主成分分析原理及详解

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主成分分析法原理

主成分分析法是一种常用的降维技术，可以用来发现数据中最重要的模式和关系。其原理是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系统中，新坐标系的选择是按照数据方差最大的优先原则进行的。换句话说，主成分分析法试图找到能够最大程度解释原始数据方差的一组新的变量，这些新变量称为主成分。

在主成分分析中，第一主成分是能够最大程度解释原始数据方差的变量。第二主成分则是在第一主成分已经解释了最大方差后，能够解释剩余方差最大的变量。依此类推，可以得到一系列依次解释方差递减的主成分。

主成分分析的关键思想是将原始数据转化为一组新的变量，使得这些新变量之间相互独立，并且每个新变量都能够最大程度地解释数据方差。通过将数据映射到新的坐标系中，主成分分析可以有效地降低数据的维度，减少不必要的冗余信息。

主成分分析法在数据处理和分析中广泛应用，例如在多变量统计分析、模式识别、数据可视化等领域。它可以帮助我们得到更简洁、更具有解释性的数据表示，提取出隐藏在数据背后的重要特征和规律，为后续分析和决策提供有效支持。

PCA主成分分析原理及应用

主成分分析的原理是通过对数据矩阵进行特征值分解，找到使得方差

最大化的主成分。具体步骤如下：

1.标准化数据：对原始数据进行标准化处理，使得每个维度具有相同

的尺度。

2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。协方差矩阵

描述了不同维度之间的相关性。

3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的

特征向量。特征值代表了各个主成分的重要程度，特征向量表示了相应特

征值对应的主成分。

4.主成分选择：根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分。通常，选择特征值大于平均特征值的一些阈值（如1）作为截断标准。

5.数据转换：将原始数据与所选的主成分构成的矩阵相乘，得到降维

后的数据。这相当于将原始数据投影到主成分所构成的子空间中。

PCA广泛应用于数据预处理、特征提取和数据可视化等领域。

1.数据预处理：PCA可以通过降低维度，过滤噪声和冗余特征，减少

计算时间和资源消耗。例如，在图像处理中，PCA可以用来处理图像中的

噪声、压缩图像和实现图像的重建。

2.特征提取：PCA可以帮助寻找最能代表数据集的主要特征。通过提

取主成分，可以减少特征维度，提高模型的训练和预测效率。在机器学习

任务中，PCA常被用于特征选择和特征降维。

3.数据可视化：PCA能够将高维数据映射到二维或三维空间，帮助我们理解和发现数据中的模式和规律。通过可视化降维后的数据，我们可以更好地理解数据的结构和关系。

虽然PCA具有许多优点，但也存在一些限制。首先，PCA假设数据是线性相关的，对于非线性关系的数据可能效果不佳。其次，PCA可能无法解释数据中的复杂关系，因为它只能提取线性相关性。最后，PCA对异常值和噪声敏感，可能影响到主成分的提取结果。

主成分分析法原理及应用

主成分分析的基本思想是将高维数据转化为一个新的低维坐标系，新

的坐标系由特征向量构成。特征向量是通过对数据矩阵进行特征值分解得

到的，每一个特征向量都代表数据的一个主成分，同时也代表了原始数据

在该主成分上的投影。通过选择前N个主成分，可以将原始数据的维度从

D维降低到N维。

1.对原始数据进行标准化处理，即将每个维度上的数据减去其均值并

除以标准差；

2.构建数据的协方差矩阵；

3.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值；

4.将特征值按降序排列，选择前N个特征向量作为主成分。

1.数据降维：主成分分析可以将高维数据降低到低维空间中，从而减

少数据的维度。这对于处理高维数据而言非常重要，可以减少计算复杂度，并且有助于解决维度灾难问题。

2.特征提取：主成分分析可以通过选择前N个主成分来提取最具代表

性的特征。这对于处理大规模数据集、挖掘数据的基本模式和结构非常有用。

3.数据可视化：主成分分析可以将多维数据映射到二维或三维的空间中。这样做可以简化数据的可视化和分析过程，帮助人们更好地理解数据

的结构和关系。

4.噪声过滤：主成分分析可以通过去除数据的主成分中的低方差部分

来剔除数据中的噪声。这对于提高数据质量和预测性能非常有帮助。

5.数据预处理：主成分分析可以用于数据的预处理，比如去除冗余特征、去除缺失值等。通过去除无关和缺失的特征，可以提高后续分析的准确性和效率。

总之，主成分分析是一种非常实用的数据分析技术。它可以帮助人们更好地理解数据的结构和关系，并从中提取有用的信息。在实际应用中，人们可以根据具体的需求和问题选择适当的主成分数目，以获得最佳的结果。

PCA-主成分分析的原理及解释

主成分分析（principal component analysis ，PCA ）

PCA 利⽤正交变换将线性相关变量表⽰的观测数据转换为少数⼏个由线性⽆关变量表⽰的数据。

线性⽆关的变量称为主成分，其个数通常⼩于原始变量的个数，所以属于⽆监督学习中的降维⽅法。

⼀、PCA 的解释—最⼤⽅差理论

由上图可以看到，x 1和x 2两个变量之间具有线性相关性。已知其中⼀个变量x 1的取值时，对另⼀个变量x 2的预测不是完全随机的，反之亦然。

为了减少这种相关性，我们对坐标系进⾏旋转变换（正交变换），将数据投影到新坐标系的坐标轴上，那如何选择坐标系呢？

我们将数据在每⼀轴上的坐标值的平⽅表⽰相应变量的⽅差，并且这个坐标轴上的⽅差是最⼤的（在所有可能的新坐标系中）。找到第⼀坐标轴后，然后选择与第⼀坐标轴正交，且⽅差次之的⽅向作为第⼆坐标轴，如上图(b)。

主成分分析旨在选取正交变换中⽅差最⼤的变量，那为什么⽅差最⼤，变量之间的相关性越⼩？

答：数据在某个⽅向上的轴的⽅差越⼤，那么说明数据分布得更为分散，相关性越⼩。在信号处理领域，信号具有较⼤的⽅差，噪声具有较⼩的⽅差，信号与噪声之⽐称为信噪⽐。⽽信噪⽐越⼤，意味着数据的质量越好。

回忆⼀下，线性代数的相关内容？

正交矩阵：满⾜条件A T A =E 或者AA T =E 的n 阶⽅阵称为正交矩阵。

判定正交矩阵的充分必要条件为：A 的列（⾏）向量都是单位向量，且两两正交。

设A 为正交矩阵，则线性变换y =Ax 称为正交变换。正交变换保证向量的内积和长度不变，具有保形性。

主成分分析(PCA)原理详解

主成分分析（PCA）原理详解

PCA的基本原理如下：

1.数据标准化：对数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，

方差为1、这一步骤是为了保证不同特征的量纲一致，避免一些特征因数

值过大而对分析结果造成影响。

2.计算协方差矩阵：协方差矩阵描述了数据特征之间的相关性。通过

计算标准化后的数据的协方差矩阵，可以得到不同特征之间的相关性信息。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征

值和对应的特征向量。特征向量表示了数据在各个方向上的投影情况，特

征值则表示了各个特征向量的重要程度。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最重要的K个特征向量作为

主成分。特征值越大，表示该特征向量所代表的特征在数据中的方差越大，所能解释的信息也越多。

5.构造降维后的数据集：将选取的K个特征向量组合成一个转换矩阵，将原始数据映射到新的K维空间中。通过这个转换过程，可以实现降维并

且保留较多的信息。

总结起来，PCA的主要思想是通过计算特征向量和特征值，找到数据

中最重要的方向（主成分），然后通过投影到这些主成分上实现数据的降维。

PCA的应用包括数据可视化、特征选择、噪声过滤等。例如，在数据

可视化中，将高维数据降至二维或三维空间，有助于观察数据之间的分布

情况。在特征选择中，选择最能代表数据信息的主成分可以减少特征的数

量，并且仍能保留较多的重要信息。在噪声过滤中，提取数据中的主成分，滤除噪声成分，能够提高数据的质量和可靠性。

需要注意的是，PCA的有效性依赖于数据之间存在线性关系的假设。

对于非线性关系较强的数据，PCA不一定能够有效降维，这时可以采用核

主成分分析(PCA)数学原理详解

主成分分析（PCA）数学原理详解

PCA的数学原理可以分为以下几个步骤：

1.数据中心化

PCA首先将原始数据进行中心化处理，即将每个特征的均值减去相应特征的平均值，这是因为PCA假设数据围绕着原点分布，中心化可以消除数据的平移影响。

2.协方差矩阵的计算

PCA的关键是计算数据的协方差矩阵。协方差矩阵描述了不同特征之间的相关性。对于一个n维的数据集，协方差矩阵是一个n×n的矩阵，其中第(i,j)个元素表示第i个特征和第j个特征的协方差。

协方差矩阵的计算公式如下：

$C = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})(X_i - \overline{X})^T$

其中，X是一个n×m的矩阵，表示n个样本的m个特征，

$\overline{X}$ 表示特征均值向量

协方差矩阵是一个对称矩阵，通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到特征值和特征向量。

3.特征值和特征向量的计算

对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。特征值代表了数据在特征向量方向上的方差，而特征向量表示了数据的主成分方向。

设协方差矩阵为C，有如下特征值方程：

$Cv = \lambda v$

其中，v是特征向量，λ是特征值。

将特征值按从大到小的顺序排序，选择前k个最大的特征向量，即主

成分，作为新的基向量。这些特征向量构成了一个新的坐标系，用于表示

原始数据的新坐标。

4.数据转换

将原始数据投影到新的坐标系上，得到降维后的数据。

设原始数据集为X，新的基向量为V（由前k个特征向量组成），降

主成分分析的原理是

主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种常用的

数据降维和特征提取方法。其原理基于找到一组新的特征向量，使得通过投影数据到这些特征向量上可以尽可能保留数据集的方差。

具体而言，PCA将原始的高维数据映射到一个低维的空间，

使得新空间下的数据能够最大程度地保留原始数据的信息。这实际上是通过在新特征向量上选择投影方向，使得投影后的数据方差最大化。这些新特征向量被称为主成分，按照方差的大小排序。

主成分分析的计算过程首先将原始数据去均值，然后计算协方差矩阵。协方差矩阵可以表达不同特征之间的相关性。接下来，通过对协方差矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量。特征值表示对应特征向量的重要性，而特征向量则表示新的特征空间轴。

在选择主成分时，可以根据特征值的大小选择保留哪些主成分，以达到降维的目的。通常，选择保留的主成分个数可以通过保留足够的累计方差来确定。一般来说，前几个主成分可以解释数据中大部分的方差，因此保留这些主成分可以减少数据的维度同时保留较多的信息。

最后，可以利用投影矩阵将原始数据映射到新的特征空间，实现数据的降维。通过主成分分析，可以更好地理解数据的结构

和特征之间的关系，并在数据处理和可视化等领域中发挥重要作用。

主成分分析(PCA)详解(附带详细公式推导)

主成分分析（PCA）详解（附带详细公式推导）

1.假设有一个m维的数据集X，其中每个数据点有n个样本。需要将

其降维到k维，且k

2. 首先需进行数据的中心化，即对每个维度的数据减去该维度的均值，即X' = X - mean(X)。

3.然后计算协方差矩阵C=(1/n)*X'*X'^T，其中X'^T表示X'的转置。

4.对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

5.接下来，将特征值按从大到小的顺序排列，选取前k个最大的特征

值及其对应的特征向量。

6. 最后，将选取的k个特征向量组成一个投影矩阵W =

[e1,e2,...,ek]，其中ei表示第i个特征向量。

7.对中心化的数据集进行降维，Y=W*X'，其中Y即为降维后的数据。

上述推导过程中，协方差矩阵C的特征值代表了数据的方差，特征向

量则代表了数据的主成分。选取最大的k个特征值和对应的特征向量，即

实现了数据的降维。

PCA的应用包括但不限于以下几个方面：

1.数据可视化：PCA能够将高维度的数据映射到二维或三维空间，从

而方便数据的可视化展示。

2.数据预处理：PCA能够降低数据的维度，从而减少噪声和冗余信息，提升后续模型的精度和效率。

3.特征提取：PCA能够提取数据中最重要的特征，从而辅助后续建模和特征工程。

4.噪声过滤：PCA能够降低数据的维度，从而过滤掉一些无关的噪声信息。

需要注意的是，PCA只能应用于线性数据，并且假设数据的方差和协方差是固定的。同时，PCA对于数据中非线性关系的捕捉能力较弱，因此在处理非线性数据时，需考虑使用其他非线性降维方法，如核主成分分析（Kernel PCA）等。

主成分分析原理及详解

PCA的原理如下：

1.数据的协方差矩阵：首先计算原始数据的协方差矩阵。协方差矩阵

是一个对称矩阵，描述了不同维度之间的相关性。如果两个维度具有正相

关性，协方差为正数；如果两个维度具有负相关性，协方差为负数；如果

两个维度之间没有相关性，协方差为0。

2.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征值表示该特征向量对应的主成分的方差大小。特征向量表示数据

中每个维度的贡献程度，也即主成分的方向。

3.选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，使其对应的特

征值之和占总特征值之和的比例达到预定阈值。这些主成分对应的特征向

量构成了数据的新基。

4.数据映射：将原始数据投影到新基上，得到降维后的数据。投影的

方法是将数据点沿着每个主成分的方向上的坐标相加。

PCA的步骤如下：

1.数据预处理：对原始数据进行预处理，包括去除均值、缩放数据等。去除均值是为了消除数据的绝对大小对PCA结果的影响；缩放数据是为了

消除数据在不同维度上的量纲差异。

2.计算协方差矩阵：根据预处理后的数据计算协方差矩阵。

3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，其中k是满足

预设的方差百分比的最小主成分数量。

5.数据映射：将原始数据投影到前k个主成分上，得到降维后的数据。PCA的优缺点如下：

2.缺点：PCA是一种线性方法，无法处理非线性数据；PCA对异常值

敏感，可能会导致降维后的数据失去重要信息；PCA的解释性较差，不易

解释主成分和原始数据之间的关系。

主成分分析法的原理和步骤

主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多元统计分析方法，它通过线性变换将高维数据转换为低维数据，从而实现降维和数据可视化。PCA的基本思想是通过选取少数几个主成分，将原始变量的方差最大化，以便保留大部分的样本信息。下面我将详细介绍PCA的原理和步骤。

一、主成分分析的原理

主成分分析的核心原理是将n维的数据通过线性变换转换为k维数据（k<n），这k维数据是原始数据最具有代表性的几个维度。主成分是原始数据在新坐标系中的方向，其方向与样本散布区域最大的方向一致，而且不同主成分之间互不相关。也就是说，新的坐标系是通过原始数据的协方差矩阵的特征值分解得到的。

具体来说，假设我们有一个m个样本、维度为n的数据集X，其中每个样本为一个n维向量，可以表示为X=\left ( x_{1},x_{2},...,x_{m} \right )。我们的目标是找到一组正交的基变量（即主成分）U=\left ( u_{1},u_{2},...,u_{n} \right )，使得原始数据集在这组基变量上的投影方差最大。通过对协方差矩阵的特征值分解，可以得到主成分对应的特征向量，也就是新的基变量。

二、主成分分析的步骤

主成分分析的具体步骤如下：

1. 标准化数据：对于每一维度的数据，将其减去均值，然后除以标准差，从而

使得数据具有零均值和单位方差。标准化数据是为了消除不同维度上的量纲差异，确保各维度对结果的影响是相等的。

2. 计算协方差矩阵：对标准化后的数据集X，计算其协方差矩阵C。协方差矩阵的元素c_{ij}表示第i维度与第j维度之间的协方差，可以用以下公式表示：

主成分分析法原理

主成分分析法是一种数据分析方法，可以将多维数据集合中的高维变量转化为少量的主成分，从而实现数据的降维和特征抽取。

主成分分析法的基本思想是：将原始数据的多维变量压缩到低维空间，其中压缩的维度由维度数量决定，而每一维变量的压缩程度由各维度的系数来决定。每一个维度的系数可以理解为一个方向的投影，可以将原始数据投影到该方向上，以此来获得降维后的新数据矩阵。

主成分分析法由一系列步骤组成，包括数据预处理、主成分析、结果分析等。首先，对原始数据进行预处理，将数据集中的变量标准化，并计算其协方差矩阵。接着，在协方差矩阵的基础上，通过矩阵分解算法求出其特征值和特征向量，而特征向量代表了原始数据的主要特征和方向，其特征值表示了各个特征的重要性，用于对特征做出选择。最后，利用特征值和特征向量，可以构建出新的主成分矩阵，以此实现数据的降维和特征抽取。

主成分分析法在实际应用中具有许多优点，可以实现多维数据的有效降维，减少原始数据的复杂性；可以提取数据中有用的信息；还可以用于数据可视化、数据分类等，因此被广泛应用于各个领域。

主成分分析法的原理

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维技术，它可以将高维数据转换为低维数据，同时保留原始数据的大部分信息。主成分分析的核心思想是通过线性变换将高维数据转换成一组新的正交变量，这些新的变量称为主成分。每个主成分都是原始数据的一个线性组合，其中第一个主成分具有最大的方差，第二个主成分具有次大的方差，而后续的主成分方差逐渐递减。主成分分析的目标是保留尽可能多的方差，以便能够较好地表示原始数据。

主成分分析的步骤一般包括数据标准化、计算协方差矩阵、特征值分解以及选择主成分。

首先，为了消除不同变量之间的量纲影响，需要对原始数据进行标准化。标准化可以使得不同变量具有相同的尺度，便于后续的主成分分析。常用的标准化方法包括均值中心化和方差放缩。均值中心化将数据的均值移动到原点，即对所有数据减去其均值；方差放缩将每个维度的数据除以其标准差，以确保每个维度的方差为1。

然后，计算协方差矩阵。协方差矩阵反映了不同变量之间的相关性，可以通过计算数据的协方差来得到。协方差的计算公式为：cov(X,Y) = E[(X-μX)(Y-μY)]，其中X和Y分别表示两个变量，μX和μY分别表示它们的均值。

接下来，对协方差矩阵进行特征值分解。特征值分解将协方差矩阵分解为特征向

量和特征值的形式。特征值表示了特征向量对应的方向上的方差大小，特征向量表示了数据的主要方向。特征向量是由单位化的协方差矩阵的特征值对应的特征向量构成的。

最后，选择主成分。主成分的选择依据主要是基于特征值的大小来确定。特征值越大，表示数据在该主成分方向上的方差越大，保留该主成分所包含的信息越多。一般来说，选择特征值大于某个阈值的主成分作为保留的主成分。在选择主成分时，可以根据特征值的大小进行排序，选择前k个主成分。通过选取较少的主成分，可以实现对高维数据的降维。

主成分分析法的原理应用及计算步骤

主成分分析法的原理应用及计算步骤主成分分析的目标是通过线性变换找到一组新的变量，使得原始数据在这组新变量上的投影具有最大方差。假设有m个观测样本和n个变量，我们的目标是找到n个线性无关的主成分变量Z1,Z2,...,Zn。首先，我们选择第一个主成分变量Z1，使得数据在Z1上的投影具有最大的方差。然后，我们选择第二个主成分Z2，使得Z1和Z2的协方差尽可能小，即Z2与Z1无关。依此类推，我们依次选择第三、第四...第n个主成分变量，一直到第n个主成分Zn，使得Z1、Z2...Zn两两不相关。通过这种方式，我们实现了对数据的降维，将原始的高维数据使用较低维的主成分表示。

1.标准化数据：将原始数据按列进行标准化处理，即将每一列的数据减去该列的均值，然后再除以该列的标准差。这样做的目的是使得相对较大方差的变量与相对较小方差的变量处于同一个尺度上。

2.计算协方差矩阵：通过计算标准化后的数据的协方差矩阵，来描述各个变量之间的线性关系。协方差矩阵的元素C[i][j]表示第i个变量与第j个变量的协方差。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征值表示数据在对应特征向量方向上的方差，特征向量表示数据在对应特征向量方向上的投影。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征值对应的特征向量作为前k个主成分。通常选择的主成分数目k是根据方差解释率来确定的。

5.数据降维：将原始数据通过选取的主成分线性变换到低维空间中。只选择部分主成分（前k个），可以减小数据的维度。

主成分分析的原理与方法

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的数

据降维和特征提取方法。它通过提取数据中的主要特征，将高维数据

转化为低维表示，从而简化数据分析和可视化过程。本文将介绍主成

分分析的原理与方法，并对其在实际应用中的一些注意事项进行探讨。

一、主成分分析的原理

主成分分析的基本原理是通过线性变换将原始数据映射到一组新的

正交变量上，这些新的变量被称为主成分。主成分的生成过程为以下

几个步骤：

1. 数据标准化

在进行主成分分析之前，首先要对原始数据进行标准化处理，确保

数据在不同维度上具有相同的尺度，避免因为尺度不同而影响主成分

的提取。

2. 计算协方差矩阵

计算标准化后的数据的协方差矩阵，协方差矩阵反映了不同维度之

间的相关性。通过协方差矩阵，可以确定数据中的主要方向和相关性

强弱。

3. 特征值分解

对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特

征值表示了每个主成分所解释的方差比例，而特征向量则是对应于特

征值的主成分。

4. 选择主成分

根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为

主成分，其中k是用户预设的维度。

二、主成分分析的方法

主成分分析一般可以通过以下几个步骤来完成：

1. 数据准备

首先，需要准备原始数据集，并对数据进行标准化处理，使得数据

在不同维度上具有相同的尺度。

2. 计算协方差矩阵

根据标准化后的数据，计算协方差矩阵，可以使用公式进行计算，

也可以使用相关的库函数进行计算。

3. 特征值分解

对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。

主成分分析（PCA）原理详解

⼀、PCA简介

1. 相关背景

在许多领域的研究与应⽤中，往往需要对反映事物的多个变量进⾏⼤量的观测，收集⼤量数据以便进⾏分析寻找规律。多变量⼤样本⽆疑会为研究和应⽤提供了丰富的信息，但也在⼀定程度上增加了数据采集的⼯作量，更重要的是在多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从⽽增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别对每个指标进⾏分析，分析往往是孤⽴的，⽽不是综合的。盲⽬减少指标会损失很多信息，容易产⽣错误的结论。

因此需要找到⼀个合理的⽅法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进⾏全⾯分析的⽬的。由于各变量间存在⼀定的相关关系，因此有可能⽤较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因⼦分析就属于这类降维的⽅法。

2. 问题描述

下表1是某些学⽣的语⽂、数学、物理、化学成绩统计：

⾸先，假设这些科⽬成绩不相关，也就是说某⼀科⽬考多少分与其他科⽬没有关系。那么⼀眼就能看出来，数学、物理、化学这三门课的成绩构成了这组数据的主成分（很显然，数学作为第⼀主成分，因为数学成绩拉的最开）。为什么⼀眼能看出来？因为坐标轴选对了！下⾯再看⼀组学⽣的数学、物理、化学、语⽂、历史、英语成绩统计，见表2，还能不能⼀眼看出来：

数据太多了，以⾄于看起来有些凌乱！也就是说，⽆法直接看出这组数据的主成分，因为在坐标系下这组数据分布的很散乱。究其原因，是因为⽆法拨开遮住⾁眼的迷雾~如果把这些数据在相应的空间中表⽰出来，也许你就能换⼀个观察⾓度找出主成分。如下图1所⽰：但是，对于更⾼维的数据，能想象其分布吗？就算能描述分布，如何精确地找到这些主成分的轴？如何衡量你提取的主成分到底占了整个数据的多少信息？所以，我们就要⽤到主成分分析的处理⽅法。

主成分分析的原理

主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的无监督降维方法，其原理基于找到原始数据中最主要的特征，将其转换为新的一组维度，从而减少数据的维度。

PCA的原理基于线性代数中的特征值分解和奇异值分解。其步骤如下：

1. 首先，对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。

2. 计算原始数据的协方差矩阵。

3. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4. 根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量，形成投影矩阵。

5. 将原始数据通过投影矩阵进行降维，得到新的特征空间。

在降维后的新特征空间中，第一主成分是原始数据中方差最大的方向，第二主成分是与第一主成分正交且方差次大的方向，以此类推。通过降维，我们可以将高维的数据点映射到低维的空间中，保留了大部分原始数据的信息，并能更好地可视化和处理数据。

PCA在数据降维、数据压缩、数据预处理及特征选择等领域有广泛应用。它可以帮助我们发现数据中的模式和结构，并减少数据的复杂性，提高后续任务的效率和准确性。