2.2.2事件的相互独立性(人教A版)全面版

由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而 A 与B独立.
CAB AB
P(C)1P(C) 1P(A)P(B) 1 [1 P (A )1 ] [P (B )] 1(10 .6 )1 (0 .5 ) = 0.8
(二) 多个事件的独立性
P(AB)P(A)P(B) 则称事A件 ,B相互独,简 立称 A, B独立 .
注. 1º若P(A)0,则
P(BA)P(B) P (A)B P (A )P (B )
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
2º独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
可以证明： 特殊地， 当P(A)0,P(B)0时，有
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥) 或 A与B 互斥 A与B 不独立
证 若A与B 独立, 则 P (A)B P (A )P (B ) P (A ) 0 ,P (B ) 0 P (A ) B P (A )P (B ) 0 故AB 即 A与B 不互斥(相容).
引例 盒中有 5个球(3绿2红),每次取出一 ห้องสมุดไป่ตู้ 个
有放回地取.两 记次
A第一次抽,取 取到绿,球
B第二次抽,取 取到绿,球
则有
3 P(BA) P(B)
5
它表A示 的发生并B不 发影 生响 的可.能性
若P(A)0，则
P(BA )P(B )P (A ) B P (A )P (B )
2. 定义 设A,B是两事,如 件果满足等式
例1 分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面 H}，B={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立．
解 样本空间={HH, HT, TH, TT}共含有4个基本事 件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH, HT}，B={HT, TT}，AB={HT}，故有
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ，
1. 三事件两两相互独立的概念
定义 设A,B,C 是三个事件 ,如果满足等式
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), 则称事件A, B, C 两两相互独立 .
2. 三事件相互独立的概念
定义 设 A,B,C 是三个事件,如果满足等式
有 P ( A i 1 A i 2 A i k ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k ) 则A 称 1， A 2， A n相互 . 独立
所以A、B相互独立．
甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中 敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 }
B={ 乙击中敌机 }
C={敌机被击中 }
则CA B . 依题设, P (A )0 .6 , P (B )0 .5
∴ A与B不互斥 ( P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B) )
互独斥立是是事事 件件间间本的身概 的率关属系性
两事件相互独立 P (A ) B P (A )P (B )二者之间没
两事件互斥
AB
有必然联系
例如
B
AB
1
若 P(A)1,P(B)1,
2
2
A
则 P (A ) B P (A )P (B ).
1
由两此事可件见相两互事独件立相互独立两但事两件事互件斥不. 互斥.
P(AB) P(A)P(B), P(BC) P(B)P(C), P(AC) P(A)P(C), P(ABC) P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C 相互独立.
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n

C
3 n



Cnn
则A 称 1， A2， An两两相.互 (2独 1n11)nn立 C个n0式 子Cn1.
定义
设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
理解: 若A与B互斥，则 AB = B发生时，A一定不发生.
P(AB) 0
B
A
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成 A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立.
证 ∵ A=A, P()=1
1.6 独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率，知 P(AB) P(AB) P(B)
一般地， P(AB)P(A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率 有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
P(AB)P(A)
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A) 即 与A独立. ∵ A=, P()=0 ∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件
也相互独立.
① A与 B； ② A 与 B；
注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
③ A 与 B.
证 ① A A A ( B B ) A A B B
P (A )P (A) B P (A B )
P(AB)P(A)P(A)B
又∵ A与B相互独立
P(A B)P(A )P(A)B P (A )P (A )P (B ) P(A)1 [P(B)] P(A)P(B)
③ ABAB(对偶 ) 律 P (A B )P (A B ) 1P (A B )
1P (A B ) 1 [P (A ) P (B ) P (A)B ] 1 [P (A ) P (B ) P (A )P (B )] [1 P (A ) ]P (B )1 [P (A )] [1P (A )][1P (B )] P(A)P(B).