高三数学学案不等式

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高中数学不等式的模型教案

高中数学不等式的模型教案
教学目标：
1. 理解不等式的概念及性质。

2. 掌握解不等式的方法。

3. 能够运用不等式解决实际问题。

教学重点：
1. 不等式的定义。

2. 不等式的性质。

3. 解不等式的方法。

教学难点：
1. 不等式组合的运算规则。

2. 不等式解答实际问题的能力。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生讨论生活中的“不等式”，以引起学生的兴趣和思考。

二、讲解不等式的定义（15分钟）
1. 介绍不等式的定义和符号表示。

2. 讲解不等式的性质和性质与等号的关系。

三、解不等式的方法（20分钟）
1. 介绍解一元一次不等式的基本方法。

2. 演示解决不等式的过程，并指导学生做练习。

四、练习与讨论（15分钟）
1. 让学生做一些不等式的练习题，并讨论解题过程和答案。

2. 教师解答学生提出的问题，帮助学生理解不等式的知识点。

五、实际问题解决（15分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生运用不等式解决问题。

2. 学生自主讨论解决问题的方法，并展示解题过程。

六、总结（5分钟）
1. 教师对本节课进行总结，提出学生存在的问题和不足之处。

2. 提醒学生在日常生活中多加练习，提高不等式解决问题的能力。

作业布置：
* 完成课堂练习题目。

* 自编不等式实际问题，并解答。

教学反思：
* 对学生学习不等式过程中的困难加以理解和帮助。

* 注重学生实际问题解决能力的培养。

高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

高三数学基本不等式复习学案

某某省德宏州梁河县第一中学高三数学基本不等式复习学案【复习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【课前学习】（一）基础知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________ (a ，b ∈R)．(2)b a ＋a b≥____(a ，b 同号)． (3)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R)． (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a2＋b22. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．(二)练习1．“a>b>0”是“ab<a2＋b22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2011·某某月考)已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系是( )A ．A≤B≤CB ．A≤C≤BC ．B≤C≤AD ．C≤B≤A3．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x<π) C ．y ＝ex ＋4e －xD ．y ＝log3x ＋logx814．(2011·某某月考)设函数f(x)＝2x ＋1x－1(x<0)，则f(x)有最________值为________． 5．(2010·某某)若对任意x>0，x x2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围为________________．【例题与变式】例题： (1)已知x>0，y>0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．变式： (2011·某某)已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5例题：已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b )≥9.变式：已知x>0，y>0，z>0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.【目标检测】:另附页【小结】【课后巩固】：见步步高229页练出高分A 组目标检测:1．设a>0，b>0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为() A ．8 B ．4 C ．1 D.142．已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．5。

高中数学学案- 不等式的解法

高中数学学案不等式的解法考点不等式的解法1 不等式ax>b若a>0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x| x>ba；若a<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x| x<ba；若a＝0，当b≥0时，解集为∅，当b<0时，解集为R.2 一元二次不等式“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1＝x2无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}{ x∈R| x≠－⎭⎪⎬⎪⎫b2aRax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}∅∅若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．3 高次不等式的解法如果一元n次不等式a0x n＋a1x n－1＋…＋a n>0(a0≠0，n∈N*，n≥3)可以转化为a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)>0(其中x1<x2<…<x n)的形式，那么求解时，一般先在数轴上标区间(－∞，x1)、(x1，x2)、…、(x n，＋∞)，a0>0时，由于f(x)＝a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)的值的符号在上述区间自右至左依次为＋、－、＋、－、…，所以正值区间为f(x)>0的解集．4 分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧f x·g x≥0≤0，g x≠0.5 绝对值不等式的解法(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；(3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法去求解．注意点求解不等式时需注意的问题(1)求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．(2)在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.1．思维辨析(1)若ax＋b>0，则x>－ba.( )(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}．( )(3)3x＋2x＋2≤0的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23.( )(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)×2．x2－ax＋b>0的解集为{x|x<2或x>3}，则a＋b的值是( )A．1 B．－1C．11 D．12答案 C解析由题意可知x2－ax＋b＝0的两根为2,3，故a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，故a＋b ＝11.3．函数y＝x－x2－3x＋4的定义域为( )A．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B．(－4,1)C．(－4,0)∪(0,1) D．(－1,4)答案 B解析依题意得－x2－3x＋4>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，故函数的定义域为(－4,1)．[考法综述] 不等式的解法是高考的一个基本考点，一般涉及一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、指数与对数不等式等，主要依据不等式的性质进行求解．一般难度不大，容易得分．命题法一元二次不等式的解法典例解关于x的不等式kx2－2x＋k<0(k∈R)．[解](1)当k＝0时，不等式的解为x>0.(2)当k>0时，若Δ＝4－4k2>0，即0<k<1时，不等式的解为1－1－k2k<x<1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．(3)当k<0时，若Δ＝4－4k2>0，即－1<k<0时，x<1＋1－k2k或x>1－1－k2k；若Δ<0，即k<－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1. 综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；0<k<1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；k <－1时，不等式的解集为R .【解题法】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．②计算相应的判别式．③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． ④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A.2.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案 C解析 ∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0<x ≤1时，由(*)得a ≥x 2－4x －3x 3＝1x －4x 2－3x3恒成立．设f (x )＝1x －4x 2－3x 3，则f ′(x )＝－1x 2＋8x 3＋9x 4＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－x －9x ＋1x 4.当0<x≤1时，x －9<0，x ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0<x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x <0时，由(*)得a ≤1x －4x 2－3x3.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．当－2≤x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增． ∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2. ∴可知a ≤f (x )min ＝－2.综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3} 答案 D解析解法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，选D.解法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎨⎧ f m <0，f m ＋1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，m ＋12＋m m ＋1－1<0，解得－22<m <0.不等式x 2＋7>ax －a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． [错解][错因分析] 条件并没有进行等价转化，f (x )>0可能在除3、4的其他范围(3,4)不成立．[正解] 由题意知a <x 2＋7x －1对3≤x ≤4恒成立．令g (x )＝x 2＋7x －1，x ∈[3,4]，则a <g (x )min且g(x)＝x2＋7x－1＝x－1＋8x－1＋2≥42＋2.当且仅当x－1＝8x－1即x＝22＋1时取等号．∴a<42＋2，即a的取值范围是(－∞，42＋2)．[答案](－∞，42＋2)[心得体会]………………………………………………时间：45分钟基础组1.不等式x－2x2－1<0的解集为( )A．{x|1<x<2} B．{x|x<2且x≠1} C．{x|－1<x<2且x≠1} D．{x|x<－1或1<x<2} 答案 D解析x－2x2－1<0⇔(x－1)(x＋1)(x－2)<0⇔x<－1或1<x<2，故选D.2．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1C．－1 D．3答案 A解析由题意，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，则不等式x2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选 A.3若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 答案 C解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32，故选C.4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)答案 A 解析不等式x －12x ＋1≤0⇔ ⎩⎨⎧x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选A.5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 答案 A解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.6．若函数f (x )＝x 2＋ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，则f (1)等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析由题意可得，Δ＝a 2－4(－3a －9)≤0，即(a ＋6)2≤0，又(a ＋6)2≥0，∴a ＋6＝0， ∴a ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋9， ∴f (1)＝1－6＋9＝4.故选C. 7．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 答案 D 解析x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D. 8.已知f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x ，∴－3<x <1. ∴－3<x ≤－3；(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立；(3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1；(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．9若不等式x 2－(2＋m )x ＋m －1>0对任意m ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析把不等式化为(1－x )m ＋x 2－2x －1>0.设f (m )＝(1－x )m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于m 的一次函数．f (m )在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需⎩⎨⎧ f －1>0，f 1>0即⎩⎨⎧ x 2－x －2>0，x 2－3x >0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >2，x <0或x >3，解得x <－1或x >3，故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．答案 (－1,2)解析由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．11．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1.解由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋－12＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8. 由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1，即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)原不等式化为：x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式的解集为∅.能力组13.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析根据题意有(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，∵不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，故选C. 14．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －2b ＋c ＝0，14a －12b ＋c ＝0，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，故解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. 15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为________时，日获利不少于1300元．答案 20件至45件解析由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．故填20件至45件．16已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25. (2)由不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎨⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.。

不等式的基本性质学案

2.2 不等式的基本性质导学案课题 2.2 不等式的基本性质课型新授课学习目标1.通过探索发现并掌握不等式的三条基本性质;2.会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形．重点难点会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形感知探究一、自自主学习阅读课本40、41页，回答下列问题：已知x>y，则x-1________y-1 3x________3y -x________-y二、自自学检测1、下列四个不等式：；；；，一定能推出错误!未找到引用源。

的有错误!未找到引用源。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、若错误!未找到引用源。

，则下列各式中一定成立的是错误!未找到引用源。

A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

3、若错误!未找到引用源。

，则下列结论：错误!未找到引用源。

；错误!未找到引用源。

其中一定成立的个数是错误!未找到引用源。

A. 1B. 2C. 3D. 4三、合合作探究探究一：如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流.完成下列填空：2 < 3；2 × 5 __________3 × 5；2 × __________3 ×；2 × (- 1) _______3 × (- 1)；2 × (- 5) _______3 × (- 5)；2 × ( -) _______3 ×( -)你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流．不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______．不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______．探究二：你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：（1）x - 5 > - 1；（2）-2 x > 3．四、当堂检测1、已知a，b，c均为实数，错误!未找到引用源。

高三数学高效课堂资料学案四不等关系与不等式

高三数学高效课堂资料学案四不等关系与不等式（不等式学案一，共五个）一、考点与能力要求1.了解不等式（组）的实际背景；能灵活应用不等式的性质；2.理解不等式的概念，掌握证明不等式的方法——比较法。

二、知识讲解（一）预备知识1．比较两实数大小的方法有哪些？2．不等式的4个性质及其5个推论分别是什么？（二）基础知识析理不等式性质（1）基础解读：利用不等式的性质和推论比较两数的大小。

（2）应用：①（2016全国1）若101a b c >><<，，则( )A.c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c <D.log log a b c c < ②（2017天津）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件三、典题举例与解题指导知识能力考查点： 1．作差法比较大小；2．分类讨论思想的应用。

[思路分析]比较法分为作差法和作商法。

作差法比较大小的步骤为：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论。

作差法比较大小的步骤为：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与1的大小；（4）下结论。

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于与0或1比较大小。

例1.设f(x)＝1＋3log x ，g(x)＝2log 2x ，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小。

知识能力考查点：（1）利用不等式的性质求取值范围；（2）整体代换思想的应用。

[思路分析]（1）用已知整体表示所求；（2）利用已知的范围f(-1)、f(1)的范围求f(-2)的范围。

例2.函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围。

《不等式和绝对值不等式》学案2(人教A版选修4-5)

不等式的解法及应用★★★高考在考什么【考题回放】 1．不等式112x <的解集是（ D ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞2．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的（ A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件 3．已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( A )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定4．不等式0121>+-x x的解集是 1(1,)2- . 5．已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 46．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为22221y x a b+=（0a b >>），半焦距为c, 则21||a MA a c=-,11||A F a c =-,由题意，得 22222()24a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得 2,1a b c ===故椭圆方程为22143y x += （II ）设P(0,),||1m y m >, 当00y =时，120F PF ∠=当00y ≠时, 12102F PF PF M π<∠<∠< ∴只需求12tan F PF ∠的最大值即可。

高中数学不等式3.23.2.1基本不等式的证明学案

3.2 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)3.2.1 基本不等式的证明学习任务核心素养1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养.某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p 折销售，第二次打q 折销售，乙方案是第一次打q 折销售，第二次打p 折销售，两方案是两次都打p ＋q2折销售．请问哪一种方案降价最多？知识点1 算术平均数、几何平均数与基本不等式 (1)算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．(2)基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，我们把不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b ≥0)称为基本不等式．1.如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)?[提示] 因为a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1.设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为______，此时x＝________，y ＝________.400 20 20 [由ab ≤a ＋b 2知xy ≤402，所以xy ≤x ＝y ＝20.]知识点2 两个重要的不等式若a ，b ∈R ，则(1)ab ≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)；(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2.当a 、b 满足什么条件时，a 2＋b 2＝2ab ？a 2＋b 2>2ab?[提示] 当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，a 、b ∈R 时a 2＋b 2>2ab .2.不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________．a ＝1 [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时“＝”成立．] 知识点3 应用基本不等式求最值在运用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．一正： a ，b 是正数．二定：①和a ＋b 一定时，由ab ≤a ＋b 2变形得ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即积ab 有最大值⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；②积ab 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得a ＋b ≥2ab ，即和a ＋b 有最小值2ab .三相等：取等号的条件都是当且仅当a ＝b 时，等号成立．3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a >2，则a ＋1a≥2a ·1a＝2.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) [提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b ≥0时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立，当且仅当a ＝1时取等号．(3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√类型1 对基本不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程： ①因为a ，b 为正实数，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a＋a ≥24a·a ＝4； ③因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①因为a ，b 为正实数，所以b a ，ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②因为a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，所以4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的． ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx 提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y 、⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2 (a ≥0，b ≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤ －2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·ab＝2. ①② [③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2 利用基本不等式比较大小【例2】已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝－⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋5(a ，b ∈(0，＋∞))，试比较m 、n 的大小．[解] m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1(a －2)＋2，∵a >2，∴a －2>0，1a －2>0，∴m ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1(a －2)＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2时等号成立，此时a ＝3.∴m ≥4. n ＝－⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋5≤－2b a ·ab＋5＝3，当且仅当a ＝b 时等号成立．综上m >n .1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞(a ＋b )24，也就是由a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]类型3 利用基本不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] 因为a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1>8. [证明] 因为a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，所以⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，因为a ，b ，c 互不相等，所以⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1>8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . [证明] ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 类型4 利用基本不等式求最值【例4】 (1)当x >0时，求12x＋4x 的最小值；(2)当x <0时，求12x ＋4x 的最大值；(3)当x >1时，求2x ＋8x －1的最小值； (4)已知4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．[解] (1)∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴12x＋4x ≥212x·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3.(2)∵x <0，∴－x >0. 则12－x ＋(－4x )≥212－x ·(－4x )＝83，当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴12x＋4x ≤－8 3. ∴当x <0时，12x＋4x 的最大值为－8 3.(3)2x ＋8x －1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋4x －1＋2，∵x >1，∴x －1>0，∴2x ＋8x －1≥2×24＋2＝10，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取等号．∴当x >1时，2x ＋xx －1的最小值为10.(4)4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即a ＝4x 2＝36时取等号，∴a ＝36.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．[跟进训练]4．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x 的最小值．[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9.1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3A [∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6. 当且仅当x ＝9x 即x ＝3时取得最小值6.]2．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则( ) A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8C [设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．]3．若正数m 、n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．3＋22 [∵2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，即最小值为3＋2 2.]4．已知ab ＝1，a >0，ba ＋b 的最小值为________．2 [因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2aba ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2.] 5．函数y ＝9x －2＋x (其中x >2)取得最小值的条件是________．x ＝5 [当x >2时，由基本不等式知y ＝9x －2＋x ＝9x －2＋(x －2)＋2≥29x －2·(x －2)＋2≥9x －2＝x －2时取等号，此时x ＝5(x ＝－1舍去)．]回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．应用基本不等式要注意哪些问题？ [提示] 一正二定三相等．2．应用基本不等式证明不等式的关键是什么？[提示]关键在于“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构选出符合基本不等式的条件结构．。

高中数学5个不等式教案

高中数学5个不等式教案
课题：高中数学不等式
目标：学生能够理解和解决各种不等式问题，掌握不等式的基本性质和解法方法。

一、引入：
通过一个简单的问题引入不等式的概念，让学生明白不等式的意义和作用。

二、基本性质：
1. 不等式的基本性质：大小关系、加减乘除，等不等式的性质。

2. 不等式的转化：加减法转化、乘除法转化等。

3. 不等式的表示：解集表示法、图示法等。

三、解不等式：
1. 一元一次不等式：解一元不等式常用的方法和技巧。

2. 一元二次不等式：解一元二次不等式的方法和步骤。

3. 复合不等式：解复合不等式的方法和技巧。

四、不等式的应用：
1. 不等式在几何中的应用：三角形不等式等。

2. 不等式在实际问题中的应用：最大最小值问题、优化问题等。

五、综合练习：
安排一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。

六、总结：
对本节课所学的内容进行总结，强化学生对不等式知识的理解和掌握。

七、作业：
布置适量的作业，巩固所学内容。

以上是一份高中数学不等式教案范本，教师可根据实际情况和教学需要进行具体调整和安排。

高中数学《等式性质与不等式性质》学案

等式性质与不等式性质【学习目标】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．【学习重难点】等式与不等式的性质。

【学习过程】一、自主学习实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．不等式的性质（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b ．性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c ．（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．教材解难：教材P 40思考等式有下面的基本性质：性质1：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc ．达标检测一、单选题1．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过M cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a 、b 、c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（） A ．a + b + c ≤MB ．a +b +c >MC ．a + b + c ≥MD ．a + b + c <M2．已知0a b +>，0b <，则（） A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-3．若a b >，则以下不等式正确的是（）}a >b c >0⇒ac >bc }a >b c <0⇒ac <bc a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d a >b >0c >d >0⇒ac >bdA ．22a b >B ．22ac bc >C ．11a b< D ．a c b c +>+4．实数,a b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A ．a b ab +<B ．22a b >C ．33a b >D a b <+5．如果0a b <<，那么下列不等式中成立的是（）A B ．22a b <C ．33a b <D ．2ab b >6．下列命题中，正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若ac ＞bc ，则a ＞bC ．若22a b c c ＜，则a ＜b D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d7．设()()()223,13,P a a Q a a a R =-+=--∈，则有（） A ．P Q ≥ B ．P Q > C ．P Q < D ．P Q ≤ 8．下列命题中，正确的是（）． A ．若a b <，则22ac bc < B ．若0a b >>，则11a b< C ．若a b >，则22a b >D ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd >二、填空题9．某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能小于2．设获得一等奖的学生有x 人，获得二等奖的学生有y 人，则,x y 满足的不等关系为______．10．已知a ，b 为实数，且,0a b a ≠<，则a ___22bb a-．（填“＞”、“＜”或“＝”）三、解答题1．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+.（1）1若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；（2）若()10f =，且存在x ∈R ，使()4f x >成立，求实数a 的取值范围.。

高三数学基本不等式教案.doc

一、教学目标：
1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；
3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点：
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式
2
a b
+≤ 的证明过程；
2
a b
+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大
(小)值问题。

三、教学方法：启发、探究式相结合
四、教学工具：多媒体课件
五、教学基本流程：
六、教学过程。

高中数学的几个不等式教案

高中数学的几个不等式教案
教学目标：
1. 了解不等式的基本概念与性质
2. 掌握解不等式的方法与技巧
3. 能够独立解决不等式问题
教学内容：
1. 不等式的定义及表示方法
2. 不等式的性质
3. 解不等式的方法
4. 不等式的应用
教学步骤：
1. 热身：利用简单的不等式练习引出不等式的概念
2. 导入：介绍不等式的定义及表示方法
3. 讲解：讲解不等式的性质，如加减乘除不等式、绝对值不等式等
4. 演示：演示解不等式的方法，如化简、整理、分析不等式中的关系等
5. 练习：让学生进行一些不等式练习，巩固所学知识
6. 拓展：引导学生探讨不等式的应用领域，如最值问题、应用题等
7. 总结：总结本节课的重点内容并布置作业
教学反馈：
1. 学生完成作业后，进行批改并给予反馈
2. 收集学生对不等式学习过程中的疑问，进行解答与指导
教学资源：
1. 教材：高中数学教材中的相关章节
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等
3. 练习册：针对不等式的练习题
教学评估：
1. 课堂学习表现评定
2. 作业完成情况评定
3. 学生解决不等式问题的能力评定
教学总结：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念与性质，掌握解不等式的方法与技巧，提高解决数学问题的能力。

同时，也对不等式的应用有一定的了解与认识。

高中数学第三章不等式与不等关系1学案新人教版必修5 学案

§3.1不等式与不等关系（1）一、学习目标：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，并能将这些不等关系用不等式表示出来。

二、学习重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

三、学习难点：用不等式（组）准确地表示出不等关系。

四、学习过程：学习导引：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

（一）表示不等关系的常用符号，请你填一填文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于或等于不少于小于或等于不多于(二)日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如以下标志，请用不等式表示出来请你列举生活中的不等关系1._______________________________________2.__________________________________3.______________________________________4.__________________________________（三）实例感知用不等式表示下列问题中的不等关系1.点与线、点与面的距离问题设点A 与平面a 的距离为d，B 为平面a 上的任意一点，则其中不等关系有______________2.杂志的销售问题某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本. 据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？3.钢材的截取问题某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成500mm 和 600mm 两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？（四）实战演练1．用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x 不低于 400 元______________________2．限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过 40km/h，写成不等式就是_______________3．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于 2.5%，蛋白质的含量q 应不少于 2.3%，写成不等式组就是_________________4．(1)如图(见课本 74 页)，在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽 W 的 4 倍(2)有一个两位数大于 50 而小于 60，其个位数字比十位数大 2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)（五）实践训练（时量：5 分钟满分：10 分） 1. 下列不等式中不成立的是（）.A ． -1≤2B ． -1< 2C ． -1≤-1D ． -1≥22. 用不等式表示，某厂最低月生活费 a 不低于 300元（）. A ． a ≤ 300 B ． a ≥300 C ． a > 300 D ． a < 3003. 已知 a + b > 0 ， b < 0 ，那么 a ,b ,-a , - b 的大小关系是（）. A ．a > b > -b > - a B ．a > -b > -a > b C ．a > -b > b > - a D ．a > b > -a > - b4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间 t 在 16点到 18 点之间______________________（六）课堂小结： 1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．（六）课后实践 1.用不等式表示下面的不等关系：（1）a 与 b 的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”________________(3)坐火车时，儿童身高1.2米以上需要买票，需买票汇的范围是_______________2. 某夏令营有 48 人，出发前要从 A 、B 两种型号的帐篷中选择一种．A 型号的帐篷比 B 型号的少 5顶．若只选 A 型号的，每顶帐篷住 4 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 5 人，则有一顶帐篷没有住满．若只选 B 型号的，每顶帐篷住 3 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 4 人，则有帐篷多余．设 A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．3．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒。

高三数学不等式与不等式组的优秀教案范本

高三数学不等式与不等式组的优秀教案范本本教案旨在帮助高三学生巩固和提高在数学不等式与不等式组领域的知识和技能。

通过深入理解不等式和不等式组的性质以及解法，学生将能够更好地解决实际问题并在高考中取得优异成绩。

一、教学目标：1. 理解不等式和不等式组的定义和性质；2. 掌握求解不等式和不等式组的方法和技巧；3. 能够应用不等式和不等式组解决实际问题；4. 培养学生分析和推理的能力，提高解决数学问题的思维能力。

二、教学内容：1. 不等式的基本概念和性质；2. 一元一次不等式的解法；3. 一元二次不等式的解法；4. 多个不等式的解法；5. 应用题中的不等式和不等式组。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）介绍不等式和不等式组的概念，提问学生对不等式和不等式组的理解，并引导学生思考在实际生活中不等式和不等式组的应用。

2. 知识讲解（15分钟）详细讲解不等式的基本概念和性质，包括不等式的符号、不等式的加减乘除性质等。

通过示例引导学生理解不等式的本质和意义。

3. 解题方法介绍（10分钟）介绍一元一次不等式和一元二次不等式的解法，并强调解题时需要注意的技巧和常见错误。

通过示例讲解，帮助学生掌握解题方法。

4. 解题训练（35分钟）在黑板上给出一些不等式和不等式组的例题，指导学生通过逐步化简、绝对值法、平方法等解题方法求解。

鼓励学生积极思考和分析解题过程，及时纠正错误，并及时给予肯定和鼓励。

5. 拓展应用（20分钟）给出一些生活中的实际问题，让学生自己找出问题的关键点并建立不等式或不等式组，然后通过解题方法求解。

鼓励学生独立思考和解决问题的能力。

6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结，梳理不等式和不等式组的解题方法和技巧，强调学生掌握的重点和难点。

四、教学辅助工具：1. 黑板、粉笔或白板、马克笔；2. 教学PPT，呈现不等式和不等式组的概念、性质、解法等。

五、教学评价方式：1. 课堂口头答问，检查学生对不等式和不等式组的理解和运用能力；2. 针对解题过程和结果，进行组间、班级间小组竞赛，评选优秀的解题方法和步骤。

高中数学不等式及应用教案

高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。

一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。

二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。

2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。

2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。

四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。

2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。

五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。

布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。

本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。

通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。

高中数学教案不等式

高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。

教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。

教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。

二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。

三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。

四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。

五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。

六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。

七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。

教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。

要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。

高中数学第六章不等式教案

高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。

教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。

教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。

2. 介绍不等式的性质和基本性质。

三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。

2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。

四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。

五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。

2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。

六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。

七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。