圆锥曲线综合应用例题选讲

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(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。

专题50圆锥曲线的综合应用问题范围与最值问题ppt课件

第1轮 ·数学
第八章为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
解 (1)设椭圆的半焦距长为c，
则由题设有ac＝ 36， a－c＝ 3－ 2，
解得a＝ 3，c＝ 2，∴b2＝1，故椭圆C的方程为y32＋x2＝1．
第1轮 ·数学
第1轮 ·数学
第八章为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
考向1：建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
(2019·山东滨州检测)已知椭圆C：x2＋2y2＝4． (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．因此a＝2，c＝ 2．
综上所述，O→E·O→F的取值范围是[－8,2].
第1轮 ·数学
第八章为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
自主完成
圆锥曲线中的最值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把不等式、函数、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.
第1轮 ·数学
第八章为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
解析几何
所以
O→E
·O→F
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝

高中生圆锥曲线练习题及讲解

高中生圆锥曲线练习题及讲解圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，通常包括椭圆、双曲线和抛物线。

下面是一些圆锥曲线的练习题以及相应的讲解。

### 练习题1：椭圆的标准方程给定一个椭圆的两个焦点距离为2c，且长轴长度为2a，求椭圆的标准方程。

解答步骤：1. 根据椭圆的性质，我们知道长轴和短轴的关系为 \( a^2 = b^2 +c^2 \)。

2. 题目给出 \( 2c \) 和 \( 2a \)，可以求出 \( c \) 和 \( a \) 的值。

3. 将 \( c \) 和 \( a \) 的值代入上述公式，求出 \( b \) 的值。

4. 最终，椭圆的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)。

### 练习题2：双曲线的渐近线已知双曲线的方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，求其渐近线方程。

解答步骤：1. 双曲线的渐近线方程可以通过 \( \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 0 \) 得到。

2. 将上述方程简化，得到 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。

3. 这就是双曲线的渐近线方程。

### 练习题3：抛物线的焦点和准线给定抛物线的方程 \( y^2 = 4ax \)，求其焦点和准线。

解答步骤：1. 抛物线的焦点位于 \( (a, 0) \)。

2. 准线方程为 \( x = -a \)。

3. 焦点和准线是抛物线的重要特征，可以通过方程直接得出。

### 练习题4：圆锥曲线的参数方程已知椭圆的参数方程为 \( x = a \cos(\theta) \) 和 \( y = b\sin(\theta) \)，求其标准方程。

解答步骤：1. 将参数方程中的 \( \cos(\theta) \) 和 \( \sin(\theta) \) 替换为 \( x/a \) 和 \( y/b \)。

第五节-圆锥曲线的综合问题课件

教材研读栏目索引
5.(2017无锡普通高中高三调研)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与椭圆 + =1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1 ,F2 分别为双曲线C的左,右焦
点,P为右支上任意一点,则的最小值为
.
答案 8
教材研读栏目索引
解析椭圆 + =1的焦点为(±2,0),离心率为 ,则a2+b2=c2=4,c=2,则 = =2,a=1,b= ,又点P在双曲线的右支上,所以|PF1 |-|PF2 |=2,且|PF2 |≥c-a
为 ,且过点P(2,- 1).
(1)求椭圆C的方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),若直线 PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.
考点突破栏目索引
解析 (1)因为椭圆C的离心率为 = ,所以
教材研读栏目索引
2.最值问题
圆锥曲线中的最值问题是高中数学的重要内容,试题把代数、三角和几何等有机结合起来,从而使问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有:(1)利用定义求解;(2)构造基本不等式求解;(3)利用数形结合求解; (4)构造函数求解.
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3.范围问题
求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数,然后去分析、研究问题,转化问题和解决问题. 对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线段的长度与a,b,c,e之间构成函数关系,处理这类问题时常常用到函数思想.
分别为F1 ,F2 ,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,椭圆C的离心率为e.

第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题(定点问题) (精讲)(含答案解析)

第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）(精讲）-2第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）（精讲）题型三：抛物线中的定点问题角度1：抛物线中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）1．已知点()1,M p p -在抛物线()2:20C y px p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ，若12,l l 与抛物线C 的另一个交点分别为,A B ，且有122k k +=，探究：直线AB 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.例题2．（2022·陕西西安·三模（理））2．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()()4,0G t t >到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，点M 在准线l 上的射影为N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)当1NA NB ⋅=时，求证：直线AB 过定点．例题3．（2022·全国·高三专题练习）3．已知线段AB 是抛物线24y x =的弦，且过抛物线焦点F .(1)过点B 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E ，求证：A O E 、、三点共线(O 为坐标原点)；(2)设M 是抛物线准线上一点，过M 作抛物线的切线，切点为11A B 、.求证：（i ）两切线互相垂直；（ii ）直线11A B 过定点，请求出该定点坐标.同类题型归类练（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）4．已知抛物线C ：22y px =（0p >），直线1x =+交抛物线C 于A ，B 两点，且三角形OAB 的面积为O 为坐标原点）.(1)求实数p 的值；(2)过点D （2，0）作直线L 交抛物线C 于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P '.证明：直线P 'Q 经过定点，并求出定点坐标.（2022·湖北武汉·高二期末）5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．（2022·江西景德镇·高二期末（文））6．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且垂直于x 轴的直线交C 于H ，I 两点，O 为坐标原点，OHI 的周长为8．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））7．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点FA 、B 两点（点A 在第一象限），交抛物线准线于G ，且满足83BG =．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C ，D 为抛物线上的动点，且OC OD ⊥，求证直线CD 过定点P ，并求出P 点坐标；(3)在（2）的条件下，求PC PD ⋅的最大值．角度2：抛物线存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））8．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 交C 于M ，N 两点，当l 与x 轴垂直时，4MN =．(1)求C 的方程：(2)在x 轴上是否存在点P ，使得OPM OPN ∠=∠恒成立（O 为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．例题2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））9．已知直线:10l x ky --=与抛物线2:2(0)N y px p =>交于A ，B 两点，当直线l x ⊥轴时，||4AB =.(1)求抛物线N 的标准方程；(2)在x 轴上求一定点C ，使得点(2,0)M p 到直线AC 和BC 的距离相等.例题3．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））10．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于,A B 两点．当直线与x 轴垂直时，||4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．同类题型归类练（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）11．已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =.(1)求抛物线C 的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B ，直线AB 与x 轴相交于N ，试探究x 轴上存在一点是否存在异于N 的定点M 满足AM AN BMBN=恒成立.若存在，请求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.（2022·全国·高三专题练习（理））12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线E 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，11AF y =+．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，连接PA ，PB 分别交抛物线E 于另外两点C ，D ，使得4AB CD =？并说明理由．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）13．已知抛物线2:8C y x =，点()(),00M a a >，直线l 过点M 且与抛物线C 相交于,A B 两点．(1)当a 为变量时，P 为抛物线C 上的一个动点，当线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C 的顶点处，请指出此时M 点运动的轨迹；(2)当a 为定值时，在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足直线,AN BN 关于x 轴对称?若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由.（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）14．已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线E 于A 、B 两点.(1)当直线AB 的斜率为1时，求弦AB 的长度AB ；(2)在x 轴的正半轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB 分别交抛物线E 于另外两点C 、D ，使得//AB CD 且4AB CD =？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.（2022·全国·高考真题（文））15．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．参考答案：1．(1)24y x=(2)直线AB 恒过定点()1,0-【分析】（1）将M 点坐标代入抛物线方程即可构造方程求得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用斜率公式表示出122k k +=，得到124y y =；设:AB x my t =+，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由此可得1t =-，可得:1AB x my =-，由此可得定点坐标.（1）()1,M p p - 在抛物线上，()221p p p ∴=-，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：()1,2M ；设()11,A x y ，()22,B x y ，则11121112241214y y k y x y --===-+-；同理可得：2242k y =+；122k k += ，1244222y y ∴+=++，整理可得：124y y =；当直线AB 斜率为0时，其与抛物线C 只有一个公共点，不合题意；当直线AB 斜率不为0时，设:AB x my t =+，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得：2440y my t --=，则124y y t =-，44t ∴-=，解得：1t =-；:1AB x my ∴=-，则直线AB 过定点()1,0-；综上所述：直线AB 恒过定点()1,0-.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.2．(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义可求解；（2）设直线AB ，并与抛物线联立，运用韦达定理、向量的数量积可求解.【详解】（1）由抛物线C 的方程可得其准线方程2p x =-，依抛物线的性质得452p+=，解得2p =．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）当直线AB 的斜率为0时，显然不符合题意；当直线AB 的斜率不为0时，设直线:(0)AB x my n n =+≠，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭、222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()00,M x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩化简得2440y my n --=，()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，12022y y y m +==，所以()1,2N m -，所以2111,24y NA y m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，2221,24y NB y m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，所以()()222121112244y y NA NB y m y m ⎛⎫⎛⎫⋅=+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222121221212122124164y y y y y y y y m y y m +-=+++-++()22222216814842114m n n n m m n n n +=++--+=-+=-若1NA NB ⋅= ，即()211n -=，解得2n =或0n =（舍去），所以直线AB 过定点()2,0.3．(1)证明见解析(2)证明见解析.【分析】（1）由题知抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，故设直线AB 的方程为：1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，进而得()21,E y -，再结合韦达定理证明OA OE k k =即可；（2）(i)设()01,M y -，过()01,M y -作抛物线的切线，斜率为()0k k ≠，则方程为()01y y k x -=+,切线11,MA MB 的切线斜率分别为12,k k ，进而结合韦达定理即可得121k k =-，进而证明；（ii ）结合（i ）得221121211212,,A k k B k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，进而得1102A B k y =，直线11A B 的方程为2202221y x k y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理即可得()021y x y =-，进而得定点坐标.（1）解：由题知抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为=1x -，所以，设直线AB 的方程为：1x my =+，所以，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-，因为过点B 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E ，所以()21,E y -因为2114y x =，故2114y x =所以112211214444OA y y y y y x y k =====--，221OE k y y ==--，所以，OA OE k k =，即A O E 、、三点共线.（2）解：（i ）设()01,M y -，所以，设过()01,M y -作抛物线的切线，斜率为()0k k ≠，则方程为()01y y k x -=+，所以，()0214y y k x y x⎧-=+⎨=⎩得204440ky y y k -++=，所以，()0164440k y k ∆=-+=，即2010k ky +-=，设切线11,MA MB 的切线斜率分别为12,k k ，则12,k k 为方程2010k ky +-=的实数根，所以121k k =-，120k k y +=-，所以，两切线互相垂直.(ii)由（i ）知204440ky y y k -++=，2010k ky +-=，所以，22204440k y ky ky k -++=，即()2224420k y ky ky -+=-=，所以221121211212,,A k k B k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，所以，1121121222210221122A B k k k k k k y k k k =+==--，所以，直线11A B 的方程为2202221y x k y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得()2022222020200200202222222221y k k y x x x y k y k y y k y y k y --=+-=+=+=-，即()021y x y =-所以，直线11A B 过定点()1,0.4．(1)2p =；(2)证明见解析，定点()2,0-.【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，求出12y y -即得解；（2）设()()3344,,,P x y Q x y ，不妨令43y y >，设直线L 的方程为2x ty =+，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，求出直线P Q '的方程即得解.（1）解：由题得直线1x =+过点()1,0，.设()()1122,,,A x y B x y ，联立21,2,x y px ⎧=+⎪⎨=⎪⎩得220y p --=，所以1212,2y y y y p +==-，所以122y y -=所以三角形OAB的面积12112S y y =⨯⨯-==又0p >，解得2p =（30p =-<舍去）.所以2p =.（2）证明：由（1）抛物线C 的方程为24y x =，设()()3344,,,P x y Q x y ，不妨令43y y >，则()33,P x y '-，设直线L 的方程为2x ty =+，联立22,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2480y ty --=，则34344,8y y t y y +==-，则直线P Q '的方程为()()433343y y y y x x x x +--=--，即()()43434343x x y x y y y x y x -+=+-，则()()()()4343434322ty ty y ty y y y x y ty -++=+-+，即()()()4343433422t y y y y y x ty y y y -=+--+，即()()43433422y y y x ty y y y =+--+，所以()42824y tx t t =-⨯--⨯，即()2y t x =+，令20,0,x y +=⎧⎨=⎩解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩所以直线P Q '恒过定点()2,0-5．(1)24y x=(2)证明见解析，定点110,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；【分析】（1）设圆心(),C x y ，圆的半径为R ，依题意得到方程，整理即可；（2）设200,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，121,4y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y F y ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到直线EF 的方程，同理可得直线DE与直线DF 的方程，再根据直线DE 过点()3,2B --，直线DF 过点()2,1C ，即可消去0y ，从而求出EF 过定点坐标；（1）解：设圆心(),C x y ，圆的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-，整理得24y x =．所以动圆圆心的轨迹方程为24y x =．（2）证明：抛物线的方程为24y x =，设200,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，121,4y E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y F y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线EF 的方程为()1211221244y y y y x x y y --=--，得2111211121212124444x y y y x x x y y y y y y y y y y +-=-+=+++++，又2114y x =，所以直线EF 的方程为1212124y y xy y y y y =+++．同理可得直线DE 的方程为1010104y y xy y y y y =+++，直线DF 的方程为0022024y y xy y y y y =+++因为直线DE 过点()3,2B --，所以()1101222y y y -=+；因为直线DF 过点()2,1C ，所以()22081y y y -=-．消去0y ，得()121210433y y y y =++．代入EF 的方程，得12411033y x y y ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，所以直线EF 恒过一个定点110,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．(1)28y x=(2)直线PQ 过定点()6,0【分析】（1）将2px =代入抛物线22y px =中，得出HI 的长度，再由勾股定理得出OH ，结合条件建立关于p 的方程，得出答案.（2）由题意设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线的方程，由韦达定理得出P 点坐标，同理得出Q 点坐标，从而得出直线PQ 方程，得出答案.（1）由题意,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，在22y px =中代入2p x=，得222p y p =⋅，解得y p =±，所以2HI p =．由勾股定理得|OH OI p ===，则OHI 的周长为2822p p p ++=，解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =．（2）由题意可知()2,0F ，直线AB 的斜率存在，且不为0．设直线AB 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立22,8,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得28160y my --=，264640m ∆=+>，则128y y m +=，从而()21212484x x m y y m +=++=+．因为P 是弦AB 的中点，所以()242,4P m m +，同理可得2442,Q mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．当21m ≠，即1m ≠±时，直线PQ 的斜率2224441422PQm m m k m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，则直线PQ 的方程为()224421my m x m m -=---，即()()216m y m x -=-．故直线PQ 过定点()6,0；当21m =，即1m ≠±时，直线PQ 的方程为6x =，也过点()6,0．综上所述，直线PQ 过定点()6,0．7．(1)24y x=(2)证明见解析；P 点坐标为（4，0）(3)16-【分析】（1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M ，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出||MF 即可得解；（2）设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组，由根与系数的关系求出12y y ，再由OC OD ⊥建立斜率的方程即可得解；（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值.（1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M，如图，由题知，直线l 的倾斜角为π3．∴在R t BGH 中，π3GBH ∠=，又∵83BG =，∴43BH =，∴43BF =．∴4GF BG BF =+=，∴在R t GFM 中，又3MFG π∠=，∴2MF =，∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =．（2）由（1）可知，抛物线方程为24y x =，设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线与抛物线联立：24x my ty x=+⎧⎨=⎩，得：2440y my t --=，则124y y m +=，124y y t =-，∵14OC k y =，24OD k y =且OC OD ⊥，∴12161614OC OD k k y y t ⋅===--则4t =，∴直线CD 过定点（4，0），即P 点坐标为（4，0），（3）由（2）可知P 点坐标为（4，0），∴()2222212121216161616y y PC PD y y y y m ⋅=-+++=-- ，∴PC PD ⋅的最大值为16-．8．(1)22y x =(2)存在，()2,0-【分析】（1）易知||4MN ==，求出p 即可；（2）设()0,0P x ，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知直线l 斜率不为零，设: 2l x m y =+，代入抛物线方程22y x =消去x ，得2240y my --=，由OPM OPN ∠=∠可得0MP NP k k +=，利用斜率公式，根与系数的关系求解即可【详解】（1）当l 与x轴垂直时，由题意易得||MN =，从而4=，解得p ＝1，所以C 的方程为22y x =；（2）设()0,0P x ，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知直线l 斜率不为零，设: 2l x m y =+，代入抛物线方程22y x =消去x ，得2240y my --=，从而122y y m +=，124y y =-，①由OPM OPN ∠=∠可得0MP NP k k +=12121020102022MP NP y y y y k k x x x x my x my x +=+=+--+-+-()()()()1201210202222my y x y y my x my x +-+=+-+-将①代入上式，得()()102042022m mx my x my x --=+-+-恒成立，所以02x =-，因此存在点P ，且满足题意，P 点坐标为()2,0-．9．(1)24y x =(2)(1,0),(1,0),(4,0)-【分析】（1）直线l x ⊥轴时，将1x =代入抛物线方程求得,A B 纵坐标，得出AB ，从而可得p 值，得抛物线方程；（2）设()()(),,,,,0A A B B C A x y B x y C x ，直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得A B y y +，A B y y ，题意即为0AC BC k k +=，代入韦达定理的结论可求得C x ，同时注意,,A B C 共线或C 与M 重合的情形，从而得出结论．（1）当直线l x ⊥轴时，方程为1x =，代入抛物线方程得22y p =，y =，∴||4AB ==，解得2p =.∴抛物线N 的标准方程为24y x =；（2）设()()(),,,,,0A A B B C A x y B x y C x .联立210,4,x ky y x --=⎧⎨=⎩得2440y ky --=.∴4,4A B A B y y k y y +=⋅=-.①由题意可知()()()()0A B C B A C A BAC BC A C B C A C B C y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+==----，∴()()0A B C B A C y x x y x x -+-=，即()B A A B C A B x y x y x y y +=+.∴()()()11B A A B C A B ky y ky y x y y +++=+，即()()2A B A B C A B ky y y y x y y ++=+.∴844C k k kx -+=.∵0k ≠，可知1C x =-.∴点C 的坐标由抛物线的图象可知，还有点(1,0),(4,0)满足题意，故这样的点有3个，坐标分别为(1,0),(1,0),(4,0)-.10．(1)24y x =(2)(1,2)P ±【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，根据题意，令2px =，求出纵坐标的值，再根据AB 4=进行求解即可；（2）设直线AB 的方程,与抛物线方程联立，求出直线PA ，PM ，PB 的斜率表达式，结合等差数列和一元二次方程根与系数关系，得到一个等式，根据等式成立进行求解即可.（1）因为(,0)2pF ，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±，所以当直线与x 轴垂直时24AB p ==，解得2p =，抛物线的方程为24y x =.（2）（2）因为抛物线24y x =的准线方程为=1x -，由题意可知直线AB 的方程为1x y =+，所以(1,2)M --.联立241y x x y ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2440y y --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y +=，124y y =-，若存在定点00(,)P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+，即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--，因为点,,P A B 均在抛物线上，所以222012012,444y y y x x x ===.代入化简可得00122200120122(2)24()y y y yy y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入整理可得002200022444y y y y y ++=++-，即202(4)0y -=，所以2040y -=，解得02y =±，将02y =±代入抛物线方程，可得01x =，于是点(1,2)P ±即为满足题意的定点.11．(1)24y x =(2)存在，()4,0M -【分析】（1）由焦半径公式代入求解p ，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解.（1）Q 在曲线C 上，则202p px =，则02px =，而022pQF x p ==+=，故抛物线C 的方程为24y x =.（2）易知直线AB 的斜率不为0，故设()()()1122:,,,,,,0AB l x ty n A x y B x y M m =+联立：224404x ty ny ty n y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，故12124,4y y t y y n +==-.222121244y y x x n =⋅=，因为OA OB ⊥，则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-=则4n =或0n =（舍），故()4,0N .因为,M N 都在x 轴上，要使得AM AN BMBN=，则x 轴为AMB ∠的角平分线，若1m x =，则AM 垂直于x 轴，x 轴平分AMB ∠，则BM 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为4x =，此时4m n ==，而,M N 相异，故1m x ≠，同理2m x ≠故AM 与BM 的斜率互为相反数，即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+()()1221121212442324444ty y ty y ty y t m y y y y t+++-⇒==+=+=-++为定值.故当()4,0M -时，有AM AN BMBN=恒成立.【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．12．(1)24x y =(2)见解析【分析】（1）根据点A 到点F 的距离等于点A 到直线1y =-，结合抛物线的定义得出抛物线E 的标准方程；（2）设()()330,,,0C x y P x ，由4PA PC = 结合抛物线方程得出12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根，设直线AB 的方程为1y kx =+，并与抛物线方程24x y =联立结合韦达定理得出点P 坐标.（1）因为点F 是抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点，且11AF y =+所以点A 到点F 的距离等于点A 到直线1y =-所以由抛物线的定义可知1,22pp ==所以抛物线E 的标准方程为24x y =（2）设()()330,,,0C x y P x 由4AB CD = 得：//AB CD ，且4AB CD =，得4PA PC= 即()()101303,4,x x y x x y -=-，所以101333,44x x yx y +==代入抛物线方程24x y =，得221011344x x x y +⎛⎫==⎪⎝⎭整理得221010230x x x x --=，同理可得222020230x x x x --=故12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根，20160x ∆=>由韦达定理可得21201202,3x x x x x x +==-①由题意，直线AB 的斜率一定存在，故设直线AB 的方程为1y kx =+与抛物线方程24x y =联立可得2440x kx --=由韦达定理可得12124,4x x k x x +==-②由①②可得033x k ==故在x 轴的正半轴上存在一点,03P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭满足条件.13．(1)M 点的运动轨迹是x 轴的(]0,4部分的线段；(2)存在点(),0N a -，证明见解析.【分析】（1）设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可表示出2MP ，根据线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C 的顶点处可确定对称轴位置，由此可得轨迹；（2）当l 斜率不存在时知x 轴上任意异于点M 的点N 均满足题意；当l 斜率存在时，假设l 方程，与抛物线方程联立后可得韦达定理的形式，代入0AN BN k k +=中整理可得定点；综合两种情况可得结论.（1）设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则224222218644y y a MP a y y a ⎛⎫⎛⎫=-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当线段MP 的长度取最小值时，P 点恰好在抛物线C 的顶点处，即当0y =时，线段MP 的长度取最小值a ；140132a-∴-≤，解得：4a ≤，04a ∴<≤；M ∴点的运动轨迹是x 轴的(]0,4部分的线段.（2）①当直线l 斜率不存在时，对于x 轴上任意异于点M 的点N ，都满足直线,AN BN 关于x 轴对称；②当直线l 斜率存在时，设:l x ty a =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由28x ty a y x=+⎧⎨=⎩得：2880y ty a --=，则，设(),0N n ，直线,AN BN 关于x 轴对称，0AN BN k k ∴+=，()()()()2212121221121212221212121212880y y y y n y y x y n y y x y y y x n x n x x n x x n x x n x x n -++-++∴+===---+--+-，即()()()12121288808y y y y n y y at nt n a t +-+=--=-+=，∴当n a =-时，0AN BN k k +=恒成立，即(),0N a -；综上所述：存在点(),0N a -，对任意的直线l ，都满足直线,AN BN 关于x 轴对称.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程或得到恒成立的式子；④求解定点得到结果.14．(1)8(2)存在，,03P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得到直线AB 的方程10x y -+=，与抛物线2:4E x y =联立，再利用抛物线的定义求解；（2）由//AB CD 且4AB CD =，得到4PA PC =，表示点C 的坐标，代入抛物线方程，整理得到221010230x x x x --=，同理得到222020230x x x x --=，12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根,设直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线2:4E x y =联立,由韦达定理求解.（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()0,0P x ，由题意知，点F 的坐标为()0,1，直线AB 的方程为10x y -+=.与抛物线2:4E x y =联立可得2610y y -+=.由韦达定理有126y y +=，故1228AB y y =++=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()0,0P x .由//AB CD 且4AB CD =，得4PA PC = ，即()()101303,4,x x y x x y -=-.所以10334x x x +=，134y y =.代入抛物线2:4E x y =，得221011344x x x y +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理可得221010230x x x x --=，同理可得222020230x x x x --=，故12,x x 是方程2200230x x x x --=的两根，20120x ∆=>，由韦达定理有1202x x x +=，21203x x x =-，①由题意，直线AB 的斜率一定存在，故设直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线2:4E x y =联立可得2440x kx --=，由韦达定理有124x x k +=，124x x =-，②由①②可得0x =，3k =，故x轴的正半轴上存在一点3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.15．(1)22143y x +=(2)(0,2)-【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M ，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T -，由MT TH = 得到(5,H -.求得HN 方程：(2)23y x =+-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34k x y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。

专题36 圆锥曲线的综合应用(解析版)

第九章解析几何专题36 圆锥曲线的综合应用考点1 轨迹与轨迹方程1. 【2020年高考天津卷7】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D 【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选D ．2. 【2020年高考山东卷9】已知曲线22:1C mx ny += （）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则C C ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐进线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=，此时曲线C圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确．故选：ACD ．3. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．4. 【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.5. 【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =． 6. 【2017年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程．【答案】（1）椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =；（2）330x -=或330x -=．【解析】（1）设F 的坐标为(,0)c -．依题意，12c a =，2pa =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =或2634my m -=+．由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m mB m m -+-++．由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m--+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+，所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD △22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||m =，所以3m =±．所以，直线AP的方程为330x +-=或330x --=．考点2 圆锥曲线中的范围、最值问题1. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A22x m 22x n【解析】试题分析：由题意知，即，，代入222=+m n ，得12,1>>m n e e ．故选A ．2. 【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅰ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅰ）40【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅰ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M m l x y x y λ=+由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩ 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++ 由M 在抛物线上，∴()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++ 22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩ 2211-=+m n 222=+m n 2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n mn12101021202222222y y p x x y m y m p mmx p m λλλλλλ∴+=∴+=+++=+∴=+-+由22221{42,22x y x px y px+=⇒+==即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+18p ≥，21160p ≤，p ≤ ∴p的最大值为40，此时(,55A ．3. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）（）（II ）【解析】：（Ⅰ）因为,,故, 所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以. 由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）. 222150x y x ++-=EA EB +13422=+y x 0≠y )38,12[||||AC AD =AC EB //ADC ACD EBD ∠=∠=∠||||ED EB =||||||||||AD ED EA EB EA =+=+A 16)1(22=++y x 4||=AD 4||||=+EB EA )0,1(-A )0,1(B 2||=AB E 13422=+y x 0≠y（Ⅰ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.由得.则,. 所以. 过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以 .故四边形的面积 . 可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12. 综上,四边形面积的取值范围为.考点3圆锥曲线中的定值、定点、存在性等综合问题 1. 【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 01248)34(2222=-+-+k x k x k 3482221+=+k k x x 341242221+-=k k x x 34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1--=x k y A m 122+k 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ MPNQ 341112||||212++==k PQ MN S l x MPNQ )38,12[l x 1=x 3||=MN 8||=PQ MPNQ MPNQ )38,12[①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -，四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.2. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数19】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB=．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =．【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =．因此曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．3. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3或. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- .整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±. 当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或。

专题13.9 圆锥曲线的综合问题(精讲精析篇)(原卷版)

专题13.9 圆锥曲线的综合问题（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【典例2】（2019年高考北京卷理）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法热门考点02 圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中定值的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．（Ⅰ）求椭圆C的方程；B，设P为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴（Ⅱ）若点(0,1)交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值，并求出该定值．【总结提升】1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略2.两种解题思路①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：其解题流程为：热门考点03 圆锥曲线中的最值与范围问题与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，常用以下方法：1．结合定义利用图形中几何量之间的大小关系．将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值.2．由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；3.不等式(组)求解法：根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围．4．函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．5．利用代数基本不等式：代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思．6．构造一个一元二次方程，利用判别式Δ≥0来求解．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【典例6】（2019年高考全国Ⅱ卷理21）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C 于点G.（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值.（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为()0k k ≠的直线l 与x 轴，椭圆C 顺次交于,,(P Q R P 点在椭圆左顶点的左侧）且121RF F PFQ ∠=∠，求证：直线l 过定点；并求出斜率k 的取值范围. 【总结提升】1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．热门考点04 圆锥曲线中的探索性问题探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法.（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．【例9】（2018届广东省东莞市考前冲刺）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且.（1）求抛物线和椭圆的方程；【总结提升】解析几何中存在性问题的求解方法：1．通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．热门考点05 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题【典例10】（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【典例11】（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【总结提升】直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．热门考点06 轨迹问题求一般的动点的轨迹方程要根据动点满足的条件选择合理的方法(如待定系数法、代入法、参数法等)，在动点满足一个几何表达式时，一般采用直接把动点坐标代入几何表达式，得到关于动点坐标的代数方程，化简整理这个方程的方法求解(直接法)，要注意变换过程的同解性、特殊的点以及动点的变化范围等，使求得的方程恰好是满足几何条件的动点的轨迹方程．【典例13】（2017课标II ，理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

高中数学课件-第一部分专题五第二讲圆锥曲线的综合问题(难点选讲)

题型·综合练
专题•限时训练-17-
类型二
类型三
类型四
类型五
解析：(1)由题意可设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，则ac＝ 23，且a22＋21b2＝1，(2 分) 故 a＝2，b＝1. 所以椭圆的方程为x42＋y2＝1.(4 分)
专题五
第二讲圆锥曲线的综合问题(难点选讲)
活用•经典结论主观题•专项练客观题·专项练
tan 2
专题五
第二讲圆锥曲线的综合问题(难点选讲)
活用•经典结论
主观题•专项练客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-3-
3．以抛物线 y2＝2px(p>0)为例，设 AB 是抛物线的过焦点的一
条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、 B 在准线上的射影为 A1、B1，则有以下结论： ①x1x2＝p42，y1y2＝－p2；
题型·综合练
专题•限时训练-16-
类型二
类型三
类型四
类型五
(1)求椭圆的方程； (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P，Q 两点，满足直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
专题五
类型一
第二讲圆锥曲线的综合问题(难点选讲)
活用•经典结论主观题•专项练客观题·专项练
解得 x＝－2 或 x＝－83k＋2－4k62，
(2 分)
则|AM|＝ 1＋k2|－83k＋2－4k62＋2|＝ 1＋k2·3＋124k2.(3 分)
专题五
类型一
第二讲圆锥曲线的综合问题(难点选讲)
活用•经典结论主观题•专项练客观题·专项练

解析几何《圆锥曲线的综合应用》

解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。

选修2-1第07讲圆锥曲线的综合问题

第7讲圆锥曲线综合问题A 组一、选择题1．若椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=交于,A B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为2，则nm的值为（） A ．B ．2 CD．9【答案】A【解析】设()()1222,,,A x x B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，把点()()1222,,,A x x B x y 的坐标代入椭圆221mx ny +=，并相减可得()()()()121212120m x x x x n y y y y -++-+=，由题意知0121201201202,2,1,2y y y x x x y y y x x x -+=+==-=-，代入上式可得n m = A. 2．已知椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-，则E 的方程为（）A ．1364522=+y x B ．1273622=+y x C ．1182722=+y x D ．191822=+y x 【答案】D【解析】设),(),(2211y x B y x A 有21,2,22121=-=+=+AB k y y x x ,由椭圆方程可得1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x ，两式作差，整理得9,18,3,2,12122222222==∴==∴=⨯-+b a c b a b a ，所以选D. 3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（）A.13422=+y x B.1422=+y x C.141622=+y x D.1121622=+y x【解析】由题意知：3121242222=-=∴=∴==∴=c a b c e a a ，故选A. 4．椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>左右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆M 上任一点且12PF PF 最大值取值范围是222,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中22c a b =-，则椭圆离心率e 的取值范围（）A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】因为122PF PF a +=，所以212PF PF a ⋅≤，所以212maxPF PF a ⋅=，所以由题意知22223c a c ≤≤，所以23c a c ≤≤，所以322c e ≤≤，故选B ． 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与x 轴负半轴交于点C ，A 为椭圆第一象限上的点，直线OA 交椭圆于另一点B ，椭圆的左焦点为F ，若直线AF 平分线段BC ，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．3C ．3D ．12【答案】A【解析】如图所示，连接,OM AP ，因为PF 平分AQ ，即M 为AQ 的中点，所以OM 为APQ ∆的中位线，所以OMFAPQ ∆∆，所以12OF OM AF PA ==，即132c a c a c =⇒=-，所以13c e a ==，故选A.6．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是（） A ．322 B ．324 C ．2 D ．2【解析】由已知，1,2,221c =====b a a c e 所以，椭圆方程为1222=+y x ，联立方程组得),31,34(),1,0(-B A 所以=||AB 324. 7．直线1+=x y 被椭圆4222=+y x 所截得的弦的中点的坐标是（） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,31 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-31,32 D ．()1,2- 【答案】C 【解析】由⎩⎨⎧=++=42122y x x y 消去y 得02432=-+x x 设方程两根为21,x x ，则弦的中点的横坐标为32221-=+x x ，故所求中点坐标为)31,32(-.8．已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（）A ．2,3⎛ ⎝⎭B ．23⎫±⎪⎪⎝⎭C ．2,3⎛- ⎝⎭D ．23⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意得，设(,)P x y ，由OP PA ⊥，则OP PA ⊥，所以2(,)(2,)(2)0OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得2,33x y ==±，即点P 的坐标为2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故选A. 9．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：22213x y a +=1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（） A ．34B ．1C ．2D ．4 【答案】C 【解析】圆M 的方程可化为222()3x m y m ++=+，则由题意得234m +=，即21(0)m m =<，∴ 1m =-，则圆心M 的坐标为()1,0，由题意知直线l 的方程为x c =-，又∵ 直线l与圆M 相切，∴1c =，∴231a -=，∴2a =．10．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为22221(2)(10)m m +=--，显然2106m m m ->-⇒>且222(2)(10)2m m ---=，解得8m =．11．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（） A ．23 B ．6 C ．43 D ．12 【答案】C 【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则()()ABC AB AC BC AB BF AC CF ∆++=+++443a ==．12．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为( ) A 727 C 7D 57【答案】C【解析】由题意得A （0，b ），C （0，-b ），B （-a ，0），F （-c ，0），2ca=． ∴BF=c-a=a ，BD 的方程为1x ya b+=-，即 bx-ay+ab=0， DC 的方程为1x y c b+=--，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，由0220bx ay ab bx ay ab -+=⎧⎨++=⎩得 D 4,33a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又223b c a a =-，∴FD ==BD ==三角形BDF 中，由余弦定理得2227499=+-∠a a a BDF ，cos BDF ∴∠=13．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A B D 【答案】C【解析】在直角12MF F ∆中2122122,30b F F c MF MF F a ===)2222c ac c a ∴==-2220ac -=220e e -=∴=14．双曲线221x y -=的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O A B 三点，O 为坐标原点，则AB 等于（）A ． 4B ．6C ．8D ．16 【答案】C 【解析】由双曲线方程221x y -=可知双曲线的渐近线方程为y x =±.2040x y x y y x =⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或44x y =⎧⎨=⎩,不妨令()4,4A ,同理可得()4,4B -.8AB ∴==.故C 正确.15，1A 、2A 是实轴顶点，F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得()121,2i PA A i ∆=构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A【答案】B【解析】由已知()121,2i PA A i ∆=是以21A A 为斜边的直角三角形，则12,P P 在以12A A 为直径的圆上，所以以12A A 为直径的圆与线段BF 相交，直线BF 的方程为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=a <且b a >，整理得222(1)121e e e -<-且e >得23322e +<<且e >12e <<，故选B ． 16．已知双曲线2219x y m -=的一个焦点为(5,0)，则它的渐近线方程为（）（A ）43y x =± （B）y x =（C ）23y x =± （D ）34y x =±【答案】A 【解析】根据2219x y m-=可知3a =，由于焦点为(5,0)，所以5,c=4,b ==因此渐近线方程为43y x =±，故选A.17．已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且||||2CF BC =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±= 【答案】C【解析】由2CF BC =，故a CF CF BF 2211=-=，∴a BF 42=.法1【余弦定理】21122221211112cos F F BF BF F F BF OF MF O BF ⋅-+==∠， ∴ca a c a cb 222)4()2()2(222⋅⋅-+=， ∴02222=--a ab b ，∴022)(2=--a b a b ，解得31+=ab， ∴x y )31(+±=，选C.法2： 2,211>=<=abb MF a BF ；c F F a BF BF 262121=>=+，c a >3，229c a >，∴228a b <，22<a b ，∴222<<ab，排除A ，B ，D ，选C.二、填空题18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是_________．【答案】12. 【解析】如图，由于BF x ⊥轴，故2,B B b x c y a=-=；设点()0P t ，，因为2AP PB =,所以()2,2,b a t c t a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得2a c =；所以12c e a ==.19．椭圆192522=+y x 的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆(22251x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是【答案】17 【解析】圆(22251x y +-=的圆心为(0,25C ,半径为1.由椭圆方程192522=+y x 可知2225,9a b ==,所以5a =,左焦点()14,0F -.1222210101016PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+==,()()11max max 117PMPF PC PF +=++=.20．已知椭圆：()2221024+=<<x y b b，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5，则b 的值是．【解析】由题意：2248BF AF AB a ++==，22BF AF +的最大值为5，AB ∴的最小值为3，当且仅当AB x ⊥轴时，取得最小值，此时33,,,22A c B c ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入椭圆方程可得229144c b +=，224c b =-，2249144b b-∴+=，b ∴=21．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 . 【答案】75【解析】由双曲线的性质可知，1||2PF c =，2||22PF c a =-，∴2||33QF c a =-，1||3FQ c a =-，∴222222221244()4425()(3)cos 5127022(22)225()c c a c c c a c a F PF c ac a c c a c c a +--+---∠==⇒-+=⋅⋅-⋅⋅-7()(57)05c c a c a e a --=⇒==，故填：75.22．已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则eB C A 1sin sin sin =+，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ．双曲线的离心率为e ，则有________．【答案】eBC A 1sin sin sin =- 【解析】由正弦定理和椭圆的定义，得ec a AC BA BC B C A 122sin sin sin ==+=+；类比双曲线的定义，得ec a AC BA BC BC A 122||sin sin sin ==-=-故填e B C A 1sin sin sin =-．三、解答题23．已知椭圆C ：22221x y a b+= (a>b>0)，短轴长为，过右焦点F的直线l 与C 相交于A ，B 两点．O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在椭圆C 上，且OP OA OB =+，求直线l 的方程；【解析】(1)由2b ＝.得bc a =，222a c -=所以1a c ==椭圆方程为22132x y += （2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．(ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k(x －1)．C 上的点P 使OP OA OB =+成立的充要条件是P 点坐标为 (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=，又A 、B 在椭圆C 上，即22221122236,236x y x y +=+=，故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0. ①将y ＝k(x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝22623k k +，x 1·x 2＝223623k k-+，y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝22423k k -+.代入①解得k 2＝2，因此，当k ＝－2时，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时， l 的方程为2x －y －2＝0.(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由()2,0OA OB +=知，C 上不存在点P 使OP OA OB =+成立．综上， l 的方程为2x±y－2＝0.24．已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率. 【解析】如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，2d MN =，由此2242(1)x x y -=-+化简得：22143x y += 所以动点M 的轨迹C 的方程为22143x y += （2）由题意，设直线m 的方程为3y kx =+11(,)A x y ，22(,)B x y ，如图所示.将3y kx =+代入22143x y +=，得22(34)24240k x kx +++= 其中，222(24)424(34)96(23)0k k k ∆=-⨯+=-> 且1222434k x x k +=-+…①，1222434x x k =+…② 又A 是PB 的中点，故212x x =…③ 将③代入①②，得12834k x k =-+，2121234x k=+ 所以222812()3434k k k -=++，且23k > 解得32k =-或32k =所以直线m 的斜率为32-或32.25．点P 在圆22:8O x y +=上运动，PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上，满足PM MD =．(Ⅰ) 求点M 的轨迹方程； (Ⅱ) 过点11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 为弦AB 的中点，求直线l 的方程．【解析】 (Ⅰ)点M 在线段PD 上，满足PM MD =∴点M 是线段PD 的中点设(,)M x y ，则(,2)P x y 点P 在圆22:8O x y +=上运动则 ()2228x y += 即 22182y x += ∴点M 的轨迹方程为22182y x +=． (Ⅱ) 方法一：当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是点Q ，这种情况不满足题意．设直线l 的方程为1(1)2y k x -=-，由 221()248y kx k x y ⎧=+-⎪⎨⎪+= 可得22211(14)8()4()8022k x k k x k ++-+--=由韦达定理可得 12218()214k k x x k -+=-+ 由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得218()2214k k k --=+ 解得12k =-即直线l 的方程为11(1)22y x -=--∴直线l 的方程为220x y +-=方法二：当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是点Q ，这种情况不满足题意设11(,)A x y 、22(,)B x yA 、B 两点在椭圆上，满足 221122221(1)821(2)82x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由(1)(2)-可得 22221212082x x y y --+=则1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+ 由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，可得12122,1x x y y +=+=，代入上式 121212AB y y k x x -==--即直线l 的方程为11(1)22y x -=-- ∴直线l 的方程为220x y +-=26．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M （﹣a ，b ）、N （a ，b ）、F 2和F 1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求△F 2AB 面积的最大值．（1）由题意知b=，=3，所以a+c=3①，又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，联立①②解得a=2，c=1，所以椭圆方程为：；（2）由（1）知F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立，且，，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|===12=，又k2≥0，所以递增，所以9+1+6=16，所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，所以△F2AB面积的最大值为3．B组一、选择题1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是（）A.22134x y-= B.22125x y-= C.22152x y-= D.22143x y-=【答案】B 【解析】设双曲线方程为22221x ya b-=，将1y x=-代入双曲线方程整理得22a212222==23x x a a b ++．又222=7c a b =+，解得22=2=5a b ，，所以双曲线的方程是22125x y -= ．故答案为B. 2．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（） A.251+ B.231+ C.7224- D.7224+ 【答案】A 【解析】设抛物线的焦点为(),0F c ，O 为/FF 的中点，由()12OE OF OP =+得E 为FP 的中点，所以///,2,2,2,OE a PF a FF c PF b PF PF====⊥，设(),P x y ，2,2x c a x a c +==-.过点(),0F c 作x 轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a ，由勾股定理得，22244y a b =+，即()224244c a c a b -=+，解得e =． 3．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为3，则双曲线的离心率为（）A ．2 B ．3 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】由题意，得x c =代入b y x a =±，得交点(,)bc A c a ，(,)bcB c a-，则1223bc c a ⨯⨯=.整理，得c a = D. 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>以及双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为（）A ．2或3 B或3C ．2【答案】A【解析】双曲线12222=-b y a x 一条的渐近线为x a by =，双曲线12222=-b x a y 一条的渐近线为x bay =，由于这两条渐近线将第一象限三等分，即这两直线与横轴正半轴的夹角分别为36ππ，，也即3tan π=b a ，所以b a 3=，或6tan π=b a ，即b a 33=，当b a 3=时可求得222=+=a b a e ，当b a 33=时可求得33222=+=a b a e ，故本题的正确选项为A.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆222()x a y a -+=截得，则双曲线C 的离心率为（）A. 2【答案】B【解析】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为0=±x a by ，其中一条渐近线被圆222()x a y a -+=所截得弦长为，则圆心)0,(a 到渐近线的距离应为a a a 22)22(22=-，利用点到直线的距离公式有b a a abaab=⇒=±+⋅±22)(12，则离心率222=+==ab a ac e ，故正确选项为B.6．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（）A ．MT MO a b -=-B ．MT MO a b ->-C ．MT MO a b -<-D ．MT MO a b +=- 【答案】A【解析】因为T 是切点，所以连接OT ，则1OT PF ⊥，在TO F 1∆中，1TF b =．连接2PF ，在12PF F ∆中，O 、P 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =，()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故选D ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两顶点为12A A ，，虚轴两端点为12B B ，，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为（） A．12+ B．32+ C．12+ D．32+ 【答案】A 【解析】∵双曲线的虚轴两端点为12B B ，，两焦点为1F ，2F .∴11()F c 0B b)0(-，，，，可得直线11F B 的方程为()by x c c=+，即0bx cy bc -+=．∵双曲线的两顶点为12A A ，，以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，∴点O 到直线11F B的距离等于半径，即a =，化简得22222()bc a b c =+，∵222b c a =-，∴上式化简为222222()2()c a c a c a -=-，整理得422430c a c a -+=．两边都除以4a ，得42310e e -+=，解之得22e =，∵双曲线的离心率1e >，∴22e =，可得12e =，故答案为A.8．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 离心率为（） A ．B ．2C ．D ．【答案】D 【解析】设M 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左支上，且2,120,MA MB a MAB ==∠=则M 的坐标为()2,3a a -，代入双曲线方程可得2222431a a a b-=，整理得a b =，222,c a b a =+=所以离心率2,ce a==故选D ． 9．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A 51+21+ C 21 D 51 【答案】C【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得,PN PF =,PF m PA PN m PA =∴=，则PNm PA=，设PA 的倾斜角为α，则sin m α=，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线24x y =相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入24x y =可得()241x kx =-，即2440x kx -+=，所以2=16160,1,k k -=∴=±()2,1P ，所以双曲线的实轴长为()221PA PF -=，双曲线的离心率()21,221e ==-故选C ．10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 的离心率为2，且双曲线与抛物线y x 342-=B A ,3=SA ．22B ．24C ．2D ．4 【答案】A 【解析】抛物线2x =-的准线为y =，代入双曲线方程得22231x a b-=，x =AB =，12OAB S ∆==，化简得a =①，又c e a a===a b ==实轴长为2a =．故选A ．11．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，点,A B 分别在双曲线的两条渐近线上，AF x ⊥轴，BF ∥OA ，0AB OB ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A B D 【答案】B【解析】由题意，设OB b k a =-，∵0AB OB ⋅=，∴AB a k b =，直线FB 的方程为()by x c a=-，与b y x a =-联立可得()22c bc B a -，∵()bc A c a ，，∴3AB b a k a b ==，∴2213b a =，∴222243c a b a =+=，∴3c e a ==． 12．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．4 【答案】A 【解析】因为抛物线的方程为28y x =，所以其焦点F 的坐标为(2,0)，而双曲线2213x y n-=的一个焦点坐标为：(2=，所以1n =，故应选A ．13．已知点()2,0A ，抛物线C:24x y =的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则F :M MN =（）A ．2:．1:2 C ．1:．1:3 【答案】C 【解析】过点M 作x B M ⊥轴于点B ．设m =FM ，则1-=m MB ．易知点A 为FN 的中点，且52AN 22FN ===F A ，51=∠FAB sin ．利用三角形相似得，，AF AM FO MB =即5511m m -=-，解得1552+=m ,所以5152=-=m m M F MN ．故选C ． 14．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．4B ．1C ．2D ．8【答案】A 【解析】椭圆22162x y +=中226,22a b c ==∴=，右焦点为()2,0，所以抛物线y 2=2px 交点为()2,04p ∴=15．过点(2,3)A -作直线与抛物线28y x =在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43【答案】D ．【解析】设B 点的坐标为2(,)8m m ，故过B 点的抛物线切线方程为24()8m my x =+，又∵切线过点(2,3)A -，∴234(2)8m m =-+，∴8m =或2-（舍去），∴(8,8)B ，而焦点(2,0)F ， ∴804823BF k -==-，故选D ． 16．过点(2,4)M 作直线l ，与抛物线28y x =只有一个公共点，满足条件的直线有（）条A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条经验证点(2,4)M 在抛物线28y x =上，因此过点(2,4)M 与抛物线相切的直线有一条，除切线外直线4y =与抛物线有一个交点，因此满足只有一个公共点的直线有2条 17．若抛物线22y px =的焦点与圆x 2+y 2-4x=0的圆心重合，则p 的值为（）A ．-2B ．2C ．-4D ．4 【答案】D 【解析】由抛物线方程22y px =可知其焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，将圆的方程变形为()2224x y -+=可知其圆心为()2,0，根据题意可得22p=，4p ∴=．故D 正确． 18．已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点．若FB FA 2=，则k= （）A ．31 B ．32 C ．32D ．322【答案】D【解析】抛物线28y x =的准线为2x =-,设()()1122,,,A x y B x y ,由抛物线的定义可知122,2FA x FB x =+=+,()12122,222,22FA FB x x x x =∴+=+∴=+．将)0)(2(>+=k x k y 代入28y x =消去y 并整理可得()22224840k x k x k +-+=．由韦达定理可得1212284,4x x x x k +=-=．解1212422x x x x =⎧⎨=+⎩得124,1x x ==．1228414x x k ∴+=-=+,0k >,所以解得k =D 正确． 19．已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A,B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则实数k 的值为（）A ．31 B ．32 C ．32D ．32221设抛物线x y C 8:2=的准线为2l x =-:，直线)0)(2(>+=k x k y 恒过定点()20P -，如图过A B 、分别作AM l ⊥于M BN l ⊥，于N ，由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =，∴OB BF =，点B 的横坐标为1，故点B的坐标为(1∴k =D ． 20．已知抛物线24y x =，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为 A．3 B．3 C．3 D．3【答案】C 【解析】由题意知，直线AB的方程为1)y x =-，联立直线AB 与抛物线的方程可得：21)y 4y x x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得：(3,A，1(,33B -，所以163AB ==，而原点到直线AB的距离为d =12ABC S AB d ∆=⨯⨯=，故应选C ．二、填空题21．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅OM ，则点A 到动直线MN 的最大距离为．【答案】2【解析】因为点11(,)22A -在抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上，所以准线方程为122p x =-=-，所以1p =，所以抛物线方程为22y x =，点,M N 在抛物线上，所以可设221212(,),(,)22y y M y N y ，由3OM ON ⋅=得，221221322y y y y ⨯+⨯=，即2212124120y y y y +-=，解之得122y y =或126y y =-，又因为点,M N 在x 轴的两22 侧，所以126y y =-，直线MN 的方程为：211222121222y x y y y y y y --=--，即211122()2y y y x y y -=-+，当0y =时，1232y yx -==，所以直线MN 恒过定点(3,0)P ，所以点11(,)22A -到直线MN 的最大距离为2AP ==． 22．已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线交于, P Q 两点，2l 与抛物线交于, M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为．【答案】32pk pk -- 【解析】设出M ，N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ∵M ，N 在抛物线22(0)y px p =>∴2112y px =①2222y px =②，①-②知()()2212122y y p x x -=-12121212y y y y kp x x k-=-∴+=--∵M ，N在直线2l ：()1y x p k=--上()21221x x p k ∴+=+即弦MN 的中点坐标为()()21,p kkp +-∵过定点（p ，0）作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 与抛物线交于P ，Q 两点，2l 与抛物线交于M ，N 两点，设1l 的斜率为k ∴1mn k k=-∴弦MN 的中垂线的斜率为k ，∴弦MN 的中垂线的方程为：()()21y kp k x p k +=-+ 令x=0得y=32pk pk --23．设抛物线24y x =的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线上，且A ，B ，F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若3||2PF =，则M 点的横坐标为．【答案】2 【解析】由题意，得2p =，(1,0)F ，准线为1x =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线AB 的方23程为(1)y k x =-，代入抛物线方程消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=，所以212224k x x k ++=，121x x =．又设00(,)P x y ，则01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=，所以021x k =，所以212(,)P k k．因为0213||112PF x k =+=+=，解得22k =，所以M 点的横坐标为221224222k x x k ++==．24．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F （1，0）的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C ，则曲线C 与1+=x y 交点的坐标是；若点)0(),,(>x y x P 为曲线C 上动点, 又点)1,1(B ，那么PF PB +的最小值为．【答案】()()2,1,0,1-,2 【解析】设点M （x,y ）,由已知得，1122+=+-x y x ）（，即⎩⎨⎧<≥=)()(00042x x x y ，并将其与1+=x y 联立求解得交点坐标为），），（，（2101-。

圆锥曲线综合应用知识点讲解(含解析)

圆锥曲线的综合应用一、知识梳理1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.6.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.7.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).答案 C3.已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.解析法一直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二如图所示，过F 作AD 的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°，即|AF |＝p 1－sin 60°＝21－sin 60°.同理，|BF |＝21＋sin 60°，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·浙江八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( ) A.x 3＝x 1＋x 2B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C.x 1＋x 2＋x 3＝0D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba ，令kx＋b ＝0得x 3＝－bk ，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3. 答案 B5.(2019·唐山市五校联考)直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3B.2C. 3D.2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，把A ，B 两点坐标分别代入双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，所以x 0a 2＝y 0（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2），所以b 2a 2＝y 0（y 1－y 2）x 0（x 1－x 2）＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，又e >1，所以e ＝ 2. 答案 D6.(2019·潍坊二模)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则a ＝________.解析抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4，解得a ＝14.答案 14考点一最值问题角度1 利用几何性质求最值【例1－1】设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A.9，12B.8，11C.8，12D.10，12解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案 C角度2 利用基本不等式或二次函数求最值【例1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切.(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，∴动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x .(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立.由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，∴|CB |＝42（1－m ），点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2， ∴S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )，令1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3，令f (t )＝8t －2t 3，∴f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去). 易知y ＝f (t )在⎝⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减. ∴y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239. ∴△ABC 面积的最大值为3239.规律方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值.解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋所以m 2>4. y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫24m 3m 2＋42－1443m 2＋4＝18m 2－44＋3m 2＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334. 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF 1面积的最大值为334.考点二范围问题【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围.(1)证明设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于(2)解由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，② 由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.考点三证明问题【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差. (1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得 x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.【训练3】 (2018·唐山模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2，0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(1)解设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r ).因为|MN |＝3，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0，1)，N (0，4).①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. 设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. 所以k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3（x 1＋x 2）x 1x 2＝1x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0. 所以∠ANM ＝∠BNM .综合①②知∠ANM ＝∠BNM .三、课后练习1.(2019·烟台一模)已知抛物线M ：y 2＝4x ，过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点E .若AE→＝2BE →，则直线l 的斜率为( )A.3B.2 2C. 3D.1解析分别过A ，B 两点作AD ，BC 垂直于准线，垂足分别为D ，C ，由AE→＝2BE →，得B 为AE 的中点，∴|AB |＝|BE |，则|AD |＝2|BC |，由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|AB |＝3|BC |，∴|BE |＝3|BC |，则|CE |＝22|BC |，∴tan ∠CBE ＝|CE ||CB |＝22，∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝2 2.答案 B2.(2019·河北百校联考)已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF→＝3 FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则△ABG 的面积为( ) A.839 B.1639 C.3239 D.6439解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF→＝3FB →，所以y 1＝－3y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4， ∴⎩⎨⎧y 1＝23，y 2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433， ∴m ＝33，∴x 1＋x 2＝103，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53，令y ＝0，可得x ＝113，所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析法一由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|).又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案 24.(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.5.已知抛物线y 2＝4x ，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.解析当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1.由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝（x 1＋1）（x 2＋1）－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t ≥1)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋t t 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t≥11＋12＋22＝2（1＋2）3＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.答案 22－2。

圆锥曲线的综合应用含详细答案解析

专题1 圆锥曲线的综合应用题型1 直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与双曲线的交点个数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案详解A解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案详解A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入椭圆，两边乘，则，，，,或所以3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=．【答案】分析：利用实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论．解答：解：∵实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=±2，故|AB|=4∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意∴λ=4故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,求当的面积最大时直线l的方程.答案详解解:(1)设椭圆右焦点则由(1)得代得代(2)得(2)与圆相切由消y得又,当时,,当时,(当时“=”成立)此时且(3)式6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

专题圆锥曲线的综合问题精讲(含解析)

圆锥曲线的综合问题【考情分析】1.会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题．1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想；3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．【典型题分析】高频考点一定点问题例1.(2020·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【方法技巧】圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线和圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．【变式探究】(2020·河南开封模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．高频考点二定值问题例2.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．【方法技巧】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【变式探究】（2020·山东潍坊模拟）直线l 与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，已知m ＝(ax 1，by 1)，n ＝(ax 2，by 2)，若椭圆的离心率e ＝32，且经过点⎝⎛⎭⎫32，1，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程．(2)当m⊥n 时，△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．高频考点三范围问题【例3】(2020·辽宁大连模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，离心率为12，点F1为圆M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．【方法技巧】圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【变式探究】(2020·河南郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为3 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．高频考点四最值问题例4.（2020·河北承德一中模拟）已知抛物线E：y2＝2px(0＜p＜10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E 上，且|FM|＝10.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B ，C ，D ，P 、Q 分别为弦AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．【方法技巧】圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解． (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．【变式探究】(2020·安徽合肥模拟)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切． (1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 的直线m 与抛物线C 分别相交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．高频考点五证明问题例5.(2018·全国卷△)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：△OMA ＝△OMB .【方法技巧】圆锥曲线中常见的证明问题(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．【变式探究】(2017·全国卷△)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 高频考点六存在性问题例6.(2020·福建泉州五中模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量BF 1→·BF 2→＝0.(1)若A (2,0)，求椭圆的标准方程；(2)设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，问是否存在过点F 2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．【变式探究】(2020·黑龙江哈尔滨三中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在圆x 2＋y 2＝3上是否存在一点P ，使得在点P 处的切线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且满足OM →△ON →？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．【典型题分析】高频考点一定点问题例1.(2020·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解析】(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)，设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y 得x 2＋4kx －4＝0. 设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 214⎝⎛⎭⎫－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．【方法技巧】圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线和圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．【变式探究】(2020·河南开封模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解析】(1)由题意得，c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，△a ＝2，b ＝1.△椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. △Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. △点B 在以线段MN 为直径的圆上， △BM →·BN →＝0.△BM →·BN →＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0， △(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．△直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－35. 高频考点二定值问题例2.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．【解析】(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)△(－3,0)△(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λ QO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．【方法技巧】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【变式探究】（2020·山东潍坊模拟）直线l 与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，已知m ＝(ax 1，by 1)，n ＝(ax 2，by 2)，若椭圆的离心率e ＝32，且经过点⎝⎛⎭⎫32，1，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程．(2)当m⊥n 时，△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【解析】 (1)由题意得⎩⎨⎧e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.△椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)△当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由已知m·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，△y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，△x 21＋4x 214＝1，△|x 1|＝22，|y 1|＝2，三角形的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1，三角形的面积为定值．△当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.则Δ＞0，即4k 2t 2－4(k 2＋4)(t 2－4)＞0， x 1＋x 2＝－2kt k 2＋4，x 1x 2＝t 2－4k 2＋4.△m⊥n ，△4x 1x 2＋y 1y 2＝0，△4x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，代入整理得2t 2－k 2＝4.而S △AOB ＝12·|t |1＋k 2·|AB |＝12|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|t |4k 2－4t 2＋16k 2＋4＝4t 22|t |＝1，△△AOB 的面积为定值．高频考点三范围问题【例3】(2020·辽宁大连模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，离心率为12，点F 1为圆M ：x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，过点F 2且与直线l 垂直的直线l 1与圆M 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的取值范围．【解析】(1)由题意知c a ＝12，则a ＝2c .圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，即c ＝1.所以a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知椭圆右焦点F 2(1,0)．△当直线l 与x 轴垂直时，此时斜率k 不存在，直线l ：x ＝1，直线l 1：y ＝0，可得|AB |＝3，|CD |＝8，四边形ACBD 的面积为12.△当直线l 与x 轴平行时，此时斜率k ＝0，直线l ：y ＝0，直线l 1：x ＝1，可得|AB |＝4，|CD |＝43，四边形ACBD 的面积为8 3.△当直线l 与x 轴不垂直也不平行时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.显然Δ＞0，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点F 2(1,0)且与直线l 垂直的直线l 1：y ＝－1k (x －1)，则圆心到直线l 1的距离为2k 2＋1，所以|CD |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝121＋14k 2＋3. 可得当直线l 与x 轴不垂直时，四边形ACBD 面积的取值范围为(12,83)．综上，四边形ACBD 面积的取值范围为[12,83]．【方法技巧】圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【变式探究】(2020·河南郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．【解析】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)为弦MN 的中点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4(m 2－1)4k 2＋1.Δ＝(8km )2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＞0，所以m 2＜1＋4k 2.△所以x 0＝x 1＋x 22＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m4k 2＋1.所以k AP ＝y 0＋1x 0＝－m ＋1＋4k 24km .又|AM |＝|AN |，所以AP △MN ，则－m ＋1＋4k 24km ＝－1k，即3m ＝4k 2＋1. △把△代入△得m 2＜3m ，解得0＜m ＜3. 由△得k 2＝3m －14＞0，解得m ＞13.综上可知，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3. 高频考点四最值问题例4.（2020·河北承德一中模拟）已知抛物线E ：y 2＝2px (0＜p ＜10)的焦点为F ，点M (t,8)在抛物线E 上，且|FM |＝10.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B ，C ，D ，P 、Q 分别为弦AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．【解析】(1)抛物线E 的准线方程为x ＝－p 2.由抛物线的定义可得|FM |＝t ＋p 2＝10，故t ＝10－p2.由点M 在抛物线上，可得82＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，整理得p 2－20p ＋64＝0，解得p ＝4或p ＝16，又0＜p ＜10，所以p ＝4. 故抛物线E 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)知抛物线E 的方程为y 2＝8x ，焦点为F (2,0)，由已知可得AB △CD ，所以两直线AB ，CD 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为－1k ，故直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝k (x －2)，消去x ，整理得ky 2－8y －16k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k，因为P (x P ，y P )为弦AB 的中点，所以y P ＝12(y 1＋y 2)＝4k ，由y P ＝k (x P －2)得x P ＝y P k ＋2＝4k 2＋2，故P ⎝⎛⎭⎫4k 2＋2，4k . 同理可得Q (4k 2＋2，－4k )．故|QF |＝(4k 2＋2－2)2＋(－4k )2＝16k 4＋16k 2＝4k 2(1＋k 2)，|PF |＝16k 4＋16k 2＝41＋k 2k 2. 因为PF △QF ，所以△FPQ 的面积S ＝12|PF |·|QF |＝12×41＋k 2k 2×4k 2(1＋k 2)＝8×1＋k 2|k |＝8⎝⎛⎭⎫|k |＋1|k |≥8×2|k |·1|k |＝16，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时，等号成立．所以△FPQ 的面积的最小值为16.【方法技巧】圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解． (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．【变式探究】(2020·安徽合肥模拟)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切． (1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 的直线m 与抛物线C 分别相交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．【解析】(1)△直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2py ＋2p ＝0，从而Δ＝4p 2－8p ＝0，解得p ＝2或p ＝0(舍)．△抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为ty ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x －1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，△Δ＞0，△y 1＋y 2＝4t ，即x 1＋x 2＝4t 2＋2， △线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2＋1,2t )．设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ，则d A ＋d B ＝2d ＝2·|2t 2－2t ＋2|2＝22|t 2－t ＋1|＝22⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －122＋34， △当t ＝12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为322.高频考点五证明问题例5.(2018·全国卷△)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：△OMA ＝△OMB .【解析】(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22. 又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，△OMA ＝△OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以△OMA ＝△OM B.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k （x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以△OMA ＝△OMB .综上，△OMA ＝△OMB . 【方法技巧】圆锥曲线中常见的证明问题(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．【变式探究】(2017·全国卷△)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【解析】(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →△PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 高频考点六存在性问题例6.(2020·福建泉州五中模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量BF 1→·BF 2→＝0.(1)若A (2,0)，求椭圆的标准方程；(2)设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，问是否存在过点F 2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．【解析】(1)易知a ＝2，因为BF 1→·BF 2→＝0，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形．所以b ＝c ，由a 2－b 2＝c 2可知b ＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由已知得b 2＝c 2，a 2＝2c 2，设椭圆的标准方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1，点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为F 1(－c,0)，B (0，c )，所以F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )，由题意得F 1P →·F 1B →＝0，所以x 0＋c ＋y 0＝0.又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c 2＝1，由以上两式可得3x 20＋4cx 0＝0. 因为P 不是椭圆的顶点，所以x 0＝－43c ，y 0＝13c ，故P ⎝⎛⎭⎫－43c ，13c . 设圆心为(x 1，y 1)，则x 1＝－23c ，y 1＝23c ，圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c . 假设存在过点F 2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y ＝k (x －c )，由相切可知|kx 1－kc －y 1|k 2＋1＝r ，所以⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－23c －kc －23c k 2＋1＝53c ，即20k 2＋20k －1＝0，解得k ＝－12±3010. 故存在满足条件的直线，其斜率为－12±3010. 【变式探究】(2020·黑龙江哈尔滨三中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在圆x 2＋y 2＝3上是否存在一点P ，使得在点P 处的切线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且满足OM →△ON →？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)△e ＝1－b 2a 2＝12，△3a 2＝4b 2. 又△|AB |＝2b 2a＝3，△a ＝2，b ＝ 3. △椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在点P ，使得OM →△ON →.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝3或x ＝－3，与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相交于M ，N 两点，此时M ⎝⎛⎭⎫3，32，N ⎝⎛⎭⎫3，－32或M ⎝⎛⎭⎫－3，32，N ⎝⎛⎭⎫－3，－32， △OM →·ON →＝3－34＝94≠0， △当直线l 的斜率不存在时，不满足OM →△ON →. 当直线l 的斜率存在时，设y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. △直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，△Δ＞0，化简得4k 2＞m 2－3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，△x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. △OM →·ON →＝0，△4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k2＝0，△7m 2－12k 2－12＝0.又△直线l 与圆x 2＋y 2＝3相切，△3＝|m |1＋k 2， △m 2＝3＋3k 2，△21＋21k 2－12k 2－12＝0，解得k 2＝－1，显然不成立，△在圆上不存在这样的点P 使OM →△ON →成立。

数学圆锥曲线测试高考题选讲(含答案)

数学圆锥曲线测试高考题选讲（含答案）一、选择题：x2 a2 y 2 43 1.（2006全国 II ）已知双曲线－＝1 的一条渐近线方程为 y ＝ x ，则双曲线的离心率为（）2 b5 34 35 43 2（A ）(B) (C) (D) 2 2.（2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x ＋y2＝ 1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一3 个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是（（A ）2 3 （B ）6）（C ）4 3（D ）12x 2 上的点到直线 4x 3y 8 0距离的最小值是（）3.（2006全国卷 I ）抛物线 y4 7 58 ．5A ．B． CD．333x 2 y 2 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距4．（2006广东高考卷）已知双曲线离之比等于（）2 2 A. 2B.C. 2D. 4325.（2006辽宁卷）方程 2x 5x 2 0 的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率x 2 y 2x 2 y 26.（2006辽宁卷）曲线1(m 6)与曲线1(5 m 9) 的（）10 m 6 m5 m 9 m(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同x 2 y 2 7．（2006安徽高考卷）若抛物线 y 2 2px 的焦点与椭圆A ． 2 ． 2 C ． 41 的右焦点重合，则 p 的值为（））62B D． 42 222y 2k 与曲线 9k x y 18k x (k R,且k 0) 的公共点的个数为（8.（2006辽宁卷）直线(A)1(B)2(C)3(D)4（文科做理科不做）（2006浙江卷）抛物线 y 2 8x 的准线方程是（） (A) x 2(B) x 4(C) y2 (D) y 4（文科做理科不做）（2006上海春）抛物线 y 2 4x 的焦点坐标为（（A ） ( 0, 1) . （B ） (1, 0) . （C ） ( 0, 2) . ）（D ） ( 2, 0) .二、填空题：229.（2006全国卷 I ）双曲线 mx y 1 的虚轴长是实轴长的 2倍，则m。

圆锥曲线习题精选精讲

圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PFD ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中的综合问题经典例题+变式训练+解析

圆锥曲线中的综合问题1.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c,0)，且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a ＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，∴Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，∵OP →2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .2.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)与直线x －2y ＋4＝0相切． (1)求该抛物线的方程；(2)在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得1|AM |2＋1|BM |2为定值？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．解析：(1)联立方程，有⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－22py ＋8p ＝0，由直线与抛物线相切，得Δ＝8p 2－32p ＝0，解得p ＝4. 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)假设存在满足条件的点M (m,0)(m >0)．直线l ：x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝8x ，得y 2－8ty －8m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－8m .|AM |2＝(x 1－m )2＋y 21＝(t 2＋1)y 21，|BM |2＝(x 2－m )2＋y 22＝(t 2＋1)y 22. 1|AM |2＋1|BM |2＝1(t 2＋1)y 21＋1(t 2＋1)y 22＝1t 2＋1·y 21＋y 22y 21y 22＝1t 2＋1·4t 2＋m 4m 2，当m ＝4时，1|AM |2＋1|BM |2为定值，所以M (4,0)． 3．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记斜率为k 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，椭圆C 上存在点p 满足OP OA OB =+，求四边形OAPB 的面积．（Ⅰ）1,2,c a b ===的方程是：22143x y +=. ……4分（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，直线:AB y kx m =+由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立，消去y ，可得222(34)84120k x kmx m +++-=故2248(43)0k m ∆=+->且 122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩……7分由OP OA OB =+，可得012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，且点P 在椭圆C 上.所以221212()()143x x y y +++=……9分其中122834kmx x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+ C代入221212()()143x x y y +++=可得22434m k =+. ……11分222212243341134k m AB k x x k k +-=+-=++,21o l m d k-=+. ……13分所以四边形AOBP的面积222243341234o l k m mm S AB d m-+-⋅====. ……15分4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率e ＝22.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝3分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．解：(1)由题意得2a ＝4，故a ＝2， ……………1分∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b 2＝22－(2)2＝2，……………3分∴所求的椭圆方程为x 24＋y 22＝1. ……………4分(2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而M (3,5k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0. ……………6分设S (x 1，y 1)，则(－2)×x 1＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，从而y 1＝4k1＋2k 2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， ……………8分又由B (2,0)可得直线SB 的方程为y －04k 1＋2k 2－0＝x －22－4k 21＋2k 2－2，化简得y ＝－12k(x －2)， ……………10分由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12k (x －2)，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－12k ，∴N ⎝⎛⎭⎫3，－12k ，……………11分故|MN |＝5k ＋12k ，……………12分又∵k >0，∴|MN |＝5k ＋12k≥25k ·12k＝10，…………14分当且仅当5k ＝12k ，即k ＝1010时等号成立．∴k ＝1010时，线段MN 的长度取最小值10.……………15分5．已知点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－12，点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点F (1,0)作直线l 交曲线E 于P ，Q 两点，交y 轴于R 点，若RP →＝λ1PF →，RQ →＝λ2QF →，证明：λ1＋λ2为定值．解析：(1)设点M (x ，y )，由已知得y x ＋2·y x －2＝－12(x ≠±2)，化简得曲线E 的方程：x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)证明：设点P ，Q ，R 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (0，y 0)．由RP →＝λ1PF →，得(x 1，y 1－y 0)＝λ1(1－x 1，－y 1)，所以x 1＝λ11＋λ1，y 1＝y 01＋λ1，因为点P 在曲线E 上，所以12(λ11＋λ1)2＋(y 01＋λ1)2＝1，化简得λ21＋4λ1＋2－2y 20＝0 ①，同理，由RQ →＝λ2QF →，可得x 2＝λ21＋λ2，y 2＝y 01＋λ2，代入曲线E 的方程化简得λ22＋4λ2＋2－2y 20＝0 ②，由①②可知λ1，λ2是方程x 2＋4x ＋2－2y 20＝0的两个实数根(Δ>0)，所以λ1＋λ2＝－4，即λ1＋λ2为定值．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．解析：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0，则x 1＋x 2＝－8kn4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n 2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝ 127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.。