经典高等数学课件D12-3幂级数(1)分解

敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数

发散 , 称x0为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
n 2 x 1 x x 例如 级数 n 0
收敛域为(－1,1);
发散域为 (, 1] [1, ).
注意： 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级 数的收敛问题.
n n0
n0
证毕
则它在满足不等式 x x0 处发散，
x x0 的一切x处发散.
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说明: 如果幂级数 an x n在x x0 0处收敛, 则对于开区间
( x0 , x0 )内任何x都使幂级数 an x n绝对收敛,
如果幂级数 an x n在x x0处发散, 则在开区间 ( , x0 ) ( x0 , )内的任何x都使幂级数 an x n发散.

n0
n
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例1. 求幂级数
的收敛半径及收敛域.
an 1 lim 解: lim n n an
1 n1
1 n
R1
收敛;
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为
故收敛域为 ( 1, 1] .
n a x n (an 0) n0

u ( x) u ( x) u ( x) u ( x)
n 1 n 1 2 n

n 1
x
n 0

n
定义在(, ) 的级数

sin x sin 2 x sin nx 级数 sinnx .
n 1
4
2.收敛点与收敛域: 对 若常数项级数 收敛, 称x0 为其收
n 1 ( 1) u n收敛.
n 1
2
第三节
幂级数
一、函数项级数的概念
第十二章
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
3
一、 函数项级数的概念
1.定义： 设u1 ( x), u2 ( x), u3 ( x), , un ( x), 是定义在区间I上的 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 记为 un ( x ). 即 例如： 级数 1 x x 2
1

n 0
an x n
2) 若 0,则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
.
绝对收敛 , 因此 R ; 3) 若 ,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 因此 R 0 .
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说明: 1)注意定理的条件：
幂级数 an x n 的所有系数 an 0，
复习：常数项级数的审敛法 1.任意项级数的审敛法 (1)定义法： 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
un 0 un 发散. (2) lim n
n 1
n
(3)性质法. (4)利用重要级数.
(5) un 收敛 un收敛.
n 1

n 1
u 发散 u
n 1 n n 1


n
发散
(6) un 发散(比值法或根值法) un发散.
n 1

n 1
1
2.正项级数的审敛法 设 un 和 v n 均为正项级数.


(1)比较法
un kvn (n N ),
0 un l 0 (常数 k > 0 )； lim n v n
6
二、幂级数及其收敛性
形如 1.定义： 的函数项级数称为幂级数, 其中数列
为幂级数的系数 . 下面着重讨论
n 0

称
的情形, 即
an x n
n 2 a x a a x a x n 0 1 2
称为x的幂级数,
例如, 幂级数 x n 即是此种情形.
n 0

n 如果令t x x0 , an ( x x0 )n an t , 即为幂级数的简单形式.
发散域为 (,1] [1,).
1 即 x 1 x n 0
n

1 时，有和函数 1 x
x (1 , 1 )
由此看出:它的收敛域是以原点为中心的对称区间. 这个结论对于一般的幂级数也成立吗？.
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n a x (1)如果级数 n 在 x x0 ( x0 0) 处收敛，
n
证:
an 1 x n 1 an 1 lim lnim x n n an x an
n a x n n0


1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 1 当 x 1 , 即 x 时, 原级数绝对收敛; 1 当 x 1 , 即 x 时, 原级数发散. 因此级数的收敛半径 R
n 0 n 0 n 0


n 0
在原点与收敛点之间不可能有发散点.
几何说明:

绝对收敛
发散
R

o


R

发散
x
因此 , 阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征
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推论:
n a x 如果幂级数 n 不是仅在x=0一点收敛，也不是在 n0

整个数轴上都收敛， 则必有一个完全确定的正数R存
并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 他是椭圆函数
论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开
拓了道路. C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供
数学家们工作150年.
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n a x (1)如果级数 n 在 x x0 ( x0 0) 处收敛，
(2)若 an x n在x 0 发散,当 x x 0 时, an x n发散.
n 0 n 0

n 0
n 0
收敛
发散
发散
x0 o
x0
x0 o
x0
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阿贝尔(1802 – 1829)
挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.
他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 类代数方程, 后人发现这是一类交换群,
x
2 n 1
2
1 2 级数绝对收敛, 当 x 1, 即 x 2 时， 2 R 2
在， 它具有下列性质： 当 x R 时，幂级数绝对收敛； 幂级数发散； 当 x R 时，
当x=R与x=－R时， 幂级数可能收敛也可能发散. 绝对收敛 发散
R
o

R 发散
x
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绝对收敛
发散
R

o

R
发散
x
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
n 当x R a x 称为幂级数的收敛区间 绝对收敛 . (时， R, R ) n n n 0 a x 的收敛半径为R n n [时， R, R), n 0 R,发散 R], [ R (当 R,xR ), R , R] 称为幂级数的收敛域 (a . nx n 0
n 1
n 1
则小的也收敛； 若小的发散， 则大的也发散. 若大的收敛，
un1 1) 当 1时, 收敛 ; (2)比值法 lim n u n
n u (3)根值法 lim n n
2) 当 1 或 时, 发散.
3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法) (i) ｛u n｝单调递减 (u 0) n 1 ( 1) u n n u n 0. n 1 (ii) lim n
n 0


n 0

(2)若 an x n在x 0 发散,当 x x 0 时, an x n发散.
n 0 n 0
绝对收敛
发散
发散
x0 o
x0
x0 o
x0
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证: 设
收敛, 则必有
于是存在
n a x 常数 M > 0, 使 n 0 M (n 1, 2,
)
x x n an x an x0 n an x0 x0 x0
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3.和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数
为级数的和函数 , 并写成
即 s( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
称它
(定义域是?)
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即 则余项
则在收敛域上有
1 如: 1 x x 2 x n1 s( x ) 1 x ( 1 x 1) 1 n n 2 s( x ) ( 1) x 1 x x ( 1 x 1) 1 x n 0
an 1 lim , （或 lim n an ） n n an
则 1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ; 3) 当 ＝∞时, R 0 .
n 0
R
1

an an 1
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说明:据此定理知 an x n 的收敛半径为 R lim
发散 .
an是x 的系数.
20
n
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
an R lim li m n n an 1
1 n!
1 ( n 1)!

所以收敛域为 ( , ) .
(2)
n! an R lim li m n n ( n 1) ! an 1
n 0

n 0
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2.幂级数收敛域的结构：
n 2 显然， a x a a x a x 收敛. 当x = 0 时， n 0 1 2