH ⊥x 轴于H 点，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO ＝3，∴tan ∠HOA ＝33.∴∠HOA ＝30°，即为所求．4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝__________. 答案：5解析：a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.5．如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．解：(方法一)由题意知，AB →＝(1，－2)，BC →＝(1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线， ∴坐标满足x 1y 2－x 2y 1＝1×m －(－2)×1＝0. ∴m ＝－2.(方法二)∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线，∴存在实数λ使得AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋m j )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2. ∴m ＝－2，即当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．。
苏教版高一数学必修四第二章平面向量的线性运算和坐标表示复习讲义
高一数学平面向量的线性运算与坐标表示知 识 梳 理一、向量相关概念1．向量的概念：既有大小又有方向的量，常用有向线段来表示；2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(AB u u u r的单位向量是||AB AB u u u r u u u r )；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．共线向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥。
规定：零向量和任何向量平行。
二、平面向量的基本定理：如果1e u r 和2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 。
三、向量的表示方法1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3． 坐标表示法：a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
四、实数与向量的积a a λλ=r r 000;0a a a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩r rr r r r 当时，与的方向相同;当时，当时，与的方向相同。
五、 向量的运算1． 几何运算：平行四边形法则与三角形法则；2． 坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r则：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±；()()1111,,a x y x y λλλλ==r。
若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r3. 向量共线：//a b a b λ⇔=r r r r22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0。
苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第6课时 2.3.2向量的坐标表示(1)
第6课时 §2.3.2 向量的坐标表示（1）【教学目标】一、知识与技能掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算二、过程与方法从数的层面通过坐标来对向量进行考察，体现数学的简捷三、情感、态度与价值观数形结合让学生在学习本块知识的同时感受到数学的美，增强数学学习的兴趣【教学重点难点】坐标的运算、坐标的意义一、复习平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+；二、创设情景：问题1 平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对（它的坐标）惟一表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，是否都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示？问题2 若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量？若向量不以原点为起点呢？三、讲解新课：1．向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+，（,xy R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =． 其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标也相同； （3）(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=；（4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
问题3 ()()a b a b a y x b y x a λ，，，你能得出，，，已知-+==2211的坐标吗？2.由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：(1)两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，(3)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
y x O (,)A x y ji a3．向量的坐标计算公式：已知向量AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求AB 的坐标．2211(,)(,)AB OB OA x y x y =-=-2121(,)x x y y =--． 归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；（2）两个向量相等的等价条件是这二个向量的坐标相等。
苏教版必修4高中数学2.3.2《平面向量的坐标运算(一)》ppt课件1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
4
得到b 向量 （，则2 ，3 2 ）的坐标为（
）.
22
课堂总结
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系， 它使得向量具有代数意标就是向量的坐标. 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会
为我们研究问题带来方便。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/27
最新中小学教学课件
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第二章 平面 向量
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1．理解平面向量的正交分解 2. 学会平面向量的坐标表示
自学导引
苏教版学高中数学必修四平面向量平面向量的坐标运算向量平行的坐标表示讲义
学习目标核心素养（教师独具）１．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（重点）２．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．（重点）３．掌握三点共线的判断方法．（难点）通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.向量平行的坐标表示设向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２）（a≠0），如果a∥b，那么x１y２—x２y１＝0；反过来，如果x１y２—x２y１＝0，那么a∥b.思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[提示] 坐标不为0时成正比例．１．下列各组向量中，共线的是（）Ａ．a＝（—２,３），b＝（４,6）Ｂ．a＝（２,３），b＝（３,２）Ｃ．a＝（１，—２），b＝（7,１４）Ｄ．a＝（—３,２），b＝（6，—４）D[∵在D中，b＝（6，—４），a＝（—３,２），∴b＝—２（—３,２）＝—２a，∴a与b共线．]２．若a＝（２,３），b＝（x,6），且a∥b，则x＝________.４[∵a∥b，∴２×6—３x＝0，即x＝４．]３．已知四点A（—２，—３），B（２,１），C（１,４），D（—7，—４），则错误!与错误!的关系是________．（填“共线”或“不共线”）共线[错误!＝（２,１）—（—２，—３）＝（４,４），错误!＝（—7，—４）—（１,４）＝（—8，—8），因为４×（—8）—４×（—8）＝0，所以错误!∥错误!，即错误!与错误!共线．]向量平行的判定【例１】已知A（２,１），B（0,４），C（１,３），D（５，—３），判断错误!与错误!是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出错误!和错误!，然后利用两向量平行的条件判断．[解] ∵A（２,１），B（0,４），C（１,３），D（５，—３），∴错误!＝（0,４）—（２,１）＝（—２,３），错误!＝（５，—３）—（１,３）＝（４，—6）．∵（—２）×（—6）—３×４＝0，且（—２）×４＜0，∴错误!与错误!平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断.提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.１．已知A，B，C三点坐标分别为（—１,0），（３，—１），（１,２），并且错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，求证：错误!∥错误! .[证明] 设点E，F的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２）．依题意有，错误!＝（２,２），错误!＝（—２,３），错误!＝（４，—１）．∵错误!＝错误!错误!，∴（x１＋１，y１）＝错误!（２,２），∴点E的坐标为错误!，同理点F的坐标为错误!，∴错误!＝错误!.又错误!×（—１）—４×错误!＝0，∴错误!∥错误!.利用向量共线求参数的值【例２】已知a＝（１,２），b＝（—３,２），当k为何值时，k a＋b与a—３b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．[解] 法一：k a＋b＝k（１,２）＋（—３,２）＝（k—３,２k＋２），a—３b＝（１,２）—３（—３,２）＝（１0，—４），当k a＋b与a—３b平行时，存在唯一实数λ，使k a＋b＝λ（a—３b）．即（k—３,２k＋２）＝λ（１0，—４），所以错误!解得k＝λ＝—错误!.当k＝—错误!时，k a＋b与a—３b平行，这时k a＋b＝—错误!a＋b＝—错误!（a—３b），因为λ＝—错误!<0，所以k a＋b与a—３b反向．法二：由题知k a＋b＝（k—３,２k＋２），a—３b＝（１0，—４）．因为k a＋b与a—３b平行，所以（k—３）×（—４）—１0（２k＋２）＝0，解得k＝—错误!.这时k a＋b＝错误!＝—错误!（a—３b）．所以当k＝—错误!时，k a＋b与a—３b平行，并且反向．１．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x１y２—x２y１＝0直接求解．２．利用x１y２—x２y１＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．２．已知向量a＝（１,１），b＝（２，x），若a＋b与４b—２a平行，求实数x的值．[解] 因为a＝（１,１），b＝（２，x），所以a＋b＝（３，x＋１），４b—２a＝（6,４x—２），由a＋b与４b—２a平行，得6（x＋１）—３（４x—２）＝0，解得x＝２．共线向量与定比分点公式[探究问题]１．若点P（x，y）是线段P１P２的中点，且P１（x１，y１），P２（x２，y２），试用P１，P２的坐标表示点P的坐标．提示：P错误!，因为错误!＝错误!错误!，所以（x—x１，y—y１）＝错误!（x２—x１，y２—y１），∴x＝错误!，y＝错误!.２．若错误!＝λ错误!，则点P的坐标如何表示？提示：P错误!，推导方法类同于探究问题１．已知两点A（３，—４），B（—9,２）在直线AB上，求一点P使|错误!|＝错误!|错误!|.思路点拨：分“错误!＝±错误!错误!”两类分别求点P的坐标．[解] 设点P的坐标为（x，y），１若点P在线段AB上，则错误!＝错误!错误!，∴（x—３，y＋４）＝错误!（—9—x,２—y），解得x＝—１，y＝—２，∴P（—１，—２）．２若点P在线段BA的延长线上，则错误!＝—错误!错误!，∴（x—３，y＋４）＝—错误!（—9—x２—y），解得x＝7，y＝—6，∴P（7，—6）．综上可得点P的坐标为（—１，—２）或（7，—6）．１．（变结论）本例条件不变，给出点P（k,１２），当k为何值时，P，A，B三点共线．[解] 错误!＝（k—３,１6），错误!＝（—１２,6），当P，A，B共线时，存在唯一实数λ，使错误!＝λ错误!，即（k—３,１6）＝λ（—１２,6），∴错误!解得k＝—２9．２．（变条件）若P在线段AB的延长线上，求点P，使错误!＝错误!错误!.[解] 设点P的坐标为（x，y），错误!＝（—１２,6），错误!＝（x—３，y＋４），由错误!＝错误!错误!得错误!解得错误!∴点P的坐标为（—３３,１４）．１．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．２．本例也可以直接套用定比分点公式求解．提醒：注意方程思想的应用．教师独具１．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示．２．要正确理解向量平行的条件（１）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．（２）a∥b⇔a１b２—a２b１＝0，其中a＝（a１，b１），b＝（a２，b２）．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．（３）a∥b⇔错误!＝错误!，其中a＝（a１，b１），b＝（a２，b２）且b１≠0，b２≠0．即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．１．下列说法不正确的是（）Ａ．存在向量a与任何向量都是平行向量Ｂ．如果向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），且a∥b，则错误!＝错误!Ｃ．如果向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），且a∥b，则x１y２—x２y１＝0Ｄ．如果向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），且错误!＝错误!，则a∥bB[A当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B不正确，当y１＝0或y２＝0时，显然不能用错误!＝错误!来表示；C、D正确．]２．已知a＝（—１,２），b＝（２，y），若a∥b，则y＝________.—４[∵a∥b，∴错误!＝错误!，∴y＝—４．]３．若P１（１,２），P（３,２），且错误!＝２错误!，则P２的坐标为________．（４,２）[设P２（x，y），则错误!＝（２,0），错误!＝（x—３，y—２），２错误!＝（２x—6,２y—４）．由错误!＝２错误!可得错误!解得错误!]４．给定两个向量a＝（１,２），b＝（λ，１），若a＋２b与２a—２b共线，求λ的值．[解] ∵a＋２b＝（１,２）＋２（λ，１）＝（１＋２λ，４），２a—２b＝２（１,２）—２（λ，１）＝（２—２λ，２），又a＋２b与２a—２b共线，∴２（１＋２λ）—４（２—２λ）＝0，∴λ＝错误!.。
苏教版高中数学必修四新课程第八课时平面向量的坐标运算二教案
第八课时 平面向量的坐标运算（二）教学目标：掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.教学重点：平面向量的坐标运算.教学难点：平面向量的坐标运算.教学过程：Ⅰ.复习回顾平面向量的坐标运算法则.Ⅱ.讲授新课［例1］已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，那么AB →与AC →是否共线?线段AB 与线段AC 是否共线?解：∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0，∴AB →∥AC →，∴AB →与AC →共线.又直线AB 与直线AC 显然有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线，即线段AB 与线段AC 共线.综上，AB →与AC →共线，线段AB 与线段AC 也共线.［例2］已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D 的坐标. 对此题，课本是利用向量相等(即AB →＝DC →)来求解的，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法.解法一：(利用向量加法)先依题意在坐标系内作出ABCD (如图)，设顶点D 的坐标为(x ，y )，并连结OA 、OD ，则OD →＝OA →＋AD →.∵AD →＝BC →，∴OD →＝OA →＋BC →∴(x ，y )＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3)＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2)∴顶点D 的坐标为(2，2).解法二：(利用向量减法)先依题意在坐标系内作出ABCD (如图)，设顶点D 的坐标为(x ，y )，并连结OA 、OD ，则OD →＝AD →－AO →∵AD →＝BC →，∴OD →＝BC →－AO →，∴(x ，y )＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)∴顶点D 的坐标为(2，2).解法三：(利用中点的向量表达式)如图，在ABCD 中，AC 的中点M 即是BD 的中点.∵OM →＝12 (OA →＋OC →)＝12(OB →＋OD →)， OA →＋OC →＝OB →＋OD →，OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2).∴顶点D 的坐标为(2，2).解法四：(利用中点坐标公式)如图，在ABCD 中，AC 的中点即为BD 的中点，设点D 的坐标为(x ，y )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=-2412323221y x . 解得x ＝2，y ＝2. ∴顶点D 的坐标为(2，2).解法五：(利用平面内两点间的距离公式)如图，设点D 的坐标为(x ，y ).在ABCD 中，｜AB →｜＝｜DC →｜，｜BC →｜＝｜AD →｜，有⎪⎩⎪⎨⎧-++=-++-+-=-++-22222222)1()2()34()13()4()3()13()21(y x y x 解得⎩⎨⎧==22y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==17691713y x . 经检验⎩⎨⎧==22y x 是方程组的解.∴顶点D 的坐标为(2，2).解法六：(利用平行四边形对边的向量相等)如上图，设顶点D 的坐标为(x ，y )，在ABCD 中，AD → ＝BC →，AD → ＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(4，1)，(x ＋2，y －1)＝(4，1)，即⎩⎨⎧=-=+1142y x ， 解得x ＝2，y ＝2，∴顶点D 的坐标为(2，2).［例3］在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，设点M 分AB →所成的比为2∶1，点N 分OA →所成的比为3∶1，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA →＋23 (OB →－OA →)＝13 OA →＋23OB → ＝13 a ＋23b ∵OP →与OM →共线，设OP →＝t 3 a ＋2t 3b ①又∵NP →与NB →共线，设NP →＝sNB →，∴OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →＝ON →＋s (OB →－ON →)＝(1－s ) ON →＋sOB →＝34(1－s ) OA →＋sOB → ＝34 (1－s )a ＋s b ② 由①②知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-32,3)1(43ts t s ∴t ＝910 ，OP →＝310 a ＋35 b ［例4］向量b ＝(－3，1)，c ＝(2，1)，若向量a 与c 共线，求｜b ＋a ｜的最小值. 解：设a ＝λc ＝(2λ，λ)，则b ＋a ＝(－3＋2λ，1＋λ)，∴｜b ＋a ｜＝22)1()32(++-λλ＝101052+-λλ＝5)1(52+-λ≥5∴｜b ＋a ｜的最小值为5，此时a ＝c .［例5］已知b 的方向与a ＝(－3，4)的方向相同，且｜b ｜＝15，求b .解：设a 的单位向量为e ，则e ＝||a a ＝(－35 ，45 ); ∵b 与a 方向相同 ∴b ＝｜b ｜·e ＝15·(－35 ，45)＝(－9，12)∴b ＝(－9，12).Ⅲ.课堂练习课本P 76练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业课本P 77习题 5，6，7，8平面向量的坐标运算1．已知a ＝（－1，3），b ＝（x ，1），且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.3B. 13C.－3D.－132．已知A （x ，2），B （5，y －2)，若AB →＝（4，6），则x 、y 的值为 （ ）A.x ＝－1，y ＝0B.x ＝1，y ＝10C.x ＝1，y ＝－10D.x ＝－1，y ＝－103．已知M （3，－2），N （－5，－1），MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 （ ） A.（－8，1） B.（－1，－32 ） C.（1，32 ） D.（8，－1）4．若a －12b ＝（1，2），a ＋b ＝(4，－10），则a 等于 （ ） A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2）5．若向量a ＝（－1，x )，b ＝(－x ，2）共线且方向相同，则x ＝ .6．已知向量OA →＝（k ，12），OB →＝（4，5），OC →＝（10，k ）若A 、B 、C 三点共线，则k ＝ .7．已知|a |＝2 3 ，b ＝(－1， 3 ），且a ∥b ，则a ＝ .8．已知作用于坐标原点的三个力F 1（3，4），F 2（2，－5），F 3（3，1），求作用于原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标.9．设A 、B 、C 、D 四点坐标分别为（－1，0），（0，2），（2，32 ），（32 ，12），求证：ABCD 为梯形.10．已知A （2，3），B （－1，5），满足AC →＝13 AB →，AD →＝3AB →，AE →＝－14AB →，求C 、D 、E 三点坐标.平面向量的坐标运算答案1．D 2．B 3．B 4．D 5． 2 6．11或－2 7．（－ 3 ，3）或（ 3 ，－3）8．解：由F 1＋F 2＋F 3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0）9．证明：∵AB →＝（1，2），DC →＝（12 ，1）＝12AB → ∴DC →∥AB →，且|AB →|＝2|DC →|∴四边形A BC D 为梯形.10．解：由A （2，3），B （－1，5）得AB →＝（－3，2）∴AC →＝13 AB →＝（－1，23 ） ∴C （1，113） AD →＝3AB →＝（－9，6） ∴D （－7，9）又∵AE →＝－14 AB →＝（34 ，－12 ） ∴E （114 ，52）。
高中数学第2章平面向量2.3-2.3.2平面向量的坐标运算课件苏教版必修4
题型 1 平面向量的坐标表示
[典例 1] 如图所示，已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角． 求点 B、点 D、A→B与A→D的坐标．
一、平面向量的坐标表示
对于向量 a，当它的起点移至原点 O 时，其终点的坐 标(x，y)称为向量 a 的(直角)坐标，记作 a＝(x，y)．
若分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，则 a＝xi＋yj.
对平面向量的坐标表示的理解： (1)向量 a 与有序实数对(x，y)一一对应．
(2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、 终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如右 图所示，A→1B1是表示 a 的有向线段， A1，B1 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则向量 a 的坐标为 x＝x2－x1，y＝y2－y1， 即 a 的坐标为(x2－x1，y2－y1)．
第2章 平面向量
1．平面向量的坐标表示． (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底． (2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实 数 x，y，使得 a＝xj＋y i，则有序实数对(x，y)叫作向量 a 的坐标．记作 a＝(x，y)．
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课时小结: 课时小结:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则 减法法则.
a + b=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) a - b=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2) 3 实数与向量积的运算法则 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y )
O
x
复习回顾
平面向量基本定理的内容是什么？ 平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理: 平面向量基本定理 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线 的向量， 的向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得 a= λ1 e1+ λ2 e2 向量的基底: 向量的基底 不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平 面内所有向量的一组基底. 面内所有向量的一组基底
向量的坐标运算
a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) 则：+ b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) a a − b = ( x1 − x2 , y1 − y2 )
λ a = (λx1 , λy1 )
r r 练习，已知 = (2,1), b = (−3,4), a r rr r r r 求a + b, a − b,3a + 4b 的坐标。
说明： 说明：一个向量的坐标等于表示该向量的
的坐标． 终点的坐标减去起点的坐标．
则向量AB = x2 − x1，y2 − y1） （
3）， 例2、如图，已知A（− 1， B（ ， 3），C（4， 1− 1 ），D（3， 4）， Y → → 求向量 OA， ， OB → → AO， 的坐标。 CD A
y
P a x
o
向量的坐标表示
3
4
r yj
j
-2
2
P（x，y）
1
2
O i
-1 -2
r xi
4
6
uuu r r r OP = xi + y j = ( x, y )
uuu r 向量 OP
一一对应
P（x ，y） （ ）
-3
探索2: 探索
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示 的向量如何用坐标来表示? 原点 的向量如何用坐标来表示
e2 e1
a
e2
a e1
e2
a e1
思考： 思考：
既然向量是既有大小又有方向的量， 既然向量是既有大小又有方向的量， 那如何刻画向量a的相对位置呢 的相对位置呢？ 那如何刻画向量 的相对位置呢？
y
o
x
探索1: 探索
以坐标原点O为起点， 为终点 以坐标原点 为起点，P为终点 为起点 的向量能否用坐标表示？ 的向量能否用坐标表示？如何 表示？ 表示？
称其为向量的坐标形式 称其为向量的坐标形式. 向量的坐标形式 (0,0)
2、单位向量 i =（1，0）， =（0，1） 0= 、 （ ， ）， （ ， ） ），j
平面向量可以用坐标表示， 平面向量可以用坐标表示，向量 探索3： 探索 ：
的运算可以用坐标来运算吗？ 的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ 如何计算？ （1）已知 =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， ）已知a 求a + b , a – b . （2）已知 =(x1 , y1)和实数 λ ， ）已知a 和实数 求λ a的坐标 . 的坐标
r r 解：+ b = (2,1) + (−3,4) = −15 a （ ， ） r r a − b = (2,1) − (−3,4) = 5 − 3 （， ） r r 3a + 4b = 3(2,1) + 4(−3,4) = − 619 （ ，）
b 例1、如图，用基底 i , j 分别表示向量 a 、 , 并 求出它们的坐标。
-3 -4
你能发现向量a的坐标 与它起点坐标和终点坐标 间有什么联系吗？
y y2 A x2-x1 B y2-y1
AB = OB − OA = ( x2 , y2 ) − ( x1 , y1 )
x
→
→
→
y1
0
x1
x2
= ( x2 − x1 , y2 − y1 )
一个重要结论：
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
4 向量坐标 向量坐标.
则
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
r b
y 5 4 3 2
r1 j -4 -3 -2 -1 0 r 1 -1 i -2
A2
→ →
→ →
r a
A1
A
解：由图可知 r uuur uuuu r a = AA1 + AA2 r r = 2i + 3 j
r ∴ a = (2,3)
同理
2
3 4 x
r r r b = −2i + 3 j = (−2,3)
yA a a x o
归纳总结
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向 作为基底， 相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量 ， 作为基底 任作一向量a， 由平面向量基本定理知， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1、 a=x i+y j =( x , y)
y a o x
探索2: 探索
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示 的向量如何用坐标来表示? 原点 的向量如何用坐标来表示
解决方案:
可通过向量的平移， 可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处 其终点 标的原点 处,其终点 的坐标（ ， ） 的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标， 的 直角）坐标， 记a=（x，y）。 （ ， ）。
D
四边形OCDA 四边形 是平行四边形？ 是平行四边形？
C O X
B
例3、已知向量 a = ( x + 3, x − 3 x − 4)与 MN 相等，
2
→
→
其中M（ − 1， 3），N（ ， 1 3），求x。
变式训练： 已知P x1 , y1）P2 ( x2 , y2 )，P是直线P P2上一点，且 （ , 1 1 P P = λ PP（λ ≠ −1 ），求点P的坐标。 1 2