数学建模微分方程建模
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是一项广泛应用于各领域的数学方法，而常微分方程恰好是数学建模中常见
的一种手段。常微分方程是描述自然界许多物理现象和生物现象的数学工具，如机械振动、电路理论、生物种群模型、人口增长模型等。本文将深入探讨数学建模在常微分方程中的
应用，为你带来一些启发和思考。
一、模型的建立
建立数学模型的第一步是明确问题的背景和目标，确定所涉及的变量及其相互之间的
关系。在常微分方程中，模型通常可以写成如下形式：
$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$
其中，$y$是待定函数，$x$是自变量，$f(x,y)$则是关于$y$和$x$的已知函数。这个
模型描述了函数$y$的变化速率与它所处的位置$x$和它自身的值$y$有关。
二、利用数学方法解常微分方程
在将模型建立起来后，我们需要求出未知函数$y$的解，这就需要利用各种数学方法。下面是几种解常微分方程的方法：
1.分离变量法
当常微分方程可以写成以下形式：
我们就可以采用“分离变量”的方法，将未知函数$y$和独立变量$x$分别在两边隔离，然后进行积分即可解出方程的解。
2.变量代换法
当常微分方程比较复杂，难以直接求解时，我们可以尝试将自变量$x$或者$y$进行代换，将方程转化为更容易解决的形式。
3.常数变易法
当常微分方程无法直接求解，但是已知特定的边界条件时，我们可以采用常数变易法，通过对未知函数常数进行变异，消去特定边界条件，从而解出常微分方程的解。
常微分方程在各个领域中的应用广泛，下面列举了其中的一些实际问题：
1.自由落体运动
数学建模——微分方程模型ppt课件
最小二乘法及其matlab函数：
精选编辑ppt
28
2011 C题 企业退休职工养老金制度的改革
养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及 其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待 遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户” 相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%） 缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例 （8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险 基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资 与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年 的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基 础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人 账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随 着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹 账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个 人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为 简单起见，利率统一设定为3%。
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
精选编辑ppt
7
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 f1
数学建模微分方程模型
图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向
相轨线分析结果
1、不论初始条件s0、i0如何．病人终将消失。
2、最终未被感染的健康者的比例是s∞，图中
可看出是在(0，1/ σ)内的单根。
3、若s0 >1/ σ，则i(t)先增加，当s＝1/ σ时，i(t)达到
最大。
4、若s0 ≤1/ σ ，则i(t)单调减小至零
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等 学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的 放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． 2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
微分方程与数学建模
微分方程与数学建模
微分方程是研究函数的变化规律以及函数与其导数之间的关系的数学工具。它在数学领域中具有广泛的应用，尤其在数学建模中发挥着重要的作用。本文将介绍微分方程在数学建模中的应用以及解决实际问题的过程。
一、微分方程在数学建模中的应用
微分方程是数学建模的重要工具之一，它能够描述变化的量与其变化率之间的关系。在实际问题中，很多情况下我们需要确定某个物理量随时间的变化规律，而微分方程正是可以用来解决这类问题的数学工具。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法进行求解和分析的过程。在数学建模中，常常需要通过建立微分方程来描述问题的动力学行为。例如，一个机械摆的摆动规律可以用二阶线性微分方程来描述；生物学中的人口变化可以用常微分方程来描述；在物理学中，众多的物理规律也可以转化为微分方程。
二、解决实际问题的过程
数学建模是一个系统工程，它通常包括问题的提出、问题的分析、建立数学模型、求解模型、验证和应用等步骤。其中，微分方程的建立和求解是数学建模中的关键环节。
在问题的提出和分析阶段，需要明确问题背景、目标和限制条件，并对问题进行全面的分析。在确定采用微分方程进行建模时，需要对
问题进行适当的简化和假设，以便将实际问题转化为可求解的数学模型。
建立微分方程模型是实现数学建模的核心步骤。在建立模型时，需
要根据问题的特点选择合适的微分方程类型，并确定方程中的参数和
初值条件。建立模型后，可以利用数学、物理和统计学等知识对模型
进行分析，以了解问题的本质和特征。
对于求解微分方程模型，通常可以采用数值方法、解析方法或数学
数学建模——微分方程模型
微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。 由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分， 而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要 附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称 为定解条件。
例：对Logistic方程，
dx rx(1 x )
dt
N
它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平
衡点，x=N是稳定的平衡点。
例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基
本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消 耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热 量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这 个人体重的变化。
fn fn x1 x2
f1
xn
f2
xn
fn xn
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义：
如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。
Q k1T
在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大于 室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型
在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析
假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。为了建立一个数
学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：
1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：
1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。假
设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微
分方程：
dN/dt = rN - dN
这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌
的死亡速率。如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则
上述方程可以进一步简化为：
dN/dt = (r-d)N
解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：
N(t) = N0 * exp((r-d)t)
上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。这与我们的
基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。常见的数值方法包括欧拉法、改
进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。这些方法基于近似计算的原理，通过
迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随
数学建模~~微分方程模型
对于已给的精确度 然后继续下一步
( k 1) (k ) （ k 1） ， 当满足 y i 1 y i 1 时， y i 1 y i 1 ， 取
y i 2 的计算。
此即改进的欧拉法。
求实
创新
团结
奉献
3、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方 法。 4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时 （k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。
求实
创新
团结
奉献
例5 求
du dt
1 u
2
的通解.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结果：u = tg(t-c)
例 6 求微分方程的特解.
d 2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 15
2 2
200h h
2
则 于是得模型： 求解得：
dV (200 h h ) dh
2
0.62 2 gh dt (200 h h ) dh
2
满足初值条件： h t 0 100 。
t
4.65 2 g
数学建模1-微分方程模型
数学建模1
（1）传染病模型
①SI模型：只有健康者和病人（比例为s和i），λ为日接触率（每天每个病人
有效接触的人数）。
即，初始条件i(0)=i0（logeistic模型），微分方程的解为
。当i=1/2时达（di/dt）m
②SIS模型：病人可被治愈成健康人，健康人可再被感染成病人。设μ为日治愈
率，则1/μ为平均传染期。
，初始条件i(0)=i0。
定义=λ/μ（整个传染期内每个病人有效接触的平均人数），
根据图像可知=1是一个阈值。
③SIR模型：已被治愈的推出传染系统，其比例为r，则s+i+r=1，
分析相轨线的性质如下：
（2）人口的预测和控制
①阻滞增长模型（，x m为人口容量。
②考虑年龄结构和生育模式的人口模型。
数学建模中的微分方程求解
数学建模中的微分方程求解数学建模是将真实世界中的问题抽象成数学模型，利用数学方法求解并得出结论的过程。微分方程作为数学建模中最常用的数学工具之一，广泛应用于物理、生物、工程等领域，成为数学建模不可或缺的一部分。本文将着重介绍微分方程在数学建模中的求解方法以及常见的数学模型。
一、常见的微分方程求解方法
(一) 分离变量法
分离变量法是最基本的微分方程求解方法之一。对于形如
$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $的一阶微分方程，我们可以将其分离为$ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx $，进而求解出$ y $的解析解。例如，对于简单的一阶线性微分方程$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $，我们可以将其写成$ \frac{dy}{dx} = -p(x)y + q(x) $，然后将$ y $和$ x $分隔开来，即$ \frac{dy}{-p(x)y+q(x)} = dx $，最后将分子和分母积分得到$ y $的解析解。但是，在实际问题中的微分方程很难一步到位地完成分离变量，需要结合其他的方法。
(二) 特解法
特解法是一种特殊的微分方程求解方法，它适用于某些特殊的微分方程。特解法的思想是先猜出通解的一部分，然后再根据该猜测解答出剩余的部分，得到最终的通解。例如，对于形如$ y'' + ay' + by = f(x) $的二阶非齐次微分方程，我们可以先猜测一个特解$ y_p $，然后再求出方程的通解$ y = y_c + y_p $，其中$ y_c $是齐次方程的通解。特解法在实际问题中应用广泛，但对特定问题的适用性并不一定好。
数学建模-微分方程模型.pptx
15
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).
直接求 很困难
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
建立变量能满足 的微分方程
2019-11-7
感谢你的聆听
？ 哪一类问题
16
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关
键词提示我们注意什么量在变化.
2019-11-7
感谢你的聆听
51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x (2) dx
对（1）式两端积分得：y 2xdx x2 C (3)
又因曲线满足条件 y |x1 2
代入（3）得C＝1
因此，所求曲线的方程为
y x2 1.
2019-11-7
感谢你的聆听
3
回答什么是微分方程：
建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程
r( xm ) 0
2019-11-7
微分方程数学建模
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
1 i 小 i(t)按S形曲线增长
0
t0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
微分方程模型
1 微分方程解题步骤 2 传染病模型 3 药物在体内的分布与排除 4 鱼雷击舰问题
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
传染病传播模型
总结词
预测和控制传染病传播
详细描述
传染病传播模型使用微分方程来描述疾病的传播过程。该模型考虑了易感人群、感染人 群和康复人群之间的转换关系，通过求解微分方程，可以预测疾病的传播趋势，为防控
措施提供依据。
经济模型
总结词
分析经济系统的动态行为
VS
详细描述
经济模型使用微分方程来描述经济系统的 动态行为，如价格变化、供需关系等。这 些模型可以帮助我们理解经济现象的内在 机制，预测经济趋势，为政策制定提供依 据。
微分方程是数学模型中常用的工具，可以用来描述物理、工程、经济等领域中的各 种问题。
微分方程的解可以揭示模型中变量的变化规律，从而为实际问题提供解决方案。
微分方程的分类
一阶微分方程
高阶微分方程
线性微分方程
非线性微分方程
只含有一个未知函数的 导数。
含有未知函数的多个导 数。
未知函数的导数之间是 线性关系。
01
02
03
数值解法
随着计算机技术的发展， 数值解法已成为求解微分 方程的主要方法，如有限 差分法、有限元法等。
符号解法
对于某些微分方程，可以 通过符号计算得到解析解， 如常微分方程的初值问题。
近似解法
对于难以求解的微分方程， 可以采用近似解法来得到 近似解，如摄动方法、渐 近方法等。
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
引言
数学建模是一门将现实世界问题抽象化、定量化以及数学化的学科，它在工程、科学
和商业等领域中有着广泛的应用。而常微分方程是数学建模中最为基础且也是最为重要的
一部分，因为许多自然现象的演化过程都可以用常微分方程来描述。数学建模在常微分方
程中的应用更是无处不在。本文将对数学建模在常微分方程中的应用做一些探讨。
一、数学建模的意义
数学建模是将现实生活中的问题抽象成数学模型，然后通过数学方法对模型进行分析、求解和预测的过程。数学建模不仅仅是解决实际问题，更重要的是它可以提高人们对现实
世界的理解和认识，促进科学和技术的进步。常微分方程作为数学建模中的重要工具，可
以描述许多自然现象的变化规律，比如天体运动、生物种群的动态演化、电路中的响应等等。数学建模在常微分方程中的应用对于理解和控制自然现象具有极其重要的意义。
二、常微分方程的基本概念
在谈论数学建模在常微分方程中的应用之前，我们先来回顾一下常微分方程的基本概念。常微分方程是一种描述一个或多个未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。如果
一个微分方程中未知函数的最高阶导数不超过一阶，则称为常微分方程。常微分方程通常
可以分为初值问题和边值问题两种类型。初值问题是指在某个初始时刻的初始条件下求解
未知函数，而边值问题是指在一些边界条件下求解未知函数。
三、数学建模在常微分方程中的应用
1. 生物种群动态问题
生物种群动态问题是常微分方程中的一个典型应用。生态系统中的各种生物种群都受
到环境变化、资源竞争、捕食者和天敌等因素的影响，它们的数量和分布往往是复杂而动
《微分法建模》课件
算法的效率和准确性。
03
百度文库
微分法建模与统计分析的结合
将微分法建模与统计分析方法相结合，用于分析时间序列数据、金融市
场数据等，揭示数据背后的规律和趋势。
微分法建模在人工智能领域的应用
微分法建模在自然语言处理中的应用
利用微分法建模对语言模型进行优化，提高自然语言处理的性能和效率。
微分法建模在计算机视觉中的应用
偏微分方程模型
01
偏微分方程模型是描述多个变量同时在多个方向变化的微 分方程。
02
这类模型广泛应用于物理、工程和金融等领域，用于描述 波动传播、热传导、电磁场和金融衍生品定价等现象。
03
常见的偏微分方程模型包括热传导方程、波动方程和拉普 拉斯方程等。
泛函微分方程模型
01
泛函微分方程模型是描述函数随时间变化的微分方程
传染病传播模型
总结词
预测和控制传染病传播
详细描述
传染病传播模型基于微分方程，描述了疾病在人群中的传播过程。该模型考虑了感染率、恢复率以及易感者和感 染者之间的相互作用，为预防和控制传染病提供了理论支持。
经济周期模型
总结词
分析经济活动的周期性波动
详细描述
经济周期模型采用微分方程来描述经济活动的周期性波动。该模型考虑了经济增长、通货膨胀、利率 等因素，通过求解微分方程，可以预测经济周期的转折点，为政策制定提供依据。
数学建模之微分方程模型
dp rp(N p) dt
于是得模型
dp rp(N p) dt p(0) 1
解得
p(t)
N
1 (N 1)e rNt
显然，p(t) 0，且t 时，p(t) N ，并对任
何t
，p(t) N 。还有，当p
N 2
时，dp
dt
最大。
以上模型的建立，是基于示范效应的。但 随着通讯能力的提高和大众媒介的普及， 广告的作用愈来愈明显。即一个企业采用 该技术还可能是因为广告效应的作用，从 而在考虑单位时间内使用该技术的企业数 的增量时，应把示范效应与广告效应一起 考虑。而广告效应只能对没采用该技术的 企业起作用。假设其引起的增量与N p(t)
微分方程模型
微分方程模型
一阶常微分方程模型 高阶常微分方程和方程组模型 差分方程模型 偏微分方程模型
一阶常微分方程模型
在很多实际问题的研究中，经常要涉 及各变量的变化率问题。这些问题的解决 通常要建立相应的微分方程模型。微分方 程模型在自然科学中的应用主要以物理， 力学等客观规律为基础建立起来，而在经 济学，人口预测等社会科学方面的应用则 是在类比，假设等措施下建立起来。
（程2可）以注看意到到，NddN(tt
0 ，并且从最终的人口方
)
N m，以及
lim
t
N
(t)
N m，
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•根据规律列方程
方法
•微元分析法 •模拟近似法
4.1 人口预测和控制 4.2 传染病模型
4.3 捕鱼业的持续收获
4.1
背景
人口预测和控制
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s) 的图形，进行分析
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
• 年龄分布对于人口预测的重要性
• 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
第四讲
微分方程建模
一般处理动态连续问题
动态 问题
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
微分 方程 建模
离散：Leslie 人口发展方程
4.2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N [i (t t ) i (t )] Ns(t )i (t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
1
i
P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1
)
s0
s
小, s0 1
x 2
提高阈值1/降低被 传染人数比例 x
模型5
假设
传染病有潜伏期
SEIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人、潜伏 者和移出者的比例分别为 i (t ), s(t ), e(t ), r (t ) 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 3）单位时间内潜伏者以比例常数 转为染 病者
i(t t ) i(t ) i(t )t
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
产量模型 假设
x(t) ~ 渔场鱼量
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 x x(t ) f ( x) rx(1 ) N r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
Logistic 模型
1 1 t 1 1 e i 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设 建模
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
di 1 i[i (1 )] / dt
>1
i
1
di/dt < 0
i0 0 i0
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
建模
s(t ) i (t ) e(t ) r (t ) 1
建立 i ( t ), s( t ), e( t ), r ( t ) 方程
模型5
SEIR模型
ds d t si d e si e dt di e i dt dr d t i i ( 0 ) i 0 , s ( 0 ) s0 , e ( 0 ) e 0
0
1-1/
1 i
1 , 1 1 i ( ) 0, 1
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
记 F ( x) f ( x) h( x)
x x(t ) F ( x) rx(1 ) Ex N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
4.3
背景
捕鱼业的持续收获
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
稳定性模型
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
பைடு நூலகம்
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 x(1990 x x(1990 rx(1990 1 x(1990 / xm ] ) ) ) )[ )
x(2000 274.5 )
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
0
D
s
1
模型4
相轨线 i (s) 及其分析
SIR模型
di i 1 si i di dt 1 s ds s 1 1 i( s) ( s0 i0 ) s ln s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2