专题13 圆的基本性质(解析版)

专题13 圆的基本性质

考纲要求:

1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念.

2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题.

基础知识回顾:

知识点一：圆的有关概念

1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的

圆记做⊙O.

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离.

知识点二：垂径定理及其推论

2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

延伸

根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

① 弧AC=弧AD;

②弧BC=弧BD ；

③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系

3.圆心角、

弧、弦

的关

系

定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

知识点四 ：圆周角定理及其推论

4.圆周

角定

理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A=

12∠O.

图a 图b 图c

( 2 )推论：

① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C.

② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°.

圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.

应用举例:

招数一、垂径定理及其推论

【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )

A ．26

B ．210

C ．211

D ．43

【答案】C

【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示： 则DF CF =，1

32AG BG AB ===，2EG AG AE ∴=-=，

在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，

EG OG ∴=，EOG ∴∆是等腰直角三角形，

45OEG ∴∠=︒，222OE OG ==，

75DEB ∠=︒，30OEF ∴∠=︒，1

22OF OE ∴==，

在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，

2211CD DF ∴==；

故选：C ．

招数二、圆周角定理及推论

【例2】如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是(

)

A ．40︒

B ．50︒

C ．60︒

D ．70︒

【答案】D．

【解析】解：AB CD

=，40

AOB

∠=︒，40

COD AOB

∴∠=∠=︒，

180

AOB BOC COD

∠+∠+∠=︒，

140

BOC

∴∠=︒，

1

70

2

BPC BOC

∴∠=∠=︒，故选：D．

招数三、圆内接四边形的相关计算

【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD ＝5，CE，则AE＝（）

A．3 B．3C．4D．2

【答案】D

【解析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．

解：连接AC，如图，

∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，

∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，

∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，

∵AE⊥CB，

∴∠AEC＝90°，∴AE2．

故选：D．

招数四、分类讨论在圆的基本性质计算中的应用

【例4】半径为5的 O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB 于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______.

【答案】5352

或

【解析】如图1，当∠BOD＝90°时，∠BOC＝90°，

在Rt△BOC中，BO＝OC＝5，∴BC＝52;

如图2，当∠ODB＝90°时，

∵OB＝OC，设∠OBC＝∠OCB＝x，

∴∠BOD＝2x，∠BOC＝180°－2x，

∴∠ABO＝90°－2x，∠ABC＝∠ACB＝90°－x，∴∠A＝2x，

∵∠BOC＝2∠A，即180－2x＝2×2x，∴x＝30°，∴∠BOC＝120°，

∵OB＝OC＝5，∴BC＝53.

综上所述，BC的长度为5352

或

图1 图2

方法、规律归纳:

1．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆或等圆中才成立.

2．在圆中求角度时，通常需要通过圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

3．垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.

实战演练:

1.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.