深圳优质课件 高考数学备考《曲线与方程》

第九章 平面解析几何
2017届高三数学第一轮复习 《卓越学案》
第九章 平面解析几何
第9讲 曲线与方程
深圳外国语学校 袁扬
第九章 平面解析几何
1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某 种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建 立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程 叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线 ．
C．x2＋y22＝1
D．x2＋y22＝1(x≠0)
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第九章 平面解析几何
解析：依题意有 A1(－ 2，0)，A2( 2，0)， 直线 A1P 的方程为 y＝xy11＋－02(x＋ 2)，① 直线 A2Q 的方程为 y＝－x1－y1－20(x－ 2)，② 由①×②得 y2＝x－12－y122(x2－2)，而点 P 在双曲线上，所以x221－y21＝1， 即x21y－21 2＝12，所以 y2＝－12(x2－2)，即x22＋y2＝1(y≠0)为所求的点 E 的轨迹方程．
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第九章 平面解析几何
5. (选修 2－1 P37 练习 T3 改编)如图，过 C(2,2)互相垂直的两直线 分别交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，则 AB 的中点 M 的轨迹方程为
_x_＋__y_－__2_＝__0__．
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解析：连接 MO 与 MC(图略)，由题意得 |MO|＝12|AB|，|MC|＝12|AB|. ∴|MO|＝|MC|，设 M 的坐标为(x，y)，则
∴yx＝－2xy0＝0，－2x0，
x0＝－x， 即y0＝12y，
∴－x＋y42＝0，即 y2＝4x.
故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x.
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直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译 为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、 列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略， 如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后 还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
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2．(选修 2－1 P37B 组 T2 改编)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3，
则圆心 P 的轨迹方程为( C )
A．x2－y2＝1
B．x2－y2＝2
C．y2－x2＝1
D．y2－x2＝2
解析：设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.
以曲线 Γ 的方程为 x2＝4y.
法二：设 S(x，y)为曲线 Γ 上任意一点，
则|y－(－3)|－ x－02＋y－12＝2，
依题意，点 S(x，y)只能在直线 y＝－3 的上方，所以 y>－3，所
以 x－02＋y－12＝y＋1，
化简，得曲线 Γ 的方程为 x2＝4y.
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(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、 椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹 类型，再写出其方程． (2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键． (3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其 中的变量 x 或 y 进行限制．
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相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点 P(x，y)随另一动点 Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为 给定的或容易求得的，则可先将 x′，y′表示成关于 x，y 的式 子，再代入 Q 的轨迹方程，求出动点 P 的轨迹方程．
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又|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42. 化简得，y2＝8x(x≠0)． 当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y2 ＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x.
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相关点法求轨迹方程
直线 PM：3x－2y－6＝0，
直线 RN：3x＋8y－24＝0，
联立两式解得 T(3.2,1.8)，
∴S△TPR＝12×6×3.2＝9.6.
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本部分内容讲解结束
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一、选择题
1．(选修 2－1 P62B 组 T4 改编)已知双曲线x22－y2＝1 的左、右顶点
分别为 A1，A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个
动点，则直线 A1P 与 A2Q 的交点 E 的轨迹方程为( B )
A.x22＋y2＝1
B.x22＋y2＝1(y≠0)
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定义法求轨迹方程
已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方 程．
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[解] 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长半轴长为 2， 短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32＝1(x≠－2)．
3.已知点A(1,0)，直线L:y=2x-4，点R是直线L上的一点，
若RA= AP，则点P的轨迹方程为（ B ）
A. y=-2x
B. y=2x
C. y=2x-8 D. y=2x+4
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解析：设 P(x，y)，R(x1，y1)，由R→A＝A→P知 ，点 A 是线段 RP 的 中点，
x2＋y2＝ x－22＋y－22. 即 x＋y－2＝0.
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三、解答题 6. (选修 2－1 P50B 组 T4 改编)在矩形 ABCD 中，|AB|＝8，|BC|＝6，P、Q、R、 S 分别为四条边的中点，以 SQ 和 PR 所 在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，设 M，N 分别是线段 OQ 与线段 CQ 上的动 点(O 为坐标原点)，并且满足|OM|·|NQ|＝|MQ|·|CN|. (1)求直线 PM 与 RN 的交点 T 的轨迹方程，并说明是何种曲线； (2)当 M 是 OQ 的中点时，求△TPR 的面积．
由题设 y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而 y2＋2＝x2＋3.
故 P 点的轨迹方程为 y2－x2＝1，故选 C.
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3．(选修 2－1 P37A 组 T4 改编)已知⊙O 的方程为 x2＋y2＝4，过 M(4,0)的直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程 为( D ) A．x2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．(x－2)2＋y2＝1(0≤x≤1) D．(x－2)2＋y2＝1(0≤x<1)
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则x421＋y21＝1，∴x42＋(1＋λ)2y2＝1， x42＋(1＋λ)2y2＝1 即为所求的 N 点的轨迹方程． (2)要使点 N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14， 解得 λ＝－12或 λ＝－32. ∴当 λ＝－12或 λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．
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解：(1)依题意设 M(m,0)，N(4，n)， T(x，y)，其中 0≤m≤4,0≤n≤3， ∵P(0，－3)，R(0,3)， ∴由P→M∥P→T得，3x－m(y＋3)＝0， ∴3m＝y＋9x3.① 由R→N∥P→T得(n－3)x－4(y－3)＝0， ∴4(n－3)＝16yx－3，② ∵|OM|·|NQ|＝|MQ|·|CN|， ∴mn＝(4－m)(3－n)，
∴xy＋＋22yx11＝＝01，，
即xy11＝＝－2－y.x，
∵点 R 是直线 l 上的点， ∴－y＝2(2－x)－4. 即 y＝2x，故选 B.
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第九章 平面解析几何
课堂小结： 1.曲线与方程； 2.求轨迹方程的基本步骤； 3.求轨迹方程的三种常用方法。
作业： 《卓越学案》配套练习册 第九章 第9讲
第九章 平面解析几何
二、填空题 4．(选修 2－1 P37A 组 T1 改编)若点(a，b)在曲线 x2－xy＋2y－3＝0 上， 当 a∈R 时，b 的取值范围为_(_－__∞__，__2_]_∪__[_6_，__＋__∞__)___． 解析：∵点(a，b)在 x2－xy＋2y－3＝0 上， ∴a2－ba＋2b－3＝0， ∵a∈R，∴(－b)2－4(2b－3)≥0, 即 b2－8b＋12≥0. 解得 b≤2 或 b≥6.
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2．已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.则动 圆圆心的轨迹 C 的方程为_y_2_＝__8_x__． 解析：如图，设动圆圆心 O1(x，y)， 由题意，|O1A|＝|O1M|.
当 O1 不在 y 轴上时， 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，∴|O1M| ＝ x2＋42.
直接法求轨迹方程
设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且M→N＝2M→P， P→M⊥P→F，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．
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第九章 平面解析几何
[解] 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵P→M⊥P→F，P→M＝(x0，－y0)，P→F＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y20＝0. 由M→N＝2M→P得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，