东城二模理科数学

111北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列命题中，真命题是（A ）x ∀∈R ,210x --< （B ）0x ∃∈R ,2001x x +=-（C ）21,04x x x ∀∈-+>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R（2）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为（A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40（3）41(2)x x-的展开式中的常数项为 （A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）24（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（A ）3 （B ）2（C ）23（D ）4（5）若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A）⊥αβ，且m⊂α（B）m∥n，且n⊥β（C）⊥αβ，且m∥α（D）m⊥n，且n∥β（7）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线221yxm+=的离心率为（A）32（B）5（C）32或52（D）32或5（8）定义：()00>>=y,xy)y,x(F x，已知数列{}na满足：()()n,F,nFan22=()n*∈N，若对任意正整数n，都有knaa≥()k*∈N成立，则ka的值为（A）12（B）2（C）89（D）98第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) 设a∈R，且2(i)ia+为正实数，则a的值为 .(10) 若圆C的参数方程为3cos1,3sinxy=+⎧⎨=⎩θθ（θ为参数），则圆C的圆心坐标为，圆C 与直线30x y+-=的交点个数为 .(11)在平面直角坐标系xOy中，将点A(3,1)绕原点O逆时针旋转90到点B，那么点B的坐标为____，若直线OB的倾斜角为α，则sin2α的值为．(12) 如图，直线PC与O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，4PC=，8PB=，则CE=．(13)已知函数sin1()1x xf xx-+=+()x∈R的最大值为M，最小值为m，则M m+的值为__.AD(14) 已知点(,)A a b 与点(1,0)B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法： ①34100a b -+>；②当0a >时,a b +有最小值，无最大值；③222a b +>；④当0a >且1a ≠，0b >时，1b a -的取值范围为53(,)(,)24-∞-+∞. 其中，所有正确说法的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,5-，求sin MNP ∠的值.（16）（本小题共13分）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时. （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .（17）（本小题共13分）如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥，y x2-1-01-1123456且MC CB ⊥，2BC =，4MB =，3DN =． （Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）求二面角D BC N --的余弦值.（18）（本小题共14分）已知抛物线C ：24x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M .（19）（本小题共13分）已知函数11()()ln f x a x x a x=++-（1a >）．（Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>.（20）(本小题共14分) 对于数列{}n a (1,2,,)n m =，令k b 为1a ，2a ，，k a 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7.定义数列{}n c ：123,,,,m c c c c 是自然数1，2，3，，(3)m m >的一个排列.（Ⅰ）当5m =时，写出创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由.北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）A （5）C （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）(1,0) 2 （11）)3,1(- 32-（12）125（13）2 （14）③④ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =⨯=.由2π8T ==ω，得4π=ω. ……………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42+=ϕ， 即4π=ϕ . ………………5分 所以π()sin()sin (1)444f x x x =+=+ππ. ………………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin (51)1,4f =+=-所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………………7分所以5,20,37MN PN MP ===.由余弦定理得520373cos 52520MNP +-∠==-⨯.……………11分y x2-1-01-1123456z ADC因为[)0,MNP ∠∈π， 所以4sin 5MNP ∠=. ……………13分（其它解法酌情给分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元. ……………2分都付2元的概率为1111428P =⨯=； 都付4元的概率为2111248P =⨯=；都付6元的概率为31114416P =⨯=； 故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. ……………6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12. ……………8分1(4)8P ξ==； 11115(6)442216P ξ==⨯+⨯=；1111115(8)44242416P ξ==⨯+⨯+⨯=； 11113(10)442416P ξ==⨯+⨯=；111(12)4416P ξ==⨯=.故ξ的分布列为ξ4 6 8 10 12 P18 516 516 316 116……………11分所求数学期望155311546810128161616162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分（17）（共13分）（Ⅰ）证明：因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，所以MB //平面DNC ． ……………2分 因为AMND 为矩形，所以MA //DN ．又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ，所以MA //平面DNC ． ……………4分 又MAMB M =，且MA ，MB ⊂平面AMB ，所以平面AMB //平面DNC ． ……………5分 又AB ⊂平面AMB ，所以//AB 平面DNC ． ……………6分（Ⅱ）解：由已知平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND平面MBCN MN =，DN MN ⊥，所以DN ⊥平面MBCN ，又MN NC ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -.……………7分 由已知得23,30MC MCN =∠=，易得3MN =，3NC =．则(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，(3,4,0)B ．(0,3,3)DC =-，(3,1,0)CB =． ……………8分设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ，则110,0.DC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即330,30.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =-，则3y =，3z =． 所以1(1,3,3)=-n ． ……………10分 又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量， 所以122112321cos ,77⋅===n n n n n n ．故所求二面角D BC N --的余弦值为217． ……………13分（18）（共14分）（Ⅰ）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1)令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. ……………3分设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=． ……………5分（Ⅱ）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB x k =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-， 切线MB的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-． ……………7分 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……………9分因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+， 所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++ 2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++ 22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. ……………13分 所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ……………14分（19）（共13分） （Ⅰ）解：由已知x >，2222111()1()()1()1a x a x x a x a a a f x x x x x +-++--'=--=-=-. ………2分 由()0f x '=，得11x a=，2x a =. ………4分因为1a >，所以101a <<,且1a a>． 所以在区间1(0,)a 上，()0f x '<；在区间1(,1)a上，()0f x '>.故()f x 在1(0,)a上单调递减，在1(,1)a上单调递增． ……………6分（Ⅱ）证明：由题意可得，当[)3,a ∈+∞时，12()()f x f x ''=（12,0x x >，且12x x ≠）.即 221122111111a a a a x x x x ++--=-- ， 所以121212111x x a a x x x x ++=+=，[)3,a ∈+∞. ……………8分因为12,0x x >，且12x x ≠，所以21212()2x x x x +<恒成立， 所以2121214()x x x x >+，又120x x +>， 所以12121x x a a x x ++=124x x >+，整理得1241x x a a+>+. ……………11分令()g a 41a a=+，因为[)3,a ∈+∞，所以()g a 在[)3,+∞上单调递减， 所以()g a =41a a +在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g =，所以1265x x +>. ……………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c 有两个，即数列3，4，1，5，2；数列3，4，2，5，1.……………4分（Ⅱ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列. 数列{}n c 的创新数列为{}n e (1,2,3,,)n m =，因为m e 是12,,,m c c c 中的最大值，所以m e m =.由题意知，k e 为12,,,k c c c 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +中的最大值，所以k e 1k e +≤，且{}1,2,,k e m ∈.若{}n e 为等差数列，设其公差为d ， 则1k k d e e +=-0≥且d ∈N ，当0d =时，{}n e 为常数列，又m e m =， 所以数列{}n e 为m ，m ，，m .此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列； ……………8分当1d =时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1，2，3，，m .此时数列{}n c 为1，2，3，，m ； ……………10分当2d ≥时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-≥+-⨯=-+ ， 又3m >，10e > ，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存d≥的等差数在，即不存在{}n c使得它的创新数列为公差2列. ……………13分综上，当数列{}n c为以m为首项的任意一个符合条件的数列或{}n c为数列1，2，3，，m时，它的创新数列为等差数列. ……………14分11 / 11。