1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
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1.4 正弦函数和余弦函数
的定义与诱导公式
4.1任意角的正弦函数与余弦函数的定义
复习引入
1.我们学习过的三角函数的定义？ 2.
弧度
度
0
0
5 12
12
6
4
3
60
5 3
15
30
3 4
45
弧度 度
2
90
3 2
270
75
135
300
1.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
2.周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对于定义域内的任意一个 x 值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就称为周期函数，T 称为这个函 数的周期． (2)最小正周期 2π 是正弦函数、 余弦函数正周期中最小的一个， 称为最小正周期．
关于周期函数和最小正周期的理解: (1)周期函数的定义是针对定义域中每一个 x 值而言的，只有个别 的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)不能说明 T 是 f(x)的周期． (2) 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果没有特 别指明，一般都指它的最小正周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期． (4)周期函数的周期不唯一， 若 T 是 f(x)的周期， 则 kT(k∈Z， k≠0) 一定也是 f(x)的周期．
α
x
A(1,0)
1. 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解: OP0 3 4 5 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点 P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
2 2
y MP sin y 1 OP M 0 P0 4 ; OP0 5
α
O M x
MP b OM a MP b sin , cos , tan OP r OP r OM a
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 MP sin b, OP y 以原点 O 为 OM P(a,b) y cos a, 圆 心 , 以 单 1 OP α P(a,b) x 位长度为 MP b M A(1,0) 半径的圆 tan α OM a 称为单位 圆
M0 P 0 4, MP y, OM0 3, OM x
y M0 M O
x
P(x,y)
P0(-3,-4)
y sin 4 tan x cos 3
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
y
M0
M
O
x
P(x,y)
O M x
2.利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y (2) x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x
y P(x,y)
y (3) 叫做α正切,记作tanα, y x 即 tan x 0 x k k Z 2
π 17 π 变式训练:若函数 f(x)是以2为周期的偶函数，且 f3＝1，求 f－ 6 π的 值．
17π 17π π π π 解析：∵f(x)以 为周期，∴f－ 6 ＝f－ 6 ＋5×2＝f－3. 2 π π 又 f(x)是偶函数，∴f－3＝f3， 17π π ∴f－ 6 ＝f3＝1.
) cos α , ) sin α .
) c o s α , ) s i n α .
y 1
-1 0 -1
P(x,y) 1 x
5.角 与
3π α 2
、
3π α 2
的正弦函数、余弦函数关系：
诱导公式记忆口诀：
奇变偶不变、符号看象限
注意： 看成锐角，原函数值的符号
π k α 2
3.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
π π α 的正弦函数、余弦函数关系： 4.角 与 2 α 、 2
π sin( α 2 π cos( α 2 π s i n ( α 2 π c o s ( α 2
P0(-3,-4)
4.2 单位圆与周期性
复习引入
1.任意角的三角函数的定义？
1.诱导公式公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα，k∈Z； cos(α＋k·2π)＝cosα，k∈Z. 由此我们可以得到如下结论： 终边相同的角的同一三角函数的值相等．
诱导公式一的几点说明: (1) 诱导公式一可以统一写成 f(k· 360° ＋ α) ＝ f(α) 或 f(k·2π ＋ α) ＝ f(α)(k∈Z)的形式，其中对应法则 f 为三角函数． (2)当用弧度表示时，必须写成 k·2π 而不是 k·π 的形式，其中 k∈ Z. (3) 诱导公式一说明了终边相同的角的同一三角函数值相等这个 结论，即角和三角函数值的对应关系是多对一，如果给定一个角，它 的三角函数值是唯一确定的，反过来，如果给定一个三角函数值，却 有无数多个角与之对应． (4)诱导公式一的作用在于：可把任意角的三角函数值转化为 0～ 2π(或 0° ～360° )之间角的三角函数值.
例:已知函数 f(x)在定义域 R 上恒有 ①f(x)＝f(－x)，②f(2＋x)＝f(2－x)，当 x∈[0,4)时，f(x)＝－x2＋4x. (1)求 f(8)； (2)求 f(x)在[0,2 010]内零点的个数．
解析：(1)由已知： f(8)＝f(2＋6)＝f(2－6)＝f(－4)＝f(4)． ＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0. (2)∵f(x)在定义域 R 上恒有：f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x)＝f(4－x)对 x∈R 恒成立． 又 f(x)＝f(－x)对 x∈R 恒成立， 故有：f(－x)＝f(4－x)对 x∈R 恒成立． 即：4 是 f(x)的一个周期． ∵x∈[0,4)时，f(x)＝0 的根为 x＝0， ∴f(x)＝0 在 R 上的根为：x＝4k，k∈Z. 由 0≤4k≤2 010(k∈Z) 得：0≤k≤502.5(k∈Z)． ∴f(x)在[0,2 010]内的零点共有 503 个.
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴 重合,那么它的终边在第一象限.α的终边上任意一点P 的坐标为(a,b),它与原点的距离是_______________ r a 2 b2 0
a ，线段 过PLeabharlann Baidux轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为___
b MP的长度为___
y P(a,b)
4.3单位圆与诱导公式
复习引入
1.任意角的三角函数的定义？ 2.诱导公式(一) ？
1.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
2.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
的定义与诱导公式
4.1任意角的正弦函数与余弦函数的定义
复习引入
1.我们学习过的三角函数的定义？ 2.
弧度
度
0
0
5 12
12
6
4
3
60
5 3
15
30
3 4
45
弧度 度
2
90
3 2
270
75
135
300
1.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
2.周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对于定义域内的任意一个 x 值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就称为周期函数，T 称为这个函 数的周期． (2)最小正周期 2π 是正弦函数、 余弦函数正周期中最小的一个， 称为最小正周期．
关于周期函数和最小正周期的理解: (1)周期函数的定义是针对定义域中每一个 x 值而言的，只有个别 的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)不能说明 T 是 f(x)的周期． (2) 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如果没有特 别指明，一般都指它的最小正周期． (3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期． (4)周期函数的周期不唯一， 若 T 是 f(x)的周期， 则 kT(k∈Z， k≠0) 一定也是 f(x)的周期．
α
x
A(1,0)
1. 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解: OP0 3 4 5 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点 P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
2 2
y MP sin y 1 OP M 0 P0 4 ; OP0 5
α
O M x
MP b OM a MP b sin , cos , tan OP r OP r OM a
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 MP sin b, OP y 以原点 O 为 OM P(a,b) y cos a, 圆 心 , 以 单 1 OP α P(a,b) x 位长度为 MP b M A(1,0) 半径的圆 tan α OM a 称为单位 圆
M0 P 0 4, MP y, OM0 3, OM x
y M0 M O
x
P(x,y)
P0(-3,-4)
y sin 4 tan x cos 3
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
y
M0
M
O
x
P(x,y)
O M x
2.利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y (2) x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x
y P(x,y)
y (3) 叫做α正切,记作tanα, y x 即 tan x 0 x k k Z 2
π 17 π 变式训练:若函数 f(x)是以2为周期的偶函数，且 f3＝1，求 f－ 6 π的 值．
17π 17π π π π 解析：∵f(x)以 为周期，∴f－ 6 ＝f－ 6 ＋5×2＝f－3. 2 π π 又 f(x)是偶函数，∴f－3＝f3， 17π π ∴f－ 6 ＝f3＝1.
) cos α , ) sin α .
) c o s α , ) s i n α .
y 1
-1 0 -1
P(x,y) 1 x
5.角 与
3π α 2
、
3π α 2
的正弦函数、余弦函数关系：
诱导公式记忆口诀：
奇变偶不变、符号看象限
注意： 看成锐角，原函数值的符号
π k α 2
3.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
π π α 的正弦函数、余弦函数关系： 4.角 与 2 α 、 2
π sin( α 2 π cos( α 2 π s i n ( α 2 π c o s ( α 2
P0(-3,-4)
4.2 单位圆与周期性
复习引入
1.任意角的三角函数的定义？
1.诱导公式公式(一) sin(α＋k·2π)＝sinα，k∈Z； cos(α＋k·2π)＝cosα，k∈Z. 由此我们可以得到如下结论： 终边相同的角的同一三角函数的值相等．
诱导公式一的几点说明: (1) 诱导公式一可以统一写成 f(k· 360° ＋ α) ＝ f(α) 或 f(k·2π ＋ α) ＝ f(α)(k∈Z)的形式，其中对应法则 f 为三角函数． (2)当用弧度表示时，必须写成 k·2π 而不是 k·π 的形式，其中 k∈ Z. (3) 诱导公式一说明了终边相同的角的同一三角函数值相等这个 结论，即角和三角函数值的对应关系是多对一，如果给定一个角，它 的三角函数值是唯一确定的，反过来，如果给定一个三角函数值，却 有无数多个角与之对应． (4)诱导公式一的作用在于：可把任意角的三角函数值转化为 0～ 2π(或 0° ～360° )之间角的三角函数值.
例:已知函数 f(x)在定义域 R 上恒有 ①f(x)＝f(－x)，②f(2＋x)＝f(2－x)，当 x∈[0,4)时，f(x)＝－x2＋4x. (1)求 f(8)； (2)求 f(x)在[0,2 010]内零点的个数．
解析：(1)由已知： f(8)＝f(2＋6)＝f(2－6)＝f(－4)＝f(4)． ＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0. (2)∵f(x)在定义域 R 上恒有：f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x)＝f(4－x)对 x∈R 恒成立． 又 f(x)＝f(－x)对 x∈R 恒成立， 故有：f(－x)＝f(4－x)对 x∈R 恒成立． 即：4 是 f(x)的一个周期． ∵x∈[0,4)时，f(x)＝0 的根为 x＝0， ∴f(x)＝0 在 R 上的根为：x＝4k，k∈Z. 由 0≤4k≤2 010(k∈Z) 得：0≤k≤502.5(k∈Z)． ∴f(x)在[0,2 010]内的零点共有 503 个.
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴 重合,那么它的终边在第一象限.α的终边上任意一点P 的坐标为(a,b),它与原点的距离是_______________ r a 2 b2 0
a ，线段 过PLeabharlann Baidux轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为___
b MP的长度为___
y P(a,b)
4.3单位圆与诱导公式
复习引入
1.任意角的三角函数的定义？ 2.诱导公式(一) ？
1.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos
2.角 与 的正弦函数、余弦函数关系：
sin( ) sin cos( ) cos