单纯形法习题
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
x5
30 85
x1 x2 x3 x4 x5 0
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域上的顶点：
X (5,15, 0, 20, 0)
X (9, 7, 0, 0,8) X (15,5,10, 0, 0)
2 1 1 0 0
A 1 3
0
1
0
4 7 1 2 1
2 1 0 1 3 1 4 7 2
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7 (j) (k) (l)
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
10/2=5
1 -3 0 -2 0
0
1
1
-1 -2
0 1/2 0 1/2 1/2 1 -3/2 0 -1/2 1/2
0 -3/2 0 -3/2 -1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2x1 3x2 x3
化为标准式有
st. 3x1x1
k=0－（3×1/2＋0×1/2）＝－3/2
单纯形法的计算题
单纯形法的计算题
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。下面是一道使用单纯形法求解的线性规划问题的例子：
求最大化目标函数z = -2x1 + 3x2，
约束条件：
1. x1 + x2 <= 4
2. 3x1 + 4x2 <= 12
3. x1, x2 >= 0
用单纯形法求解此问题，需要进行以下步骤：
1. 建立初始单纯形表格：根据约束条件，我们可以确定初始单纯形表格的基变量和非基变量。
2. 计算目标函数的系数和：根据目标函数的系数，我们可以计算出目标函数的系数和。
3. 检查退出条件：如果目标函数的系数和大于零，则无法找到可行解；如果目标函数的系数和小于等于零，则已经找到最优解。
4. 迭代计算：如果未达到最优解，需要继续迭代计算，更新单纯形表格，直到找到最优解为止。
5. 输出结果：最终的单纯形表格中，最优解对应的基变量和非基变量的值即为所求的最优解。
具体到这个例子中，可以使用线性规划软件包或编程语言实现单纯形法来求解。通过输入约束条件和目标函数，可以得到最优解。
运筹学习题
第一章. 线形规划及单纯形法习题
1. 某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨，煤油12万吨，重油12万
吨.该厂从A ，B 两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。又如从A 处采购原油每吨价格（包括运费,下同）为200元，B 处原油每吨为300元.试求：1)选择该炼油厂采购原油的最优决策；2）如A 处价格不变,B 处降为290元/吨，则最
2万元。
2)改为每季度从A 处采购15万吨，从B 处采购30万吨，总费用11700万元。
2. 已知线性规划问题： 213m ax x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=++=+40
,,342
10215.5152421
31x x x x x x x x x st
下表中所列的解(a ）— （f ）均满足约束条件1—3，试指出表中哪些是可行解，哪些是
3. 已知某线性规划问题的约束条件为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥=---+=-+=-+)5,,1(0852********.54321421321 j x x x x x x x x x x x x st j
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点：
（a ）），，，，（0200155=X
（b ） ），，，，（80079=X (c ） ），，，，（0010515=X
答:
该线性规划问题中
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4121p
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=7312p
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=1013p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2104p
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1005p （a ） 因有0421=++-p p p ，故不是凸集顶点；
（b ） （9,7，0，0，8）为非可行域的点
单纯形法习题详解-单纯形法练习题
单纯形法应用实例
某工厂生产I，II两种商品，已知生产单位商品所需要的设备台时，A、B两种原材料的消耗、设备使用台时限额以及原材料的限额如下表所示。该工厂生产一件商品I可获利3元，每生产一件商品II可获利4元。写出使该工厂所获利润最大的线性规划模型，并用单纯型法求解。
用单纯形法求解该线性规划问题
122121212
max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨
+≤⎪⎪≥⎩
首先列出表格，先确定正检验数最大值所在列为主列，然后用b除以主列上对应的同行数字。除出来所得值最小的那一行为主行，根据主行和主列可以确定主元（交点）。接着把主元化为1并把X4换成X1.
这时进行初等行列变换，把主列换单位向量，主元为1。也就是X5所在行减去X1所在行。并且重新计算检验数。
再次确定主元。为4/6。然后把X5换成X2。并且把主元化成1。
然后再用X1行减去2/6倍的X2行，X3行减去5倍的X2行。并且重新计算检验数。
最后得到的表格中检验数这一行无正数则所得解为最优解。本题最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0)
目标函数值Z=8.5
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法
1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12
2121212
max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï
+£ïí
+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12
121212
max 2322
..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï
+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234
123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î
4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0
z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï
-+£ïí
+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123
max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î
6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法灵敏度分析与对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与
对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对
偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1(解：
(l)cl?24
⑵ c2?6
(3)cs2?8
2(解：
(1)cl??0.5
(2)?2?c3?0
(3)cs2?0.5
3(解：
(1)bl?250
(2)0?b2?50
(3)0?b3?150
4(解：
(1)bl??4
(2)0?b2?10
(3)b3?4
最优基矩阵和其逆矩阵分别为:B???
最优解变为xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,最小值变为-78;
?0, x2?14, x3?2,最小值变为-96;最优解没有变化;最优解变为xl
6(解：
⑴利润变动范围cl?3,故当cl=2时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
(3)0?b2?45o
(4)最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生产计划没有影响。
7.解：
⑴设xl,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
max z?2.5xl?2x2?3x3
约束条件:8xl?16x2?10x3?350
10xl?5x2?5x3?450
2xl?13x2?5x3?400
xl,x2,x3?0
解得三种食品产量分别为xl?43.75,x2?x3?0,这时厂家获利最大为109.375万
ye©
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加
单纯形法 练习题
◆
1.（10分）用单纯形法求解以下线性规划问题。
◆
3215812x x x MaxZ ++=
s .t :⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++0,,48412112023321321321321x x x x x x x x x x x x
解：先化为标准型：Max 3215812x x x Z ++=
s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=+++0
,,,,,4841211
20
23321321332123211321s s s x x x s x x x s x x x s x x x (1分)
（以下三步迭代每步2分，指出最优解、最优值1分。）
迭代次数 基变量 B C 1x 2x 3x 1s 2s 3s b 比值 12 8 5 0 0 0
1s 0 3 2 1 1 0 0 20 20/3
2s 0 1 1 1 0 1 0 11 11
0 2s 0 12*
4 1 0 0 1 48 4
j z 0 0 0 0 0 0 0=z j σ 12 8 5 0 0 0
1s 0 0 1*
3/4 1 0 -1/4 8 8
1 2s 0 0 2/3 11/1
2 0 1 -1/12 7 21/2
1x 12 1 1/3 1/12 0 0 1/12 4 12
j z 12 4 1 0 0 1 48=z j σ 0 4 4 0 0 -1
2 2x 8 0 1 3/4 1 0 -1/4 8 32/3
2s 0 0 0 5/12* -2/3 1 1/12 5/3 4
1x 12 1 0 -1/6 -1/3 0 1/6 4/3 ___ j z 12 8 4 4 0 0 z=80 j σ 0 0 1 -4 0 0
运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型
1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。 问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省
?
某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2
4 8 10 7 12 4
每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题：
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10
Xl
X2 X3 X4 —10 b
-1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xl
a
d
e
1
(1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解?
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
xj 0
( j 1,2,3,4) A
13
Cj
2 -1 1 0 0 0 比
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
值
0
x4 60
3
1
1
1
0
0 60/3=20
0
x5 10
1
-1 2
0
1
0 10/1=10
0
x6 20
1
1
-1
0
0
1 20/1=20
检验数j 0
2 -1 1
0
0
0
0
x4 30
0
2
x1 10
1
0
x6 10
A
20
4、求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通
常用 xj
x'j
x'j'
来替换，其中
x
' j
0
，x
'' j
0。
试说明，能否在基变量中同时出现，为什么？
不可能。因为 Pj' Pj'' 故 Pj' Pj'' 0
A
21
5、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线
性规划的目标函数为 maxZ5x13x2约束形式为
运筹学习题2-单纯形法
1
1 −1 0
0
0
0
-1 -8 2
-1 ←λj
五、解：用两阶段法求解时，在第一阶段应该构造如下的线性规
划问题： 经单纯形法的计算得到如下单纯形表7：
表7
X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0.5 1 −2.5 0 0.5 −0.5 0 x3 1.5 0 0.5 1 0.5 0.5 0
0 0 1
0 ←λj
0 0 1
0 ←λj
-1 -8 2
-1 ←λj
五、 试利用两阶段法第一阶段的求解，找出下述方程组的一个可行 解，并利用计算得到的最终单纯形表说明该方程组有多余方程。 解：
附《运筹学》习题（二）答案
一、1、对（因为的系数列向量只差一个符号，所以它们线性相关，不 可能是某个可行基中的两列，因此在同一个基可行解中不可能出现）；
量，将使目标函数值得到最快的增长。
答：
二、 单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量，在紧接着的
下一次迭代中，会不会再进入基变量中？为什么？
答：
三、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格，已知该线性规划问题中
目标函数为，约束条件均用“≤”关系连接，, 为松弛变量，该表中解代入
目标函数可得z =10。求a---g的值；问此表所给的解是否为最优解。
5
0
1
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划及单纯形法
1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型：
12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100
(1,2,3,4,5,6)0
j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2
2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则
123456
161223344556min .607060502030
(1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥
3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则：
111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600()
.6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333
《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析
《管理运筹学》第四版第5章单纯形法课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第5章单纯形法
1．解：
表中a 、c 、e 、f 是可⾏解，f 是基本解，f 是基本可⾏解。
2．解：
（1）该线性规划的标准型如下。 max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝10
0.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0
（2）⾄少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个⾮基变量，⾮基变量取零。
（3）（4，6，0，0，-2）T
（4）（0，10，-2，0，-1）T
（5）不是。因为基本可⾏解要求基变量的值全部⾮负。（6）略 3.解：
令33
3x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第⼀个⽅程左右两边同时乘以-1，并在第⼆和第三个⽅程中分别引⼊松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：
j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表⾥⾯j x '、j x ''相应的列向
量是相同的，只有符号想法⽽已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使
选取的基矩阵各列线性相关，不满⾜条件。
4．解：（1）表5-1
0,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 65433
21633
21543321433
214
321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：
线性重点规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题
1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0,42266432min 2
121212
1x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0,12432
223max 2
121212
1x x x x x x x x
(3) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 21212
1x x x x x x z (4) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0
,2322265max 1
221212
1x x x x x x x x z
2.将下列线性规划问题化成原则形式。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束
43214321432143214321,0,,2321422
245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束
32143213213213
21,0,0232624
322min x x x x x x x x x x x x x x x x z
3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并拟定最优解。
(1) ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(023102489
3631223min 61432143213
21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2) ⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=+++=+++++-=)
第一章线性规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题
1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0,42266432min 2121212
1x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0,12432
223max 2
121212
1x x x x x x x x
(3) ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤++=8
3105120
106max 21212
1x x x x x x z (4)
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322
265max 1
2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束
43214321432143214321,0,,2321422
245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束
32143213213213
21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z
3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。
(1) ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213
21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2)
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227
第1讲 单纯形法
第一章 线性规划及单纯形法
一、问题的提出
例题1：某公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A 、B 的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况见下表。问该公司应制造两种
设备A
0 5 15 设备B 6 2 24 调试工序 1 1 5
2121212 5x 156x +2x 24s.t. x + x 5x ,x 0
≤⎧⎪≤⎪⎨
≤⎪⎪≥⎩
建模练习1（下料问题）： 某工厂有要做100套钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成，已知原料长7.4米，问应如何下料使需用的原材料最省。
有一批长度为180厘米的钢管，需截成70、52和35厘米3种管料。它们的需求量分别不少于100、150和100根。问应如何下料才能使钢管的消耗量为最少？
建模练习1答案：
112345678
212345678123423567134min Z =x +x +x +x +x +x +x +x min Z =5x +6x +23x +5x +24x +6x +23x +5x 2x + x + x + x 100 2x + x +3x +2x + x 150s.t. x +x +3x ≥≥67812345678+2x +3x +5x 100x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 0
⎧⎪⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩建模练习2（运输问题）：
某地有3个有色多发金属矿厂，生产同一种金属矿石，分别运往4四冶炼厂，每个矿厂的产量、每个冶炼厂的需求量、以及每个矿厂到每个冶炼厂的单位运费见下表，问：应如何安排运输，使总的运费最少？
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题讲解
A
1 2
2 2
3 1
4 2
是否线性无关 是否为基
1
p1 p2
√
√
2
p1 p3
√
√
3
p1 p4
√
√
4
p2 p3
√
√
5
p2 p4
√
√
6
p3 p4
√
√
序号 1
基 p1 p2
基解
(-4, 11/2, 0 , 0)
是否为基可行解
×
2
p1 p3
(2/5, 0, 11/5 , 0) √
3
p1 p4
(-1/3, 0, 0, 11/6)
5x2 15
st.
6xx11
2
x2 x2
24 5
x1, x2 0
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
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习题三 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用 单纯形法迭代后得到的表如下所示，试求括号中未 知数a～l的值。
基变量 X4 X5 cj-zj b 6 1 X1 （b） -1 （a） X2 （c） 3 -1 X3 （d） （e） 2 X4 1 0 0 X5 0 1 0
X1
X5
（f）
4
（g）
（h）
2
（i）
线性规划的练习题
习题一 下表为求极大化的单纯形表，问表中 a1,a2,c1,c2,d为何值及表中变量为哪一类型时， （1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最 优解之一；（3）表中解为退化的可行解；（4）下一 步迭代将以x1替代基变量x5;（5）该问题具有无界解； （6）该问题无可行解； XB X3 X4 X5 b d 2 3 x1 4 -1 a2 x2 a1 -5 -3 x3 1 0 0 x4 0 1 0 X5 0 0 1
-1
1
1/2
1/2
Hale Waihona Puke Baidu
0
1
cj-zj
0
-7
（j）
（k）
（l ）
Cj-Zj
c1
c2
0
0
继续
0
返回
习题二 线性规划的目标函数是maxZ,在用标准的 单纯形法求解的过程中，得到下表（其中a、b是常 数，部分数据有缺失）
基变量
X6 X2
CB
X1 2 0 a
X2 5
X3 8 3
X4 0
X5 0 0 0.5
X6 0
b
20 b
X4 Cj-Zj
-2
-1 -2
1
8
（1）在所有的空格中填上适当的数（其中可含a、b参数） （2）判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。 1.此解为最优解，试写出相应的基解和目标函数值； 2.此解为最优解，且此规划有无穷多最优解； 3.此规划有无界解； 4.此解不是最优解，且能用单纯形法得到下一个基可行解。