2019届高考数学考前30天基础知识专练8(不等式推理与证明)

高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明

一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)

1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察

2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为

__________________.

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).

(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误

4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .

5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2

)1(1-+=成立.类比上述

性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.

(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯.

7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2

),1(log 22)(2

21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________.

8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=

x a

x a x x

x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____.

9、设a ＞b ＞c ＞0，且

c

a m c

b b a -≥

-+-11恒成立，则m 的最大值为___________.

10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋

35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1

)(1(b

b a a ++

的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”

或“负数).

13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________.

14、下面使用类比推理正确的序号是__________.

(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；

(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；

(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是

全等的平行四边形”；

(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题

15. 已知f (x )=a 2x －1

2x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。

（Ⅰ）可以证明：定理“若a 、b ∈R +

，则a+b 2≥ab （当且仅当a =b 时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（Ⅱ）若f (x )＞0在(0,2)上恒成立，且函数f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测y = f (x )的单调性（无需证明）.

参考答案

1、140,85

2、)1

,1(

α

β

3、(1)

4、2

)

2)(1()(-+=

n n n f

5、2

)1(1

-⋅=n n n n q b T

6、(2)(3)

7、

(

)

+∞,5

8、3

1≥

a 9、4

10、500 11、

4

25 12、正数 13、2053 14、(2)(3)(4)

15. 解：（1）若a 、b 、+

∈R c ，则3

3

abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）

。 （2）()021212232

>⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=-

=x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，即2221x a >在()2,0上恒成立，

∵

()2,02

12

∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， ()[]323

22222222222

32321212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x a x a x x a x a x x f 2

222

1x a x -

=即

a x 3

6=

时，

26

2646362919623

33m

a x >⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==>⇒>=a a a f ， 又∵a x 3

6

=

()2,0∈，∴()6,0∈a 。 综上，得[

)

6,2∈a 。

易知，()x f 是奇函数，∵a x 36=

时，函数有最大值，∴a x 3

6-=时，函数有最小值。 故猜测：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈a a x 36,36时，()x f 单调递增。