问：烦请您具体说说怎麽用隐函数求导法来求椭圆的切线方程
高数隐函数偏导数的求法及其应用-文档资料
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
x y
( (
x, x,
y) y)
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0 .
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题，我们来讨论如何用代数的方法来求解椭圆的切线方程。
在坐标平面中，椭圆是一种二次曲线，它是一个椭圆形状的几何图形，椭圆经常用它的标准方程来表示，它的标准方程如下所示： $$frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1 $$其中，$(x_{0}, y_{0})$ 为椭圆的中心位置，a,b为椭圆的长短轴长。
当我们给定椭圆的方程，给定一点外部的点$(x, y)$，我们想要求出由这个外部点和椭圆共同确定的切线方程，则要做的步骤是这样的：（1）先用三角函数把椭圆的标准方程的一般式化成按照椭圆的中心坐标$(x_{0},y_{0})$给出的形式：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（2）然后，根据三角函数的关系，把椭圆的标准方程中$ x,y $代入到外部点$(x,y)$，把椭圆的标准方程变成一元二次方程，求出椭圆上一点$(x,y)$，并且把这一点代入椭圆的标准方程中，得到：$$ frac{left (x-x_{0}right )^{2}}{a^{2}}+frac{left(y-y_{0}right )^{2}}{b^{2}}=1. $$（3）最后，在椭圆的标准方程的基础上，把外部点$(x,y)$的坐标值与椭圆上一点的坐标值作差，则可求出切线方程，即：$$ y-y_{0}=frac{b^{2}}{a^{2}}left (x-x_{0}right ). $$ 以上就是求椭圆的切线方程的具体步骤，这个过程利用了三角函数的基本关系，从而可以从定义出椭圆的方程，而再通过算法判定一点，根据这个点的内外状态，就可以求出切线方程。
过椭圆上一点的切线方程公式
过椭圆上一点的切线方程公式结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 p（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将p点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 p点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得p点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上p点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。
如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程椭圆是数学中的一种经典的问题，由于它具有许多有趣的性质及其复杂的结构，因此被广泛应用于实际问题中。
由于椭圆的形状并不像圆那样是圆形的，因此在研究椭圆上某一点到圆周上其它点的连线时，会发现它们存在一定的规律，其中就包括椭圆上过某一点外一点求椭圆的切线方程。
任意给定一个椭圆的标准方程：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴半径和短轴半径，椭圆上的任意一点$P(xi,eta)$，则当这个点外另一个点$Q(x_0,y_0)$固定时，可以推导出椭圆切线的方程为： $$frac{x}{x_0}+frac{y}{y_0}=m$$$$frac{(x-xi)(y_0-eta)}{(x_0-xi)(y-eta)}=1$$ 上面的式子其实都可以算出椭圆切线方程，但是两者有一定的运用区别：1.点$P$不是椭圆上的点时，就可以用第一式：$frac{x}{x_0}+frac{y}{y_0}=m$求出椭圆的切线方程，其中$m$为椭圆切线的斜率，$x_0$和$y_0$分别为点$Q$的横纵坐标；2.当点$P$是椭圆上一个点时，就可以用第二式：$frac{(x-xi)(y_0-eta)}{(x_0-xi)(y-eta)}=1$求出椭圆的切线方程，其中$xi$和$eta$分别为点$P$的横纵坐标，$x_0$和$y_0$分别为点$Q$的横纵坐标。
因此，我们在求解椭圆上某一点外一点求椭圆切线方程时，要根据实际情况选择适当的方法；即当椭圆上的点不定时，可以用第一式算出切线斜率；当椭圆上的点是固定的时，就可以用第二式求出椭圆的切线方程，其实现过程相当的简单，只要把解析几何的思想用起来，就可以解决这个问题。
本文分析了椭圆上某一点外一点求椭圆的切线方程的问题，首先给出了一个椭圆的标准方程，由此推出了求解椭圆上某一点外一点求椭圆的切线方程所采用的方法，即当椭圆上的点不定时，可以用第一式算出切线斜率；当椭圆上的点是固定的时，就可以用第二式求出椭圆的切线方程。
利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题
利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.纵观历年高考，有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是在高三备考复习中，对近些年来全国和若干省（市）高考数学卷中的把关题和压轴题做一些简单分析，旨在为备考初等数学与高等数学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用.一、隐函数定理设函数F（x，y）在包含（x0，y0）的一个开集上连续可微，并且满足条件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则存在以（x0，y0）为中心的开方块D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）对任何一个x∈D，恰好存在唯一的一个y∈E，满足方程F （x，y）=0.这就是说，方程F（x，y）=0确定了一个从D到E的函数y=f（x）；（2）函数y=f（x）在D连续可微，它的导数可按下式计算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.二、问题已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）点P（x0，y0）是椭圆C上一点，求过P点的椭圆C的切线方程；（Ⅱ）点P（x0，y0）是椭圆C外一点，过P引椭圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，求直线AB的方程.解：（Ⅰ）根据隐函数定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，过P的切线斜率k=-x0b2y0a2，过P的切线方程为y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.（Ⅱ）设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切线PA：x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由直线PA、PB的交点为P（x0，y0），所以直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.三、推广命题1 已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）点P（x0，y0）是圆C上一点，则过P点的圆C的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.（2）点P（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过P引圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.命题2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）点P（x0，y0）是双曲线C上一点，则过P点的双曲线C的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.（2）点P（x0，y0）是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一点，过P引双曲线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0xa2-y0yb=1.命题3 已知抛物线C：x2=2py（p>0）.（1）点P（x0，y0）是抛物线C上一点，则过P点的抛物线C 的切线方程为x0x=2p・y0+y2.（2）点P（x0，y0）是抛物线C：x2=2py（p>0）外一点，过P引抛物线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0x=2p・y0+y2.四、在高考中的应用图1【例1】如图1，以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.（Ⅰ）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（Ⅱ）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP・OQ=12b2.解：（Ⅰ）F（c，0），则A（c，b），所以OA的方程为y=bcx.由y=bcx，x2+y2=b2得B（bca，b2a），则根据隐函数定理，小圆O在B点的切线BF的方程为bcax+b2ay=b2，又该切线过点F（c，0），所以c2=ab，M（0，a），（Ⅱ）由（1）知切线BF的方程为cx+by=ab，由方程组x2a2+y2b2=1，cx+by=ab，得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.又c2=ab，a2=b2+c2，a2=b2+ab.a+b=a2b，a-b=b2a.x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，所以OP・OQ=x1x2+y1y2=12b2.图2【例2】在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.解：根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为a=ce=2，半短轴长b=1，即椭圆的方程为x2+y24=1.设点P坐标为（cosθ，2sinθ）（其中0所以点M的轨迹方程为（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.评析：例1是过圆上的点作圆的切线，例2是过椭圆上的点作椭圆的切线，都是研究切线的直线方程，是命题1的应用.【例3】如图3，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=-2p 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：由题意设M（x0，-2p），则根据隐函数定理，直线AB的方程为x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.由x0x-py+2p2=0，x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①图3即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，直线AB的方程为2x-py+2p2=0，方程①即为x2-4x-4p2=0，因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.由弦长公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.又|AB|=410，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，则y1+y2=2x20+4p2p.由题意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，-2p）符合题意.当x0≠0时，设D（x3，y3），由题意可得x23=2py3，y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.解关于x0，x3，y3的方程组，经验检该方程组无解.所以x0≠0时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M（0，-2p）符合题意.图4【例4】设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0解：（Ⅰ）设A（xA，yA），N（xN，xN），AN垂直于直线y=x，则，yA-xNxA-xN=-1，xN=xA+yA2，N（xA+yA2，xA+yA2）.设G（x，y），则x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，解得xA=94x-34y-34m，yA=-34x+94y+14m，代入双曲线方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G点所在的曲线方程为（x-13m）229-y229=1.（Ⅱ）设P（m，y0），则根据隐函数定理得过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1，又M（1m，0）满足上述方程，A、M、B三点共线.点评：例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线，例4是过双曲线外一点作双曲线的两切线，都是研究切点弦所在的直线方程，是以上命题（2）的应用.五、评析（1）在近几年高考试题中有关过曲线上点的切线、曲线外一点引曲线的两切线的切点弦问题出现频率高，而且以压轴题为主.（2）用隐函数定理解这种题型比用常规方法（判别式法、转化为求导数、解方程组等）要省事.（3）这种题型具有明显的高等数学背景，它对进一步学习高等数学来说是非常必须的，具有较好的选拔功能，同时也具有导学和导教功能.。
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 精品
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程【摘要】 本文通过隐函数相关理论解决中学数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题，以一个小问题为出发点，引出隐函数的导数带来便利之处，由此可以培养高中学生思维能力，学习数学运算技巧，并为高中数学教师研究数学课堂教学提供借鉴。
【关键词】 圆锥曲线 切线 隐函数 导数随着新课程进一步的深入，高中数学课堂教学对教师的专业素质提出了更高的要求，对高中数学教师的数学专业知识容量提出了新的挑战，为此笔者重新对高等数学内容进行学习，寻找高中数学各模块知识在高等数学中的渊源，以更好地有针对地进行课堂教学。
圆锥曲线的切线问题是导数知识与解析几何知识交汇点，也是最近几年高考的热点问题。
如何利用导数这一工具解决此类问题，笔者在此提几点自己看法。
1．问题的提出数学问题是学生学习数学的核心，是学生提高数学素质的媒介，也是教师引导学生学习数学思想，领悟数学思想方法的一个平台。
对数学问题进行适当的变换不仅能拓展学生的知识面，也有利于提高学生的能力，更能让学生体会到新课程大环境下学科思想。
例如在求抛物线的切线方程我们会发现一个有趣的现象。
例1已知抛物线C ：2y x =及C 上一点A （1，1），过A 作C 的切线，求切线方程。
分析：此题若通过直线与抛物线的位置处理方法，很容易就能得出结果；若运用导数的几何意义也不难得到结果：先求出y 关于x 的导数再将A 点的横坐标代入得到切线的斜率2，即所求的切线方程为21y x =-。
变式1 将题中C 的方程改成2x y =。
分析：通过传统求切线方程方法易得1122y x =+；如果运用导数去求呢？学生肯定会发现表示曲线C 的方程不是函数所以也不能求导，怎么办？笔者在教学中得到这样几种解题思路：①在方程C 中将,x y 互换也就是将x 看成关于y 的函数求导即得2x y '=，再在写切线程时也将,x y 互换可得12(1)x y -=-即1122y x =+；②将方程C 改写成两个函数y =y '=因为点A 在x 轴上方，所以斜率为12；③研究②将y =y '=可得12y y'=此时过A 点的切线斜率为12。
一直椭圆上切线的斜率求切线方程
一直椭圆上切线的斜率求切线方程椭圆是一个常见的二次曲线，具有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是，对于椭圆上的任意一点，都有且只有一条切线经过该点。
本文将详细介绍如何求解椭圆上切线的斜率，并进一步推导出切线的方程。
首先，我们来回顾一下椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上一组点的集合，满足到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的特性。
椭圆也可以通过其半长轴（a）和半短轴（b）来描述。
根据定义，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h,k)是椭圆的中心点。
这个方程可以被用来求解椭圆上的点的坐标，并进一步计算切线的斜率。
要求解椭圆上的切线斜率，我们需要先求解椭圆上的点的坐标，然后计算每个点处的切线的斜率。
接下来，我们将详细介绍这个过程的步骤。
步骤1：找到椭圆上的点的坐标要找到椭圆上的点的坐标，我们可以使用椭圆的方程。
假设我们已经知道椭圆的半长轴（a）、半短轴（b）、中心点（h,k）和一点的横坐标（x）。
我们可以将这些值代入椭圆方程，然后解方程得到相应的纵坐标（y）。
这样就可以得到椭圆上的点的坐标。
步骤2：计算切线的斜率要计算椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用求导的方法。
首先，我们求出椭圆方程关于x的导数，然后将该导数代入到求解椭圆上某点的纵坐标之前，生成一个带有x和y的方程，另一个方程是椭圆方程。
假设我们已经找到了椭圆方程关于x的导数，假设为dy/dx。
现在我们可以使用这个导数来计算椭圆上某点处的切线的斜率。
在这个点处，椭圆方程和其导数都成立。
我们可以将这两个方程相乘，然后通过移到x项和y项到方程两个边来得到一个方程。
步骤3：写出切线方程现在我们已经得到了椭圆上某点处的切线的斜率，我们可以使用该点的坐标和切点的斜率来写出切线的方程。
切线的方程可以写为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1,y1)是切点的坐标，m是切线的斜率。
对椭圆求导的详细过程
对椭圆求导的详细过程椭圆是一种常见的二次曲线，其方程为x²/a² + y²/b² = 1。
在数学中，求导是一种重要的运算，它可以帮助我们求出函数的变化率和极值等信息。
下面将详细介绍对椭圆求导的过程。
首先，我们需要将椭圆的方程写成函数形式。
由于椭圆的方程中包含两个变量x和y，我们需要将其中一个变量表示为另一个变量的函数。
具体来说，我们可以将y表示为：y = b√(1 - x²/a²)将y代入椭圆的方程中，得到：x²/a² + b²(1 - x²/a²)/b² = 1化简后可得：x²/a² + 1 - x²/a² = 1即：x²/a² = 1 - y²/b²将y表示为x的函数后，我们就可以对椭圆进行求导了。
对上式两边同时求导，得到：2x/a² dx/dt = -2y/b² dy/dt将dy/dx表示为x的函数，得到：dy/dx = -b²x/(a²y)这就是椭圆的导数公式。
需要注意的是，由于椭圆是一个二次曲线，其导数是一个一次函数，因此我们可以通过求导来确定椭圆的切线斜率。
接下来，我们可以利用导数公式来求解椭圆的切线斜率。
假设我们要求解椭圆上点(x0, y0)处的切线斜率，那么我们可以将x0和y0代入导数公式中，得到：dy/dx = -b²x0/(a²y0)这个式子就是椭圆在点(x0, y0)处的切线斜率。
需要注意的是，当y0=0时，导数不存在，这意味着椭圆在x轴上的点没有切线。
最后，我们可以利用切线斜率公式来求解椭圆在某一点处的切线方程。
假设我们要求解椭圆上点(x0, y0)处的切线方程，那么我们可以利用点斜式公式，得到：y - y0 = dy/dx(x0)(x - x0)将dy/dx代入上式中，得到：y - y0 = -b²x0/(a²y0)(x - x0)这个式子就是椭圆在点(x0, y0)处的切线方程。
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题，本文旨在详细讨论如何利用过椭圆外一点求椭圆的切线方程的方法及其相关的基本
内容和具体操作步骤。
椭圆是一种特殊的曲线，它的几何定义可以用椭圆方程来表示：$$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，$a>b$时，形成的就是长轴椭圆；$a=b$时，形成的就是圆；$a<b$时，形成的就是短轴椭圆。
椭圆是由两条曲线分别以椭圆的长轴为基础进行双向滚动而成的，即所谓切线。
首先，我们需要将椭圆表示为以$(xp,yp)$为长轴上的一点，$(x,y)$为椭圆外的一点。
这样，$(x,y)$就是椭圆的切线方程的切点。
接下来，我们要求椭圆的切线方程。
根据切点点式，由两点确定一条直线，可以得到椭圆的切线方程为：$$frac{x-xp}{x-xp} = frac{y-yp}{y-yp}$$即：$$y-yp = (y-yp)cdot(x-xp)$$数学化表达式为：$$y = y_p + (y_p-y_) cdot frac{x-x_p}{x_p-x_}$$ 最后，我们可以运用这一特殊的曲线来研究椭圆上的问题。
例如，椭圆的自然双曲线问题，可以利用此方法来解答。
综上所述，本文论述了过椭圆外一点求椭圆的切线方程的方法及其相关的基本内容和具体操作步骤，从而帮助读者更好地掌握和理解椭圆的切线方程。
通过对椭圆的切线方程的运用，可以为椭圆的科学研究带来更多有益的信息。
- 1 -。
求椭圆切线方程(3篇)
第1篇椭圆是平面解析几何中的一种基本曲线，其方程一般形式为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴，且 $a > b$。
在数学分析、几何学以及物理学中，椭圆切线方程的研究具有重要意义。
本文将探讨椭圆切线方程的求解方法。
一、椭圆切线的几何性质椭圆的切线具有以下几何性质：1. 切线与椭圆相切于一点，且在该点处切线斜率存在。
2. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线斜率 $k$ 与椭圆上切点坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x_0}{y_0}$。
3. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其切线方程可以表示为 $y = kx + m$，其中 $m$ 为切线在 $y$ 轴上的截距。
二、椭圆切线方程的求解方法1. 直接法直接法是指直接根据椭圆的方程和切线的几何性质，推导出椭圆切线方程的方法。
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的切点坐标为 $(x_0,y_0)$，切线斜率为 $k$。
根据切线斜率的几何性质，有 $k = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_0}{y_0}$。
又因为切点 $(x_0, y_0)$ 满足椭圆方程，所以 $\frac{x_0^2}{a^2} +\frac{y_0^2}{b^2} = 1$。
联立上述两个方程，解得 $x_0 = \frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$，$y_0 = \frac{b^2}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}}$。
将 $x_0$ 和 $y_0$ 代入切线方程 $y = kx + m$，得 $y = k \cdot\frac{a^2k}{\sqrt{k^2 + b^4/a^4}} + m$。
椭圆上一点处切线方程的几种求法
椭圆上一点处切线方程的几种求法
王 洪 涛
（新 乡职业技 术学院 河南 新 乡 ４５３００６）
在 中学阶段 ，曾学过直线与圆的位置关 系 。若直线与圆相切，则有圆心到直线 的距 离等于圆的半径 。但对 于椭 圆来说 ，若直线 与椭圆相切 ，就没法得 出上述 结论 了。如何
Ｘ ＯＸ
＋
一（ ＋
－．．
，
·点 · ．
尸（
ｙ。）在
分析：显然，题 目已经给出点Ｐ 的坐 垒 ＋兰 ：０
椭 圆 上
标 ，只需求 出切线 ｆ的斜率 ，即可得 出切线 Ｚ 方程 。
二 、 解法 举 例 方 法 一 ： 交 点个 数 法
分析：由椭圆Ｃ 与直线，相切于点Ｐ
得，直线 ，与椭圆 Ｃ 只有一个交点，通过联
２、对 于本文开头给 出的问题来 说，若
方法四：参数求导法
使用命题 的结论 ，那么可以直接得 出答案：
分析：显然，椭圆ｃ：等 了７２＝１可以转
化为参数函数，结合参数 函数求导法及导数 的几何意义可得椭圆Ｃ 在点Ｐ 处的切线 ， 的斜率 。
解 ：设切线 Ｚ的斜 率为 ｋ ，由椭 圆
３
即 一 ３ｘ 由导数的几何意义及点 Ｐ（１ ３ 即 ４ｙ ， ，由导数的几何意义及点 ｋｘ， ２
ｋ ： 一 １３－１
： 一
得 ， ’ｉ ‘ ．切 线 Ｚ ：
ｃ 一 一
＝ 一
，
· ． ．
＋ 等一 ．·．切线，： ＸＯＸ＋ 一－＝ｏ
ｚｎ ＹｎＹ ．
即 ：
注 ：１、除了隐 函数 求导法 以外，还可 以利 用 复合 函数 法 ，参 数函数 法等加 以证 明 。
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题，首先让我们先理解椭圆和切线的概念。
1.圆是一种平面曲线，它可以表示为一个标准方程：（x/a）2 +（y/b）2 = 1，其中a为椭圆的长轴，b为短轴，椭圆的中心在原点（0,0）处。
它是一种双曲线，当a大于b时，椭圆变成长椭圆；当a等于b时，椭圆变成圆；当a小于b时，椭圆变成短椭圆。
2.线可以简单理解为，椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的曲线，叫做以（x0,y0）为椭圆的切线。
它是椭圆上两个不同点（x1,y1）和（x2,y2）之间的连线，当其与椭圆接触时，叫做椭圆的切线，切线的斜率等于其斜率，即两点之间的斜率。
那么，我们怎样求椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的切线方程呢？下面就给出求解过程：1.先，我们确定椭圆的标准方程：（x/a）2 +（y/b）2 = 1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，椭圆的中心在原点（0,0）处。
2.着，将（x0,y0）带入椭圆方程，可以得到方程：（（x0-a）/a）2 +（（y0-b）/b）2 = 1。
3.后，利用高中数学中关于求切线斜率的公式：M=(y2-y1)/(x2-x1)，可以求得切线斜率：M=（（y0-b）/b）/(（x0-a）/a）。
4.后，将M带入直线的一般式：y - y0 = M（x - x0），可以得到椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的切线方程：y - y0 =（y0-b）/b）/(（x0-a）/a）（x - x0）。
以上就是关于求椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的切线方程的解题过程，需要注意的是，若x0=a，即点在椭圆上，此时切线斜率不存在无穷大，此时这个切线为直线x=a，斜率为0，切线方程为x=a。
至此，我们就已经知道怎样求椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的切线方程了，有了这样的切线方程，就可以求出椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的切点等相关信息，这对于我们研究椭圆有着重要的意义。
以上就是关于以《过椭圆外一点求椭圆的切线方程》为标题的文章，本文介绍了椭圆和切线的概念，并给出了求椭圆外一点（x0,y0）到椭圆的切线方程的解题步骤，期望对读者有所帮助。
过椭圆外一点的切线方程
过椭圆外一点的切线方程
\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
其中椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
设椭圆外一点为P(x1, y1)。
接下来，我们可以按照以下步骤求解过该点的切线方程：
1. 计算椭圆的导数。
首先，我们需要计算椭圆方程的导数。
对椭圆方程两边分别对
x求导，得到。
\(\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0\)。
解出 \(\frac{dy}{dx}\)：
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2} \cdot
\frac{b^2}{2y}\)。
化简得到：
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}\)。
2. 求解切线斜率。
通过点P(x1, y1)代入导数公式，得到该点处的斜率k：
\(k = -\frac{b^2x1}{a^2y1}\)。
3. 写出切线方程。
切线方程可以写成点斜式或者斜截式，这里我们以点斜式为例。
切线方程可以写为：
\(y y1 = k(x x1)\)。
代入斜率k和点P(x1, y1)，得到最终的切线方程。
综上所述，通过以上步骤，我们可以求得过椭圆外一点的切线
方程。
需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑椭圆的参数和点
P的具体坐标值，以及切线的存在性和唯一性等问题。
过椭圆上一点的切线方程
过椭圆上一点的切线方程
椭圆是一种几何形状，它的简单的定义是除了两个焦点以外，其他点都位于椭圆上。
椭圆的切线方程是一个关于椭圆上任意一点的切线方程，它能够描述从该点出发的切线情况。
椭圆的切线方程可以通过椭圆上任意一点的坐标来求得。
如果把椭圆上的任意一点看做（x_
0，y_0），那么椭圆上这一点的切线方程为：y-y_0=m(x-
x_0)，其中m为斜率，由公式可知：m=-(x_0y_0)/(a^2-x_0^2)，其中a为椭圆的长轴长度。
椭圆的切线方程可以用来求出椭圆上任意一点的切线的斜率，而斜率可以用来求出任意一点的切线的方程。
椭圆的切线方程是非常有用的，比如它可以用来求出椭圆上任意一点到椭圆的焦点的最短距离，也可以用来求出椭圆上任意一点到椭圆的最大值或最小值。
椭圆的切线方程的应用还不仅于此，比如它可以用来求出椭圆的极坐标，也可以用来求出椭圆的面积。
它还可以用来求出椭圆上任意一点到另一点的距离，以及椭圆的内积半径等等。
椭圆的切线方程的重要性不言而喻，它是几何学中一个重要的概念，能够提供几何学中有关椭圆的一些有用的信息。
它不仅仅可以用来解决椭圆相关的几何学问题，还可以用来解决其他几何学问题，比如求解曲线上任意一点的切线方程等等。
几种类型函数的求导方法
几种类型函数的求导方法在微积分中，函数的求导是一个重要的概念。
它描述了函数在其中一点上的变化率，或者说函数的斜率。
函数的求导也被称为微分，是微积分的基础知识之一、函数的求导可以通过多种方法来进行计算，下面将介绍几种常见的求导方法。
1.一元函数的基本求导法则对于一元函数（只有一个自变量）的求导，我们可以利用以下一些基本的求导法则：-常数法则：对于常数函数，其导数为0。
- 幂法则：对于形如f(x) = xn的函数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数法则：对于形如f(x) = e^(kx)的函数，其导数为f'(x)= ke^(kx)。
- 对数函数法则：对于形如f(x) = ln(x)的函数，其导数为f'(x) = 1/x。
- 三角函数法则：对于形如f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)的函数，其导数为f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。
2.链式法则链式法则是一种求复合函数导数的方法。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过链式法则进行计算。
链式法则的表达式为：f'(x)=g'(x)*f'(g(x))其中，g'(x)表示函数g(x)的导数，f'(g(x))表示函数f(x)对其自变量的导数。
通过链式法则，我们可以求得复合函数的导数，而不必拆开函数并分别求导。
3.隐函数求导法则隐函数指的是具有形如F(x,y)=0的方程所定义的函数。
在有些情况下，我们无法通过显式求解方程来得到函数的表达式，这时就需要使用隐函数求导法则来求导。
隐函数求导法则可以总结为以下几步：-对方程两边同时求导。
-将导数都移到一个侧上，并且以y'作为y对x的导数的记号。
-化简方程并解出y'。
4.导数的几何意义导数在几何上有一些重要的几何意义。
例如，导数表示了函数在其中一点处的切线斜率。
椭圆上任意点的切线公式结论
椭圆上任意点的切线公式结论大家好，今天我们来探讨一下椭圆上任意点的切线公式结论。
我们要明确什么是椭圆。
椭圆是一种特殊的圆形，它的形状是椭圆形的，而不是完美的圆形。
在数学中，椭圆是指所有满足以下条件的点的集合：到两个定点(焦点)的距离之和等于一个常数(大于两焦点之间的距离)。
现在我们来看一下椭圆上任意点的切线公式结论。
假设我们有一个点P在椭圆上，我们需要找到一条经过这个点的直线，使得这条直线与椭圆相切。
为了解决这个问题，我们需要先了解椭圆的性质。
我们需要知道椭圆有两个焦点F1和F2,以及长轴a和短轴b。
椭圆的标准方程为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1。
其中，x表示点到焦点F1的距离，y表示点到焦点F2的距离。
接下来，我们要找到一个关于点P的切线方程。
为了做到这一点，我们需要考虑两种情况：一种是点P位于椭圆的内部；另一种是点P位于椭圆的外部。
1. 如果点P位于椭圆的内部，那么我们可以直接使用椭圆的标准方程来求解切线方程。
具体来说，我们有：(x-h)^2 / a^2 + (y-k)^2 / b^2 = 1其中，(h, k)是椭圆的一个顶点，(x, y)是点P的坐标。
我们需要找到一条经过点P的直线，使得这条直线与上述方程相等。
这意味着我们需要找到一组系数(m、n),使得： m * x + n * y = h * m^2 / a^2 + k * n^2 / b^2这就是我们要求的切线方程。
通过这个方程，我们可以找到一条经过点P的直线，使得这条直线与椭圆相切。
2. 如果点P位于椭圆的外部，那么情况就稍微复杂一些了。
我们需要找到一个关于点P对称的点Q。
这个点Q需要满足以下条件：它与点P的距离等于长轴a的一半(即a/2)。
这样，我们就可以利用对称性来简化问题。
现在我们需要求解的是经过点Q且与椭圆相切的直线方程。
为了做到这一点，我们可以使用以下方法：假设Q(x_0, y_0)是我们找到的关于点P对称的点。
过椭圆外一点求椭圆的切线方程
过椭圆外一点求椭圆的切线方程椭圆（ellipse）是数学中一类重要的曲线，由二次贝塞尔曲线构成，是平面曲线之中非常常见的一类曲线。
椭圆是一种稀疏的椭圆形曲线，不论是在数学中，物理中还是生物学中，其存在着极为重要的地位，对理解物理现象及定性描述椭圆形物体本身也有重要的意义。
本文就椭圆的性质，及过椭圆外一点求椭圆的切线方程进行详细介绍，以期能够加深对椭圆切线方程的理解。
首先要介绍的是椭圆的有关特性。
在数学上，椭圆是指由二次贝塞尔曲线构成的曲线，其方程形式为$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$，其中a、b分别为椭圆的主轴及次轴半长，椭圆中心位于坐标原点，a比b大的情况下椭圆的形状为长的圆柱形，a比b小的情况下椭圆的形状为圆锥形，当a=b时，椭圆恰好是一圆。
从物理上看，椭圆也可以看做是圆的一种投影，如直角坐标系中，将一个圆投影到xOy平面，投影轨迹则是一个椭圆。
椭圆切线是椭圆外部的一条线段，可以穿过椭圆外部的某一点，并且在椭圆内部不交于该椭圆，即切线必须穿过该椭圆的最近点。
椭圆的切线方程可以通过满足椭圆方程的几何条件来推导。
假设过椭圆外一点P（x1，y1）求椭圆的切线方程，此时可以知道椭圆的中心点坐标为O（0，0），则切点M（x2，y2）可以通过椭圆的方程求出。
将直线OP的一般式表示为$$y-y1=k(x-x1)$$，通过式子替代得： $$y-y1=kfrac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$解得，$$frac{x^2}{a^2}-kx+b^2-ky1-b^2y1=0$$因而，椭圆的切线方程为：$$frac{x^2}{a^2}-kx+(b^2-ky1-b^2y1)=0$$可以看出，椭圆的切线方程有两个参数，即椭圆长轴、短轴和外一点的横纵坐标，当这两个参数已知时，便可算出椭圆外任一点的切线方程，而这正是解决此问题的关键。
本文讨论了过椭圆外一点求椭圆的切线方程，首先简要介绍了椭圆的有关特性，然后通过提出椭圆方程的几何条件，给出了求椭圆外一点切线方程的步骤，最后指出了求解此问题的关键。
高数 求隐函数确定的曲线的某点切线方程
求隐函数确定的曲线的某点切线方程1. 介绍高等数学中，求隐函数确定的曲线的某点切线方程是一个重要的概念和技巧。
隐函数是指方程中含有不只是独立变量的函数，通常用来描述曲线或曲面。
求曲线的切线方程是求解曲线在某一点的切线方程，是微分学的基础内容之一。
2. 隐函数与求导在求解曲线的切线方程之前，首先需要求出隐函数对应的导数。
对于含有一个自变量和一个或多个因变量的隐函数关系式，我们需要通过求导的方法来求出函数的导数。
3. 求切线方程的基本步骤(1) 首先求出隐函数对应的导数；(2) 然后确定曲线上某点的坐标；(3) 利用求导求出的导数和给定点的坐标，利用切线方程的通用形式来求解切线方程。
4. 求切线方程的具体示例假设有隐函数关系式为\[ x^2 + y^2 = 25 \]求曲线在点（3, 4）处的切线方程。
我们对方程两边关于$x$求导，得到\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]进一步化简得到\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]接下来确定点（3, 4）处的切线方程。
根据一般的切线方程形式 $y - y_0 = k(x - x_0)$，其中$(x_0, y_0)$是曲线上的点，$k$是切线的斜率，我们可以求出切线的具体方程。
代入已知点（3, 4）和导数 $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$，得到切线方程为\[ y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \]经过上述步骤，我们成功求出了曲线在点（3, 4）处的切线方程。
5. 结论通过分析以上过程，我们可以得出求隐函数确定的曲线在某点的切线方程的一般步骤。
首先需要求出隐函数对应的导数，然后确定曲线上某点的坐标，最后利用切线方程的一般形式求出具体的切线方程。
这一过程是微分学中的基础内容，对理解曲线的局部特性和微分的应用具有重要意义。
对于上述提到的求隐函数确定的曲线在某点的切线方程的基本步骤，我们可以进一步扩展讨论，探讨一些更复杂的情况和应用。
椭圆切线与切点弦方程：隐函数导数与设而不求技巧
椭圆切线与切点弦方程：隐函数导数与设而不求技巧
本文讨论椭圆的切线以及切点弦方程问题。
过椭圆外一点P可以作椭圆的两条切线L1和L2，连接两个切点可得一条切点弦MN。
如果椭圆方程为：
过椭圆外一点P(x0,y0)，引椭圆的两条切线L1和L2，设切点分别为M(x1,y1)和N(x2,y2)，则椭圆的两条切线方程为：
下面来证明这个结论。
过椭圆上任意一点的切线斜率可以通过隐函数求导的方法得到。
求过椭圆上一点M(x1,y1)的切线方程，无论上半个椭圆还是下半个椭圆，其上一点的切线的斜率应等于函数的导数，这个函数关系无
需写成显式的y=f(x)，对椭圆方程按隐函数求导即可。
求导时，y2项可视为y的函数，而y又是x的函数，因此(y2)'=2yy'，于是x=x1处的导数计算如下：
于是过椭圆上切点M(x1,y1)的切线方程L1为（采用点斜式）：
同理可得到过椭圆上另一切点N(x2,y2)的切线L2方程为：
下面来计算切点弦的方程。
如果过椭圆外一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线L1和L2，显然(x0,y0)应满足L1和L2的方程，因此有：
显然，M、N的坐标均满足如下的直线方程：
因此上式就是过椭圆外一点P(x0,y0)所作两条切线的切点所成的切
点弦MN的方程。
在计算切点弦方程时应用了所谓“设而不求”的技巧，这个方法是解析几何中中的一个常用技巧。
读者可以仔细体会这种方法的好处。
本文所介绍的方法，同样适用于计算其他圆锥曲线的切线以及切点弦问题。