定势思维的优点——联想与构造

谈定势思维的优点————联想

长期以来，人们对定势思维的认识是肤浅的、片面的。只要提及定势思维，就会立即批判它的“负迁移”作用。殊不知，定势思维同样具有二重性，由定向、定法、定序三个要素组成的定势思维，是我们认识事物和解决问题的主要思维方法，是培养学生思维能力的基本要求。定势思维是发散思维的基础，发散思维是定势思维的发展，没有定势，就没有灵活的发散。发散思维并不等同于创造思维，只有当发散思维达到了“独特性”这一要求时，才能称之为创造性思维。创造性思维是美国数学家波利亚提出的一种区别于其他思维的高层次思维活动。而它的发生和发展与定势思维不无联系。

联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志。联想思维法是根据事物之间都是具有接近、相似和相对的特点，进行由此及彼、由近及远、由表及里的一种思考问题的方法。它是通过对两种以上事物之间存在的关联性与可比性，去扩展人脑中固有的思维，使其由旧见新，由已知推未知，从而获得更多的设想、预见和推测。中学数学知识中有很多的习题都具有相似性，这为教师在数学教学中培养学生的联想思维法“创造”了条件。下面给出通过联想思维训练解题的几个例子。

例1．已知双曲线12222=-b

y a x (a ＞0，b ＞0)的离心率为25

1+，A 、F 分别是它的左

顶点和右焦点，点B （0，b ），则∠ABF 等于（ ）

A ．1200

B ．600

C ．1500

D ．900

联想：（1）已知椭圆122

22=-b

y a x （a ＞ 0 , b ＞ 0）的左、右两焦点分别为F 1、F 2，以

F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线经过椭圆的顶点（即（0，±b ）），则椭圆的离心率

为 。 联想：（2）已知点F （

43，0），直线4

3

:1-=x l ，点B 是直线l 上动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是（ ）

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．圆

D ．抛物线

联想：（3）设圆过双曲线

116

92

2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 。

联想：（4）已知椭圆C ：122

22=+b

y a x （a >b > 0）的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的

直线l 过右焦点F 2，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于M 点，且点B 分→

2MF 的比为2。①若62≤k ，求离心率e 的取值范围。②若62=k ，并且弦AB 的中点到右准线的距离为

33

200

，求椭圆的方程。

)(62c x y -±=

1222

2=+b y a x 答案：D 联想：（1）

31 （2）D （3）3

16

（4） ①B(3,32kc c -) ∴2

2

2222222924941994b

c a c b c k a c +≤=+ ∴4e 4－37e 2+9≤0 21≤e ≤3又e ＜1 ∴2

1

≤e ≤1

②e=21 1)(242

2

22=-+b c x a x e x x AB 233200521⋅=-= ∴e e

e a 33400

25)1(502

2=-- a=4 ∴

112

162

2=+y x 例2．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个正四面体，碳原子位于该正四面体的中心，四个氢原子均视为一个点（体积忽略不计），且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ，则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为（ ）

A ．2783a

B ．3

27

38a C ．331a D ．398a

联想：（1）一个三棱锥的三个侧，面中有两个是等腰直角三角形，另一个边长为1的正三

角形，这样的三棱锥体积为 。（写出一个可能值）

联想：（2）设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所有棱的长度之和为24，一条

对角线长度为5，体积为2，则

c

b a 1

11++等于（ ） A ．411 B ．114 C ．211 D ．11

2

联想：（3）把边长为a 的正方形ABCD ，沿对角线AC 折成600

的二面角，这时顶点B 到CD 的距离是（ ） A ．a B ．

a 47 C ．a 410 D ．a 2

2 联想：（4）已知边长为a 的正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，将此三角形沿DE

折成二面角A ′—DE —B 。（Ⅰ）求证：平面A ′GF ⊥平面BCED 。（Ⅱ）当二面角A ′—DE —B 为多大时，异面直线A ′E 与BD 互相垂直？证明你的结论？

答案：B 联想：（1）

24

2

122123或

或 （答案不唯一） （2）A （3）B （4）I ：证：正△ABC 中，作BC 边上高AF ，交BC 于F

交DE 于G ，则AG ⊥DE ，DE ⊥FG 。

∴A ′G ⊥DE ，FG ⊥DE A ′G 交FG 于面A ′GF ∴面DE ⊥A ′GF DE 面BCED ∴面A ′GF ⊥面BCED Ⅱ：过A ′作A ′M ⊥AF 于M ，连EM 。

面A ′GF ⊥面BCED A ′M ⊥AF 易知A ′M ⊥面ABC 又A ′E ⊥BD ∴EM ⊥AB 则AM=2MG 如图 A ′G = AG = 3MG ∴cos ∠A ′GM = 3

1 ∠A ′GM = π－arccos

3

1 A ′G ⊥DE ， FG ⊥DE ∴∠A ′GF 为所求二面角的平面角 ∴所求二面角为π－arccos

3

1 例3．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取2件，其中

次品数η的概率分布是

联想：（1）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个球，则其中

含有红球个数η的概率分布是

联想：（2）四个纪念章A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示，这四个纪念章同

时投掷时，出现

n 个正面的概率记作P n 。（Ⅰ）求概率P i (i=0 , 1 , 2 , 3 , 4 ) （Ⅱ）求在概率P i 中P 2为最大时，a 的取值范围。 联想：（3）5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边

一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则这样的排法有 （ ）

A ．6种

B ．8种

C ．12种

D ．16种 答案：0.9025，0.095，0.0025

F G

M

A

A ′