2 多项式插值(11)

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2011-5-8
J. G. Liu
我们看到利用多项式插值函数逼近函数f(x)，n小不行，n大也 不行。这种现象我们称为龙格（Runge）现象 龙格（ 龙格 ）现象。 这是为什么呢？ 下面分析多项式插值余项的估计式
通常， (1) |f(n+1)(x)|的值，常常随n的增加呈指数级增长，比(n+1)!快 得多！ (2)
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一、 整 体 插 值
2 拉格朗日 拉格朗日(Lagrange)插值 插值 定义： 定义： 设n次多项式lj(x) ( j = 0 ,1 , 2 , L , n ) 满足
1, ( i = j ) l j ( xi ) = 0, (i ≠ j )
( i , j = 0 ,1, 2 , L , n )
x
y
x0
y0
x1
y1
L
L
xn
yn
为了得到 y = f (x ) 的更多信息， 我们首先要确定一个函数 空间 Φ ，在该函数空间中寻找 y = f (x) 的近似函数 p (x ) 。 根据寻找策略的不同，我们有插值问题 最佳平方逼近问题 插值问题和最佳平方逼近问题 插值问题 最佳平方逼近问题。
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x − xi +1 x − xi si ( x) = f ( xi ) + f ( xi +1 ), x ∈[ xi , xi +1 ] xi − xi +1 xi +1 − xi 从而得 pn ( x) = {Si ( x), x ∈ [ xi , xi +1 ] — 分段函数
则称 { k (x) | k = 0,1 2,L, n} 在点集{xi | i = 0,1 2,L, n} 上线性无关。 , ϕ , 定义2： 定义 ：设函数组 {ϕ ( x) | k k
= 0,1,2,L, n}，在[a,b]上连续， 若存在不全为零的数 a0 , a1 ,L, an 使得 a0ϕ 0 ( x ) + a1ϕ1 ( x ) + L + anϕ n ( x ) ≡ 0, a ≤ x ≤ b 则称 {ϕ k ( x ) | k = 0,1, 2,L , n} 在[a,b]上线性相关，
(3) 当n比较小时，说明在区间[a，b]内取的节点少，以至于插 值多项式不足以反映被插函数f(x)的性态！
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分段线性插值
1、分段线性插值的定义 、 将[a,b] n等分，在每个小区间[xi , xi+1](i=0,1,…,n-1)上，作线性插值
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例1 已知数表 i xi yi
0 2 1.4142
1 2.1 1.44912 2.2 1.ຫໍສະໝຸດ 8323 2.3 1.5166
试用抛物插值求 f (2.05) 的近似值。 解: 选取最靠近2.05的节点x , x , x 为插值节点，
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn )， (n + 1)!
ωn+1(x) = (x − x0 )(x − x1)L(x − xn ) 的值，在 x0 , x1 ,L , xn 的均 x 值附近比较小，而在边界 x0、 n 的附近随n的增加而增加。
pn ( x ) =
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∑y
j=0
n
j
l j ( x ) —— 拉格朗日插值多项式
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求满足插值条件 pn ( xi ) = yi (i = k − 1, k ) 的插值多项式，
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代数(多项式 插值问题 代数 多项式)插值问题 多项式
1 代数插值概述 取函数空间为不超过n阶的多项式集合 Φn ，这样的插值问题称 为代数(多项式)插值问题，即求 pn ( x) ∈ Φn ，
pn ( x) = a0 + a1 x + L + an x n
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显然以 pn ( x )作为 f ( x )在插值点 插值点
x 处的近似值是有误差的，记
—— 插值余项 插值余项。
Rn ( x) = f ( x) − pn ( x)
定理2 多项式插值余项定理） 定理 （多项式插值余项定理 (n+1) (n) 设 f (x)在 [a, b]上连续，f (x)在 (a, b)内存在，则∀x∈[a,b] ， 有 f ( n +1) (ξ )
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预备知识 定义1： 函数组 定义 ：设函数组{ϕk ( x) | k 线性无关，
= 0,1,2,L, n} ， 若向量组 T {(ϕk ( x0 ),ϕk ( x1 ),L,ϕk ( xn )) | k = 0,1,2,L, n}
0 1 2
计算可得
f ( 2.05) ≈ p2 ( 2.05) = 1.4317
#
问题6：编程实现任意节点的拉格朗日插值多项式 的计算，并画出插值节点和插值多项式！
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(2) 在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附近，以使
ωn+1 ( x)
尽可能小！
(3) 对于不超过 次的多项式 不超过n次的多项式 不超过 次的多项式，其n阶插值多项式就是其本身！
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二、 分 段 插 值
实例演示： 实例演示： 取等分节点，分别用n=1,2,4,6,8, 10时的多项式插值函数逼 近f(x)： 1
f ( x) =
1+ x
2
, x ∈ [−5,5]
作图如下： 问题7：通过调用编写的拉格朗日插值多项式函 数实现本演示实例！
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若要求
p(x) ∈Φ
满足
p( xi ) = yi (i = 0,1,L, n)
xi (i = 0,1,L, n) —— 插值节点；
则相应的问题称为插值问题 插值问题，上述条件称为插值条件 插值条件， 插值问题 插值条件 p(x) —— 插值函数， 若要求
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引言
插值与逼近
在科学与工程等实际问题中，其数据模型（由实验或测量所得 到的一批离散数据）容易得到。 那么，能否通过处理这些数据来建立连续模型呢？从而可以对 模型有更全面的认识！下面我们以一维的问题来说明， 假设已经得到 y = f ( x) ( x ∈ [a, b]) 的离散数据模型(xi互异)
( n + 1)
(ξ ) − K ( x )( n + 1) ! = 0
其中 ξ ∈ ( a , b )且依赖于
f ( n + 1 ) (ξ ) ∴ K (x) = ( n + 1) ! 得证！ #
x，
注： (1) 若 M = max f
a< x<b
n +1
M ( x ) , 则 Rn ( x ) ≤ ω n +1 ( x ) ; ( n + 1)!
lk +1( x) =
插值多项式：
( x − xk −1)(x − xk ) ( xk +1 − xk −1)(xk +1 − xk )
p2 ( x) = yk −1lk −1 ( x) + yk lk ( x) + yk +1lk +1 ( x)
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使得如下插值条件成立 定理1 定理 插值多项式存在并且唯一。 n a 0 + a1 x 0 + L + a n x 0 = y 0 证： 存在性，
—— 插值多项式
pn ( xi ) = yi (i = 0,1,L, n)
即 n+1个插值 条件可以唯一 的确定一个不 超过n阶的插 值多项式！
唯一性， （利用n阶多项式在复数域内至多有n个零点可证！）
不妨设
证：Q R ( x ) 以 x , x , L x 为零点 n 0 1 n
x ≠ x i ，做函数 ϕ ( t ) = f ( t ) − p n ( t ) − K ( x )( t − x 0 ) L ( t − x n )