向量综合复习

合集下载

高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积（一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

高考数学专题向量的综合复习

高中数学必修4向量的综合复习向量与三角综合题选1．将函数y=f (x )·cos x 的图象按向量a =（4π，1）平移，得到函数y=2sin 2x 的图象那么函数 f (x )可以是（ D ） A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x2．已知=a )sin (cos αα，，=b )sin (cos ββ，（πβα<<<0），且|λa μ+b |=|μa λ-b |（0≠λμ），则=-αβ2π． 3．已知向量求且],2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π∈-==x x x b x x a ①||b a b a +⋅及;②若3()2||,2f x a b a b λλ=⋅-+-的最小值是求的值. 解：（1）x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos23cos =⋅-⋅=⋅ x x xx x b a 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos||=+=-++=+ x b a x x cos 2||,0cos ],2,0[=+∴>∴∈π（2）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得；③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=- 解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，21=λ为所求。

4．平面直角坐标系内有点P ].4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x（Ⅰ）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ；（Ⅱ）求)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）)(cos 1cos 2||||cos ,cos 1||||,cos 222x f xxOQ OP x OQ OP x OQ OP =+=⋅=∴+==⋅θ （Ⅱ）.cos 1cos 2cos 1cos 2)(cos 2xx x x x f +=+==θ ]1,22[cos ],4,4[∈∴-∈x x ππ.322)(,1)(322,223cos 1cos 2min =≤≤≤+≤x f x f x x .5．设)sin ,cos 1(αα+=a ，)sin ,cos 1(ββ-=b ，),0()0,1(πα∈=c)2,(ππβ∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且621πθθ=-，求4sinβα-的值．（本题12分）．解：)22cos(2sin 2sin 22sin 2||||cos 22cos 2cos 22cos 2||||cos 2sin 2||2cos2||),2(2),2,0(2)2,(),,0()2cos ,2(sin 2sin 2)2cos 2sin2,2sin 2()2sin ,2(cos 2cos 2)2cos 2sin 2,2cos 2(2212122πββββθαθαααθβαππβπαππβπαββββββαααααα-===⋅==∴==⋅===∈∈∴∈∈====c b c b c a c a b a b a 故21)6sin(4sin3262226222220212-=-=-∴-=-∴=+-⇒=--=∴<-<πβαπβαππβαπθθπβθππβ又6．已知函数a b x b x x a x f (sin 2cos sin 2)(2+⋅-⋅⋅=、b 为常数，且0<a ）的图象过点（3,0），且函数)(x f 的最大值为2.（1）求函数)(x f y =的解析式，并写出其单调递增区间；（2）若函数)(x f y =的图象按向量)0,(m p =作移动距离最小的平移后，使所得的图象关于y 轴对称，求出向量p 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式解：（1）,2cos 2sin )(x b x a x f ⋅+=12,33)0(22-==+==a b a b f 解得又有得所以函数)(x f y =的解析式是)32sin(22cos 32sin )(π--=+-=x x x x f)(x f 的单调递增区间是)](1211,125[Z k k k ∈++ππππ （2）∵平移后的图象对应的函数解析式是]3)(2sin[2π---=m x y图象关于y 轴对称，即)322sin(2π---=m x y 为偶函数，)322sin(2)322sin(2ππ---=----∴m x m xR x m x m x ∈--=---对即)322sin()322sin(ππ恒成立 )(,2)322()322(Z k k m x m x ∈+=--+---∴ππππ πππππ1252,2324-⋅-=+=--∴k m k m ，,1212521min πππ=-=-=∴m k 时当故p )0,12(π=，图象对应的函数解析式为x x y 2cos )22sin(2=--=π7．已知二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量=a （sin x ，2），=b （2sin x ，21），=c （cos2x ，1），=d （1，2），当∈x [0，π]时，求不等式f （b a ⋅）＞f （d c ⋅）的解集．解析：设f （x ）的二次项系数为m ，其图象上两点为（1-x ，1y ）、B （1＋x ，2y ）因为12)1()1(=++-x x ，)1()1(x f x f +=-，所以21y y =，由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则x ≥1时，f （x ）是增函数，若m ＜0，则x ≥1时，f （x ）是减函数．∵ x (sin =⋅b a ，x sin 2()2⋅，11sin 2)212≥+=x ，x 2(cos =⋅d c ，1()1⋅，)2122cos ≥+=x ，∴ 当0>m 时，)12(cos )1sin 2()()(2+>+⇔>⋅⋅x f x f f f d c b a 1sin 22+⇔x02cos 222cos 12cos 122cos <⇔+>+-⇔+>x x x x 02cos <⇔x 2ππ2+⇔k 23ππ22+<<k x ，Z ∈k ． ∵ π0≤≤x ， ∴ 4π34π<<x ．当0<m 时，同理可得4π0<≤x 或π4π3≤<x ．综上：)()(d c b a ⋅⋅>f f 的解集是当0>m 时，为}4π34π|{<<x x ；当0<m 时，为4π0|{<≤x x ，或}π4π3≤<x ． 8．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P（1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.解：（1）θcos ||||OQ OP OQ OP ⋅=⋅]4,4[cos 1cos 2)(,cos 1cos 21cos cos 11cos cos 1|||||cos 2222ππθ-∈+=∴+=++⋅+⋅=⋅=∴x xx x f xxx x x x OQ OP（2）)(12)(],1,22[,cos 2t g t t x f t t x =+=∈=则则 0,0,322arccos ,40,322arccos ],,0[,1cos 322322)22()(,1)1()(]1,22[)(,122)(,0)(,)1,22()1()1)(1(2)(min max min max min max 22===±=∴==∈≤≤∴====∴∴==>'∈+-+-'θθπθθπθθ时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又x x g t g g t g t g t t t g t g t t t t t g 9．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m FQ OF =⋅，（1）若646<<m 时，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设c OF =||，2)146(c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程．（1）由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅⋅，，m FQ OF FQ OF θθcos ||||62)πsin(||||21所以m 64tan =θ，因为646<<m ，所以4tan 1<<θ，则4arctan 4π<<θ．（2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为12222=-b y a x ，（a ＞0，b ＞0），Q 点的坐标为（1x ，1y ），则FQ ＝（c x -1，1y ），因为△OFQ 的面积62||211=⋅y OF ，所以c y 641=，又由=⋅FQ OF （c ，0）（c x -1，1y ）21)146()(c c c x -=-=，所以c x 461=，128396||222121≥+=+=c c y x OQ ，当且仅当c ＝4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为（6，6），由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-，，161662222b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==，，12422b a 故所求的方程为112422=-y x 10．已知向量33cos ,sin )22x x a =（，cos ,sin )22x x b =-（，且[,]2x ππ∈ (1) 求a b ⋅及||a b +；(2) 求函数()f x =a b ⋅＋||a b +的最大值，并求使函数取得最大值的x 的值。

向量综合复习

向量综合复习1．（04湖北）已知,,为非零的平面向量. 甲：⋅=⋅，乙：=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（00年天津）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①0)()(=⋅-⋅b a c c b a ； ②||||||b a b a -<-； ③)()(⋅-⋅不与垂直； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+中，是真命题的有（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3．（04上海春招）在ABC ∆中，有命题 ①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④4、已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 5、AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且a =，b =，那么为（） A ．b a 3432+ B ．b a 3232- C ．b a 3432- D ．b a 3432+- 6、设 M 是△ABC 的重心，则=（）A ．2AB AC - B ．2AC AB + C ．3AB AC -D ．3AC AB + 7、下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．)0,0(1=e ，)2,1(2=eB ．)2,1(1-=e ，)7,5(2=eC ．)5,3(1=e ，)10,6(2=eD ．)3,2(1-=e ，)43,21(2-=e 8、已知)2,1(=a ，)1,(x b = ，当b a 2+与b a -2共线时，x 的值为（）A ．1B ．2C ．31D ．219、已知向量)2,3(-=a ，)1,2(-=b ，)4,7(-=c ，用a 和b 来表示c ，则c 为（）A ．b a -2B ．b a +2C ．b a 2-D ．b a 2+10、已知)3,1(-A 、)21,8(B ，且A 、B 、C 三点共线，则C 点坐标可以是（）A ．)1,9(-B ．)1,9(-C ．)1,9(D ．)1,9(-- 11、下列四个命题：①若0=⋅b a ，则0 =a 或0 =b ；②若e 为单位向量，则e a a ⋅=||；③3||a a a a =⋅⋅；④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线．其中错误命题的序号是___________．12、在ABC ∆中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，已知D 点坐标为)2,1(，E 点坐标为)5,3(，F 点坐标为)7,2(，则点A 坐标为____________．13．已知)2,(x A ，)2,5(-y B ，若)6,4(=AB ，则y x ,的值分别为_________．14．已知向量)7,2(x a = ，)4,6(+=x b ，若b a =，则=x _________．15．已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，则顶点D 的坐标为_____．16．若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(x C 共线，则=x ____________．17．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c ，用a 、b 作基底有b q a p c +=，则=p ______，=q ________．18．若)3,2(=a ，)1,4(y b +-= ，且b a //，则y 等于_________．19．当=m ______时，向量)1,2(-=m a 与)6,2(-=m b 共线且方向相同；当=m _____时，a 与b 共线且方向相反．20．已知点),(y x M 在向量)2,1(=OP 所在的直线上，则y x ,所满足的条件是___________．21．已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ，且t +=，则当=t ________时，点P 落在x 轴上．。

向量复习

向量复习1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作(3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .3．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．6．平面向量共线的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 与b 共线．7．平面向量的数量积设θ为a 与b 的夹角．(1)定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)投影：a ·b |b |＝|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影． 8．数量积的性质(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2；(3)|a ·b |≤|a |·|b |；(4)cos θ＝a ·b |a |·|b |. 9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)|a |＝x 21＋y 21；(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a 在b 方向上的投影为a ·b |b |，而不是a ·b |a |. 4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0. 考点一平面向量的概念及线性运算例1．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【变式探究】(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD → C.BC → D.12BC → 考点二平面向量数量积的计算与应用例2．(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.综合小题向量练习1.【2016高考新课标2文数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）82【2015高考湖北，文11】已知向量，，则 .3【2015高考山东，文4】已知菱形的边长为，,则（）（A ）（B ）（C ）（D ） 4【2015高考四川，文7】设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）65【2015高考安徽，文8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）6. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（） A. B . C. D.7. 【2014陕西高考文第13题】设，向量，若，则_______.8. 【2014高考北京卷文第10题】已知向量、满足，，且（），则 .9. 【2014高考湖北卷文第11题】设向量，，若，则实数 .10. 【2014江西高考文第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= .OA AB ⊥||3OA =OA OB •=ABCD a 60ABC ∠=BD CD ⋅=232a -234a -234a 232a 6AB =4AD =3BM MC =2DN NC =AM NM ⋅=C ∆AB 2ab 2a AB =C 2a b A =+1b =a b ⊥1a b ⋅=()4C a b +⊥B ()2,3=a )2,1(),0,0(21==e e )2,5(),2,1(21-=-=e e )10,6(),5,3(21==e e )3,2(),3,2(21-=-=e e 20πθ<<()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =b a //=θtan a b 1||=a )1,2(=b 0b a =+λR λ∈||λ=(3,3)a =(1,1)b =-()()a b a b λλ+⊥-λ=1e 2e α1cos 3α=1232a e e =-123b e e =-βcos β。

《向量》复习

三、《向量》复习（一）向量有关概念：★ 向量的定义（大小和方向）、区分共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量，特殊的两个向量：零向量和单位向量，注意向量的平行不具有传递性，零向量与任一向量是共线的；不可以说零向量与任一向量方向相同或相反或垂直，因为零向量的方向是任意的！ 1、（提纲12月9日例1）判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. （1）若|a |>|ｂ|,则a >b ；（2）单位向量都相等；（3）若|a |=0,则a=0；（4）方向不相同的两个向量一定不平行；（5）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；（6）若a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量；（7）任一向量与它的相反向量不相等；（8）若两个向量不相等，则他们一定不共线；（9）向量AB u u u r 与CD uuur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；（10）四边形ABCD 是平行四边形一定有AB DC =u u u r u u u r；（11）若a ＝b ，则一定有|a |=|b |，且a 与ｂ方向相同；（12）若|a |=|ｂ|，且a ∥b ，则a ＝b ；（13）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；（14）若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； 2、（限12月9日23）如图，在5×4的矩形（每个小方格都是单位正方形）中，则起点和终点在小方格的顶点处的向量与AB u u u r平行，且模为2的向量个数为_______3、下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r ；（2）若两个向量相等则它们的起点相同，终点相同；（3）错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

平行，a 与b 的方向相同或相反；（4）若AB DC =u u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形；（5）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ；（6）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r ；（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r；其中正确的是_______ （二）向量的几何运算★★ 向量的加法：三角形法则（首尾相连，首尾连）和平行四边形法则（共起点，对角线），三角形法则适用于作任意两个向量的和向量，而平行四边形法则只适用于不共线的两个向量作和向量；注重加法的连贯性，以及相等向量的相互替换，还要注意其几何意义的应用即在特殊图形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形）中的应用.4、（提纲12月10日学习：辨别正误）(1)如果非零向量a 与b 共线，那么a+b 的方向必与a ，b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点． (4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．（5）(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AC →（6）若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同5、在平行四边形ABCD 中，下列式子：①AD →＝AB →＋BD →；②AD →＝AC →＋CD →；③AD →＋AB →＝AC →；④AB →＋BC →＝AC →； ⑤AD →＝AB →＋BC →＋CD →；⑥AD →＝DC →＋CA →.其中不正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 6、下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37、（限12月10日1）向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（）A ． BC uuu rB ． ABC ． ACD ．AM8、（限12月10日6）已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )． A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反9、（限12月10日11）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →10、（限12月10日19）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB u u u r ＝a ，AF u u u r＝b ，用a 、b 表示AE u u u r.11、（限12月10日14）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →12、（限12月10日15）设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r★★向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指被减）13、（提纲12月11日例1）化简：（1） ()()AB CD AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r（2）AD BM CB CM --+u u u r u u u u r u u u r u u u u r14、平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，用a 、b 表示向量,AC DB u u u r u u u r.（1）当a ,b 满足什么条件时，a +b ， a -b 互相垂直？（2）当a ,b 满足什么条件时，|a +b |=| a -b |? （3） a +b ， a -b 有可能是相等的向量吗?为什么?15、化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r____； ③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r_____16、（限12月11日9）下列命题中，真命题的个数为(其中a ≠0，b ≠0) ( ) ①|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同 ②|a |＋|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相反③|a ＋b |＝|a －b |⇔a 与b 有相等的模 ④|a |－|b |＝|a －b |⇔a 与b 方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 17、（限12月11日16）若|a |＝|b |＝| a ＋b |＝1，则| a －b |＝ . 18、（限12月11日14）点O 是ABC △内一点，若0=++OC OB OA ，则O 是三角形的___心.19、若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r，设||||AP PD λ=u u u r u u u r ，则λ的值为____________. （三）向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算称为向量的线性运算，运算的结果还是向量；注意向量共线定理的应用，找到向量的数量关系是做题的关键，特别是用已知向量表示未知向量时，一定要往已知向量上靠拢，利用加法和减法进行向量的分解与合成，注意到一些关键性的语言，比如中点，三等分点，中位线，还有特殊的图形：平行四边形、菱形、矩形等。

向量复习知识归纳

向量 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) ： a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．性质：①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时， a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤ ．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的关系为：A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（）A 、090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A ．5B ．25C ．5D ．107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．22B ．23C ．42D ．438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（）A ．322 B ．3152 C ．322-D ．3152-11、已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________.21、设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________22、P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________23、如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．24、已知向量a ＝（cos23x ，sin 23x ），b ＝（cos 2x ，—sin 2x ），且x ∈［2π，23π］.(1) 求b a ⋅及|a +b |；（II ）求函数f(x)＝b a ⋅-b a +的最小值。

空间向量综合复习 (2)

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：授课日期：2014 年 12月日姓名年级高性别授课时间总课时第课教学课题空间向量综合复习教学目标 1.理解空间向量的定义 2.会用空间向量的性质解题难点重点空间向量的综合应用签字教学组长签字：教研主任签字:既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示； ②用字母a 、b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0.向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 空间中具有大小和方向的量叫做向量空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．空间任意两个向量是共面的．空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

向量的复习

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

1、数量与向量的区别：2•向量的表示方法：①用有向线段表示；2、零向量、单位向量概念:②用字母等表示；③用有向线段的起点与终点字母3、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定二、向量加、减法运算及其几何意义1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、b .在平面内任取一点A ,作AB = a, BC = b,则向量AC叫做a与b的和，记作 a +b,即卩 a + b 二AB - BC = AC 规定：a + 0-= 0 + a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？（2）当向量a与b不共线时，| a + b|<| a|+| b| ；什么时候I a + b|=| a|+| b|，什么时候| a + b|=| a| -1 b| , 当向量a与b不共线时，a + b的方向不同向，且|a + b|<| a|+| b| ；当a与b同向时，贝V a+b、a、b同向，且I a + b|=| a I+I b I ,当a与b反向时，若I a I>I b I，则a + b的方向与a相同，且I a + b I=I a I-I b I ；—r —fc- —«—■—te-—w —b-若I a I<I b I，则a + b的方向与b相同，且Ia+bI=I b I-I a I.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加0与任一向量平行两向量的和仍是一个向量;3 .例一、已知向量a、b，求作向量a + bbba作法：在平面内取一点，作 0A 二a AB 二b ，则0B 二a • b .4•加法的交换律和平行四边形法则例、一艘船从 A 点出发以2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h ，求水流的速度.若b + x = a ,贝U x 叫做a 与b 的差，记作a - b三•平面向量基本定理：如果e , , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = ^ iq+入2e 2（1）我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不惟一，关键是不共线；问题：上题中b + a 的结果与a + b 是否相同?验证结果相同从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2）向量加法的交换律:a +b = b +a5 .你能证明：向量加法的结合律:(a + b ) + c = a + ( b +c ) 吗?6•由以上证明你能得到什么结论? 组合来进行.多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的减法用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:a 、b ,求作向量a - b例一、（P86 例三）已知向量 a 、b c 、d ，求作向量 a -b 、 1.求作差向量：已知向量a 、 c-d.解：在平面上取一点 O ,作OA = a , OB = b , OC = c ,OD = d ,解：由平行四边形法则得:AC = a + b , DB = AB - AD = a —bb 表示向量AC 、DB .(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e i、e2的条件下进行分解;(4) 基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , u , e2唯一确定的数量：四•平面向量的坐标运算思考1 ：已知：a =(X i, yj , b =(X2, y2)，你能得出a b、a - b、■ a的坐标吗？设基底为i、j，贝V a ^ (x1 i y1 j) (x2i y2 j)=(为x2)i (y1 y2)j即a^(x1 X2，y1 y2)，同理可得a -b =(X1 -X2,y1 - y2)(1) 若a=(X1，y J , b=(X2,y2),贝V a b =(/ x?,% y?),a -b=(X1 -X2,% - y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差(2)若a =(x,y)和实数■，则^( x, y).思考2：已知A(x1,y1) , B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？(3)若A(X1，yJ , Bgy)，则AB = x? -为，y? - 力AB =OB —0A=( x 2, y2) - (x 1, y1)= (x 2- X 1, y 2- y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标思考3:你能标出坐标为(X2- x 1, y2- y 1)的P点吗？向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

中职数学-向量复习

（2） ∙ = = ；
（） , =
∙

（4） ∙ ≤
；
例：已知 = ， =6， , = °，求：
（1） + ∙ − ；（2） + ∙ − ；（3） + ；（4） − .
）
）
二、向量加法：
1.三角形法则：首尾相连首尾连
2.平行四边形法则：共起点，对角线
练习：（1） + ；（2） + ；（3） + + ；
（4） + +
三、向量减法：
− =
− =
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量：
向量内积的运算律：
（1）交换律： ∙ = ∙ ；
（2）数乘结合律： ∙ = ∙
例：已知 = ， =6，求2 ∙ .
（3）分配律： + ∙ = ∙ + ∙
两个向量的内积有如下性质：
设, 为两个非零向量，则：
（1） ⊥ ⟺ ∙ = ；
使 = .
1.已知，，为非零向量，判断下列各题中向量，是否平行.
（1） = ， = ；
（2） = + ， = + .
作业
1.如图所示，已知点和点是线段的三等分点，点是
线段外任意一点，如果 = ， = ，试用向量,
例：已知等边△，其边长为，求：
（1） ∙ ；
（2） ∙ .
当 , =0时，与方向相同；
当 , = 时，与方向相反；
当 , =

时，

与垂直，记作 ⊥ .
例：已知 = ， =6，求出下列各种情况下 ∙ 的值：

向量的线性运算知识点总复习有解析

A． a / /b
【答案】C
B． a b
C． BD 7 2
D． a 与 b 方向相反
【解析】
【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.
【详解】
解：已知 a＝2c ， b＝ 2c ，故 a，b 是长度相同，方向相反的相反向量，
故 A,B,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选 C. 【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断 A、B、D 三项结论正确.
AB AC CB ，故 A 选项错误；
AB AC BC ，故 B、C 选项错误；
AB BC CA 0 ，故 D 选正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
15．已知 a ， b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a ∥ b 的是（）
A． a // c ， b // c
意．
B、由| a | 3 | b | 只能判定向量 a 、 b 的模之间的关系，不能判定向量 a 、 b 的方向是否相
同，故本选项符合题意．
C、由 a 5b 可以判定向量 a 、 b 的方向相反，则 a//b ，故本选项不符合题意．
D、由 a 2b 可以判定向量 a 、 b 的方向相同，则 a//b ，故本选项不符合题意．
2 3
a
．
故选 B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为 0 的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
11．已知 a 、 b 、 c 都是非零向量，如果 a 2c ， b 2c ，那么下列说法中，错误的是

向量总复习

3.加法减法运算率 1）交换律： 2）结合律：
O
B
A
a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c)
平面向量复习
实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个
向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向与a方向相反.
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a) b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b) c a c b c
注意：数量积不满足结合律
即: (a b) c a (b c)
平面向量数量积的重要性质
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a // b(b 0) a b; (2)a // b(a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0) x1 y2 x2 y1 0
向量垂直充要条件的两种形式:
(1)a b a b 0 (2)a b a b x1 x2 y1 y2 0
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等.
, 即: a ( x1 y1 ),
那么
a b x1 x2且y1 y2
b ( x2 , y2 )
三、平面向量的基本定理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1 , 2 ,使 a 1 e1 2 e2
a O θ

向量复习题及答案

向量复习题及答案一、选择题1. 已知向量$ \mathbf{a} = (2, 3) $和向量$ \mathbf{b} = (4,1) $，向量$ \mathbf{a} $和向量$ \mathbf{b} $的点积是：A. 5B. 7C. 8D. 102. 向量$ \mathbf{c} = (1, 2, 3) $的模长是：A. $ \sqrt{6} $B. $ \sqrt{14} $C. $ \sqrt{21} $D. $ \sqrt{36} $3. 向量$ \mathbf{d} = (x, y) $与向量$ \mathbf{e} = (3, 4) $平行，若$ x = 6 $，则$ y $的值是：A. 8B. 12C. 16D. 20二、填空题4. 若向量$ \mathbf{f} $和向量$ \mathbf{g} $垂直，则$ \mathbf{f} \cdot \mathbf{g} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。

5. 向量$ \mathbf{h} = (-1, 3) $的单位向量是$ \frac{\mathbf{h}}{|\mathbf{h}|} =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。

三、解答题6. 已知向量$ \mathbf{i} = (1, 0, 1) $和向量$ \mathbf{j} = (0, 1, 1) $，求它们叉积的结果。

7. 向量$ \mathbf{k} $和向量$ \mathbf{l} $的和是$ \mathbf{m} = (5, 7) $，若$ \mathbf{k} = (2, 3) $，求向量$ \mathbf{l} $。

8. 向量$ \mathbf{n} = (3, 4) $在向量$ \mathbf{o} = (1, 2) $上的投影长度是多少？四、应用题9. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 7)，求AB两点间的向量，以及其模长。

高中数学向量复习题

高中数学向量复习题一、单项选择题1、已知点A （1，－1），B （4，2），P 为AB 的中点，则AP →的坐标为（）A.（32，32）B.（32，－12） C.（5，4） D.（3，－3） 2、化简：AB→－AC →－BC →等于（） A.0 B.2CB→ C.2BC → D.2AB → 3、已知向量a ＝（3，4），b ＝（x ，8），若a ∥（a ＋b ），则x 的值为（）A.3B.4C.5D.64、已知a ＝（－1，2），b ＝（4，k ），若|a ＋b|＝5，则k 等于（） A.2或6 B.2或－6 C.2 D.－2或65、（AB→＋MB →）＋（BC →－OB →）＋OM →等于（） A.AB→ B.AC → C.AM → D.BC → 6、若向量AB→＝（1，2），BC →＝（－4，2），则|AC →|等于（） A.2 5 B.5 C.20 D.257、下列关于向量的关系式一定成立的是（）A.AB→＋（－AB→）＝0B.AB→－AC→＝BC→C.AB→＋AC→＝CB→D.AB→－AC→＝CB→8、在平面直角坐标系中，已知a＝（1，2），a－12b＝（3，1），c＝（x，3），若（2a＋b）∥c，则x等于（）A.－2B.－4C.－3D.－19、已知向量a＝（2，x），b＝（－2，x），若a⊥b，则｜a｜等于（）A.2B.2 2C.4D.810、已知A（1，3），B（4，－1），则与AB→同方向的单位向量为（）A.12B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.53,45⎛⎫-⎪⎝⎭11、已知A（0，1），B（3，2），AC→＝（－4，－3），则BC→等于（）A.（－7，－4）B.（7，4）C.（－1，4）D.（1，4）12、若平面向量a＝（3，1）b＝（－9，x）则|a＋b|的最小值为（）B.6C.10D.3613、如图所示，正六边形ABCDEF 边长为1，O 为中心，则|OE →＋OC →－OA→|＝（）A.AD→ B.DA → C.1 D.2 14、已知a －2b ＝（4，－7），b ＝（－2，2），|a ＋b|＝（） A.3 B.3＋2 2 C.2 2 D. 5 15、下列说法中，错误的个数为（）①向量AB→ 的模与向量BA → 的模相等； ②若两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量一定是共线向量； ④共线向量是可以平移到同一条直线上的向量； ⑤平行向量就是向量所在直线平行. A.2 B.3 C.4 D.516、已知a ，b 不共线，且实数x ，y 满足2xa －（y －7）b ＝（3＋y ）a ＋（5x ＋3）b ，则x 和y 的值分别为（）A.1，－1B.－1，1C.1，1D.－1，－117、下列各组向量中，共线向量是（）A.a ＝（－2，3），b ＝（4，6）B.a ＝（2，3），b ＝（3，2）C.a ＝（1，－2），b ＝（7，14）D.a ＝（－3，2），b ＝（6，－4） 18、若向量a ＝（－3，4），b ＝（1，－2），则|a|·b 等于（） A.5 B.（5，－10） C.－10 D.（－10，5） 19、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，|AB → ＋FE → ＋CD → |等于（） A.1 B. 2 C. 3 D.220、已知菱形ABCD 的边长为1，且∠DAB ＝60°，则|AB → －AD → |等于（）A.4B.3C.2D.121、在四边形ABCD 中，若AD → ＝BC → ，AB → ＝a ，AD → ＝b ，则CA → 为（）A.a ＋bB.a －bC.－a －bD.b －a 22、在△ABC 中，已知D 为BC 的中点，则AD → 等于（） A.12 ⎝⎛⎭⎫AB →＋AC → B.12 ⎝⎛⎭⎫AB →－AC → C.－12 ⎝⎛⎭⎫AD →＋AC → D.12 （AC→ －AB → ）23、已知AB → ＝（3，－4），点A （－2，5），则B 点坐标为（） A.（1，1） B.（－5，－9） C.（5，－9） D.（－1，1）24、已知点A （3，6），B （－2，4），若AB → ＝BC → ，则点C 的坐标为（） A.152⎛⎫⎪⎝⎭， B.（8，8） C.（－7，2） D.（7，－2）25、已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），c ＝（11，7），若c ＝ka ＋lb ，则k ，l 的值分别为（）A.－2，3B.－2，－3C.2，－3D.2，326、已知平面向量a ＝（1，2），b ＝（－2，m ），且a ∥b ，则|b|等于（）A. 5B.2 5C.3 5D.1 27、下列表示正确的是（）28、若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5,6）,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2,3）,则BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（）A.（3,3）B.（2,4）C.（6,10）D.（-6,-10）29、下列说法正确的是（） A.若a 和b 都是单位向量，则a=bB.若非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C.若a//b ，b//c ，则a//cD.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 是两个平行向量 30、已知向量OM=（2,-1），ON=（-4,1），则12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （）A.（-6,2）B.（-3,1）C.（6,-2）D.（3,-1） 31、设e 1,e 2是两个不共线的向量,a//b 且a =2e 1−e 2,b =e 1+λe 2,则λ=（）A.0B.-1C.-2D.-1232、已知向量a=（m,3）,且|a|=5,则m= （） A.2 B.4 C.-2或2 D.-4或433、已知向量a=（1,-1）,b=（2,5）,则|2a+b|= （）B.10C.5D.25二、填空题34.若向量a ＝（1，0），b ＝（1，4），则与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为 .35.已知a ＝（1，－2），|b|＝2 5 ，且a ∥b ，则b ＝ . 36.若向量a ＝（2，y ），b ＝（－4，2），且2a // b ，则y ＝ . 37.若向量a ＝（3，－2），b ＝（－2，1），c ＝（7，－4），且c ＝λa ＋μb ，则λ＝，μ＝ .38.（1）若点A （0，1），B （1，2），点C 满足AC → ＝23 AB → ，则点C 的坐标为 .（2）若点A （0，1），B （1，2），C （3，4），则AB → －2BC → ＝ . 39.已知平面向量a ＝（2，－2），b ＝（5，m ），且|a －b|＝5，则m ＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）40.已知A （－2，1），B （4，－5）两点，且AM →＝12AB →，求点M 的坐标.41.化简：（1）AB →＋CA →＋BD →；（2）OP →－QP →＋PS →＋SP →.42.已知向量a ＝（2，3），b ＝（－1，2），若a －2b 与非零向量ma ＋nb 共线，求mn 的值.43.已知点M ，N 是线段AB 的三等分点，P 是线段AB 外任意一点，设PA→＝a ，PB →＝b ，试用a ，b 表示MN →，PM →.44.已知向量a ＝（4，2），b ＝（4，6），c ＝（－2，－2）. （1）求2a ＋b ＋3c ；（2）判断AB→＝a ＋b 与向量c 的关系. 45.已知a ＝（1，2），b ＝（－2，m ），若a ∥b ，求2a ＋3b 的值；若a ⊥b ，求2a ＋3b 的值. 46.化简下列各式：（1）CE→＋AC →－DE →－AD →；（2）已知a ＝（2，－3），b ＝（1，4），求2a －3b.47.已知点A （m ，－4），B （－2，8），C （2，0），且向量BA 与CA 平行，求实数m 的值.48.已知点A （－3，4），B （2，5），C （1，3），求3AB→－4BC →＋CA →. 49.如图所示，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 是BC 的中点，记AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →.50.如图所示，在矩形ABCD 中，已知|AD →|＝2，|AB →|＝3，求|AB →＋BC →＋BD→|.51.已知向量a ＝（3，2），b ＝（－1，2），c ＝（4，1）. （1）求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值；（2）若（a ＋kc ）∥（2b －a ），求实数k 的值.52.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A ，B ，C 的对应坐标分别为A （-1，-3），B （-1，0），C （-2，-3），判断△ABC 的形状并求∠ACB 的度数.53.在△ABC 中，M 为AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，用向量a ，b 表示AM→，CB →.54.已知点M ，N 是线段AB 的三等分点，P 是线段AB 外任意一点，设PA→＝a ，PB →＝b ，试用a ，b 表示MN →，PM →. 55.在△ABC 中，已知A （4，1），B （－2，5），C （－4，3），求中线AD 的长度.56.已知向量OA →＝（－1，－1），OB →＝（－2，－3），OC →＝（－3，0），判断△ABC 是否为等腰三角形.57.已知向量a ＝（2，4），b ＝（x ，2），当a ＋2b 与2a －12b 平行时，求：（1）x 的值；（2）｜2a ＋b ｜.答案一、单项选择题 1.A2.B 【提示】AB →－AC →－BC →＝CB →－BC →＝2CB →.3.D4.B5.B6.B7.D8.D 【提示】 ∵a －12b ＝（3，1），a ＝（1，2），∴b ＝（－4，2），∴2a ＋b ＝（－2，6），若（2a ＋b ）∥c ，则存在唯一的实数λ使（－2，6）＝λ（x ，3），∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λx ，6＝3λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，λ＝2，故选D ．9.B 【提示】 ∵a ⊥b ，∴2×（－2）＋x2＝0，解得x ＝±2，于是a ＝（2，2）或a ＝（2，－2），∴｜a ｜＝22＋22＝22＋（－2）2＝22．10.A 【提示】AB →|AB →|＝34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 11.A 【提示】AB→＝（3，1），∴BC →＝AC →－AB →＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），故选A.12.B 【提示】|a ＋b|13.D 【提示】 |OE ＋OC→－OA →|＝|AD →|＝2. 14.D15.A 【提示】 ①|AB→ |＝|BA → |，正确；②正确；③共线向量与方向有关，与终点无关，错误；④正确；⑤平行向量有可能在同一直线上，错误．16.A 【提示】由题意得23753x y y x =+⎧⎨-+=+⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩ 17.D 18.B 【提示】 ∵|a|＝（－3）2＋42 ＝5，∴|a|·b ＝5（1，－2）＝（5，－10）.19.D 【提示】 |AB→ ＋FE → ＋CD → |＝|ED → ＋FE → ＋AF → |＝|AD → |＝2.20.D 【解析】 ∵△ABD 是等边三角形，∴|AB→ －AD → |＝|DB → |＝1. 21.C 【提示】 CA→ ＝CB → ＋BA → ＝DA → ＋BA → ＝－b －a. 22.A23.A24.C 【提示】设点C （x ，y ），AB→ ＝（－5，－2），BC → ＝（x ＋2，y －4）.25.D 【提示】利用向量相等的定义求解. ∵（11，7）＝k （1，2）＋l （3，1）. ∴⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l ，7＝2k ＋l ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，l ＝3.26.B 【提示】 ∵a ∥b ，∴m ＝－4.27.A28.A29.D 【解析】单位向量大小相等,方向不一定相等,故A 错误;两个向量共线还可以是平行,故B 错误;若a ∥b,b ∥c,b 可以是零向量,故C 错误;AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 方向正好相反,∴选项D 正确. 30.B 【解析】111()(6,2)(3,1),222MN ON OM =-=-=-选项B 正确. 31.D 【解析】211//,,,12a b λλ-∴==-选项D 正确.32.D【解析】||5, 4 4.a m ==∴=-或33.()24,3,2 5.Ca b a b +=∴+==【解析】二、填空题34.（35，45）35.（2，－4）或（－2，4）【提示】设b ＝（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝25，－2x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4， ∴b ＝（2，－4）或（－2，4）.36.－1 【提示】 2a ＝（4，2y ），b ＝（－4，2）.∵2a // b ，∴8＝2y×（－4），∴y ＝－137.1 －2 【提示】 ∵c ＝λa ＋μb ＝λ（3，－2）＋μ（－2，1）＝（3λ－2μ，－2λ＋μ）＝（7，－4），∴⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝7，－2λ＋μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝－2. 38.（1）2533⎛⎫ ⎪⎝⎭，（2）（－3，－3）39.2或－6 【提示】 |a －b|＝（－3）2＋（－2－m ）2 ＝5.三、解答题40.解：设M （x ，y ），则（x ，y ）－（－2，1）＝12[（4，－5）－（－2，1）]，∴（x ，y ）＝（1，－2），∴点M 的坐标为（1，－2）.41.解：（1）原式＝（AB→＋BD →）＋CA →＝AD →＋CA →＝CD →．（2）原式＝OP→＋PQ →＋0＝OQ →． 42.解法一：由向量坐标运算a －2b ＝（4，－1），ma ＋nb ＝（2m ，3m ）＋（－n ，2n ）＝（2m －n ，3m ＋2n ），由向量共线定义得4（3m ＋2n ）＝－（2m －n ）即n ＝－2m ，∴m n ＝－12．解法二：∵a 、b 不共线，a －2b 为非零向量，ma ＋nb 共线，∴1－2＝m n ．43.解：如图所示，AB →＝PB →－PA →，MN →＝13AB →＝13（b －a ），PM→＝AM →－AP →＝13b －13a ＋a ＝13b ＋23a ．44.解：（1）2a ＋b ＋3c ＝2（4，2）＋（4，6）＋3（－2，－2）＝（6，4）．（2）∵AB→＝a ＋b ＝（4，2）＋（4，6）＝（8，8），且8×（－2）－8×（－2）＝0，∴AB→∥c ．45.解：若a ∥b ，则有1×m －2×（－2）＝0，m ＝－4，∴b ＝（－2，－4），∴2a ＋3b ＝2（1，2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8），若a ⊥b ，则a ·b ＝1×（－2）＋2m ＝0，∴m ＝1，∴b ＝（－2，1），∴2a ＋3b ＝2（1，2）＋3（－2，1）＝（－4，7）．46.解：（1）原式＝CE→＋ED →＋AC →－AD →＝CD →＋DC →＝0. （2）2a －3b ＝2（2，－3）－3（1，4）＝（4，－6）－（3，12）＝（1，－18）．47.448.解：AB→＝（5，1），BC →＝（－1，－2），CA →＝（－4，1）. ∴3AB→－4BC →＋CA →＝3（5，1）－4（－1，－2）＋（－4，1）＝（15，3）－（－4，－8）＋（－4，1）＝（15，12）.49.解：AD→＝BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →＝a ＋12（－a ＋b ）＝12a ＋12b.50.解：AB→＋BC →＋BD →＝AB →＋BC →＋BC →＋CD →＝2BC →＝2AD →， ∴|AB→＋BC →＋BD →|＝|2BC →|＝2|AD →|＝4.51.解：（1）由题意知（3，2）＝m （－1，2）＋n （4，1）， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.（2）a ＋kc ＝（3＋4k ，2＋k ），2b －a ＝（－5，2），∵（a ＋kc ）∥（2b －a ），∴2（3＋4k ）＋5（2＋k ）＝0，∴k ＝－1613.52.解：CA →＝（1，0），CB →＝（1，3），AB →＝（0，3），∴|CA →|＝1，|CB →|＝2，|AB →|＝3，∴|CB →|2＝|CA →|2＋|AB →|2，∴△ABC 为直角三角形.又∵cos ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝60°.53.解：AM →＝AC →＋CM →＝－b ＋a ＝a －b.CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM →＝b ＋2（a －b ）＝2a －b.54.解：如图所示．MN →＝13AB →＝13（PB →－PA →）＝13（b －a ）＝13b －13a ，PM →＝PA →＋AM →＝PA →＋MN →＝a ＋13b －13a ＝13b ＋23a.55.解：由题意得D （－3，4），于是AD→＝（－3，4）－（4，1）＝（－7，3），∴｜AD→｜＝（－7）2＋32＝58． 56.解：∵AB →＝OB →－OA →＝（－2，－3）－（－1，－1）＝（－1，－2），AC→＝OC →－OA →＝（－3，0）－（－1，－1）＝（－2，1），∴｜AB →｜＝｜AC→｜，故△ABC 为等腰三角形． 57.解：（1）∵a ＋2b ＝（2，4）＋2（x ，2）＝（2＋2x ，8），2a －12b ＝2（2，4）－12（x ，2）＝14,72x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且（a ＋2b ）∥122a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴（2＋2x ）×7－8142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0，即14＋14x －32＋4x ＝0.∴18x ＝18，x ＝1.（2）由（1）知b＝（1，2），∴2a＋b＝2（2，4）＋（1，2）＝（4，8）＋（1，2）＝（5，10），∴｜2a＋b｜＝25＋100＝5 5.。

平面向量复习综合练习题及答案

A． B． C． D．4
10、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则?=
(A) (B) (C) - (D) -
11、（北京理4）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
12、（福建理4文8）对于向量，a、b、c和实数，下列命题中真命题是
A.(2,14)B.(2,- )C.(-2, )D.(2,8)
答案：选B
16．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b= mq-np,下面说法错误的是（）
A．若a与b共线,则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙a
C．对任意的 R,有( a)⊙b = (a⊙b)D．(a⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2
求。
31、已知A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且0< <
（1）若|OA+OC|= ，求OB与OC的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tan 的值。
32、
求证：（1）A、B、D三点共线．
33、已知之间有关系，其中k＞0,
（1）k表示；（2）求的最小值，并求此时夹角的大小。
20．P是圆C: 上的一个动点,A( ,1),则的最小值为______2( -1)
21．已知 =(3,2), =(-1,0),向量 + 与 -2 垂直,则实数的值为_________1
22．在直角三角形中, ,点是斜边上的一个三等分点,则
23、（江西理15）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．
(1)求角的大小；

新初中数学向量的线性运算知识点总复习附答案解析(2)

新初中数学向量的线性运算知识点总复习附答案解析(2)一、选择题1．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（） A ．a r//c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =r rC ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断．详解：A ．∵a r∥c b rr，∥c r，∴a b P u u r r，故本选项，不符合题意； B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．2．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C. 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．3．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D【解析】【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．4．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列选项与1122a b -+rr 相等的向量是（）．A ．MA u u u rB ．MB u u u rC ．MC u u u u rD ．MD u u u u r【答案】D 【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴()11112222a M AC ab A b =+==----u u u r u u u r r rr r ，故A 不符合题意；()11112222MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r rr r ，故B 不符合题意；()11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r rr ，故C 不符合题意；()11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r rr r ，故D 符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（）． ①0m <，0a ≠rr时，ma r 与a r的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠rr时，ma r 与a r是平行向量； ③0mn >，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相反． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确．故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.7．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D 【解析】【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.8．下面四个命题中正确的命题个数为（）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r，正确； ③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．9．计算45a a -+r r的结果是（）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键10．下列结论正确的是（）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关【答案】C 【解析】【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.11．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r是非零向量，那么下列等式正确的是（）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a=v v vD ．11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.12．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r 是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，，继而证得结论．【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误； B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．13．在下列关于向量的等式中，正确的是（） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u rB ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u rD ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确.故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.14．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r，那么下列结论中错误的是（）A ．//a b r rB ．3||||2a b =r rC ．a r 与b r方向相同D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r∴3a b 2=-r r ，∴a r ∥b r ，32a b =-r ra r 与b r方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v，那么下列说法错误的是（）A ．a r∥b rB ．|a r |=2C ．|b r |=﹣2|a r |D ．a r =﹣12b r【答案】C 【解析】【分析】【详解】解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v，4b e =vv，∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ， 12a b =-v v ，故C 选项错误，故选C.16．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r表示b r 向量为（） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53b a =-r r【答案】D 【解析】【分析】根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r 表示b r 向量.【详解】a r=3，b r =5，b r =53a r ,b r 与a r的方向相反, ∴5.3b a =-r r故选：D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.17．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r rP 的是（）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rrD ．2a b =r r【答案】D 【解析】【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r ，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r 不一定平行，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．18．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（） A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r，1）C ．OG u u u r 12），OH u u u r ）2，8）D ．OM u u u u r ），ON u u u r 2）【答案】A 【解析】【分析】根据向量互相垂直的定义作答．【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.19．已知向量a r 和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断．【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r|＝|b r |＝1，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．下列式子中错误的是（）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=rr rC ．()a b a b -+=--r r r r D ．a b b a -=-r r r r【答案】D 【解析】【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确；B. a r与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r ，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r ，故本选项错误. 故选D.【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.。

向量知识点总结与总复习

平面向量知识网络第1讲向量的概念与线性运算★ 知识梳理 ★1．平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有____ _________的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____ _____表示向量的大小，用____ ____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.特别提醒：1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2．向量的线性运算向量的概念向量的运算向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbba +ba +AABBC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______（3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1) AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a +(-b)(-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b) a - b3.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ， λ（a +b ）=λa +λb .特别提醒：1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

高中的数学平面向量专题复习(含例题练习)

标准实用平面向量专题复习一.向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移) 。

如：2•零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是-AB )；一|AB|4 •相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作： a // b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;② 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线平行不包含两条直线重合； *③ 平行向量无传递性！(因为有0)$ ④ 三点A B C 共线 AB AC 共线；a 的相反向量是一a 。

女口 =b ，则a =b 。

(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

(4)若ABCD 是平行四边形，则 AB = DC 。

( 5)若a = b,b= c ，则、向量的表示1•几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后;2 •符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c 等；坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三. 平面向量的基本定理：如果 e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 ■ 1、 ’2，使a= \ 8+ '2e 2。

女口卄片片 ■+4例 2 (1)若 a =(1,1)b =(1,-1),c=(—1,2)，则 c= _________(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 2 =(0,0),e 2 =(1,-2)B. e =(-1,2)© =(5,7)13 C. e = (3,5)6 =(6,10) D. e =(2,-3)© =(—,-—)24(3) 已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD =a,BE =b ,则BC 可用向量a,b 表示为 _____但两条直线6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

中考数学专题复习向量问题(一)

中考数学专题复习向量问题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人得分一、单选题1．已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =-2．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（） A ．a e a =B ．e b b =C ．1a e a =D ．11a b ab=3．已知向量a 和b 都是单位向量，那么下列等式成立的是（） A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b -=D ．a b =4．已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（） A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b +=D ．2a b +=5．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（）． A ．1a e a =；B ．e a a =；C ．b e b =；D ．11a b ab=．6．已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（）A ．23a b =B ．23a b =-C ．32a b =D ．32a b =-7．如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a -8．下列命题中，正确的是（） A ．如果e 为单位向量，那么a a e = B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b = C ．如果a b =-，那么//a bD．如果a b =，那么a b =9．已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（） A ．12e e = B ．a b =-C ．a b =D ．a b =-评卷人得分二、填空题 10．在△ABC 中，AB BC CA ++＝_____．11．已知向量关系式()260a b x +-=，那么向量x =______．（用向量a 与向量b 表示）12．计算：()13242a ab --=________． 13．计算：()()2232a b a b -++=________．14．如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设AB a =，AD b =，那么AO =____．（用向量a 、b 的式子表示）15．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______．16．计算：322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______．17．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为______．18．计算：()()322a b a b+--=______．19．计算：()122a b b-+=_______________．评卷人得分三、解答题20．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，//AB DE，//AC DF，AC与DE 相交于点G，12AG DGGC GE==，2BE=．（1）求BF的长；（2）设EG a=，BE b=，那么BF=，DF=（用向量a、b表示）．21．如图，在ABC中，点G是ABC的重心，联结AG，联结BG并延长交边AC于点D，过点G作//GE BC交边AC于点E．（1）如果AB a=，AC b=，用a、b表示向量BG；（2）当AG BD⊥，6BG=，45GAD∠=︒时，求AE的长．22．如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE 的长；（2）设BA a =，BC b =．△请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE =________；△连接BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】23．已知向量关系式()132a xb x -=+，试用向量a 、b 表示向量x ．24．如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．25．如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．26．如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DNNE的值；（2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．27．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O ．设BA a =，CB b =．（1）试用a、b表示BO；（2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）参考答案：1．B 【解析】【分析】根据向量的有关定义和运算分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确； B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误； C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确；D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确．故答案为：B ．【点睛】本题考查了向量的相关应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及运算法则． 2．B 【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量. 3．D 【解析】【分析】根据向量a 和b 都是单位向量，，可知|a |＝|b |＝1，由此即可判断．【详解】解：A 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =不一定成立，故本选项错误．B 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=不一定成立，故本选项错误．C 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=不一定成立，故本选项错误．D 、向量a 和b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键 4．D 【解析】【分析】根据单位向量的定义进行选择．【详解】解：△a 和b 是两个单位向量，△它们的长度相等，但是方向不一定相同； △2a b +=正确；故选：D ．【点睛】本题考查单位向量的含义；属于基础题． 5．B 【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A、左边得出的是a的方向不是单位向量，故错误；B、符合向量的长度及方向，正确；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了向量的性质．6．B【解析】【分析】根据向量的方向和模的关系可得a=2e，b=-3e，从而可得e=13b-，即可求出结论．【详解】解：由题意可知：a=2e，b=-3e△e=1 3b -△a=2e=2 3b -故选：B．【点睛】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键．7．D【解析】【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE与BC的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED的值．【详解】解：△//DE BC，△DE AD BC AB=，△2AD=，3BD=，△223 DEBC=+，△25DE BC =． △BC a =， △ED =25a -．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 8．C 【解析】【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项．【详解】A 、如果e 为单位向量，则有1e =，但e 不等于1，所以a a e ≠，故错误；B 、长度等于1的向量是单位向量，故错误；C 、如果a b =-，那么//a b ，故正确；D 、a b =表示这两个向量长度相等，而a b =表示的是长度相等，方向也相同的两个向量，故错误；故选C ．【点睛】本题主要考查向量的定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键． 9．C 【解析】【分析】由1e 、2e 是两个单位向量的方向不确定，从而判定A 与B 错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C 正确，选项D 错误．【详解】解：△1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，△1e 与2e 不一定相等，选项A 错误；△1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，△a 与b -不一定相等，选项B 错误； △133a e ==，233b e =-=，△a b =，选项C 正确，选项D 错误；故选：C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的．10．0．【解析】【分析】由在△ABC 中，根据三角形法则即可求得AB +BC 的值，则可求得答案．【详解】△0AB BC CA AC CA ++=+=．故答案为：0．【点睛】本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．11．13a b + 【解析】【分析】利用类似一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．【详解】解：△()260a b x +-=△2660a b x +-= 626x a b =+x =13a b + 故答案为：13a b + 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，此向量方程的解法与一元一次方程的解法类似．12．22a b +【解析】【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案．【详解】解：()13242a a b --=3222.a a b a b -+=+ 故答案为：22a b +．【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键．13．8a b -【解析】【分析】根据向量的线性运算以及实数与向量相乘的运算法则计算即可．【详解】解：()()2232a b a b -++=2463a b a b -++=8a b -．故答案为8a b -．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及实数与向量相乘，掌握相关运算法则成为解答本题的关键．14．1233a+b【解析】【分析】先证明△AOD△△COB ，推出OA OC =12AD OD CB OB ==，求出2AD 2BC b ==，由三角形法则得出2AC AB BC a b =+=+即可根据13AO AC =求出答案．【详解】△OB=2OD，△12 ODOB=，△AD△BC，△△AOD△△COB，△OAOC=12AD ODCB OB==，△2AD2BC b==，△2 AC AB BC a b=+=+,△13AO AC==1233a+b，故答案为：1233a+b．【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用．15．b a-【解析】【分析】根据AB AO OB OA OB=+=-+计算即可．【详解】解：△OA a=，OB b=，△AB AO OB=+OA OB=-+a b=-+b a=-，故答案为：b a-．【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键．16．42a b-【解析】【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【详解】解：323-2=4-22⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭a ab a a b a b 故答案为：4-2a b【点睛】此题考查了平面向量的运算，注意去括号时的符号变化，熟练掌握法则是解题的关键，属于基础题17．a b --【解析】【分析】根据题意得2BC b =，再求出2CA a b =--，由CD CA AD =+即可求出结果．【详解】解：△2BC AD =，AD b =，//AD BC ，△2BC b =，△()()22CA AC AB BC a b a b =-=-+=-+=--，△2CD CA AD a b b a b =+=--+=--．故答案是：a b --．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算方法．18．8a b +【解析】【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解．【详解】解：()()32236228a b a b a b a b a b +--=+-+=+；故答案为8a b +．【点睛】本题主要考查向量的运算，熟练掌握向量的运算是解题的关键．19．12a b 【解析】【分析】去括号，合并同类向量即可解得．【详解】()1112222a b b a b b a b -+=-+=+ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．20．（1）8BF =；（2）4b ，332b a - 【解析】【分析】（1）先证△CEG△△CBA ，再证△ECG△△EFD ，然后求解即可；（2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可．【详解】解：（1）△AB△GE ，△△B=△DEC ，△△ACB=△ACB ，△△CEG△△CBA ，△1=2AG BE GC CE =， △CE=2BE=4，同理△ECG△△EFD ，△1=2DG FC GE CE =， △CE=2FC=4，△FC=2，△BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b =，由（1）可知BE=CF=12EC ，△22EC BE b ==，CF b =，△4BF BE EC CF b =++= ，△EG a = ，△1122GD EG a ==， △32ED EG CD a =+=， △23EF EC CF b b b =+=+=，△332DF EF ED b a =-=-．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．21．（1）2133BG a b =-+；（2）42AE =. 【解析】【分析】（1）由G 是重心，可得12AD b →→=， 23BG BD →→=，因为BD BA AD →→→=+，可得12BD a b →→→=-+，进而求出BG →；（2）根据G 是重心，求出DG =3，因为△AGD 是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD =32，由AD =DC ，DC =3DE 求出DE =2，相加即可．【详解】解：（1）△BD BA AD →→→=+，△点G 是Rt △ABC 的重心，△AD ＝12AC ，△→→=AB a ，→→=AC b ，△12AD a →→=， △12BD a b →→→=-+ △221()332BG BD a b →→→→==-+，21+33BG a b →→→=-．（2）△G 是三角形的重心，△BG =2GD ，AD =DC ，△BG =6，△GD =3，△AG BD ⊥，45GAD ︒∠=，△AG =GD =3，△223332AD =+=，△//GE BC ，△13DE GD DC BD ==， △DE =2，△AE =AD +DE =42【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．22．（1）83AE =；（2）△1133a b -+；△作图见解析．【解析】【分析】（1）先求出AB ，再据平行线分线段成比例，写出关于AE 、AC 、AD 、AB 的等比式，问题可解．（2）△以AD ，DE 为边作平行四边形ADEF ，，先再求得11,33AD a AF b =-=，据AE AD AF =+问题可解；△以BD 、DE 为边作平行四边形即可．【详解】解：（1）△//DE BC ，△AD AE AB AC=， △83AE =．（2）△如下图△DE△BC△△ADE=△B，△AED=△C△△ADE△△ABC△2163AD DEAB BC===又BA a=，BC b=△11,33AD a DE b=-=△四边形ADEF是平行四边形△13AF DE b==△1133AE a b=-+，△如下图，BD和BM是BE分别在a、b方向上的分向量．23．1277x a b=-【解析】【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．【详解】解：△()132a xb x-=+，△11322a xb x-=+，△7122x a b=-，△1277x a b=-．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）点N和点A、B所构成的三角形与ABC相似，理由见解析；（2）2a3b-【解析】【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；（2）延长AB至E，使BE=AB，根据向量加法的三角形法则计算即可．【详解】解：（1）点N和点A、B所构成的三角形与ABC相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a，则BC=a，AB=22a a2a+=，AC=()2225a a a+=，其中BC＜AB＜AC如下图所示，连接BM、AM则BM=()2225a a a+=，AM=()()223213a a a+=，其中AB＜BM＜AM△22AB aBC a==，51022BM aAB a==△ABBC≠BMAB△ABM和ABC不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a，AN=()22310a a a +=，其中AB ＜BN ＜AN △22AB a BC a ==，222BN a AB a ==，1025AN a AC a==， △AB BC ＝BN AB =AN AC △NBA △△ABC ；如下图所示，连接BP则BP=()2225a a a +=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP △22AB a BC a==，51022BP a AB a == △AB BC ≠BP AB△ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则BQ=()()222222a a a +=，AQ=()22310a a a +=，其中AB ＜BQ ＜AQ △22AB a BC a==，2222BQ a AB a == △AB BC ≠BQ AB△ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示△22AE AB a ==，33ED BC b =-=-△AD =AE ＋ED=2a 3b -．【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．25．（1）BF :DF =2：3，（2）3355DF a b =-．【解析】【分析】（1）先证∆BFE ∼∆DF A ，得出BE BF AD DF= ，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到BE AB AD AD=再结合平行四边形的性质即可求得答案．（2）利用第（1）小问的结论，得到DF 与DB 的数量关系，进而得到DF 与DB 的关系，根据向量DB =AB AD -即可求解．【详解】（1）在ABCD 中，△BC △AD△△BEA =△DAE ，又△△BFE =△DF A ，△∆BFE ∼∆DF A ，△BE BF AD DF= ，又△AE 平分BAD ∠，△△BAE =△DAE ，△△BAE =△BEA ，△AB =BE ，△BE AB AD AD= 又△ 1.2AB =， 1.8AD BC ==．△ 1.221.83BF AB DF AD === △BF :DF =2：3（2）△BF :DF =2：3△DF =35DB △35DF DB ==3()5AB AD - △BC △ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，△AD BC b ==△333()555DF a b a b =-=-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明∆BFE ∼∆DF A 并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．26．（1）12；（2）4455b a -．【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，可得DN NE BM MC，即DN BM NE MC =，根据13BM BC =可求出DN NE 的值；（2）根据23AD DB =可得25AD AD AB AD DB ==+，所以DN =()2255BM BA AM =+，根据DN NE =12，即可得出答案．【详解】解：（1）△//DE BC ，△△AND=△B ，△AND=△AMB ，△ANE=△AMC ，△AEN=△C ，△△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，△DN AN BM AM =，AN NE AM MC =， △DN NE BM MC ， △DN BM NE MC=， △13BM BC =， △12BM MC =， △DN NE =12；（2）△23AD DB =， △25AD AD AB AD DB ==+， △DN =()2255BM BA AM =+=()222555a b b a -+=-， △DN NE =12， △224422=5555NE DN b a b a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．27．（1）2133BO a b =-；（2）见解析，2233CO b a =+ 【解析】【分析】（1）首先证明23BO BE =，求出BE 即可求解；（2）证明23CO CA =，求出CA 即可解决问题．【详解】解（1）△//AD BC△12OE AE BO BC == △23BO BE =△()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭；（2）△AE△BC ，△1=2AO AE CO CB =， △23CO CA =， △()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．。

向量复习

3 2 3
4a 3b
1b 1 34
rr
使b a. rr
即a与b共线
r r rr
b a (a 0)
b
1长度：
a
方向：当b与a同向时，b a；当b与a反向时，b a
(2)a 0
(3)实数有且唯一
向量共线定理应用
1. 定理:向量 b与非零向量
且只有一个实数 ,使得.b
a共a线的充要条件是有
2. 定理的应用：
1).证明向量共线
D→C＝14A→B，B→E＝2E→C，且A→E＝rA→B＋sA→D，则
2r＋3s＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
思考: (1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何?
rr b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立? 成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
2).证明三点共线: AB=λBC
AB ∥ BC
又B为公共点 A,B,C三点共线
3).证明两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.
引入1：香港
上海台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
1、向量加法的三角形法则
A
B
a
a
a
a b
aa b

向量的综合应用——专题培优、能力提升复习讲义

向量的综合应用——专题培优、能力提升
复习讲义
一、向量基础知识回顾
1. 向量的定义：向量是有方向和大小的量，用箭头表示。

2. 向量的表示方法：常见的表示方法有点表示法、坐标表示法和分解表示法。

3. 向量的运算：向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。

二、向量的专题培优
1. 向量的模：向量的模是向量的长度，可以用勾股定理计算。

2. 向量的方向角：向量的方向角是与正坐标轴的夹角，可以用三角函数计算。

3. 向量的投影：向量的投影是指向量在某一方向上的分量，可以用点乘法计算。

三、向量的能力提升复
1. 向量的相等性：向量相等的条件是大小相等且方向相同。

2. 向量的平行性：向量平行的条件是方向相同或相反。

3. 向量的垂直性：向量垂直的条件是它们的点乘积为零。

四、综合应用练
1. 通过练题加深对向量基础知识的理解。

2. 进行向量的模、方向角、投影、相等性、平行性和垂直性的练。

3. 解答练题过程中要注意运用向量的运算法则和相关公式。

五、总结与归纳
1. 复向量基础知识是理解向量综合应用的前提。

2. 向量的综合应用需要灵活运用向量的运算法则和相关公式。

3. 通过练题巩固向量的应用技巧，提高应试能力。

六、附录
1. 相关公式和定理的整理。

2. 常见的向量综合应用题库。