复变函数和积分变换学习指导(第五章)

第1节解析函数的孤立奇点一.解析函数的奇点1.概念（1）为是奇点——在不解析，但在的任何一个邻域总有的解析点。

（2）为的孤立奇点——在的某个去心邻域解析,且为的奇点。

如都以为孤立奇点。

（3）为的多值性奇点——即支点，在的某个去心邻域是多值的。

2.关系二.解析函数的孤立奇点1.若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域可以展开成Laurent展式。

2.孤立奇点的三种类型定义设为的孤立奇点，则（1）为可去奇点——在的主要部分为0（即Laurent展式不含负幂项）；（2）为的级极点——的主要部分为有限项；（3）为的本性奇点——在的主要部分有无限多项。

三.可去奇点的特征（判定）定理5.3若为的孤立奇点，则以下条件等价：（1）在点的主要部分为0；（2）（3）在点的某去心邻域有界。

证“”由于且在解析，从而连续，故。

“”由于,故取，则,即得。

“”设，考虑在的主要部分则对成立，故当时，即得。

例1证明为的可去奇点。

证由于为的孤立奇点，在的主要部分为0，故为其可去奇点。

证二由于故为的可去奇点。

四. 级极点的特征1.定理5.4若以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的:(1) 在点的主要部分为；(2) 在点的某去心邻域能表示成，其中在点的邻域解析且；(3) 以为级零点(可去奇点要当作解析点看，只要令。

证“” 在点的某去心邻域、有其中在的邻域上解析，且“”在的某去心邻域中，，其中在解析且，故在点连续，从而存在中的某一个邻域，其上，从而在上解析，故由可去奇点的特征知，为的可去奇点，令，则以为级零点。

“”若以为级零，则在的某个邻域，，其中在上解析,且,于是存在的某个邻域,其上,于是在上解析,故有Taylor展式:故2.定理5.5的孤立奇点为极点证根据定理5.4，以为极点以零点。

例2求的奇点,并确定其类型。

解的奇点为，由于以为一级零点,以为二级零点,故以为一级极点，以为二级极点。

例3求的全部有限奇点。

并确定其类型。

解的全部有限奇点为,由于为的聚点，故为的非孤立奇点。

现考虑为的几级零点。

故为的一级零点，从而为的一级极点。

五.本性奇点的特征1.特征定理5.6的孤立奇点为本性奇点，即不存在。

证由于的孤立奇点为可去奇点为为极点，即得。

例4以为本性奇点。

(取不同的点列,使极限趋于不相同的值。

)2.性质定理5.7若为的孤立奇点,且在的充分小的去心邻域不为0,则也为的本性奇点。

证令则由为的孤立奇点，且在的充分小的可去邻域知为的孤立奇点。

若为的可去奇点，则；若则此时为的极点,与已知矛盾；若,则,此时为的可去奇点,也与已知矛盾。

若为的极点,则,从而，即为的可去奇点，与已知矛盾。

综合知，只能是的本性奇点。

例为的本性奇点，因为不存在。

3.解析函数在本性奇点邻域的特征1.定理5.8（Weierstrass）为的本性奇点对于任何常数，有限或无限，都有一收敛于的点列使证“” 当时,由于为的本性奇点，故一定不是的可去奇点,由定理5.3，在的任何一个去心邻域无界，对任意的都存在则当时,若在的任意小去心邻域都有某一点使,则结论已得。

若的充分小去心邻域,令则在解析。

由于为的本性奇点,也为的本性奇点,由定理5.7,为的本性奇点，类似于中的证明由不是的可去奇点知，存在点列从而“”根据已知条件得不存在，由定理5.6即得。

第2节解析函数在无穷远点的性质一.概念1.定义设函数在无穷远点的（去心）邻域解析,则称为的一个孤立奇点,若是的奇点的聚点，则称为的非孤立奇点。

2.设为孤立奇点,令，则在平面上的原点的去心邻域解析,即为的孤立奇点。

3.设为的孤立奇点，在的去心邻域有则，称为在的Laurent展式，并称为在的主要部分,为在的正则部分。

4.定义若为的可去奇点(解析点)、级极点或本性奇点,则相应地称为的可去奇点(解析点)、级极点或本性奇点。

二.孤立奇点类型的判定1.定理的孤立奇点为可去奇点充要条件以下条件之一：(1) 在的主要部分为0；(2)(3) 在的某去心领域有界。

2.定理的孤立奇点为级极点的充要条件是以下条件之一：(1) 在的主要部分为(2) 在的某去心邻域能表成，其中在的邻域解析，且；(3) 以为级零点（只要令）。

定理的孤立奇点为极点3.定理的孤立奇点为本性奇点的充要条件是以下条件之一成立：(1) 在的主要部分有无穷多项；(2) 不存在。

三.例子1.指出的奇点及类型。

解的奇点为,由于,故为可去奇点。

令，则,，故为的一级零点，从而为的一级极点。

又当时，，故为的非孤立奇点。

2.把在的去心邻域展成Laurent级数。

分析若考虑，在可以展开，但利用公式，展开整理时，比较麻烦。

解附若要求在展开，则3.指出的奇点及类型。

解为的二级极点。

对于，由于,且，故以为三级极点。

的奇点为及故为的可去奇点。

又不存在(理由与不存在的理由相同)，故为的本性奇点。

4.问在的去心邻域能否展成Laurent级数？解奇点为, 。

由于为的聚点，故的的去心邻域不能展成Laurent级数。

5.设在解析，且不恒为零，若有一列异于但却以为聚点的零点，试证必为的本性奇点。

证由于在解析,故为的孤立奇点。

若为的可去奇点，令，则在解析。

又由已知必为的非孤立零点，根据解析函数零点的孤立性，在必恒为零，矛盾。

若为的极点，则，从而，，，故在不可能有零点，与已知为的某一列零点的聚点矛盾。

综上所述，必为的本性奇数。

第2节残数在解析,围线含在的某个邻域并包围为的孤立奇点,围线含在的某去心邻域并包围，则未必为0，如一.概念1.定义设以为孤立奇点，即在的某去心邻域解析，则称积分为在点的残数(residuce)，记为；设为的一个孤立奇点，即在的去心邻域解析，则称为在的残数,记为，这里是指顺时针方向。

2.设在的Laurent展式为且这一展式在上一致收敛，根据逐项积分以及重要例子，有，故,即为在处的Laurent展式中这一项的系数,与半径无关；设在的Laurent展式为且这一展式在上一致收敛，根据逐项积分以及重要例子，有，故即为在处的Laurent展式中这一项的系数的相反数，与半径无关。

二.结论1.Cauchy残数定理定理6.1 在围线或复围线所围区域，除外解析,在闭域上除外连续，则。

证取,作以为心,为半径的圆，使，且,在上,由复围线Cauchy积分定理有，其中。

2.残数和定理定理6.6若在扩充复平面上只有有限个孤立奇点，记为，则在各点的残数总和为零，即。

证以原点为心作圆周，使都含于的部，则由Cauchy残数定理，,于是，从而，即得。

三.残数的求法1.当为可去奇点时，。

2.当为本性奇点或的奇点类型不明朗时,用定义中介绍的一般方法，即。

如3.当为极点时定理6.2设为的级极点，，其中在处解析，，则证设，则故注此法比较适合于级数较低的极点。

推论6.3设为的一级极点，则。

推论6.4设为的二级极点，则。

定理6.5设为的一级极点，在解析，,则。

证4.对于孤立奇点,除了引入残数概念时介绍的一般方法——求外，还可以有如下公式。

证作变换时，积分有相应的换元公式，若，则，因此当取负方向时,取正方向，于是。

5.当为可去奇点时，未必是零，如。

但是若为的至少二级零点时，。

证设为的级零点，则，在的邻域解析，且，例1例2求。

解故例3设，求。

解原式例4求。

解故，于是。

例5求。

解以为一级极点，于是例6 求。

解令，由得方法一由于，且，故为的一级极点，故。

方法二由于的分子分母都是由幂级数定义了的解析函数,且以0代入分子分母,均不为0，故的Laurent展式就是Taylor级数，没有负幂项（可用待定系数的方法表示出来），于是。

从而。

例7求。

解令,则在扩充复平面上共有七个奇点，前六个均在的部，故。

方法一则，于是。

方法二以为一级极点，故作业P261:1、（1）（4）2、（1）（2）3、（1）（3）第3节用残数计算实积分利用残数计算实积分没有普遍适用的方法，这里只考虑几种特殊类型的实积分。

一.型表示的有理函数，在上连续。

令，则，当从0变到时，沿的正方向饶行一周，于是例1 求。

解当时，；当时，令，当时，在，仅以为一级极点，在上无奇点，故由残数定理当时,在仅以为一级极点,在上无奇点，例2求。

解令，则，令，则又，若,则,故当饶一周时,饶二周,在部，仅有为一级极点，故。

例3求。

解为偶函数，故，令，则在部仅有为一级极点，，故，比较实部得，故。

二.型由于，考虑添加辅助曲线与实轴上是区间构成围线，则，其中为落在部的有限个奇点处的残数和，若能估计出的值，再取极限即得。

1.引理6.1设在圆弧充分大)上连续,且在上一致成立(即与中的无关)，则。

证，由于在上一致成立，故，2.定理6.7设为有理分式，其中，为互质多项式,且（1）；（2）在实轴上，则。

证由,,存在,且。

作,与线段一起构成围线,取足够大，使的部包含在上半平面的一切孤立奇点,由在实轴上知,在上没有奇点,由残数定理得，又。

由于当时,，由引理6.1，，于是。

例4求。

解，令，则在上有四个一级极点，由于，故由于在上半平面仅有两个极点，三.型1.引理6.2(Jordan) 设在半圆周充分大)上连续,且在上一致成立，则。

证，由于在上一致成立，故,注Jordan不等式。

由于，故，于是。

2.定理6.8设,其中及为互质多项式,且（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3），则，特别地，分开实、虚部就可以得到与的积分。

证略。

例5求。

解，考虑复函数在上半平面仅有一个一级极点，由定理6.8得比较等式的实、虚部得。